ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
|
|
|
- Fabian Turek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
2 Systemy liczbowe 1 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Konwersje notacji liczb Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Odejmowanie liczb i liczby ujemne 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Wartości całkowite ze znakiem Rozszerzenie arytmetyczne 3 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Reprezentacja zmiennoprzecinkowa Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych 4 Standardy reprezentacji znaków 5 Przechowywanie danych w pamięci 6 Literatura c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
3 Systemy liczbowe Analiza systemu dziesiętnego Analiza systemów liczbowych system o podstawie 10 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
4 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu dziesiętnego system o podstawie 10 rozwinięcie liczby w zapisie dziesiętnym, np = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
5 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu dziesiętnego system o podstawie 10 rozwinięcie liczby w zapisie dziesiętnym, np = zbiór cyfr liczby dziesiętnej D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
6 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu dziesiętnego system o podstawie 10 rozwinięcie liczby w zapisie dziesiętnym, np. 234 zbiór cyfr liczby dziesiętnej 234 = D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} wartość dziesiętna liczby naturalnej zapisanej za pomocą n cyfr dziesiętnych a i D, dla i = 0, 1,..., n 1, w postaci [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 ] n 1 l = a i 10 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
7 Systemy liczbowe Analiza systemu binarnego Analiza systemów liczbowych system o podstawie 2 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
8 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu binarnego system o podstawie 2 rozwinięcie liczby w zapisie binarnym, np = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
9 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu binarnego system o podstawie 2 rozwinięcie liczby w zapisie binarnym, np = zbiór cyfr liczby binarnej B = {0, 1} c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
10 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu binarnego system o podstawie 2 rozwinięcie liczby w zapisie binarnym, np = zbiór cyfr liczby binarnej B = {0, 1} wartość dziesiętna liczby naturalnej zapisanej za pomocą n cyfr binarnych a i B, dla i = 0, 1,..., n 1, w postaci [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 ] n 1 l = a i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
11 Systemy liczbowe Analiza systemu szesnastkowego Analiza systemów liczbowych system o podstawie 16 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
12 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu szesnastkowego system o podstawie 16 rozwinięcie liczby w zapisie o podstawie 16, np. A5BF A5BF 16 = A B F 16 0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
13 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu szesnastkowego system o podstawie 16 rozwinięcie liczby w zapisie o podstawie 16, np. A5BF A5BF 16 = A B F 16 0 zbiór cyfr liczby szesnastkowej H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
14 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu szesnastkowego system o podstawie 16 rozwinięcie liczby w zapisie o podstawie 16, np. A5BF A5BF 16 = A B F 16 0 zbiór cyfr liczby szesnastkowej H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } wartość dziesiętna liczby naturalnej zapisanej za pomocą n cyfr szesnastkowych a i H, dla i = 0, 1,..., n 1, w postaci [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 ] n 1 l = a i 16 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
15 Systemy liczbowe Analiza systemu ósemkowego Analiza systemów liczbowych system o podstawie 8 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
16 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu ósemkowego system o podstawie 8 rozwinięcie liczby w zapisie o podstawie 8, np = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
17 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu ósemkowego system o podstawie 8 rozwinięcie liczby w zapisie o podstawie 8, np = zbiór cyfr liczby ósemkowej O = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
18 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Analiza systemu ósemkowego system o podstawie 8 rozwinięcie liczby w zapisie o podstawie 8, np = zbiór cyfr liczby ósemkowej O = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} wartość dziesiętna liczby naturalnej zapisanej za pomocą n cyfr ósemkowych a i O, dla i = 0, 1,..., n 1, w postaci [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 ] n 1 l = a i 8 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
19 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja z notacji dziesiętnej do binarnej liczba naturalna l może być parzysta (b 0 = 0) albo nieparzysta (b 0 = 1) l = l b 0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
20 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja z notacji dziesiętnej do binarnej liczba naturalna l może być parzysta (b 0 = 0) albo nieparzysta (b 0 = 1) l = l b 0 liczba naturalna l 1 może być parzysta (b 1 = 0) albo nieparzysta (b 1 = 1) l 1 = l b 1 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
21 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja z notacji dziesiętnej do binarnej liczba naturalna l może być parzysta (b 0 = 0) albo nieparzysta (b 0 = 1) l = l b 0 liczba naturalna l 1 może być parzysta (b 1 = 0) albo nieparzysta (b 1 = 1) l 1 = l b 1 zatem l może być przedstawiona jako l = (l b 1 ) b 0 = = l b b c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
22 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja z notacji dziesiętnej do binarnej liczba naturalna l może być parzysta (b 0 = 0) albo nieparzysta (b 0 = 1) l = l b 0 liczba naturalna l 1 może być parzysta (b 1 = 0) albo nieparzysta (b 1 = 1) l 1 = l b 1 zatem l może być przedstawiona jako l = (l b 1 ) b 0 = = l b b itd. liczba naturalna l 2 może być parzysta (b 2 = 0) albo nieparzysta (b 2 = 1) c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
23 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja z notacji dziesiętnej do binarnej liczba naturalna l może być parzysta (b 0 = 0) albo nieparzysta (b 0 = 1) l = l b 0 liczba naturalna l 1 może być parzysta (b 1 = 0) albo nieparzysta (b 1 = 1) l 1 = l b 1 zatem l może być przedstawiona jako l = (l b 1 ) b 0 = = l b b itd. liczba naturalna l 2 może być parzysta (b 2 = 0) albo nieparzysta (b 2 = 1) reszty z dzielenia liczby dziesiętnej przez 2 tworzą ciąg binarny reprezentujący liczbę l: [b n 1, b n 2,..b 1, b 0 ] c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
24 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja metodą dzielenia przez 2 najmłodszy bit b 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 2 l 2 = l 1 r b 0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
25 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja metodą dzielenia przez 2 najmłodszy bit b 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 2 l 2 = l 1 r b 0 bit b 1 to reszta z dzielenia liczby l 1 przez 2 l 1 2 = l 2 r b 1 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
26 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja metodą dzielenia przez 2 najmłodszy bit b 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 2 l 2 = l 1 r b 0 bit b 1 to reszta z dzielenia liczby l 1 przez 2 l 1 2 = l 2 r b 1 bit b 2 to reszta z dzielenia liczby l 2 przez 2 l 2 2 = l 3 r b 2 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
27 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja metodą dzielenia przez 2 najmłodszy bit b 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 2 l 2 = l 1 r b 0 bit b 1 to reszta z dzielenia liczby l 1 przez 2 l 1 2 = l 2 r b 1 bit b 2 to reszta z dzielenia liczby l 2 przez 2 l 2 2 = l 3 r b 2 czynność powtarzamy do czasu, gdy l n = 0 otrzymując najstarszy bit notacji binarnej, tj. b n 1 i zapisujemy rezultat konwersji: [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
28 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja metodą dzielenia przez 2 Przykład Dziesiętnie Binarnie 25 2 = 12 r = 1100 r = 6 r = 110 r = 3 r = 11 r = 1 r = 1 r = 0 r = 0 r 1 Czyli = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
29 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Rezultaty konwersji liczb naturalnych Dziesiętnie Binarnie Dziesiętnie Binarnie c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
30 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja do zapisu szesnastkowego metodą dzielenia przez 16 najmłodsza cyfra h 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 16 l 16 = l 1 r h 0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
31 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja do zapisu szesnastkowego metodą dzielenia przez 16 najmłodsza cyfra h 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 16 l 16 = l 1 r h 0 cyfra h 1 to reszta z dzielenia liczby l 1 przez 16 l 1 16 = l 2 r h 1 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
32 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja do zapisu szesnastkowego metodą dzielenia przez 16 najmłodsza cyfra h 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 16 l 16 = l 1 r h 0 cyfra h 1 to reszta z dzielenia liczby l 1 przez 16 l 1 16 = l 2 r h 1 cyfra h 2 to reszta z dzielenia liczby l 2 przez 16 l 2 16 = l 3 r h 2 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
33 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja do zapisu szesnastkowego metodą dzielenia przez 16 najmłodsza cyfra h 0 to reszta z dzielenia liczby naturalnej l przez 16 l 16 = l 1 r h 0 cyfra h 1 to reszta z dzielenia liczby l 1 przez 16 l 1 16 = l 2 r h 1 cyfra h 2 to reszta z dzielenia liczby l 2 przez 16 l 2 16 = l 3 r h 2 czynność powtarzamy do czasu, gdy l n = 0 otrzymując najstarszą cyfrę notacji szesnastkowej, tj. h n 1 i zapisujemy rezultat konwersji: [h n 1, h n 2,..., h 1, h 0 ] c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
34 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Konwersja metodą dzielenia przez 16 Przykład = 36 r = 2 r = 0 r 2 Czyli 589 = 24D 16 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
35 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Rezultaty konwersji liczb naturalnych Dziesiętnie Szesnastkowo Dziesiętnie Szesnastkowo A B C D E F c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
36 Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb Binarna reprezentacja cyfr szesnastkowych Szesnastkowo Binarnie Szesnastkowo Binarnie A B C D E F 1111 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
37 Ćwiczenia Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
38 Ćwiczenia Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, Wyrazić w notacji szesnastkowej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
39 Ćwiczenia Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, Wyrazić w notacji szesnastkowej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, Wyrazić w notacji ósemkowej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
40 Ćwiczenia Systemy liczbowe Konwersje notacji liczb 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, Wyrazić w notacji szesnastkowej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, Wyrazić w notacji ósemkowej następujące liczby naturalne: 64, 66, 129, Wyznaczyć największą liczbę naturalną, którą można zapisać w notacji binarnej za pomocą odpowiednio: 4, 8, 16, 32, 64 bitów c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
41 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r dane są n cyfrowe liczby w notacji o podstawie r z cyframi a i, b i [0, 1,..., r 1]: a = [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 ] b = [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
42 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r dane są n cyfrowe liczby w notacji o podstawie r z cyframi a i, b i [0, 1,..., r 1]: a = [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 ] b = [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] cyfra sumy a i i b i wyznaczona za pomocą operacji modulo r, tj. r s i = a i r b i r c i gdzie c i ewentualne przeniesienie (ang. carry) powstałe z sumy arytmetycznej a i 1 + b i 1 + c i 1 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
43 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r dane są n cyfrowe liczby w notacji o podstawie r z cyframi a i, b i [0, 1,..., r 1]: a = [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 ] b = [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] cyfra sumy a i i b i wyznaczona za pomocą operacji modulo r, tj. r s i = a i r b i r c i gdzie c i ewentualne przeniesienie (ang. carry) powstałe z sumy arytmetycznej a i 1 + b i 1 + c i 1 np. suma modulo 2 cyfr binarnych, ozn. 2 : = = 0 a suma arytmetyczna jest liczbą binarną dwucyfrową: = 10 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
44 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Przykłady dodawania liczb dodawanie naturalnych liczb binarnych c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
45 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Przykłady dodawania liczb dodawanie naturalnych liczb binarnych dodawanie naturalnych liczb szesnastkowych 3A5F 16 +EB2C B 16 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
46 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Przykłady dodawania liczb dodawanie naturalnych liczb binarnych dodawanie naturalnych liczb szesnastkowych 3A5F 16 +EB2C B 16 ćwiczenie: zastąpić cyfry liczby szesnastkowej ich odpowiednikami binarnymi i wykonać operację dodawania c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
47 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Przykłady dodawania liczb dodawanie naturalnych liczb binarnych dodawanie naturalnych liczb szesnastkowych 3A5F 16 +EB2C B 16 ćwiczenie: zastąpić cyfry liczby szesnastkowej ich odpowiednikami binarnymi i wykonać operację dodawania ćwiczenie: liczby szesnastkowe poddać konwersji do notacji dziesiętnej i wykonać operację dodawania c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
48 Systemy liczbowe Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Przykłady dodawania liczb dodawanie naturalnych liczb binarnych dodawanie naturalnych liczb szesnastkowych 3A5F 16 +EB2C B 16 ćwiczenie: zastąpić cyfry liczby szesnastkowej ich odpowiednikami binarnymi i wykonać operację dodawania ćwiczenie: liczby szesnastkowe poddać konwersji do notacji dziesiętnej i wykonać operację dodawania zwrócić uwagę na fakt wystąpienia przeniesienia z najstarszej pozycji c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
49 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb dziesiętnych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki =? c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
50 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb dziesiętnych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
51 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb dziesiętnych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie dziewiątkowe liczby 25: = 974 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
52 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb dziesiętnych przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie dziewiątkowe liczby 25: = 974 uzupełnienie dziesiątkowe liczby 25: = 975 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
53 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb dziesiętnych przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie dziewiątkowe liczby 25: = 974 uzupełnienie dziesiątkowe liczby 25: = 975 suma: = 1326 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
54 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb dziesiętnych przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie dziewiątkowe liczby 25: = 974 uzupełnienie dziesiątkowe liczby 25: = 975 suma: = 1326 i ostatecznie wynik odejmowania: = 326 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
55 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb binarnych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki =? c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
56 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb binarnych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
57 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb binarnych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie jedynkowe (U1) liczby 0011: = 1100 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
58 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb binarnych przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie jedynkowe (U1) liczby 0011: = 1100 uzupełnienie dwójkowe (U2) liczby 0011: = 1101 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
59 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb binarnych przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie jedynkowe (U1) liczby 0011: = 1100 uzupełnienie dwójkowe (U2) liczby 0011: = 1101 suma: = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
60 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb binarnych przykład odejmowania bez pożyczki =? przekształćmy tak: = uzupełnienie jedynkowe (U1) liczby 0011: = 1100 uzupełnienie dwójkowe (U2) liczby 0011: = 1101 suma: = i ostatecznie wynik odejmowania: = 0111 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
61 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb szesnastkowych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki 7A5B 002C =? c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
62 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb szesnastkowych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki 7A5B 002C =? przekształćmy tak: 7A5B 002C = 7A5B + FFFF 002C c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
63 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb szesnastkowych Odejmowanie liczb i liczby ujemne przykład odejmowania bez pożyczki 7A5B 002C =? przekształćmy tak: 7A5B 002C = 7A5B + FFFF 002C uzupełnienie piętnastkowe (U15) liczby 002C: FFFF 002C = FFD3 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
64 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb szesnastkowych przykład odejmowania bez pożyczki 7A5B 002C =? przekształćmy tak: 7A5B 002C = 7A5B + FFFF 002C uzupełnienie piętnastkowe (U15) liczby 002C: FFFF 002C = FFD3 uzupełnienie szesnastkowe (U16) liczby 002C: FFD3 + 1 = FFD4 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
65 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb szesnastkowych przykład odejmowania bez pożyczki 7A5B 002C =? przekształćmy tak: 7A5B 002C = 7A5B + FFFF 002C uzupełnienie piętnastkowe (U15) liczby 002C: FFFF 002C = FFD3 uzupełnienie szesnastkowe (U16) liczby 002C: FFD3 + 1 = FFD4 suma: 7A5B + FFD4 = 17A2F c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
66 Systemy liczbowe Odejmowanie liczb i liczby ujemne Odejmowanie liczb szesnastkowych przykład odejmowania bez pożyczki 7A5B 002C =? przekształćmy tak: 7A5B 002C = 7A5B + FFFF 002C uzupełnienie piętnastkowe (U15) liczby 002C: FFFF 002C = FFD3 uzupełnienie szesnastkowe (U16) liczby 002C: FFD3 + 1 = FFD4 suma: 7A5B + FFD4 = 17A2F i ostatecznie wynik odejmowania: 17A2F = 7A2F c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
67 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych 1 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Konwersje notacji liczb Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Odejmowanie liczb i liczby ujemne 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Wartości całkowite ze znakiem Rozszerzenie arytmetyczne 3 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Reprezentacja zmiennoprzecinkowa Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych 4 Standardy reprezentacji znaków 5 Przechowywanie danych w pamięci 6 Literatura c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
68 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Standardowa reprezentacja wartości całkowitych bez znaku w komputerze liczby przechowywane są w notacji binarnej z zastosowaniem ściśle określonego standardu reprezentacji c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
69 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Standardowa reprezentacja wartości całkowitych bez znaku w komputerze liczby przechowywane są w notacji binarnej z zastosowaniem ściśle określonego standardu reprezentacji liczby całkowite bez znaku są standardowo reprezentowane w naturalnym kodzie dwójkowym na n bitach jako: [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
70 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Standardowa reprezentacja wartości całkowitych bez znaku w komputerze liczby przechowywane są w notacji binarnej z zastosowaniem ściśle określonego standardu reprezentacji liczby całkowite bez znaku są standardowo reprezentowane w naturalnym kodzie dwójkowym na n bitach jako: [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] ten ciąg bitów reprezentuje wartość dziesiętną n 1 l = b i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
71 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Standardowa reprezentacja wartości całkowitych bez znaku w komputerze liczby przechowywane są w notacji binarnej z zastosowaniem ściśle określonego standardu reprezentacji liczby całkowite bez znaku są standardowo reprezentowane w naturalnym kodzie dwójkowym na n bitach jako: [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] ten ciąg bitów reprezentuje wartość dziesiętną n 1 l = b i 2 i i=0 w komputerze bity liczby przechowywane są w rejestrze o długości n c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
72 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Standardowa reprezentacja wartości całkowitych bez znaku w komputerze liczby przechowywane są w notacji binarnej z zastosowaniem ściśle określonego standardu reprezentacji liczby całkowite bez znaku są standardowo reprezentowane w naturalnym kodzie dwójkowym na n bitach jako: [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] ten ciąg bitów reprezentuje wartość dziesiętną n 1 l = b i 2 i i=0 w komputerze bity liczby przechowywane są w rejestrze o długości n standardowe wartości n to: 8, 16, 32, 64 bity c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
73 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Standardowa reprezentacja wartości całkowitych bez znaku w komputerze liczby przechowywane są w notacji binarnej z zastosowaniem ściśle określonego standardu reprezentacji liczby całkowite bez znaku są standardowo reprezentowane w naturalnym kodzie dwójkowym na n bitach jako: [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] ten ciąg bitów reprezentuje wartość dziesiętną n 1 l = b i 2 i i=0 w komputerze bity liczby przechowywane są w rejestrze o długości n standardowe wartości n to: 8, 16, 32, 64 bity ćwiczenie: określić wartości minimalne i maksymalne, które można przechowywać w rejestrach c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
74 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Reprezentacja wartości całkowitych bez znaku (unsigned) przykładowa deklaracja w języku C unsigned int a; c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
75 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Reprezentacja wartości całkowitych bez znaku (unsigned) przykładowa deklaracja w języku C unsigned int a; zmienna a będzie przechowywać wartości całkowite bez znaku na n = 32 bitach zakodowane w naturalnym kodzie binarnym c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
76 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Reprezentacja wartości całkowitych bez znaku (unsigned) przykładowa deklaracja w języku C unsigned int a; zmienna a będzie przechowywać wartości całkowite bez znaku na n = 32 bitach zakodowane w naturalnym kodzie binarnym zakres wartości , co można zapisać szesnastkowo: 0x do 0xFF FF FF FF c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
77 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem liczby całkowite ze znakiem są standardowo reprezentowane binarnie, ale w kodzie uzupełnienia dwójkowego (U2) na n bitach c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
78 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem liczby całkowite ze znakiem są standardowo reprezentowane binarnie, ale w kodzie uzupełnienia dwójkowego (U2) na n bitach liczba dodatnia: [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
79 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem liczby całkowite ze znakiem są standardowo reprezentowane binarnie, ale w kodzie uzupełnienia dwójkowego (U2) na n bitach liczba dodatnia: [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 liczba ujemna: [1, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = 2 n 1 + b i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
80 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem liczby całkowite ze znakiem są standardowo reprezentowane binarnie, ale w kodzie uzupełnienia dwójkowego (U2) na n bitach liczba dodatnia: [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 liczba ujemna: [1, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = 2 n 1 + b i 2 i i=0 standardowe wartości n to: 8, 16, 32, 64 bity c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
81 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem liczby całkowite ze znakiem są standardowo reprezentowane binarnie, ale w kodzie uzupełnienia dwójkowego (U2) na n bitach liczba dodatnia: [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 liczba ujemna: [1, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = 2 n 1 + b i 2 i i=0 standardowe wartości n to: 8, 16, 32, 64 bity ćwiczenie: określić wartości minimalne i maksymalne liczb całkowitych ze znakiem, które można przechowywać w rejestrach c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
82 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem (signed) przykładowa deklaracja w języku C int a; c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
83 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem (signed) przykładowa deklaracja w języku C int a; zmienna a będzie przechowywać wartości całkowite ze znakiem na n = 32 bitach zakodowane w uzupełnieniu dwójkowym (U2) c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
84 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Reprezentacja wartości całkowitych ze znakiem (signed) przykładowa deklaracja w języku C int a; zmienna a będzie przechowywać wartości całkowite ze znakiem na n = 32 bitach zakodowane w uzupełnieniu dwójkowym (U2) zakres wartości , co można zapisać szesnastkowo: 0x do 0x7F FF FF FF c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
85 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych znak i moduł znak i moduł (ZM) na n bitach c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
86 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych znak i moduł znak i moduł (ZM) na n bitach liczba dodatnia [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
87 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych znak i moduł znak i moduł (ZM) na n bitach liczba dodatnia [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 liczba ujemna: [1, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
88 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych znak i moduł znak i moduł (ZM) na n bitach liczba dodatnia [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej n 2 l = b i 2 i i=0 liczba ujemna: [1, b n 2,..., b 1, b 0 ] o wartości dziesiętnej wada: dwie reprezentacje zera n 2 l = b i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
89 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod spolaryzowany kod spolaryzowany (+N, ang. biased N, excess N) c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
90 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod spolaryzowany kod spolaryzowany (+N, ang. biased N, excess N) przesunęcie N = 2 n 1 1 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
91 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod spolaryzowany kod spolaryzowany (+N, ang. biased N, excess N) przesunęcie N = 2 n 1 1 liczba binarna [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] reprezentuje wartość dziesiętną n 1 l = N + b i 2 i i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
92 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod spolaryzowany kod spolaryzowany (+N, ang. biased N, excess N) przesunęcie N = 2 n 1 1 liczba binarna [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] reprezentuje wartość dziesiętną n 1 l = N + b i 2 i np. ciąg binarny dla N = 127 reprezentuje ujemną liczbę dziesiętną 126 i=0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
93 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod spolaryzowany kod spolaryzowany (+N, ang. biased N, excess N) przesunęcie N = 2 n 1 1 liczba binarna [b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 ] reprezentuje wartość dziesiętną n 1 l = N + b i 2 i np. ciąg binarny dla N = 127 reprezentuje ujemną liczbę dziesiętną 126 i=0 często stosowany jako kod pomocniczy c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
94 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod BCD cyfry liczby dziesiętnej kodowane binarnie c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
95 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod BCD cyfry liczby dziesiętnej kodowane binarnie postać spakowana: bajt przechowuje 2 cyfry dziesiętne c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
96 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod BCD cyfry liczby dziesiętnej kodowane binarnie postać spakowana: bajt przechowuje 2 cyfry dziesiętne postać rozpakowana: bajt przechowuje jedną cyfrę dziesiętną (na 4 młodszych bitach, starsze są zerowe) c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
97 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod BCD cyfry liczby dziesiętnej kodowane binarnie postać spakowana: bajt przechowuje 2 cyfry dziesiętne postać rozpakowana: bajt przechowuje jedną cyfrę dziesiętną (na 4 młodszych bitach, starsze są zerowe) np. liczba 549 w kodzie spakowanym c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
98 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod BCD cyfry liczby dziesiętnej kodowane binarnie postać spakowana: bajt przechowuje 2 cyfry dziesiętne postać rozpakowana: bajt przechowuje jedną cyfrę dziesiętną (na 4 młodszych bitach, starsze są zerowe) np. liczba 549 w kodzie spakowanym i w kodzie rozpakowanym c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
99 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite ze znakiem Inne reprezentacje wartości całkowitych kod BCD cyfry liczby dziesiętnej kodowane binarnie postać spakowana: bajt przechowuje 2 cyfry dziesiętne postać rozpakowana: bajt przechowuje jedną cyfrę dziesiętną (na 4 młodszych bitach, starsze są zerowe) np. liczba 549 w kodzie spakowanym i w kodzie rozpakowanym stosowany np. dla wyświetlaczy c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
100 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Rozszerzenie arytmetyczne Rozszerzenie arytmetyczne rozszerzenie kodu liczby na większą liczbę pozycji c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
101 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Rozszerzenie arytmetyczne Rozszerzenie arytmetyczne rozszerzenie kodu liczby na większą liczbę pozycji liczby bez znaku są rozszerzane zerami na dodatkowych, starszych pozycjach c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
102 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Rozszerzenie arytmetyczne Rozszerzenie arytmetyczne rozszerzenie kodu liczby na większą liczbę pozycji liczby bez znaku są rozszerzane zerami na dodatkowych, starszych pozycjach liczby n-bitowe ze znakiem (reprezentowane w kodzie U2) dodatnia : [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] ujemna : [1, b n 2,..., b 1, b 0 ] są rozszerzane bitem znaku na dodatkowych starszych pozycjach c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
103 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Rozszerzenie arytmetyczne Rozszerzenie arytmetyczne rozszerzenie kodu liczby na większą liczbę pozycji liczby bez znaku są rozszerzane zerami na dodatkowych, starszych pozycjach liczby n-bitowe ze znakiem (reprezentowane w kodzie U2) dodatnia : [0, b n 2,..., b 1, b 0 ] ujemna : [1, b n 2,..., b 1, b 0 ] są rozszerzane bitem znaku na dodatkowych starszych pozycjach np. liczba ujemna 125 reprezentowana na n = 8 bitach jako po zapisie w rejestrze 16. bitowym będzie reprezentowana przez ciąg bitowy c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
104 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Ćwiczenia Rozszerzenie arytmetyczne 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby całkowite (32 bitowe wartości zmiennych typu int) : -64, -66, 129, c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
105 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Rozszerzenie arytmetyczne Ćwiczenia 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby całkowite (32 bitowe wartości zmiennych typu int) : -64, -66, 129, Wyrazić w notacji szesnastkowej następujące liczby bez znaku (32 bitowe wartości zmiennych typu unsigned): 64, 66, 129, c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
106 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Rozszerzenie arytmetyczne Ćwiczenia 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby całkowite (32 bitowe wartości zmiennych typu int) : -64, -66, 129, Wyrazić w notacji szesnastkowej następujące liczby bez znaku (32 bitowe wartości zmiennych typu unsigned): 64, 66, 129, Wyznaczyć największą liczbę całkowitą, którą można zapisać w kodzie U2 za pomocą odpowiednio: 4, 8, 16, 32, 64 bitów. W każdym przypadku podać wzorzec bitowy i szesnastkowy reprezentacji. c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
107 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Rozszerzenie arytmetyczne Ćwiczenia 1 Wyrazić w notacji binarnej następujące liczby całkowite (32 bitowe wartości zmiennych typu int) : -64, -66, 129, Wyrazić w notacji szesnastkowej następujące liczby bez znaku (32 bitowe wartości zmiennych typu unsigned): 64, 66, 129, Wyznaczyć największą liczbę całkowitą, którą można zapisać w kodzie U2 za pomocą odpowiednio: 4, 8, 16, 32, 64 bitów. W każdym przypadku podać wzorzec bitowy i szesnastkowy reprezentacji. 4 Wyznaczyć najmniejszą liczbę całkowitą, którą można zapisać w kodzie U2 za pomocą odpowiednio: 4, 8, 16, 32, 64 bitów. W każdym przypadku podać wzorzec bitowy i szesnastkowy reprezentacji. c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
108 Liczby rzeczywiste 1 Systemy liczbowe Analiza systemów liczbowych Konwersje notacji liczb Dodawanie liczb naturalnych o podstawie r Odejmowanie liczb i liczby ujemne 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych Wartości całkowite bez znaku Wartości całkowite ze znakiem Rozszerzenie arytmetyczne 3 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Reprezentacja zmiennoprzecinkowa Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych 4 Standardy reprezentacji znaków 5 Przechowywanie danych w pamięci 6 Literatura c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
109 Liczby rzeczywiste Notacja stałoprzecinkowa Reprezentacja stałoprzecinkowa system o podstawie r, cyfry liczb: a i D = {0, 1,..., r 1} c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
110 Liczby rzeczywiste Notacja stałoprzecinkowa Reprezentacja stałoprzecinkowa system o podstawie r, cyfry liczb: a i D = {0, 1,..., r 1} liczba [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0.a 1, a 2,..., a k ] ma wartość: l = n 1 i= k a i r i c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
111 Liczby rzeczywiste Notacja stałoprzecinkowa Reprezentacja stałoprzecinkowa system o podstawie r, cyfry liczb: a i D = {0, 1,..., r 1} liczba [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0.a 1, a 2,..., a k ] ma wartość: l = n 1 i= k a i r i rozwinięcie liczby w zapisie dziesiętnym, np = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
112 Liczby rzeczywiste Notacja stałoprzecinkowa Reprezentacja stałoprzecinkowa system o podstawie r, cyfry liczb: a i D = {0, 1,..., r 1} liczba [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0.a 1, a 2,..., a k ] ma wartość: l = n 1 i= k a i r i rozwinięcie liczby w zapisie dziesiętnym, np = rozwinięcie liczby w zapisie binarnym, np = c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
113 Liczby rzeczywiste Notacja stałoprzecinkowa Reprezentacja stałoprzecinkowa system o podstawie r, cyfry liczb: a i D = {0, 1,..., r 1} liczba [a n 1, a n 2,..., a 1, a 0.a 1, a 2,..., a k ] ma wartość: l = n 1 i= k a i r i rozwinięcie liczby w zapisie dziesiętnym, np = rozwinięcie liczby w zapisie binarnym, np = rozwinięcie liczby w zapisie szesnastkowym, np. A5.6C 16 A5.6C 16 = A C 16 2 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
114 Liczby rzeczywiste Notacja stałoprzecinkowa Reprezentacja stałoprzecinkowa konwersja liczby zapisanej w notacji binarnej na szesnastkową polega na zastąpieniu każdej 4 cyfr binarnych jedną cyfrą szesnastkową (na lewo i prawo od przecinka) c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
115 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Notacja stałoprzecinkowa konwersja liczby zapisanej w notacji binarnej na szesnastkową polega na zastąpieniu każdej 4 cyfr binarnych jedną cyfrą szesnastkową (na lewo i prawo od przecinka) np = 2D.6C 16 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
116 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Notacja stałoprzecinkowa konwersja liczby zapisanej w notacji binarnej na szesnastkową polega na zastąpieniu każdej 4 cyfr binarnych jedną cyfrą szesnastkową (na lewo i prawo od przecinka) np = 2D.6C 16 konwersja liczby zapisanej dziesiętnie na notację binarną: konwersja części całkowitej (np. dzielenie przez 2) konwersja części ułamkowej (np. mnożenie przez 2) c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
117 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Konwersja ułamka z notacji dziesiętnej do binarnej jeśli ułamek 0.p pomnożymy przez 2, to 0.p 2 = 0.p 1 + b 1, gdzie b 1 może przyjąć wartość 0 albo 1 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
118 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Konwersja ułamka z notacji dziesiętnej do binarnej jeśli ułamek 0.p pomnożymy przez 2, to 0.p 2 = 0.p 1 + b 1, gdzie b 1 może przyjąć wartość 0 albo 1 ułamek 0.p może więc być przedstawiony jako 0.p = b p c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
119 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Konwersja ułamka z notacji dziesiętnej do binarnej jeśli ułamek 0.p pomnożymy przez 2, to 0.p 2 = 0.p 1 + b 1, gdzie b 1 może przyjąć wartość 0 albo 1 ułamek 0.p może więc być przedstawiony jako 0.p = b p część ułamkowa 0.p 1 może być również przedstawiona jako 0.p 1 = b p c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
120 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Konwersja ułamka z notacji dziesiętnej do binarnej jeśli ułamek 0.p pomnożymy przez 2, to 0.p 2 = 0.p 1 + b 1, gdzie b 1 może przyjąć wartość 0 albo 1 ułamek 0.p może więc być przedstawiony jako 0.p = b p część ułamkowa 0.p 1 może być również przedstawiona jako 0.p 1 = b p a dalej analogicznie ułamek 0.p 2 jako 0.p 2 = b p c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
121 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Konwersja ułamka z notacji dziesiętnej do binarnej jeśli ułamek 0.p pomnożymy przez 2, to 0.p 2 = 0.p 1 + b 1, gdzie b 1 może przyjąć wartość 0 albo 1 ułamek 0.p może więc być przedstawiony jako 0.p = b p część ułamkowa 0.p 1 może być również przedstawiona jako 0.p 1 = b p a dalej analogicznie ułamek 0.p 2 jako... 0.p 2 = b p c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
122 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Konwersja ułamka z notacji dziesiętnej do binarnej jeśli ułamek 0.p pomnożymy przez 2, to 0.p 2 = 0.p 1 + b 1, gdzie b 1 może przyjąć wartość 0 albo 1 ułamek 0.p może więc być przedstawiony jako 0.p = b p część ułamkowa 0.p 1 może być również przedstawiona jako 0.p 1 = b p a dalej analogicznie ułamek 0.p 2 jako 0.p 2 = b p ostatecznie, ułamek 0.p = 0. [b 1, b 2, b 3,...] 0.p = b b b c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
123 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Konwersja ułamka z notacji dziesiętnej do binarnej jeśli ułamek 0.p pomnożymy przez 2, to 0.p 2 = 0.p 1 + b 1, gdzie b 1 może przyjąć wartość 0 albo 1 ułamek 0.p może więc być przedstawiony jako 0.p = b p część ułamkowa 0.p 1 może być również przedstawiona jako 0.p 1 = b p a dalej analogicznie ułamek 0.p 2 jako 0.p 2 = b p ostatecznie, ułamek 0.p = 0. [b 1, b 2, b 3,...] 0.p = b b b a bity b i części ułamkowej 0.p otrzymuje się jako części całkowite kolejnych iloczynów c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
124 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Przykład konwersji ułamka do notacji binarnej ułamek dziesiętny mnożymy przez c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
125 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Przykład konwersji ułamka do notacji binarnej ułamek dziesiętny mnożymy przez otrzymujemy bit b 1 = 0 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
126 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Przykład konwersji ułamka do notacji binarnej ułamek dziesiętny mnożymy przez otrzymujemy bit b 1 = 0 ułamek 0.75 mnożymy przez c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
127 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Przykład konwersji ułamka do notacji binarnej ułamek dziesiętny mnożymy przez otrzymujemy bit b 1 = 0 ułamek 0.75 mnożymy przez otrzymujemy bit b 2 = 1 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
128 Liczby rzeczywiste Reprezentacja stałoprzecinkowa Przykład konwersji ułamka do notacji binarnej ułamek dziesiętny mnożymy przez otrzymujemy bit b 1 = 0 ułamek 0.75 mnożymy przez otrzymujemy bit b 2 = 1 ułamek 0.5 mnożymy przez c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok akad. 2011/ / 56
4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Systemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
Podstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Pracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Techniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
Teoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Pracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Architektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
SYSTEMY LICZBOWE 275,538 =
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Zapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych
Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych System pozycyjny Systemy addytywne znaczenie historyczne Systemy pozycyjne r podstawa systemu liczbowego (radix) A wartość liczby a - cyfra i pozycja
Arytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Cyfrowy zapis informacji. 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2
Cyfrowy zapis informacji 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2 Bit, Bajt, Słowo 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 3 Cyfrowy zapis informacji Bit [ang. binary digit] jest elementem zbioru dwuelementowego używanym
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory
Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory Poniżej pozwoliłem sobie za cytować za wikipedią definicję zmiennej w informatyce.
DYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE
ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5
Technologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010
ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1
Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
LABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Pracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Informatyka kodowanie liczb. dr hab. inż. Mikołaj Morzy
Informatyka kodowanie liczb dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu definicja informacji sposoby kodowania reprezentacja liczb naturalnych i całkowitych arytmetyka binarna arytmetyka oktalna arytmetyka
Arytmetyka stałopozycyjna
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 3. Arytmetyka stałopozycyjna Cel dydaktyczny: Nabycie umiejętności wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach stałopozycyjnych.
SYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Naturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych
Reprezentacja danych w systemach komputerowych Kod (łac. codex - spis), ciąg składników sygnału (kombinacji sygnałów elementarnych, np. kropek i kresek, impulsów prądu, symboli) oraz reguła ich przyporządkowania
Kodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Pracownia Komputerowa wyk ad IV
Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Pracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
RODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax.
RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax 0 0 R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości WE MASZYNA ANALOGOWA WY Informacje cyfrowe U(t) Umaxq Umax R=(U, 2U, 3U, 4U) # # MASZYNA # CYFROWA
Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000
SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości
Stan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Pracownia Komputerowa wyk ad V
Pracownia Komputerowa wyk ad V dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Operacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał
Architektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Wstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Wprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:
Architektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
Podstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Jednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles).
Wykład 1 1-1 Informatyka nauka zajmująca się zbieraniem, przechowywaniem i przetwarzaniem informacji. Informacja obiekt abstrakcyjny, który w postaci zakodowanej moŝe być przechowywany, przesyłany, przetwarzany
System Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny)
SYSTEMY LICZBOWE 1 System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65
Podstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Arytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Systemy liczenia. 333= 3*100+3*10+3*1
Systemy liczenia. System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co oznacza, Ŝe wartość liczby zaleŝy od pozycji na której się ona znajduje np. w liczbie 333 kaŝda cyfra oznacza inną wartość bowiem: 333=
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Liczby zmiennoprzecinkowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW 17.11.2010 Liczby zmiennoprzecinkowe Sprawa bardzo podobna jak w systemie dziesiętnym po przecinku mamy kolejno 10-tki do ujemnych potęg, a w systemie binarnym mamy 2-ki w ujemnych
Pozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Systemem liczenia systemach addytywnych !!" Pozycyjny system liczbowy podstawą systemu pozycyjnego
Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Podstawą systemów liczenia są systemy liczbowe
Systemy liczbowe używane w technice komputerowej
Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.
Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Pojęcie liczebności Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Cyfrowy zapis informacji
F1-1 Cyfrowy zapis informacji Alfabet: uporządkowany zbiór znaków, np. A = {a,b,..., z} Słowa (ciągi) informacyjne: łańcuchy znakowe, np. A i = gdtr Długość słowa n : liczba znaków słowa, np. n(sbdy) =
Wstęp do Informatyki. Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery
Wstęp do Informatyki Reprezentacja liczb w komputerze Arytmetyka stało- i zmiennoprzecinkowa Przechowywanie danych pliki i foldery Pozycyjne systemy liczbowe Dziesiętny system liczbowy (o podstawie 10):
Wstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Pojęcie liczebności Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Podstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Podstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
Wstęp do informatyki- wykład 1
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Programowanie w C++ Wykład 2. Katarzyna Grzelak. 5 marca K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 41
Programowanie w C++ Wykład 2 Katarzyna Grzelak 5 marca 2018 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 41 Reprezentacje liczb w komputerze K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 2 / 41 Reprezentacje
Adam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Technika Cyfrowa i Mikroprocesorowa
Technika Cyfrowa i Mikroprocesorowa Prowadzący przedmiot: Ćwiczenia laboratoryjne: dr inż. Andrzej Ożadowicz dr inż. Andrzej Ożadowicz dr inż. Jakub Grela Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe 20.10.2010 System Zakres znaków Przykład zapisu Dziesiętny ( DEC ) 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 255 DEC Dwójkowy / Binarny ( BIN ) 0,1 11111 Ósemkowy ( OCT ) 0,1,2,3, 4,5,6,7
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system
Reprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Prefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit)
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego
Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia
Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej
Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej 1. Pozycyjne systemy liczbowe 2. Zasady zapisu liczb w pozycyjnych systemach liczbowych 3. Podstawowe działania na liczbach binarnych 4. Liczby
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym możemy przedstawić jako następująca
Technologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki
Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych 1 Część 1 Dlaczego system binarny? 2 I. Dlaczego system binarny? Pojęcie bitu Bit jednostka informacji
PODSTAWY INFORMATYKI. Informatyka? - definicja
PODSTAWY INFORMATYKI Informatyka? - definicja Definicja opracowana przez ACM (Association for Computing Machinery) w 1989 roku: Informatyka to systematyczne badanie procesów algorytmicznych, które charakteryzują
1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Programowanie w C++ Wykład 2. Katarzyna Grzelak. 4 marca K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44
Programowanie w C++ Wykład 2 Katarzyna Grzelak 4 marca 2019 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44 Na poprzednim wykładzie podstawy C++ Każdy program w C++ musi mieć funkcję o nazwie main Wcięcia
B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:
Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka
Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.
Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka