Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011
Analiza czestotliwościowa sygnałów dyskretnych Do tej pory - dwie metody analizy częstotliwościowej sygnałów szereg Fouriera - do analizy periodycznych ciagłych funkcji czasu; wynik - przeliczalny ciag współczynników transformata Fouriera - całkowe przekształcenie, zamienia ciagł a funkcję czasu na ciagła funkcję częstości powyższe metody - choć daja wyniki analityczne - uciażliwe w stosowaniu, o sporej złożności najbardziej popularne podejście - analiza numeryczna z wykorzystaniem komputerow i specjalizowanych układów mikroprocesorów (DSP - digital signal procesor) podstawowe narzędzie analityczne - dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT) zanim to zrobimy, wprowadźmy pojęcie transformaty Fouriera sygnału dyskretnego (DTFT - discrete time Fourier transform)
Definicja DTFT Niech x[nt s ] dyskretny sygnał wynik okresowego próbkowania sygnału w chwilach n T s, gdzie T s - odstęp czasowy między próbkami zwykłe (proste) przekształceniem Fouriera sygnału dyskretnego (DTFT) określamy wzorem: X(e jωts ) = n= x(nt s )e jnωts transformata DTFT przyporzadkowanie sygnałowi dyskretnemu x(nt s ) ciagłej funkcji zespolonej X(e jωts ) zmiennej rzeczywistej ω zwyczajowo (by podkreślić dyskretność sygnału) argument tej funkcji zapisujemy jako e jωts (zamiast ω). funkcja X(e jωts ) - okresowa funkcja zmiennej ω o okresie ω s = 2π/T s. Powód: dla ω + ω s wykladnik eksponenty ulega zwiększeniu o 2πni co pociaga tezę.
Własności DTFT Okresowość widm podstawowa cech sygnałów dyskretnych. Inny opis spróbkowanego sygnału analogowego - traktujemy go jako ciagły sygnał analogowy, widmo ciagła transformata Fouriera X δ (jω) = x δ (t)e jωt dt = x(t) n= δ(t n t)e jωt dt = n= x(n t)e jnω t dokładnie równoważne formule DTFT. Często DTFT rozpatruje się nie jako funkcję pulsacji ω tylko pulsacji θ unormowanej względem okresu próbkowania T s, θ = ωt s (lub częstotliwości próbkowania f s, θ = ω/f s ). W tych zmiennych widmo to funkcja okresowa o okresie 2π. DTFT jako funkcja pulsacji unormowanej: X(e jθ ) = n= x(n)e jnθ
Od DTFT do DFT Odwrotne przekształcenie DTFT: x(n) = 1 2π π π X(e iω )e inω dω Typowe zagadnienie analizy widmowej sygnał dostępny w skończonym przedziale czasowym [0, T] próbkowany z ustalonym odstępem czasowym T s w chwilach t n = n T s, n = 0, 1,... N 1; gdy czas w jednostkach T s to x(t n ) x(n) o skończonym czasie trwania N = T/T s - dyskretny sygnał okresowy o okresie N : x(n + N) = x(n) DFTF wymaga znajomości -wielu próbek; daje periodyczne widmo ciagłe idea DFT - weźmy skończony zbiór próbek czasowych sygnału i ma jego podstawie określmy widmo w skończonej ilośći wartości pulsacji (częstotliwości)
Definicja DFT DFT: w oparciu o dyskretny zbiór N próbek sygnału czasowego x(n) określamy przepis na widmo X dla N dyskretnych wartości pulsacji unormowanej θ n widmo X(e jθ ) okresowa funkcja zmiennej θ o okresie 2 π wystarczy określić je o przedziale [0, 2π); obliczamy widmo X(e jθn ) dla θ n = 2π N n to prowadzi do formuły na dyskretna transformatę Fouriera (DFT): X(e jθ k ) = X(k) = oraz relacji odwrotnej : x(n) = 1 N N 1 k=0 N 1 n=0 x(n)exp( j 2π N kn) X(k)exp(j 2π N nk)
Własności DFT Okresowość: X(k + N) = X(k) Dowód: dla każdego składnika sumy wyznaczjacej X(k) od indeksu k (numerujacego próbkę częstości) zależy tylko czynnik fazowy F(k, n) = exp( j 2π N kn). Spełnia on relację: F(k + N, n)= exp( j 2π 2π N (k + N)n)=exp( j N kn) exp( j 2π N Nn) = F(k, n)exp( j2πn) = F(k, n). To pociaga za soba okresowość widma. Symetria DFT dla rzeczywistych sygnałów: gdy x(n) = x(n), to X(k) = X (N k) Dowód: dla rzeczywistych x(n) mamy: X(k) = N 1 x(n)exp( j 2π N nk) = [N 1 x(n)exp(j 2π N nk)] = X ( k). n=0 n=0 Z tej relacji oraz z okresowości widma mamy: X (N k) = X (N k N) = X ( k) = X(k) Gdy x(t) rzeczywiste, a N parzyste, to mamy: X( N 2 + k) = X ( N 2 k)
Parametry DFT dziedzina czasowa: ilość N próbek czasowych, odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi próbkami T s, długość sygnału (N 1) T s, okresowość danych czasowych T = NT s dziedzina częstotliwości: maksymalna częstość - zadana przez maksymalna wartość pulsacji unormowanej: 2π = θ max = ω max T s = 2πf max T s f max = 1 T s ; dodatkowo musimy uwzględnić symetrię sygnału, co daje: F max = 1 2 T s odległość między kolejnymi prażkami widma f s = f max 1/N = 1/(NT s ) = 1 T, okresowość spektrum F p = Nf s = 1/T s
Własności DFT - c.d. Dla rzeczywistych danych x(n): N wartości prażków (liczb zespolonych) jest zadanych przez N liczb rzeczywistych (symetria względem N/2) zerowy prażek widma rzeczywisty i równy X(0) = N 1 x(n) n=0 Liniowość: DFT(a x(n) + b y(n)) = a DFT(x(n)) + b DFT(y(n)) Własność splotu: niech X(k), Y(k) widma DFT sygnałów x(k), y(k), niech Z(k) = X(k)Y(k). Wtedy, gdy określimy z(n) jako IDFT widma Z(k), to dostajemy: x(m) = N 1 x(n)y(m n), czyli widmo DFT splotu n=0 czasowego dwóch dyskretnych sygnałów N-okresowych jest równe iloczynowi ich widm DFT Własność iloczynu: widmo DFT iloczynu = splot widm
DFT jako aproksymacja FT DFT może być użyta jako aproksymacja ciagłej transformaty dla transformaty wyrażonej jako funkcja częstotliwości mamy, sygnału kauzalnego (x(t) = 0 dla t < 0) mamy: X(f) = x(t)e j2πft dt 0 zastępujemy wielkości ciagłe próbkowanymi wielkościami dyskretnymi: t nt s, dt T s, f kf s = k NT s co prowadzi do: X( k N 1 2πf j ) = T s x(nt s )e N nk NT s n=0 tak można uzyskać niezłe przybliżenie widma amplitudowego funkcji szybko spadajacej problemy z widmem fazowym
Definicja układów LTI Układ - obiekt - czarna skrzynka na której wejście podaje się sygnał wejściowy x (pobudzenie) a z wyjścia pobiera sygnał wyjściowy y (odpowiedź Opis transmisyjny: układ operator T wykonujacy pewna operację na sygnale y = T[x] Niech X - zbiór dopuszczalnych wejść, Y - zbiór dopuszczalych wyjść - dziedzina i zbiór wartości operatora T. gdy X, Y sygnały ciagłe w czasie - układy analogowe gdy X, Y sygnały dyskretne w czasie - uklady dyskretne szczególna grupa układów - układy LTI, czyli układy: liniowe: T[ax + by] = at[x] + bt[y] stacjonarne (niezmienne w czasie): jezeli odpowiedzia na x(t) jest y(t), to odpowiedzia na x(t t 0 ) jest y(t t 0 )
Analogowe układy LTI Działanie analogowych układów LTI: opis w dziedzinie czasu: y(t) = h(τ)x(t τ)dτ; h(t) - odpowiedź impulsowa odpowiedź układu na impuls Diraca: y(t) = h(τ)δ(t τ)dτ = h(t) uzasadnienie: x(t) = x(τ)δ(t τ)dτ x(t) y(t), prawa strona to suma przesuniętych w czasie (t τ) i przeskalowanych w amplitudzie (* x(τ)) sygnałów δ(t) - z liniowości i stacjonarności dostajemy prawa stronę górnej relacji opis w dziedzinie częstotliwości: Y(ω) = H(ω)X(ω), dla impulsu Diraca Y(ω) = H(ω) (ω) = H(ω)
Projekt układu, transmitancja Jak dobrać h(t)? Odpowiedz w dziedzinie częstotliwości: Wiemy, że Y(ω) = H(ω)X(ω) Zasada: gdy chcemy osłabić sygnał dla pulsacji ω kladziemy H(ω) 0, gdy dana pulsację przepuszczamy kładziemy H(ω) = 1 układy LTI - w dziedzinie czasu opisywane przez liniowe równania różniczkowe: N n=0 a n d n y(t) dt n = M m=0 b m d m x(t) dt m Ważna własność transformaty Fouriera: gdy x(t) X(ω), (iω) n X(ω) to dm x(t) dt m
Projekt układu, transmitancja c.d. Ostatnia relacja daje równanie na transformaty: N a n (iω) n Y(ω) = n=0 M b m (iω) m X(ω) m=0 Skad - transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej (transmitancja Fouriera) H(ω) = Y(ω) X(ω) = M m=0 b m (iω) m N a n (iω) n n=0 Projekt ukladu - określenie rzędów równań M, N oraz stałych a i, b j
Metodologia projektowania Transmitancja Fouriera - ułamek, którego licznik i mianownik - wielomiany zmiennej (iω) nazywam: z 1, z 2,...,z M miejsca zerowe licznika transmitancji (zera transmitancji), zaś p 1, p 2,..., p N miejsca zerowe mianownika transmitancji (bieguny transmitancji) W tym języku mamy: H(ω) = Y(ω) X(ω) = b M(iω z 1 )(iω z 2 )...(iω z M ) b N (iω p 1 )(iω p 2 )... (iω p N ) 12 10 8 Im s 6 4 2-12 -10-8 -6-4 -2 0 2 Re s
Metodologia projektowania c.d. Zasady projektowania by wyzerować transmitancję dla pewnej pulsacji ω dobieramy parametry tak by jednen z czynników (iω z m ) był równy 0 dla tej wartości ω podobnie wzmocnienie gdy w interesujacym nas obszarze jest jeden z biegunów transmitancji 20 0 18-2 16 H(ω)=(z0-iω)/(p k -iω) -4 20 log 10 H(ω) 14 12 10 8 z0=-10+i*10 p k =-10+i*ω k ω k 1 2 4 6 10 20 log 10 H(ω) -6-8 -10-12 H(ω)=(z k -iω)/(p 0 -iω) p0=-10+i*10 z k =-10+i*ω k ω k 1 24 6 4-14 -16 6 10 2-18 0 0.1 1 10 100 1000 ω [rd/s] -20 0.1 1 10 100 1000 ω [rd/s]
Metodologia projektowania c.d. Projekt - ustalenie N, M, pozycji zer i biegunów transmitancji Ograniczenia projektowe - stabilność (odpowiedź na sygnałem o ograniczonej amplitudzie ma być sygnał o ograniczonej amplitudzie) rzad mianownika conajmniej równy rzędowi licznika N M gdy współczynnki a i, b j rzeczywiste bieguny i zera występuja jako sprzężone pary zera transmitancji - moga być wszędzie bieguny transmitancji tylko w lewej półpłaszczyźnie (Re omega)<0 Sprawdzenie - obliczenie transmitancji wzdłuż osi urojonej wszystkich charakterystyk układu wyliczenie odpowiedzi impulsowej jako odwrotnej transformaty Fouriera transmitancji
Warunki stabilności Założenie - transmitancja ma rozład na sumę składników z jednym biegunem (czyli bieguny sa jednokrotne) postać transmitancji: H(ω) = b M a N ( c1 iω p 1 + c 2 iω p 2 + + parametryzacja biegunów p k = σ k + iω k Transformata odwrotna: h(t) c k e (σ k+iω)t lub: h(t) + h e σt cos(ωt + β) w obu przypadkach gdy σ > 0 - niestabilność c N iω p N )
Asymptotyka transmitancji Gdy ω z k oraz ω p k, to dostajemy: 20log 10 (H(ω)) = 20log 10 b M a N + M N 20log 10 ω 20log 10 ω m=1 asymptotycznie (dla dużych pulsacji): każde zero transmitancji - wzrost nachylenia charakterystyki amplitudowej o 20 db/dekadę każdy biegun transmitancji - spadek nachylenia charakterystyki amplitudowej o 20 db/dekadę n=1 wykresy charakterystyki amplitudowej (w db) w funkcji logarytmu pulsacji - wykresy Bodego
Przyklad pojektowania metoda zer i biegunów Zadanie - zaprojektować filtr górnoprzepustowy Analiza - wymagania: - filtr górnoprzepustowy - asymptotycznie (duże pulsacje) nachylenie charakterystyki powinno dażyć do zera = taka sama liczba zer co biegunów - pulsacja ω = 0 ma nie przechodzić = punkt z 1 = (0, 0) powinien być zerem transmitancji górnoprzepustowość = zera transmitancji rozmieszczone na osi urojonej w okolicy z = (0, 0) każde zero skompensowane leżacym w pobliżu biegunem dla małych pulsacji - osłabienie 3 3 2 2 1 1 Im(s) 0 Im(s) 0-1 -1-2 -2-3 -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0-3 -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 Re(s) Re(s)
Przyklad pojektowania metoda zer i biegunów Wyniki - zależność od rzędu modelu 3 0 Im(s) 2 1 0-1 -2 20 log 10 H(ω) -10-20 -30-40 -50-60 -3-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 Re(s) -70 0.1 1 10 100 1000 ω [rd/s] -80-90 -100 0-10 -20 20 log 10 H(ω) -110-120 -130-140 -150-160 10 100 1000 10000 100000 ω [rd/s] 20 log 10 H(ω) -30-40 -50-60 -70-80 -90 0.1 1 10 100 1000 ω [rd/s]
Metoda zer i biegunów - podsumowanie Metoda intuicyjnie prosta, ale o małej wydajności Wymaga wielu prób, brak deterministycznego algorytmu prowadzacego do poprawy rozwiazania Trudno uzyskać rozwiazania spełniajace wymagania: liniowość pasma przepuszczania duże tłumienie w paśmie zaporowym duża stromość zboczy charaktrystyk amplitudowo-częstotliwościowych Bardziej wydajne podejście - stosowanie modeli (aproksymacji) filtrów (np. Butterwortha, Czebyszewa I, Czebyszewa II, eliptyczny. wybór prototypu - narzucenie rozkladu zer i biegunów transmitancji wstępne określenie charakterystyk filtra Istotny element procesu projektowania - transformacja częstotliwości, która pozwala na transformację wybranego typu filtra (który umiemy zaprojektować) na taki, który jest wymagany.