Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 1 / 16
1 2 3 4 5 6 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 2 / 16
Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty Zagadnienie Mamy pewna ograniczona sumę pieniędzy na zabezpieczenie przyszłego roszczenia. W jaki sposób inwestować (dynamicznie) w jednostki funduszu i obligacje tak, by prawdopodobieństwo zaspokojenia roszczenia było maksymalne? (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty Zagadnienie Mamy pewna ograniczona sumę pieniędzy na zabezpieczenie przyszłego roszczenia. W jaki sposób inwestować (dynamicznie) w jednostki funduszu i obligacje tak, by prawdopodobieństwo zaspokojenia roszczenia było maksymalne? P(końcowa wartość portfela roszczenie) = max (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
Opis ubezpieczenia Oznaczenie: S 20 -wartośc funduszu inwestycyjnego za 20 lat. Produkt ubezpieczeniowy wypłaca kwotę max(s 20, 50000), jeśli ubezpieczony będzie żywy za 20 lat. Jeśli ubezpieczony będzie wówczas inwalida, to dodatkowo zostanie mu wypłacone 1 2 max(s 20, 50000). W przypadku śmierci przed upływem 20 lat, nie będzie wypłaty Zagadnienie Mamy pewna ograniczona sumę pieniędzy na zabezpieczenie przyszłego roszczenia. W jaki sposób inwestować (dynamicznie) w jednostki funduszu i obligacje tak, by prawdopodobieństwo zaspokojenia roszczenia było maksymalne? P(końcowa wartość portfela roszczenie) = max Ta sama struktura w przypadku grupy 1000 ubezpieczonych, z których każdy po przeżyciu 20 lat dostanie wypłatę max(s 20 50000, 0). (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 3 / 16
Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej Rozważmy proces ceny X = (X t ) t [0,T] dany równaniem: dx t = X t mdt + X t σdw t m i σ sa dodatnimi stałymi. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej Rozważmy proces ceny X = (X t ) t [0,T] dany równaniem: dx t = X t mdt + X t σdw t m i σ sa dodatnimi stałymi. Będziemy przyjmować, że stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 0 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
Niech W = (W t ) t [0,T] F = (F t ) t [0,T] (Ω, F, P). będzie ruchem Browna z naturaln a filtracja danym na zupełnej przestrzeni probabilistycznej Rozważmy proces ceny X = (X t ) t [0,T] dany równaniem: dx t = X t mdt + X t σdw t m i σ sa dodatnimi stałymi. Będziemy przyjmować, że stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 0 Wiedza zwykłego inwestora jest modelowana przez F. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 4 / 16
Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω Antyprzykład: G = X T,1 {XT >100} (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω Antyprzykład: G = X T,1 {XT >100} Przykład: G=X T+ɛ, G = 1 {XT+ɛ>100}, G = 1 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
Dodatkowa informacja lub wiedza ekspercka Dla F -mierzalnej zmiennej losowej G definiujemy poczatkowo rozszerzona filtrację G = (G t ) t [0,T] przez G t := F t σ(g) Założenie (Jacod) Rozkład warunkowy G pod warunkiem F T jest równoważny do rozkładu G dla P-prawie wszystkich ω w Ω, tj. P[G F T ](ω) P[G ] P p.w. ω Ω Antyprzykład: G = X T,1 {XT >100} Przykład: G=X T+ɛ, G = 1 {XT+ɛ>100}, G = 1 Wówczas dla prawie wszystkich ω istnieje pochodna Radona-Nikodyma p g (ω) P[G A F T ](ω) = p g (ω)p[g dg] P p.w. ω Ω A (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 5 / 16
Definicja P F Symbolem P F będziemy oznaczać zbiór wszystkich równoważnych miar martyngałowych dla filtracji F. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 6 / 16
Definicja P F Symbolem P F będziemy oznaczać zbiór wszystkich równoważnych miar martyngałowych dla filtracji F. Przykładowy element P F Zdefiniujmy miarę P za pomoca równości d P ( { dp := exp m σ W T 1 m ) 2 T} 2 σ Wówczas P P F (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 6 / 16
Definicja P G P G będzie oznaczać zbiór równoważnych miar martyngałowych dla filtracji G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 7 / 16
Definicja P G P G będzie oznaczać zbiór równoważnych miar martyngałowych dla filtracji G. Lemat (Amendinger, 1999) Niech miara R będzie dana formuła R(A) := A d P dp F T p G dp. Wtedy F T jest niezależne od σ(g) w mierze R, ponadto R = P na F T i R = P na σ(g), a zatem R P G (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 7 / 16
Strategia samofinansujaca Strategia samofinansujaca (V 0, ξ) jest zdefiniowana przez G 0 -mierzalna zmienna losowa V 0 0 P-p.w. interpretowana jako kapitał poczatkowy oraz poprzez G-prognozowalny proces ξ będacy integrandem względem X. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 8 / 16
Strategia samofinansujaca Strategia samofinansujaca (V 0, ξ) jest zdefiniowana przez G 0 -mierzalna zmienna losowa V 0 0 P-p.w. interpretowana jako kapitał poczatkowy oraz poprzez G-prognozowalny proces ξ będacy integrandem względem X. Strategia dopuszczalna Strategię samofinansujac a (V 0, ξ) nazywamy dopuszczalna, jeśli odpowiadajacy jej proces bogactwa V zdefiniowany przez V t = V 0 + t 0 ξ s dx s t [0, T], P p.w. spełnia warunek V t 0, P p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 8 / 16
Niech E będzie zmienna losowa niezależna od X w mierze P taka, że dla i = 1, 2,..., n i ustalonych (p i ) i=1,...,n: n gdzie i=1 p i = 1. P(E = i) = p i > 0 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 9 / 16
Niech E będzie zmienna losowa niezależna od X w mierze P taka, że dla i = 1, 2,..., n i ustalonych (p i ) i=1,...,n: n gdzie i=1 p i = 1. P(E = i) = p i > 0 Niech (D i ) i=1,...n będa F T -mierzalnymi zmiennymi losowymi i 0 D 1 < D 2 <... < D n P-p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 9 / 16
Niech E będzie zmienna losowa niezależna od X w mierze P taka, że dla i = 1, 2,..., n i ustalonych (p i ) i=1,...,n: n gdzie i=1 p i = 1. P(E = i) = p i > 0 Niech (D i ) i=1,...n będa F T -mierzalnymi zmiennymi losowymi i 0 D 1 < D 2 <... < D n P-p.w. Będziemy rozważać firmę ubezpieczeniowa, która w chwili T będzie musiała wypłacic kwotę D E. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 9 / 16
Produkt ubezpieczeniowy typu equity linked n = 3 D 1 = 0 D 2 = max(x 20, 50000) D 3 = 3 2 max(x 20, 50000) (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 10 / 16
Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( P V 0 + T 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 11 / 16
Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( P V 0 + T 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n w F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 11 / 16
Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( P V 0 + T 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n w F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Twierdzenie (Klusik & Palmowski, 2008) Niech sekwencja zbiorów (A i ) i=1,2,...n oznacza rozwiazanie Drugiego Problemu. Strategia super replikujaca roszczenie 1 A D E E jest rozwiazaniem Głównego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 11 / 16
Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 12 / 16
Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Można zauważyć, że dla każdej równoważnej miary martyngałowej Q P G mamy: E Q [1 AE D E G 0 ] E Q [ max i=1,2,...,n 1 Ai D i G 0 ] = E R [ max 1 Ai D i G 0 ] i=1,2,...,n (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 12 / 16
Lemat (Klusik & Palmowski, 2008) Dla α = (α 1,..., α n ) i sekwencji zbiorów (A i ) i=1,2,...n zdefinujmy miarę R α formuła dr α dp = dr dp [ n j=1 1 {max i(d i 1 Ai )=D j 1 Aj } [ 1 {E j} 1 p j α j (1 p j ) + α j 1 {E=j} ] ] Wtedy R α P G. Ponadto: lim iα i 1 pi E Rα [1 AE D E G 0 ] = E R [max(1 Ai D i ) G 0 ] i (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 13 / 16
Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 14 / 16
Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Trzeci Problem Znaleźć sekwencję zbiorów A 1 A 2... A n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem [ n ] E R G0 1 Ai D i Ṽ 0 i=1 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 14 / 16
Znajdź sekwencję zbiorów (A i ) i=1,2,...n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem E Q [1 AE D E G 0 ] Ṽ 0 dla wszystkich Q P G. Trzeci Problem Znaleźć sekwencję zbiorów A 1 A 2... A n należacych do F T taka, że E P (1 AE G 0 ) = max P-p.w. pod warunkiem [ n ] E R G0 1 Ai D i Ṽ 0 i=1 Twierdzenie (Klusik & Palmowski 2008) Niech (A i ) i=1,2,...n będzie rozwiazaniem Trzeciego Problemu. Wówczas (A i ) i=1,2,...n jest rozwiazaniem także Drugiego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 14 / 16
Twierdzenie(Klusik & Palmowski 2008) Niech C i = (D i D i 1) dr dp dla i > 2 oraz C 1 = D 1 dr dp i à n = {p n kc n > 0} à n 1 = {p n 1 kc n 1 + 1 Ãn (p n kc n ) > 0} à n 2 = {p n 2 kc n 2 + 1 Ãn 1 (p n 1 kc n 1 + 1 Ãn (p n kc n )) > 0}...... i A i := j i à j Załóżmy, że G 0 -mierzalna zmienna losowa k jest wybrana w taki sposób, że E R [ n i=1 D i 1 A i G 0 ] = Ṽ 0. Wówczas sekwencja A i, i = 1, 2..., n jest rozwiazaniem Trzeciego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 15 / 16
Twierdzenie (Klusik & Palmowski 2008) Zdefiniujmy rozszczenie warunkowe H H = n i=1 D i 1 A i gdzie A i sa zdefiniowane jak w poprzednim twierdzeniu. Rozważmy strategię (Ṽ 0, ξ) będac a idealnym zabezpieczeniem (perfect hedge) dla H,tj.: H = E R [H G 0 ] + T ξ s dx s = Ṽ 0 + 0 0 T ξ s dx s Wówczas (Ṽ 0, ξ) jest super replikujac a strategia 1 A D E E a więc jest rozwiazaniem Głównego Problemu. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 16 / 16
Twierdzenie (Klusik & Palmowski 2008) Zdefiniujmy rozszczenie warunkowe H H = n i=1 D i 1 A i gdzie A i sa zdefiniowane jak w poprzednim twierdzeniu. Rozważmy strategię (Ṽ 0, ξ) będac a idealnym zabezpieczeniem (perfect hedge) dla H,tj.: H = E R [H G 0 ] + T ξ s dx s = Ṽ 0 + 0 0 T ξ s dx s Wówczas (Ṽ 0, ξ) jest super replikujac a strategia 1 A D E E a więc jest rozwiazaniem Głównego Problemu. Ustalmy kapitał poczatkowy Ṽ 0, gdzie Ṽ 0 jest G 0 -mierzalna zmienna losowa. Wśród dopuszczalnych strategii takich, że V 0 Ṽ 0 P-p.w. znajdź taka, że ( T V 0 + P 0 ξ s dx s D E G0 ) = max P p.w. (UWr) Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka 16 / 16