1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy (x) argumentami. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Te elementy zbioru Y, które zostały przyporządkowane argumentom nazywamy wartościami funkcji (tworzą one zbiór wartości funkcji). Funkcję można zapisać za pomocą grafu, tabeli, wzoru, wykresu lub słownie. Funkcję zazwyczaj oznaczamy małymi literami f, g, h i zapisujemy f(x), g(x), h(x) Nie lekceważ powyższych wiadomości podstawowych! Znajomość oraz zrozumienie podstawowego nazewnictwa dotyczącego funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu większości zadań dotyczących funkcji. W szczególności takich jak poniżej:
2 Przykład 1 1. Jak obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu? Np. Oblicz ile wynosi wartość funkcji f(x) = dla argumentu x = 3 Wystarczy do wzoru funkcji podstawić w miejsce każdego x liczbę 3 i obliczyć ile z tego wyjdzie. Więc f(x) = = = = 9 Odp. Dla argumentu x = 3 wartość tej funkcji wynosi y = 9 2. Jak obliczyć dla jakiego argumentu funkcja osiąga zadaną wartość? (sytuacja odwrotna od tej w punkcie 1) Np. Dla jakiego argumentu x wartość funkcji f(x) = - 4x +2 wynosi y = -6 Należy wiedzieć, że zapis f(x) i y oznaczają to samo (czyli wartości funkcji). Mając więc dany y = -6 podstawiamy go w miejsce f(x) we wzorze i otrzymamy równanie -6 = -4x + 2, które w prosty sposób rozwiążemy. 4x = 2 + 6 4x = 8 :4 x = 2 Odp. Funkcja f osiąga wartość y = - 6 dla argumentu równego x = 2. 3. Sprawdzanie czy punkt o danych współrzędnych należy do wykresu zadanej funkcji. Np. Sprawdź czy punkt A = (-2; 3) należy do wykresu funkcji f(x) = + 5 Każdy punkt w układzie współrzędnych ma 2 współrzędne: x oraz y czyli A = (x; y). Współrzędne x oraz y występują także we wzorze każdej funkcji (przypomnijmy, że y jest czasem zapisane jako f(x) ). Sprawdzenie czy punkt należy do wykresu danej funkcji polega na podstawieniu współrzędnej x punktu w miejsce x we wzorze, a współrzędnej y punktu w miejsce y we wzorze funkcji. Jeśli po obydwu stronach równania wyjdzie nam to samo to punkt będzie należał do wykresu funkcji, jeśli po dwóch stronach wyjdą nam inne liczby to punkt nie należy do wykresu. A u nas: A = (-2; 3) czyli x = -2, y = 3 Podstawiamy do wzoru funkcji i otrzymujemy 3 = ( 2) + 5 czyli 3 = 4+5 czyli 3 = 9 czyli 3 = 3 Odp. Punkt A należy do wykresu funkcji f(x) 4. Sprawdzanie czy dane przyporządkowanie jest funkcją. Np. Poniżej przedstawiono 2 przyporządkowania, które nie są funkcjami. Dlaczego nie są? Każdemu jeżdżącemu samochodowi przyporządkowana jest tablica rejestracyjna (nie jest to funkcja, gdyż każdy samochód ma 2 tablice czyli jednemu argumentowi przyporządkowane są tu 2 wartości, a definicja funkcji mówi, że ma być tylko 1) x 1 2 3 4 5 y 3 2 1 0 Powyższa tabela nie przedstawia funkcji, bo nie każdy x ma przyporządkowanie do y (x = 3 nie ma!)
3 Podstawowe własności funkcji Dziedzina funkcji czyli cały zbiór X Przykład 2 Na wykresie odczytujemy przedział lub przedziały na osi X, zaczynając od miejsca najbardziej na lewo do miejsca najbardziej po prawo u nas x <-2;2> Zbiór wartości funkcji czyli zbiór Y (tych przyporządkowanych do x-ów) Przykład 3 Na wykresie odczytujemy przedział lub przedziały na osi Y, zaczynając od miejsca najniżej położonego do miejsca najwyżej położonego u nas y <-3;1) 2 Miejsca zerowe funkcji (x 0) czyli miejsca, w których wykres przecina oś X (odczytujemy tylko współrzędną x) Przykład 4 U nas x o = 3,5, 0, 3, 6
4 Monotoniczność funkcji czyli określenie w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała Przykład 5 Wykres każdej funkcji obserwujemy od strony lewej do prawej (zgodnie ze wskazaniem strzałki). Wyobraźmy sobie, że chodzimy po wykresie jak po górach Tam, gdzie wchodzimy pod górę funkcja jest rosnąca u nas (- ; -2> oraz <-1; 1> Tam, gdzie schodzimy z góry funkcja jest malejąca u nas <-2;-1> Tam, gdzie idziemy po płaskim terenie funkcja jest stała u nas <1; 3) Wszystkie powyższe przedziały te odczytujemy z osi X i domykamy na końcach (poza nieskończonością i punktami, które nie należą do wykresu) Różne przykłady, w których wykorzystuje się własności funkcji Przykład 6 Dany jest wykres funkcji Odczytaj: a) Dziedzinę funkcji b) Zbiór wartości funkcji c) Miejsca zerowe d) Przedziały monotoniczności funkcji e) Rozwiązanie równania f(x) = -1 f) Rozwiązanie nierównościi f(x) >2
5 Odp: a) x (-4; 6) b) y <-2; 4) c) xo = 0,5 d) funkcja jest rosnąca, gdy x <3; 6), funkcja jest malejąca, gdy x (-4; -3> <-1; 1>, funkcja jest stała, gdy x <-3; -1> <1; 3> e) rysujemy linię poziomą na wysokości x = - 1 i odczytujemy współrzędne x punktów, w których przetnie ona wykres u nas: x = 0,5 oraz x = 4 f) rysujemy linię poziomą na wysokości x = 2 i odczytujemy z osi x te fragmenty wykresu które znajdą się nad tą linią u nas x (-4; -3) Przykład 7 Wyznacz dziedzinę funkcji: a) f(x) =! " #$ b) f(x) = %& " c) f(x) = Odp: a) w przypadku, gdy funkcja jest określona ułamkiem, dziedzinę stanowią wszystkie liczby poza tymi które w mianowniku dały by 0 (bo ułamek to dzielenie a przysłowie mówi pamiętaj nie dzielić przez 0 ) Wystarczy więc napisać, że mianownik jest różny od 0, czyli 2x 6 0 i rozwiązać. 2x 6 :2 x 3 Więc dziedzina to: D; x R - 3 b) w przypadku, gdy funkcja jest pierwiastkiem musimy pamiętać, że będzie miała ona sens tylko wtedy gdy liczba która jest pod pierwiastkiem będzie większa lub równa 0 (no bo nie ma pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych) Wyjmujemy więc liczbę spod pierwiastka i piszemy, że ma być ona większa lub równa 0, czyli 4x 2 0 i rozwiązujemy 4x 2 :4 x Więc dziedzina to: D; x lub inaczej x < ; ) c) w przypadku, gdy pierwiastek znajduje się w mianowniku funkcji kumulują nam się 2 poprzednie podpunkty, co spowoduje, że liczba podpierwiastkowa musi tu być tylko większa od 0. Wyjmujemy więc liczbę spod pierwiastka i piszemy, że ma być ona większa od 0, czyli x + 3 > 0 i rozwiązujemy x > -3 Więc dziedzina to: D: x > -3 lub inaczej x (-3; ) Przykład 8 Oblicz miejsce zerowe funkcji f(x) = 4x 5 Miejsce zerowe funkcji ma zawsze współrzędne (x; 0), czyli zawsze współrzędna y = 0. Szukając więc miejsca zerowego szukamy tak naprawdę x, dla którego y = 0. Podstawiamy do wzoru funkcji za y (czyli f(x) ) liczbę 0 i otrzymujemy równanie 0 = 4x 5, które po rozwiązaniu da x = * (nasze miejsce zerowe) + #' (
6 Przekształcenia równoległe wykresu funkcji Przesunięcie równoległe wzdłuż osi X czyli y = f(x p) wykres należy przesunąć wzdłuż osi X o p jednostek (jeśli p jest dodatnie to przesuwamy w prawo, jeśli p jest ujemne, to przesuwamy w lewo) Przykład 9 p =3 y = f(x-3) p = - 3 y = f( (x+3) Przesunięcie równoległe wzdłuż osi Y czyli y = f(x)+q wykres należy przesunąć wzdłuż osi Y o q jednostek (jeśli q jest dodatnie to przesuwamy w górę, jeśli q jest ujemne, to przesuwamy w dół) Przykład 10 q =2 y = f(x) + 2 q = - 2 y = f(x) - 2
7 Przekształcenia wykresu funkcji w symetrii względem osi układu współrzędnych Symetria osiowa względem osi X czyli y = -f(x) Wykres odbijamy niczym w lustrze, którym jest oś X (z góry na dół, a z dołu na górę) Przykład 11 Jeśli funkcja ma wzór y = 2x 5 to wzór funkcji symetrycznej do niej względem osi X ustalimy stawiając znak - przed całą prawą stronę. Będzie to funkcja y = - (2x 5) czyli y = - 2x +5 Symetria osiowa względem osi Y czyli y = f(-x) Wykres odbijamy niczym w lustrze, którym jest oś Y (z lewej na prawą, a z prawej na lewą) Przykład 12 Jeśli funkcja ma wzór y = 2x 5 to wzór funkcji symetrycznej do niej względem osi Y ustalimy stawiając znak - przed liczbę x. Będzie to funkcja y = 2(- x) 5 czyli y = - 2x - 5
8 Wykres i własności funkcji liniowej Funkcja liniowa wyrażona jest wzorem y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy prostej (patrz informacje niżej), zaś b to wyraz wolny wskazujący miejsce przecięcia prostej z osią Y (patrz rysunek poniżej). Najważniejsze informacje o funkcji liniowej Współczynnik kierunkowy a wskazuje kierunek w jakim biegnie prosta czy w górę czy w dół czy na wprost. Fachowo powiemy, że współczynnik a określa monotoniczność funkcji liniowej. Jeśli a > 0 (dodatnie), to funkcja liniowa jest rosnąca Jeśli a < 0 (ujemne), to funkcja liniowa jest malejąca Jeśli a = 0, to funkcja liniowa jest stała Jeśli prosta k jest równoległa do prostej l to mają one takie same współczynniki kierunkowe ( jeśli k l, to a k = a l ) Jeśli prosta k jest prostopadła do prostej l to a k = - (np. k: y = 2x+3 czyli a k = 2 to a l = - więc prosta, - prostopadła może mieć postać l: y = - x + 5 (5 zmyślone)
9 Miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy x o = -. (nie dotyczy funkcji stałej), Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy znaleźć 2 punkty należące do wykresu i przeciągnąć przez nie prostą. W szczególności mogą to być miejsca przecięcia z osiami współrzędnych z osią X (miejsce zerowe -. ) i z osią Y (współczynnik b)., Przykład 13 Dana jest funkcja liniowa y = - 3x + 4 a) Określ monotoniczność tej funkcji b) Podaj punkt przecięcia wykresu z osią Y c) Oblicz punkt przecięcia wykresu z osią X (czyli miejsce zerowe) d) Podaj przykładowy wzór funkcji, której wykres będzie równoległy do powyższej e) Podaj przykładowy wzór funkcji, której wykres będzie prostopadły do powyższej Odp: a) Funkcja jest malejąca, bo współczynnik kierunkowy a = -3 (czyli jest mniejszy od 0) b) Funkcja przecina oś Y w punkcie (0; 4), bo współczynnik b = 4 a on wskazuje nam miejsce przecięcia wykresu z osią Y c) Miejsce zerowe to x o = + (obliczone ze wzoru xo = -., ) d) Prosta równoległa może mieć np. wzór y = -3x -7 (wystarczy, że ma taki sam współczynnik kierunkowy co funkcja wyjściowa) e) Prosta prostopadła może mieć np. wzór y = x +1 (jej współczynnik kierunkowy obliczmy ze wzoru a k = -, - )