Podstaw Automatki Człowiek- najlepsza inwestcja Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Politechnika Warszawska Insttut Automatki i Robotki Dr inż. Wieńczsław ościeln PODSTAWY AUTOMATYI część Podstaw formalne
od liczb całkowitch nieujemnch od liczbowe: analitczne, nieanalitczne (smboliczne). od analitczne są umownm zapisem algebraicznego wrażenia reprezentującego dana liczbę. ażdą liczbę całkowitą można wrazić w postaci in a i Na przkład: i a n n a 989 9 8 9 n n... a a
od liczb całkowitch nieujemnch Mówi się, że zapis 989 jest zapisem w kodzie dziesiętnm liczb 9 8 9 A więc, umownm zapisem liczb L i n n ai an an... a a in w kodzie dziesiętnm jest L anan... aa Współcznniki a n... a (zwane także zmiennmi kodowmi) mogą przbierać wartości od do 9. Znaczenie poszczególnch zmiennch zależ od zajmowanej pozcji w zapisie kodowm; mówi się, że kod dziesiętn jest kodem pozcjnm. i numer pozcji, i waga pozcji i, podstawa kodu pozcjnego (podstawa rozwinięcia). (.) 4
od liczb całkowitch nieujemnch 5 Analogicznie można tworzć kod analitczne o innch podstawach... n i n n n n i i P a P a P a P a P a L (.) Jeżeli podstawą kodu analitcznego jest liczba P (może to bć liczba całkowita ), to zmienne kodowe a i mogą przjmować wartości od do P. Szczególnie ważnm kodem jest tzw. naturaln kod dwójkow o podstawie P =, w którm zmienne kodowe mogą przjmować tlko dwie wartości: i.... a a a a L n n Wrażona w naturalnm kodzie dwójkowm liczba jest umownm zapisem liczb... n i n n n n i i a a a a a L
od liczb całkowitch nieujemnch 6 L. dzies. a a a a 4 5 6 7 8 9 4 5 Liczb od do 5 w naturalnm kodzie dwójkowm Wadą naturalnego kodu dwójkowego jest wstępowanie zmian kilku zmiennch kodowch (mówi się: kilku bitów) prz przechodzeniu do sąsiedniej wartości liczbowej, np. prz przejściu od liczb 7 do 8 zmieniają się wszstkie zmienne.
od liczb całkowitch nieujemnch W urządzeniach technicznch informacje o wartościach poszczególnch zmiennch kodowch przekazwane są za pomocą sgnałów binarnch. Ponieważ nie jest możliwe wmuszenie dokładnie jednoczesnej zmian kilku sgnałów, podczas zmian przekazwanch wartości liczbowch pojawiają się błędne informacje rs. 7 Ilustracja tzw. niejednoznaczności odcztu
od liczb całkowitch nieujemnch Niejednoznaczność odcztu nie wstępuje w przpadku tzw. kodów ze stałm odstępem, w którch zawsze zmiana wartości liczbowej o jest związana ze zmiana wartości jednego tlko bitu. Podstawowmi kodami ze stałm odstępem są: kod Graa, kod Graa +, kod pseudopierścieniowe (Johnsona). 8 od ze stałm odstępem są kodami nieanalitcznmi (smbolicznmi); zapis liczb w takim kodzie nie jest umownm zapisem jednej formuł matematcznej wrażającej zakodowaną liczbę. Do odcztania liczb zakodowanej w kodzie nieanalitcznm służ tablica kodowa lub określona reguła.
od liczb całkowitch nieujemnch 9 L. dzies. a a a a 4 5 6 7 8 9 4 5 Liczb od do 5 w kodzie Graa W tablic kodowej kodu Graa wstępują charakterstczne osie smetrii (linie niebieskie); stąd nazw kodów mającch tę właściwość kod refleksjne, kod lustrzane.
od liczb całkowitch nieujemnch L. dzies. a a a a 4 5 6 7 8 9 4 5 4 5 6 7 8 9 od Graa+ służ tlko do kodowania cfr dziesiętnch Tablica kodu Graa Tablica kodu Graa+ Wartości w kodzie Graa+
od liczb całkowitch nieujemnch Inna postać tablic kodu Graa od Graa a, a a, a 7 6 5 4 8 9 5 4 Graficzne przedstawienie kodu Graa
od liczb całkowitch nieujemnch Dekodowanie kodu Graa Do wznaczania liczb zakodowanej w kodzie Graa można posłużć się wzorem określającm wartość bezwzględną wagi W k k-tej pozcji: W k k i i k W liczbie zapisanej w kodzie Graa wagi jednek nieparzstch, licząc od lewej stron, są dodatnie, wagi jednek parzstch są ujemne. Przkład: () g = ( 4 ) ( ) +( ) = 5 7 + = 9. Przekształcanie naturalnego kodu dwójkowego w kod Graa: należ zmienić na przeciwne wartości tch pozcji, dla którch pozcja wższa (w kodzie dwójkowm) ma wartość. Przkład: () = () g
od liczb całkowitch nieujemnch od pseudopierścieniowe (Johnsona) od pseudopierścieniowe umożliwiają kodowanie parzstch zbiorów liczbowch. Do zakodowania zbioru zawierającego n liczb potrzeba n/ bitów; przkład w tablicach. Liczba od dziesiętna a a a 4 5 Liczba od dziesiętna a a a a 4 5 6 7
od liczb całkowitch nieujemnch 4 od tpu z n od tpu z n umożliwiają kodowanie dowolnego zbioru liczb. n oznacza liczbę kodowanch elementów. Do zakodowania n elementów wkorzstuje się n zmiennch binarnch. W każdm zapisie liczb jedna zmienna ma wartość. Przkład Liczba od z 6 dziesiętna a 5 a 4 a a a a 4 5 od pseudopierścieniow i kod z n są kodami nieminimalnmi wmagają użcie większej liczb zmiennch (bitów) niż naturaln kod dwójkow lub kod Graa.
Funkcje logiczne dwuwartościowe 5 Logicznmi nazwają się funkcje, którch zmienne niezależne i zmienna zależna mogą przjmować skończoną liczbę wartości. Funkcje logiczne, którch zmienne niezależne i zmienna zależna mogą przjmować tlko dwie wartości nazwają się funkcjami logicznmi dwuwartościowmi. Do opisu działania dskretnch układów sterowania wkorzstuje się funkcje logiczne dwuwartościowe. Różnch dwuwartościowch funkcji logicznch o liczbie argumentów jest n Zatem istnieją czter tlko dwuwartościowe funkcje logiczne jednoargumentowe, szesnaście funkcji dwuargumentowch, 56 funkcji trójargumentowch, itd.
Funkcje logiczne dwuwartościowe Podstawowmi formami zapisu funkcji logicznch są: - postacie tabelarczne, - zapis algebraiczn. Funkcje logiczne jednoargumentowe f () 6 Funkcja stała zerowa Funkcja powtórzenie Funkcja stała jednkowa Funkcja negacja
Funkcje logiczne dwuwartościowe Funkcje logiczne dwuargumentowe f (, ) 7 4 5 6 7 8 9 4 5 funkcja stała zerowa koniunkcja, iloczn logiczn, mnożenie logiczne zakaz przez, negacja implikacji powtórzenie 4 zakaz przez, negacja implikacji odwrotnej 5 powtórzenie
Funkcje logiczne dwuwartościowe Funkcje logiczne dwuargumentowe 8 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 alternatwa włączająca, dodawanie modulo dwa, nierównoważność alternatwa, dodawanie logiczne, suma logiczna 9 negacja funkcja Peirce a, nagacja alternatw, funkcja NOR równoważność
Funkcje logiczne dwuwartościowe 9 Funkcje logiczne dwuargumentowe 4 5 6 7 8 9 4 5 implikacja odwrotna negacja 4 / 5 implikacja funkcja stała jednkowa funkcja Sheffera, negacja koniunkcji, funkcja NAND
Algebra Boole a Algebra Boole a zajmuje się zależnościami zachodzącmi pomiędz funkcjami: alternatwą, koniunkcją i negacją. Funkcje alternatwa, koniunkcja i negacja tworzą tzw. podstawow sstem funkcjonalnie pełn. Sstem funkcjonalnie pełn jest to zbiór (zestaw) funkcji logicznch umożliwiając tworzenie zapisów algebraicznch dowolnie złożonch funkcji logicznch. Tworzenie zapisu algebraicznego funkcji logicznej zdefiniowanej np. w postaci opisu słownego, w postaci tabelarcznej lub w inn sposób, nazwa się sntezą tej funkcji, do czego niezbędna jest znajomość algebr Boole a. Zależności zachodzące pomiędz funkcjami: alternatwą, koniunkcją i negacją wraża zestaw twierdzeń (praw) zwanch aksjomatami algebr Boole a.
Algebra Boole a Aksjomat algebr Boole a 4 5 Prawa przemienności 6 Prawa łączności 7 ( ) ( ) ( ) ( )
Prawo rozdzielności mnożenia logicznego względem dodawania logicznego Algebra Boole a Prawo rozdzielności dodawania logicznego względem mnożenia logicznego 8 Prawa de Morgana 9 Prawo podwójnej negacji (podwójnego przeczenia) ( ) Na podstawie powższch twierdzeń można tworzć szereg innch zależności przdatnch prz przekształcaniu funkcji logicznch. ( ) ( ) ( ) Smbole,,, w tch twierdzeniach mogą reprezentować zarówno pojedncz argument jak i dowolnie złożoną funkcję logiczną.
Snteza funkcji logicznch Wprowadźm szereg terminów posługując się przkładowo funkcją trójargumentową f,, ). ( Elementarn iloczn funkcji jest to dowoln iloczn argumentów prostch lub zanegowanch, np. Składnik jedności elementarn iloczn, w którm wstępują wszstkie argument danej funkcji. Elementarna suma funkcji jest to dowolna suma argumentów prostch lub zanegowanch, np. Cznnik zera elementarna suma, w której wstępują wszstkie argument danej funkcji. olejne stan argumentów danej funkcji, np. stan ( =, =, =) tworzą dwójkowe zapis liczb dziesiętnch, które nazwam numerami stanu argumentów; numerem stanu argumentów jest.
Snteza funkcji logicznch 4 Nr st. argum. Składniki jedności funkcji Cznniki zera funkcji 4 5 6 7 4 5 6 7 D D D D 4 D 5 D 6 D 7 D ),, ( f ),, ( f Składniki jedności i cznniki zera funkcji trójargumentowch
Snteza funkcji logicznch W tablic: - składnik jedności oznaczono indeksem i, jeżeli dla i-tego stanu argumentów przjmuje on wartość, - cznnik zera D oznaczono indeksem i, jeżeli dla i-tego stanu argumentów przjmuje on wartość. 5 Należ zauważć, że dla przjętego sposobu numeracji składników jedności i cznników zera: - składnik jedności i przjmuje wartość tlko dla i-tego stanu argumentów; dla pozostałch stanów argumentów jest zerem, - cznnik zera D i przjmuje wartość tlko dla i-tego stanu argumentów; dla pozostałch stanów argumentów jest jednką. Liczba składników jedności (cznników zera) jest równa liczbie stanów argumentów.
Snteza funkcji logicznch 6 Łatwo zauważć, że jakąkolwiek funkcję trójargumentową (i analogicznie funkcje o innej liczbie argumentów) można zapisać w postaci: 7 7 6 6 5 5 4 4 ),, ( zwanej kanoniczną postacią alternatwną danej funkcji, gdzie: - wartość zmiennej zależnej funkcji prz zerowm stanie argumentów, - wartość funkcji prz pierwszm stanie argumentów, itd. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( 7 7 6 6 5 5 4 4 D D D D D D D D lub w postaci zwanej kanoniczną postacią koniunkcjną danej funkcji.
Snteza funkcji logicznch 7 Nr st. argum. 4 5 6 7 Przkład dana jest funkcja w postaci tablic wartości anoniczna postać alternatwna: 7 6 5 4 ),, ( Po usunięciu składników o wartości 7 6 5 4 ),, ( Funkcję tę można przedstawić w postaci smbolicznej (liczbowej): 7,,4,5,6, ),, ( Właściwm zapisem kanonicznej postaci alternatwnej danej funkcji jest:
Nr st. argum. 4 5 6 Snteza funkcji logicznch anoniczna postać koniunkcjna: (, ( D, ) ( Po usunięciu cznników o wartości, otrzmuje się 7 Funkcję tę można przedstawić w postaci smbolicznej (liczbowej): (,, ), Właściwm zapisem kanonicznej postaci koniunkcjnej danej funkcji jest: ) ( ) ) ( D ) ( D 4 ) ( D,, ) 5 D ) ( D ) ( D ( D D ( 6 ) ) ( D 7 8 )
Snteza funkcji logicznch Postacie kanoniczne są algebraiczną formą zapisu dowolnie złożonch funkcji logicznch. Są one tworzone z wkorzstaniem tlko trzech operacji logicznch: alternatw, koniunkcji i negacji. 9 Zestaw (zbiór) funkcji logicznch umożliwiając tworzenie algebraicznch zapisów dowolnch funkcji logicznch nazwa się sstemem funkcjonalnie pełnm. Zestaw funkcji: alternatwa, koniunkcja i negacja nazwan jest podstawowm sstemem funkcjonalnie pełnm. Sstemami funkcjonalnie pełnmi są także: alternatwa i negacja, koniunkcja i negacja, funkcja NOR, funkcja NAND i inne.
Minimalizacja funkcji logicznch Na ogół, korzstając z praw algebr Boole a, można przekształcać postacie kanoniczne w celu zmniejszenia liczb wstępującch w nich elementarnch operacji logicznch, co nazwam minimalizacją funkcji logicznch. Podstawową cznnością prz poszukiwaniu możliwości minimalizacji postaci kanonicznch jest poszukiwanie par składników jedności lub par cznników zera, nad którmi można wkonać tzw. operację sklejania. Operacja sklejania (sklejanie), w przpadku minimalizacji kanonicznej postaci alternatwnej, polega na wkonaniu działań tpu ab ab a( b b) a a gdzie: a reprezentuję jednakową część obu składników, b - zmienną różniącą się znakiem negacji.
Minimalizacja funkcji logicznch Przkład: ) ( ) ( W przpadku minimalizacji kanonicznej postaci koniunkcjnej, operacja sklejania polega na wkonaniu działań tpu a a b b a b a b a ) ( ) ( gdzie: a reprezentuję jednakową część obu cznników, b - zmienną różniącą się znakiem negacji Przkład: Metoda minimalizacji polegająca na wkonwaniu kolejnch przekształceń pierwotnego zapisu funkcji w postaci kanonicznej nazwa się metodą przekształceń algebraicznch.
Minimalizacja funkcji logicznch Inne metod minimalizacji: metoda Quine a McCluske a, metoda tablic arnaugha, usprawniają jednie procedurę poszukiwania możliwości i wkonwania operacji sklejania. Postać funkcji uzskana w wniku wkonaniu wszstkich możliwch sklejeń w kanonicznej postaci alternatwnej nazwa się normalną postacią alternatwną. Postać funkcji uzskana w wniku wkonaniu wszstkich możliwch sklejeń w kanonicznej postaci koniunkcjnej nazwa się normalną postacią koniunkcjną. Postacie normalne nie zawsze są opisem wkorzstującm najmniejszą z możliwch operacji logicznch.
Minimalizacja funkcji logicznch Zmniejszenie liczb operacji logicznch wstępującch w normalnej postaci alternatwnej jest możliwe jeżeli z dwóch lub więcej elementarnch ilocznów można wprowadzić przed nawias wspóln cznnik (prawo o rozdzielności mnożenia względem dodawania), np. ( ) Zmniejszenie liczb operacji logicznch wstępującch w normalnej postaci koniunkcjnej jest możliwe jeżeli z dwóch lub więcej elementarnch sum można wprowadzić przed nawias wspóln składnik (prawo o rozdzielności dodawania względem mnożenia), np. ) ( ) ( ) ( ) ( Operacje takie nazwane są faktorzacją.
Minimalizacja funkcji logicznch 4 Minimalizacja metodą przekształceń algebraicznch Zminimalizujm funkcję zdefiniowaną w postaci tablic wartości: anoniczna postać alternatwna funkcji ma postać Można w niej zauważć pokazane możliwości sklejeń W uzskanm wniku widoczna jest możliwość dalszego sklejania - środkow składnik można skleić z pierwszm i z trzecim.
Minimalizacja funkcji logicznch 5 orzstając z twierdzenia algebr Boole a + =,środkow składnik można traktować jakb wstąpił dwukrotnie. Zatem: Uzskana postać funkcji jest postacią minimalną. anoniczna postać koniunkcjna rozważanej funkcji ma postać: ) ( ) ( Wstępujące w niej cznniki zera różnią się znakiem negacji prz zmiennej, zatem w rezultacie sklejenia obu cznników otrzmuje się
Metoda Quine a McCluske a 6 Metoda Quine a McCluske a polega na wkonaniu nad postacią kanoniczną wszstkich możliwch sklejeń, prz czm stosuje się specficzn, uporządkowan sposób postępowania. Przkład Zminimalizować funkcję (,,, ) 4,,,5,8,9,,,4, 5 Liczbow zapis funkcji podaje numer składników jedności kanonicznej postaci alternatwnej, np. oznacza 4 oznacza 4 i można skleić; wnikiem sklejenia jest
Metoda Quine a McCluske a 7 W metodzie Quine a McCluske a składniki jedności funkcji zapisuje się w formie liczbowej, np. =, = ; wnik sklejenia zapisuje się w formie + = -, co oznacza Proces minimalizacji wkonuje się tworząc kolumn: kolumna zawiera liczbow zapis wszstkich składników jedności kolumna składniki pogrupowane ze względu na liczbę zer kolumna wniki pierwszego etapu sklejeń (sklejać dają się tlko składniki sąsiednich grup) kolumna 4 wniki kolejnego etapu sklejania. Wrażenia przeniesione do kolejnej kolumn lub wkorzstane do sklejania oznacza się np. strzałką; wrażenia bez strzałki są końcowm wnikiem sklejania.
Metoda Quine a McCluske a 8 Przebieg procesu sklejania funkcji,,, ),,,5,8,9,,,4, 5 ( 4
Metoda Quine a McCluske a Po wkonaniu wszstkich możliwch sklejeń pozostał zestaw trzech różnch tzw. implikantów prostch w kolumnie czwartej i trzech w kolumnie trzeciej. Można smbolicznie napisać: ( ) () () ( ) ( ) ( ) 9 co oznacza, że 4 4 4 4 Zwkle nie wszstkie implikant są niezbędne do wrażenia danej funkcji. Do wboru niezbędnego zestawu implikantów służ tablica implikantów. W tablic smbolem v oznaczono te składniki jedności, ze sklejenia którch powstał dan implikant prost. Mówi się, że imlikant prost pochłania te składniki jedności, z którch powstał.
Implikant proste Metoda Quine a McCluske a Ab postać zminimalizowana bła poprawnm zapisem danej funkcji, musi zawierać zestaw implikantów prostch pochłaniającch wszstkie składniki jedności minimalizowanej funkcji. W rozpatrwanm przkładzie jest to zestaw implikantów oznaczonch smbolem *. Zatem ostatecznie otrzmuje się zminimalizowaną postać alternatwną funkcji: 4 4 Składniki jedności funkcji - v v - v v - * v v -- v v v v -- * v v v v -- * v v v v 4
Metoda tablic arnaugha 4 Tablice arnaugha są specficzną formą tablic wartości funkcji. a) b) Nr stanu argum. 4 5 6 7 Tablica prawd dla funkcji trzargumentowch,, Tablica arnaugha c) 4 5 7 6 Tablica arnaugha z numerami stanu argumentów
b) Metoda tablic arnaugha W tablicach arnaugha wartości zmiennej zależnej są wpiswane w pola tablic,, odpowiadające wartościom argumentów wpisanch na obrzeżach tablic. Charakterstczną cechą tablic arnaugha jest to, że sąsiednie wartości stanów argumentów różnią się tlko jedną pozcją (wartości argumentów są kolejnmi liczbami w kodzie Graa). Dzięki temu, składniki jedności funkcji (albo cznniki zera) o numerach znajdującch się w polach sąsiednich można sklejać., c) 4 5 7 6 Polami sąsiednimi są np. pola i, i, 4 i 6, i 4 itd. 4
Metoda tablic arnaugha 4 Przkład : minimalizacja postaci alternatwnej, 4 5 7 6 Funkcja przjmuje wartość w stanach argumentów i, co oznacza, że kanoniczna postać alternatwna funkcji jest sumą logiczną składników jedności i, które można skleić: Mówi się, że został sklejone jednki, znajdujące się w polach i. Praktcznie wnik sklejania ustala się bezpośrednio na podstawie wartości argumentów jednakowch dla obu pól. Polom i odpowiadają wartości = i = ; dlatego
Metoda tablic arnaugha Przkład : minimalizacja postaci koniunkcjnej, 4 5 7 6 Funkcja przjmuje wartość w stanach argumentów i, co oznacza, że kanoniczna postać koniunkcjna funkcji jest ilocznem logicznm cznników zera D i D, które można skleić. D D ) ( ) ( Mówi się, że został sklejone zera, znajdujące się w polach i. Praktcznie wnik sklejania ustala się bezpośredni na podstawie wartości argumentów jednakowch dla obu pól. Polom i odpowiadają wartości = i = ; dlatego, co w przpadku postaci koniunkcjnej odpowiada funkcji 44
Metoda tablic arnaugha 45 W tablicach arnaugha, sklejają się wniki sklejeń sąsiednich par jednek albo sąsiednich par zer. Przkład, 4 5 7 6 Funkcja przjmuje wartość w stanach argumentów,, 4 i 5, co oznacza, że kanoniczna postać alternatwna funkcji jest sumą logiczną składników jedności,, 4 i 5, które można skleić. Wnik sklejania otrzmuje się na podstawie wartości argumentu nie zmieniającego się dla sklejanch jednek. Ponieważ dla tch jednek jest =, to
Metoda tablic arnaugha 46 Sąsiednimi parami jednek, dającmi się skleić są także par poziome., Przkład 4 4 5 7 6 Sklejając czwórkę jednek lub czwórkę zer, otrzmuje się Dla funkcji trójargumentowch można także wkorzstwać tablice arnaugha w układzie pionowm., 6 7 4 5
Metoda tablic arnaugha 47 Tablice arnaugha dla funkcji dwu- i czteroargumentowch, 4, 4 5 7 6 5 4 8 9 Tablice arnaugha umożliwiają także minimalizację funkcji pięcioi sześcioargumentowch.
Metoda tablic arnaugha 48 Przkład minimalizacji funkcji trójargumentowch ( ) ( ) ( )
Metoda tablic arnaugha 49 Przkład minimalizacji funkcji czteroargumentowch 4 4 4 4 4 4 4 4 ( ( ) ( 4 ) ( ) 4 )
Minimalizacja funkcji logicznch nie w pełni określonch 5 Funkcjami logicznmi nie w pełni określonmi nazwają się funkcje, które dla niektórch stanów argumentów nie mają określonch wartości. W tablicach wartości takich funkcji w stanach nie określonch zamiast wartości zmiennej zależnej wpisuje się kreskę. W liczbowch zapisach funkcji nie w pełni określonch numer stanów nie określonch podaje się w nawiasach, np. (,,, 4),,,,4,9,(5,7,,5) 6,8,,,4(5,7,,5) Przeprowadźm minimalizację tej funkcji z wkorzstaniem tablic arnaugha.
Metoda tablic arnaugha 5 Minimalizacja postaci alternatwnej 4 - - - - Sklejając jednki, czego efektem jest normalna postać alternatwna funkcji, korzstnie jest przjąć, że we wszstkich stanach nie określonch zmienna zależna przjmuje wartość, zatem 4
Metoda tablic arnaugha 5 Minimalizacja postaci koniunkcjnej 4 - - - - ( ) ( 4) W przpadku sklejania zer, co prowadzi do uzskania normalnej postaci koniunkcjnej, najprostszą postać funkcji uzskuje się przjmując, że w dwóch stanach nie określonch zmienna zależna przjmuje wartość (a więc w pozostałch przjmuje wartość ). Zatem funkcja uzskana w wniku sklejania zer jest inną niż funkcja uzskana w wniku sklejania jednek, co nie ma znaczenia, gdż różnice dotczą tlko stanów nie określonch.