Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania nieliniowego Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Szczecin 2011 Opracował: Dr inż. Artur Berliński >33<
Programowanie nieliniowe Programowaniem nieliniowym nazywamy zadanie optymalizacyjne postaci: gdzie przynajmniej jedna z funkcji f,g lub h nie jest funkcją liniową. W przeciwieństwie do programowania liniowego, gdzie uniwersalną metodą rozwiązywania jest algorytm simpleks, nie ma ogólnej metody rozwiązywania programów nieliniowych. Metoda rozwiązywania zależy tu od postaci, jaką przyjmuje zadanie. Spośród dostępnych metod szczególnie przydatne praktycznie są metody kierunkowe - dwufazowe zaliczane do metod algorytmicznych. Metoda dwufazowa przetwarza jeden punkt roboczy x(t), - (t) jest numerem iteracji metody. W każdej iteracji, wykonywane są dwie fazy: 1) wybór kierunku poprawy d(t), 2) minimalizacja w kierunku poprawy, tzn. minimalizacja funkcji jednej zmiennej, będącej przekrojem funkcji celu w kierunku d(t), wyprowadzonym z punktu roboczego x(t); wynikiem minimalizacji jest punkt, jeśli nie jest spełnione kryterium zatrzymania (warunek konieczny i wystarczający istnienia minimum), to nowym punktem roboczym x(t+1) staje się punkt 1) i następuje przejście do pkt x 2 d 1 Minimum na kierunku (d 1 ) d 2 x(2) x(1) x 1 >34<
Metody dwufazowe optymalizacji nieliniowej wykorzystuje się w dodatku Microsoft Excel Solver, w szczególności metody: gradientu sprzężonego (GRG Generalized Reduced Gradient) oraz Newtona, opracowane przez Leon Lasdoii z University of Texas w Austin oraz Allan Waren z Cleveland State University. Wykorzystanie odpowiedniej metody wymaga zaznaczenia właściwego pola wyboru w opcjach narzędzia Solver. Problemy do rozwiązania w ramach ćwiczeń laboratoryjnych Zadanie 1 Znaleźć dwie nieujemne liczby, dla których sumą jest 9, a iloczyn pierwszej liczby i drugiej liczby do kwadratu jest maksymalny. Zadanie 2 Przedsiębiorstwo przemysłowe korzysta z dwóch bocznic: własnej i PKP. Koszty (w tyś zł) związane z postojem wagonów na bocznicach wyraża następująca funkcja: gdzie: t 1 >0 - czas trwania wyładunku na bocznicy własnej. t 2 > 0 - czas trwania wyładunku na bocznicy PKP. Pociągi towarowe wożące surowce do przedsiębiorstwa mają w swym składzie 100 wagonów. Dzienna zdolność przeładunkowa bocznicy własnej wynosi 10 wagonów, a bocznicy PKP 20 wagonów. Jak należy rozdzielić wagony między obie bocznice, aby koszt związany z postojem był możliwie najniższy? Ile dni wobec tego będzie trwał wyładunek na bocznicy własnej, a ile na bocznicy PKP? Podać koszt postojowego przy optymalnym rozłożeniu wagonów między obie bocznice. >35<
(Zakładając, że postojowe liczy się do momentu zakończenia wyładunku ostatniego z wagonów na każdej z bocznic). Zadanie 3 Elektrownia składa się z dwóch wydziałów: wydziału produkcyjnego parę i wydziału produkującego energię elektryczną. Zależność między wydziałami przedstawiona jest na rysunku. Wyprodukowanie 1 tony pary wymaga 2100 zł. środków finansowych, 0,4 t węgla brunatnego i 0,045 MWh energii elektrycznej, zaś 1 MWh 6000 zł. środków finansowych 5 t pary wodnej. Jedna tona węgla kosztuje 4000 zł., zaś cena sprzedaży 1 t pary wodnej wynosi 6000 zł., q 1 MWh 40000 zł. Określić plan produkcji elektrowni zapewniający maksymalny zysk, jeżeli zasoby środków finansowych wynoszą 600000 zł., a węgla brunatnego 800 t. Sformułować problem optymalizacyjny. Zadanie 4 Optymalizacja konstrukcji zbiornika Transport 1000 m chemikaliów musi być zrealizowany w szczelnych, prostopadłościennych pojemnikach. Należy tak ustalić wymiary zbiornika, aby zminimalizować łączne koszty koszty przedsięwzięcia. Pojemnik na chemikalia: Budowa pojemnika: o Materiał na górną powierzchnię kosztuje 30 $/m" o Boki A kosztują 20 $/m 2 o Boki B i Dno muszą być wykonane z odpadów, które nic nie kosztują, ale można je użyć tylko w ilości 10 nr na pojemnik o Transport kosztuje 2 $ od pojemnika >36<
Zadanie 5 Optymalizacja kształtu budynku Określić wymiary budynku d, l, w, h, n tak aby zminimalizować koszt zagłębienia w ziemi (koszty wykopu). Część nadziemna i podziemna projektowanego budynku: Oznaczenia: n - liczba pięter d - zagłębienie w ziemi h - wysokość ponad ziemią l - długość podstawy w - szerokość podstawy Założenia projektowe: powierzchnia użytkowa nie mniejsza niż 20 000 m 2 podstawa w żadnym wymiarze nie przekroczy 50 m, stosunek długości do szerokości musi wynośić 1,618 wysokość pięter 3.5 m, koszty ogrzewania nie mogą przekroczyć 225 000$ przy założeniu, że roczne koszty ogrzewania wynoszą 100$ od m 2 budynku ponad powierzchnią ziemi. >37<