Metoda DEA w ocenie efektywności gospodarczej

Adam Kucharski Metoda DEA w ocenie efektywności gospodarczej Wydanie 2 Łódź 2014 ISBN 978-83-934591-2-4

Spis treści 1. Podstawowe pojęcia......................................... 3 1.1. Czym jest efektywność i jak ją mierzyć?............................ 3 1.2. Programowanie ilorazowe.................................... 7 2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli...................... 10 2.1. Model CCR............................................ 10 2.2. Inne typy modeli DEA...................................... 14 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA............................. 24 3.1. Technologia w modelach DEA................................. 24 3.2. Analizy wynikające bezpośrednio z optymalizacji....................... 26 3.3. Ranking obiektów a superefektywność............................. 29 3.4. Dynamika zmian w modelach DEA............................... 32 3.5. Wpływ własności danych empirycznych na wyniki modelu CCR.............. 38 4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów........................... 40 4.1. Nadwyżki efektów i niedobory nakładów w zadaniu standardowym............. 40 4.2. Model z karami za luzy nakładów i efektów.......................... 42 5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną....................... 46 5.1. Model efektywności nieradialnej................................ 46 5.2. Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną..................... 47 6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA................. 51 6.1. Arkusz kalkulacyjny....................................... 51 6.2. Pakiet EMS............................................ 52 6.3. DEA w środowisku R...................................... 55

1. Podstawowe pojęcia 1.1. Czym jest efektywność i jak ją mierzyć? Badania dotyczące efektywności obejmują zazwyczaj efekty działalności osiągane przy ustalonych nakładach lub zajmują się wykorzystaniem nakładów pozwalających na osiągnięcie zakładanych efektów. Samuelson i Nordhaus głoszą pogląd, że efektywność jest być może głównym przedmiotem ekonomii najogólniej rzecz ujmując jest ona brakiem marnotrawstwa. Zgodnie z tym gospodarka działa efektywnie, jeżeli nie można zwiększyć wielkości produkcji danego dobra bez zmniejszenia produkcji innego, co jest tożsame z osiągnięciem krawędzi możliwości produkcyjnych. Podstawowe relacje efektywnościowe to: wydajność pracy, produktywność majątku trwałego, efektywność inwestycji, materiałochłonność i energochłonność produkcji. Wyrazem poprawy efektywności ekonomicznej jest wzrost 3 pierwszych relacji i obniżenie się 2 pozostałych. Efektywność ekonomiczną można rozpatrywać w mikroskali w odniesieniu do całego przedsiębiorstwa lub do jednego z czynników produkcji zaangażowanych w jednym przedsiębiorstwie, albo w makroskali, tzn. w odniesieniu do całej gospodarki narodowej. Efektywność obiektów funkcjonujących w gospodarce bada się rożnymi metodami zaliczanymi do jednej z trzech grup: metod klasycznych np. wykorzystanie wskaźników finansowych; metod parametrycznych np. modeli ekonometrycznych; metod nieparametrycznych np. DEA. Ostatnie z wymienionych nie wymagają wcześniejszej znajomości parametrów, które wyrażają związek między efektami a nakładami. Nakłady umożliwiają osiągnięcie pewnych efektów 1 z prowadzonej działalności przy czym ani jedne, ani drugie nie muszą być wyrażone w jednostkach pieniężnych czy fizycznych. Co więcej, już wkrótce okaże się, że poszczególne nakłady i efekty mogą zostać wyrażone w dowolnych, odpowiadających nam jednostkach. W przypadku problemów z odróżnieniem nakładów od efektów należy sprawdzić czy zwiększenie danej wielkości doprowadzi do zwiększenia efektów. Jeśli tak, mamy do czynienia z nakładem. Przez efektywność technologiczną rozumieć będziemy sprawność z jaką nakłady przekształcane są w efekty zaś przez technologię danego obiektu rozumiemy wektor empirycznych nakładów i efektów. Jeden obiekt jest bardziej efektywny od drugiego jeśli przy nie większych od drugiego nakładach uzyskuje nie mniejsze efekty. Postuluje się, aby wskaźnik efektywności spełniał następujące założenia: 1. powinien zawierać się w przedziale 0,1 ; 2. wyższa wartość powinna oznaczać wyższą efektywność; 1 Guzik w swojej książce w miejsce terminu efekty używa rezultaty. Jest jednak w swych poglądach odosobniony i w pozostałej polskojęzycznej literaturze pisze się o efektach. Tak też i my będziemy czynić.

4 1. Podstawowe pojęcia 3. powinien określać przynajmniej efektywność względną w danym zbiorze obiektów. Są oczywiście sytuacje kiedy powyższe postulaty trudno spełnić. Na przykład stopa zwrotu może być ujemna lub wyższa niż 1. Zwykle jednak odpowiednie przekształcenia pozwalają doprowadzić wskaźnik do postaci zgodnej z naszymi oczekiwaniami. Sam wskaźnik to po prostu iloraz efektów podzielonych przez nakłady. W swojej najbardziej klasycznej formie jest to jeden efekt podzielony przez jeden nakład. Metoda DEA pozwala znieść to ograniczenie i włączyć do wskaźnika kilka efektów oraz kilka nakładów jednocześnie. Wtedy wskaźnik efektywności jest ilorazem łącznej wartości efektów przez sumę wartości nakładów. Aby jednak ustalić wartość licznika i mianownika należy wycenić jednostkę efektu oraz jednostkę nakładu. Tym właśnie zajmuje się metoda DEA. Jeżeli mamy do czynienia z jednym efektem i kilkoma nakładami (lub jednym nakładem i kilkoma efektami) możemy zbudować model ekonometryczny. Wykorzystywanie jednocześnie wielu efektów i nakładów, zwłaszcza jeśli te same nakłady wykorzystuje się do osiągnięcia kilku efektów, uniemożliwia analizę ekonometryczną ponieważ nie możemy jednoznacznie ustalić bezpośredniego wpływu danego cząstkowego nakładu na osiągnięcie danego efektu. Zawodzi też tradycyjna analiza wskaźnikowa bo przyjęte standardy rachunkowości nie są wystarczająco szczegółowe. Guzik podaje następujący przykład. Chcemy ustalić efektywność uczelni wyższej. Dysponujemy danymi na temat majątku trwałego uczelni, liczby studentów stacjonarnych, liczby doktorantów oraz profesorów. Jeżeli podzielimy wartość majątku np. przez liczbę studentów nie uzyskujemy wcale wskaźnika efektywności ponieważ ten sam majątek wykorzystywany jest również na obsługę doktorantów i profesorów. Aby policzyć wskaźnik efektywności w sensie jaki opisaliśmy go powyżej należałoby wiedzieć jaka część majątku trwałego przypada tylko i wyłącznie na obsługę studentów czego po prostu nie jesteśmy w stanie określić. Jedyne czym dysponujemy to całkowite wielkości efektów i nakładów i to nam musi wystarczyć. Efekt (Y) O4 O5 O3 O1 O2 Nakład (X) Rysunek 1.1. Nakłady i efekty w sensie Pareto Podstawy teorii efektywności ekonomicznej w warunkach konkurencji doskonałej sformułował włoski ekonomista Pareto. Głosi ona, iż warunki efektywności są spełnione tylko wtedy, gdy nie można zwiększyć użyteczności jednego podmiotu (obiektu), nie obniżając jednocześnie użyteczności innego. Załóżmy, ] że mamy do] czynienia z dwoma obiektami O1 i O2 opisanymi technologiami t 1 = [x 1 y 1 i t 2 = [x 2 y 2. Obiekt O1 jest w sensie Pareto bardziej efektywny od obiektu O2 jeżeli przy nie większych nakładach (x 1 x 2 ) uzyskuje nie mniejsze efekty

1.1. Czym jest efektywność i jak ją mierzyć? 5 (y 1 y 2 ) przy czym jeżeli wszystkie nakłady są równe to przynajmniej jeden efekt w obiekcie O1 jest większy lub jeśli wszystkie efekty są równe to przynajmniej jeden nakład w O2 jest mniejszy. Choć efektywność Pareto pozwala wskazać, które obiekty są efektywne to nie pozwala zmierzyć skali ich efektywności. Na rysunku 1.1 znalazło się pięć obiektów różniących się nakładami i efektami. Obiekt O2 jest mniej efektywny od O1 ponieważ osiąga ten sam efekt wykorzystując do tego wyższy nakład. Jest też mniej efektywny względem O4 gdyż przy tym samym nakładzie jego efekt jest niższy. Z kolei obiekt O4 jest efektywny względem O3. Pomimo, że zużywa on większą ilość nakładu wytwarza też większy efekt. Spośród obiektów na rysunku 1.1 efektywne w sensie Pareto są: O1, O3, O4 i O5. Debreu i Farell sformułowali definicję produktywności p jako stosunek pojedynczego efektu Y do pojedynczego nakładu X, czyli: p = Y X Propozycja Farrella przedstawia czystą efektywność techniczną odpowiadającą na pytanie czy dany obiekt znajduje się na krzywej możliwości produkcyjnych czy nie. Możliwe więc stawało się wyznaczenie maksymalnej wartości efektów osiąganych przy określonych kombinacjach nakładów lub minimalnej ilości tychże nakładów koniecznej do osiągnięcia zakładanych z góry efektów. Był tylko jeden problem, a mianowicie brak znajomości postaci funkcji. Tu z pomocą przychodzi metoda DEA. Niech T = [ x ] [ y oznacza technologię ze zbioru technologii dopuszczalnych, zaś ˆT = ˆx technologię dopuszczalną za pomocą której można uzyskać efekt ŷ y przy możliwie najmniejszych nakładach nieprzekraczających nakładów proporcjonalnych do x czyli ˆx θx (θ (0,1 ). Przynajmniej dla jednej składowych obu wektorów zachodzi [ ostra ] nierówność. Efektywnością Farrella-Debreu dla technologii T = x y nazywamy taki wskaźnik θ [ ] (0,1, dla którego nakłady technologii dopuszczalnej ˆT = ˆx y minimalizującej nakłady dla osiągnięcia efektu y wynoszą ˆx θx. Wyznaczony wskaźnik efektywności Farrella ˆθ można interpretować jako krotność do jakiej obiekt powinien zmniejszyć obecne nakłady, aby uzyskać 100-procentową efektywność. Przykładowo jeżeli ˆθ = 0,8 to oznacza to iż dla uzyskania 100-procentowej efektywności dany obiekt powinien zmniejszyć ponoszone nakłady proporcjonalnie do 20% ich obecnego poziomu a więc do 0,7x. Efektywność Farrella-Debreu jest efektywnością radialną opiera [ się ] na tzw. liniowym promieniu technologicznym. Promieniem technologicznym technologii x y nazywamy półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez punkt x. Promień technologiczny określa zbiór relacji między nakładami niezbędnych do uzyskania efektów y. Wykres na rysunku 1.2 ilustruje zmiany efektywności dokonujące się proporcjonalnie wzdłuż promienia technologicznego. Technologia obiektu znajdującego się w punkcie A wykorzystuje nakłady empiryczne (faktycznie zaobserwowane). Z kolei w punkcie B występują minimalne (optymalne) nakłady, które wystarczyłoby wykorzystać, aby osiągnąć dotychczasowy efekt.strzałka narysowana przerywaną linią pokazuje kierunek proporcjonalnych zmian nakładów dokonujący się właśnie wzdłuż promienia technologicznego. Przyjmijmy, że współrzędne obu punktów (czyli poziomy nakładów X 1 ] ŷ

6 1. Podstawowe pojęcia X 2 x 2 A x x 2 B x x 1 x 1 X 1 Rysunek 1.2. Zmiany efektywności dla promienia technologicznego i X 2 ) są następujące: A=(25,50) zaś B=(5,10). Wówczas współczynnik efektywności Farrella wynosi θ = 5/25 = 0,2. Oznacza to, że technologia z punktu B pozwala na osiągnięcie bieżącego efektu przy pomocy 20% aktualnych nakładów tego obiektu. Tym samym powiemy, że efektywność technologii z punktu A wynosi tylko 20%. Przykład oceny efektywności. Pewne przedsiębiorstwo tworzą trzy zakłady. Postanowiono zbadać jak efektywnie wykorzystywany jest w nich nakład siły roboczej i porównać zakłady między sobą. Fikcyjne dane zebrane zostały w tabeli 1.1. Na tej podstawie obliczyliśmy efektywność wykorzystania zatrudnionych dla każdego z zakładów. Wyniki przedstawia tabela 1.2. Tabela 1.1. Dane na temat wykorzystania siły roboczej Zatrudnienie Liczba wyrobów Przepracowane godziny Zakład 1 120 600 2400 Zakład 2 160 1600 2000 Zakład 3 250 1500 2500 Tabela 1.2. Efektywność siły roboczej Liczba wyrobów / 1 zatrudnionego Przepracowane godziny / 1 zatrudnionego Zakład 1 5 20 Zakład 2 10 12,5 Zakład 3 6 10 Dane z tabeli 1.2 dadzą się przedstawić na wykresie (patrz rysunek 1.3). Obiekty efektywne to te, które leżą na tzw. granicy efektywności (u nas są to Zakład 1 i Zakład 2), o której więcej powiemy później. W ich przypadku osiągnięto maksymalne możliwe efekty wykorzystując dostępne nakłady. Przypomnijmy, że utworzona miara efektywności porównuje obiekty między sobą. Dołączenie kolejnego zakładu do przeprowadzanej analizy prawdopodobnie doprowadziłoby do innych wniosków.

1.2. Programowanie ilorazowe 7 Liczba godzin/1 zatrudnionego 0 5 10 15 20 25 A Zaklad 1 B Zaklad 3 granica efektywnosci C Zaklad 2 0 2 4 6 8 10 12 Liczba wyrobów/1 zatrudnionego Rysunek 1.3. Granica efektywności dla przykładu 1 Zakład 3 znalazł się poniżej granicy efektywności. W jego przypadku można wyznaczyć półprostą (promień technologiczny) wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez współrzędne odpowiadające Zakładowi 3 (czyli zaznaczony na wykresie punkt B). Punkt C prezentuje zmiany wartości efektów dla Zakładu 3 pod warunkiem zmniejszenia liczby zatrudnionych. Wyznaczenie efektywności dla Zakładu 3 sprowadza się do obliczenia ilorazu długości odcinka AB do długości odcinka BC. W ten sposób otrzymamy wskaźnik w sensie Farrella-Debreu. 1.2. Programowanie ilorazowe Zadania tego rodzaju mogą być stosowane do poszukiwania rozwiązania kompromisowego problemów dwukryterialnych na przykład wskaźnika efektywności nakładów rozumianego jako iloraz nakładów do efektów. Ilorazowa funkcja celu wyrażać będzie pewien wskaźnik efektywności nakładów. Zadanie programowania ilorazowego ma postać: h(x) = c 1x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n + c 0 d 1 x 1 + d 2 x 2 +... + d n x n + d 0 max (1.1) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 12 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2........................... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b n (1.2)

8 1. Podstawowe pojęcia Zapis macierzowy: x 1 0,x 2 0,...,x n 0 (1.3) h(x) = ct x + c 0 d T x + d 0 (1.4) Ax = b (1.5) x 0 (1.6) Elementy: c 0 i d 0 są wyrazami wolnymi w liczniku i mianowniku funkcji celu. Zadanie (1.4)-(1.6) można, posługując się tzw. transformacją Charnesa-Coopera, przekształcić do zadania PL. Zastępujemy w niej powyższe zadanie następującym: g(u,u 0 ) = c T u + c 0 u 0 max (1.7) Au bu 0 = 0 (1.8) d T u + d 0 u 0 = 1 (1.9) Po osłabieniu warunku dotyczącego u 0 otrzymamy: u 0,u 0 0 (1.10) Ponadto: u = u 0 = Metodę (transformację) Charnesa-Coopera opisują twierdzenia: u 0 0 (1.11) x d T x + d 0 (1.12) 1 d T x + d 0 (1.13) Twierdzenie 1. Jeżeli zadanie (1.4)-(1.6) jest niesprzeczne i istnieje dla niego skończone rozwiązanie optymalne, to ilorazowa funkcja celu (1.4) osiąga swoją wartość największą w wierzchołku zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Twierdzenie 2. Rozwiązanie optymalne zadania (1.4)-(1.6) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rozwiązanie optymalne zadania (1.7)-(1.11) takie, że u o 0 > 0. Twierdzenie 3. Jeżeli zadanie PL (1.7)-(1.11) jest sprzeczne to, sprzeczne jest również wyjściowe zadanie programowania ilorazowego.

1.2. Programowanie ilorazowe 9 Twierdzenie 4. Jeżeli zadanie PL (1.7)-(1.11) nie posiada skończonego rozwiązania optymalnego, to również wyjściowe zadanie programowania ilorazowego nie posiada skończonego rozwiązania optymalnego. Twierdzenie 5. Jeżeli istnieje skończone rozwiązanie optymalne zadania (1.7)-(1.11) [u o,u o 0 ] takie, że u o 0 > 0, to rozwiązanie zadania programowania ilorazowego wyznacza się: x o = uo u o 0 (1.14) zaś optymalna wartość ilorazowej funkcji celu jest równa: h(x o ) = g(u o,u o 0) (1.15)

2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli 2.1. Model CCR Pod koniec lat 70-tych trójka Amerykanów: Charnes, Cooper i Rhodes zwróciła uwagę na kwestię porównywania między sobą efektywności różnych systemów. Efektywność oznaczała tu stosunek osiąganych efektów do wielkości ponoszonych nakładów. Amerykanie postanowili zdefiniować efektywność jako stosunek sumy ważonych efektów do sumy ważonych nakładów. Tak narodziła się Data Envelopment Analysis (w skrócie DEA) czyli metoda analizy danych granicznych. Wspomniane podejście nie wymaga znajomości postaci funkcji efektywności. Wykorzystując empiryczne wielkości nakładów i efektów poszukuje się (dla danego obiektu, który w anglojęzycznej literaturze określa się zwykle skrótem DMU Decision Making Unit) wag maksymalizujących efektywność. W ten sposób otrzymujemy zadanie programowania matematycznego, w którym chodzi o wyznaczanie efektywności konkretnych obiektów względem całej ich grupy. Metoda DEA w języku polskim jest określana również jako: metoda analizy danych granicznych, metoda granicznej analizy danych lub metoda analizy efektywności granicznej. Nie spotyka się polskiego odpowiednika dla angielskiego skrótu nazwy. Metoda DEA opiera się na analizach granicznych, a jej ilustracją graficzną jest częściowo liniowa funkcja łącząca najbardziej efektywne jednostki decyzyjne. Krzywa efektywności (ang. best practice frontier) jest estymowana na podstawie danych empirycznych dotyczących nakładów i efektów. Jednostki, które znajdą się na krzywej uznajemy za efektywne, a ich efektywność θ = 1. DMU leżące poniżej efektywności są zdominowane przez obiekty leżące na krzywej, a więc nieefektywne. Stopień ich nieefektywności wynosi 1 θ. Samego pomiaru dokonujemy bez konieczności jakiegokolwiek uśredniania danych. Model opracowany przez Charnesa, Coopera i Rhodesa jest obecnie nazywany modelem CCR i historycznie powstał jako pierwszy. Występuje w nim efektywność w sensie Farrella czyli zmiany nakładów (lub efektów) są proporcjonalne. Dla każdego obiektu ustalamy czy jego aktualna technologia pozwala na najbardziej korzystną realizację stawianych mu zadań. Załóżmy, że bierzemy pod uwagę n obiektów, z których każdy konsumuje R różnych nakładów w celu otrzymania P różnych efektów. Obiekt h i zużywa tym samym x pi nakładu p i produkuje y ri efektu r. Dodatkowo zakładamy, że wartości nakładów i efektów nie mogą być wielkościami ujemnymi oraz, że dla każdego analizowanego obiektu przynajmniej jeden nakład i przynajmniej jeden efekt są różne od zera. Odpowiedni model programowania matematycznego został opisany zależnościami (2.1)-(2.3). Zadanie to można sprowadzić do postaci liniowej przy pomocy znanej nam już transformacji Charnesa-Coopera. Przejście na postać liniową ułatwia nie tylko obliczenia, ale również interpretacje wyników. Własności klasycznych modeli liniowych są bowiem dobrze zbadane.

2.1. Model CCR 11 θ = h i (µ,ν) = R µ r y ri r=1 max (2.1) P ν p x pi p=1 R µ r y ri r=1 1 (2.2) P ν p x pi p=1 µ r 0,ν p 0 (2.3) gdzie: h i efektywność obiektu i (i = 1,...,n) µ r wagi odpowiadające poszczególnym efektom (r = 1,...,R) ν p wagi odpowiadające poszczególnym nakładom (p = 1,...,P ) Model po transformacji: R g i = µ r y ri max (2.4) r=1 P ν p x pi = 1 (2.5) p=1 R P µ r y ri ν p x pi 0 (2.6) r=1 p=1 µ r 0, ν p 0 (2.7) W literaturze można również spotkać uogólniony przypadek warunków opisanych przez (2.7), a mianowicie: µ r ε, ν p ε (2.8) gdzie ε jest dowolnie małą liczbą dodatnią. Wiemy już, że optymalizacja efektywności może być rozumiana dwojako: jako zmniejszanie nakładów w celu osiągnięcia dotychczasowych efektów lub zwiększanie efektów przy wykorzystaniu nakładów na dotychczasowym poziomie. Model (2.4)-(2.7) zalicza się do pierwszego typu i dlatego będzie w dalszych rozważaniach nazywany modelem CCR zorientowanym na nakłady. Jego odpowiednik czyli model CCR zorientowany na efekty przedstawia się następująco: R g i = µ r y ri min (2.9) r=1

12 2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli P ν p x pi = 1 (2.10) p=1 R P µ r y ri ν p x pi 0 (2.11) r=1 p=1 µ r 0, ν p 0 (2.12) Oba modele można przekształcić do postaci dualnej: Model dualny zorientowany na nakłady: θ = θ min (2.13) n x pj λ j θx pi (2.14) n y rj λ j y ri (2.15) λ j 0 (2.16) Model dualny zorientowany na efekty: θ = θ max (2.17) n x pj λ j x pi (2.18) n y rj λ j θy ri (2.19) λ j 0 (2.20) Przykład wyznaczania granicy efektywności (dwa nakłady i dwa efekty) Dokonajmy rozszerzenia pierwszego przykładu o dodatkowy nakład obrazujący wykorzystanie w produkcji pewnego surowca. Zmodyfikowane dane do zadania znalazły się w tabeli 2.1. Tabela 2.1. Zmodyfikowane dane do przykładu 2 Surowiec Zatrudnienie Liczba wyrobów Przeprac. godziny Zakład 1 50 120 600 2400 Zakład 2 60 160 1600 2000 Zakład 3 70 250 1500 2500 Rozważymy model CCR zorientowany na nakłady. W tym celu dla każdego zakładu należy zbudować i rozwiązać oddzielne zadanie optymalizacyjne opisane wzorami (2.9)-(2.12). Na przykład dla Zakładu 1 ma ono postać: g 1 = µ 1 600 + µ 2 2400 max (2.21) ν 1 50 + ν 2 120 = 1 (2.22) µ 1 600 + µ 2 2400 ν 1 50 ν 2 120 0 (2.23) µ 1 1600 + µ 2 2000 ν 1 60 ν 2 160 0 (2.24) µ 1 1500 + µ 2 2500 ν 1 70 ν 2 250 0 (2.25) µ 1 0,µ 2 0,ν 1 0,ν 2 0 (2.26) Rezultaty pochodzące z rozwiązania wszystkich trzech zadań znalazły się w tabeli 2.2. Optymalna wartość funkcji celu dla zakładów 1 i 2 wyniosła 1. Znalazły się one zatem na granicy

2.1. Model CCR 13 Tabela 2.2. Wyniki modelu CCR dla przykładu 2 g opt i µ opt 1 µ opt 2 ν opt 1 ν opt 2 Zakład 1 1 0,0003 0,0003 0,02 0 Zakład 2 1 0,0003 0,0003 0,0167 0 Zakład 3 0,9524 0,0002 0,0002 0,0143 0 efektywności 1. Z kolei Zakład 3 okazał się nieefektywny ponieważ w jego wypadku optymalna wartość funkcji celu jest mniejsza od jedności. Na tle pozostałych dwóch zakładów odznacza się ono około 5-procentową nieefektywnością. Skoro Zakład 3 okazał się nieefektywny można wyznaczyć dla niego liniową kombinację złożoną z efektywnych obiektów, która przy nie większych nakładach pozwoli na osiągnięcie co najmniej takich samych efektów. Współczynnikami tej kombinacji są wyceny dualne rozwiązania zadania dla Zakładu 3 dla ograniczeń dotyczących łącznej wartości poniesionych nakładów i łącznej wartości uzyskanych efektów w zakładach 1 i 2. Współczynniki te wynoszą (po zaokrągleniu) 0,3788 dla Zakładu 1 i 0,7955 dla Zakładu 2. Jeżeli obliczymy kombinacje liniowe efektów osiąganych przez obiekty efektywne (np. dla liczby wyrobów: 0,3788 600 + 0,7955 1600) to okaże się, że otrzymamy liczby wyrobów i przepracowane godziny o wartościach odpowiadających tym dla Zakładu 3. Podobne działanie dla nakładów da następujący rezultat: 0,3788 50 + 0,7955 60 = 66,67 0,3788 120 + 0,7955 160 = 172,736 Otrzymane wartości kombinacji nakładów zakładów pierwszego i drugiego znajdują się poniżej wielkości odpowiadających Zakładowi 3 (odpowiednio 70 i 250). Możliwe więc było lepsze wykorzystanie nakładów przez Zakład 3 pozwalające na osiągnięcie dotychczasowych efektów. Na podstawie powyższych informacji jesteśmy w stanie sformułować przesłanki stosowania modeli DEA. Po pierwsze oczekujemy, że zbiór obiektów będzie jednorodny lub prawie jednorodny. Które jednak obiekty można uznać za jednorodne to temat na oddzielną dyskusję. Po drugie nakłady i efekty winny być nieujemne. W razie konieczności można je doprowadzić do nieujemności stosownymi przekształceniami. Trzecim warunkiem stosowania DEA jest jednolitość jednostek pomiaru nakładów i efektów we wszystkich obiektach. Innymi słowy nakład wyrażony w jednym DMU w tys. zł nie może w innym zostać wyrażony w mln zł. Efekt musi mieć taką definicję, aby jego wzrost był oceniany pozytywnie. Z kolei wzrost nakładu (przy założeniu ceteris paribus) powinien być oceniany negatywnie. Pewien problem stanowi ustalenie liczby obiektów włączonych do analizy. Generalnie zakłada się, że ilość DMU będzie znacznie większa od łącznej liczby nakładów i efektów. Sugeruje się, żeby była ona wyższa od max {P R,3(P + R)}, ale wynika to z chęci zapewnienia stabilnych wartości współczynników efektywności. Model DEA da się rozwiązać nawet wtedy gdy liczba obiektów jest niewielka w porównaniu z liczbą nakładów i efektów. Podsumowując rozważania w tej części opracowania do zalet metody DEA zaliczymy: 1 Są efektywne w sensie Farrella.

14 2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli 1. Możliwość jednoczesnego uwzględnienia wielu nakładów i efektów. 2. Brak wymagań co do postaci funkcji wyrażającej zawiązek między nakładami a efektami. 3. Zmienne opisujące nakłady i efekty mogą posiadać różne miana. 4. Metoda wychwytuje wielkości skrajne zamiast je uśredniać jak to dzieje się na przykład w przypadku linii regresji. Metoda ta posiada też wady, wśród których wymienimy: 1. Efektywność mierzona jest względem pozostałych obiektów, co uwrażliwia metodę na usuwanie bądź dołączanie do zbioru obiektów. 2. Duża wrażliwość na błędne dane (szczególnie w obiektach uznanych za wzorcowe). 3. Konieczność oddzielnego rozwiązywania zadania dla każdego obiektu. 4. W podstawowych modelach np. CCR pojawia się duża liczba obiektów efektywnych w stosunku do całkowitej liczby obiektów. 2.2. Inne typy modeli DEA Model CCR nie wyczerpuje puli modeli stosowanych w analizach DEA. Modele tego typu dzielone są zwykle według dwóch podstawowych kryteriów. Pierwsze z nich wyróżnia: modele zorientowane na efekty; modele zorientowane na nakłady; modele niezorientowane. W modelach zorientowanych na efekty celem optymalizacji jest uzyskanie jak najwyższych efektów przy zachowaniu stałych i zrównoważonych nakładów. W drugim z wymienionych przypadków minimalizujemy nakłady w taki sposób, aby efekty pozostały na ustalonym poziomie. Istnieje też trzecia kategoria, w której nie określamy orientacji na efekty bądź nakłady, lecz rzadko się ją wykorzystuje z uwagi na kłopoty z interpretacją. Drugim ważnym podziałem jest podejście od strony efektów skali. Z tego punktu widzenia wyróżniamy: model ze stałymi efektami skali (od nazwisk autorów: Charnes, Cooper, Rhodes oznaczany jako CCR); model ze zmiennymi efektami skali (od nazwisk autorów: Banker, Charnes, Cooper oznaczany jako BCC); model z nierosnącymi efektami skali (ang. Non Increasing Return to Scale NIRS); model z niemalejącymi efektami skali (ang. Non Decreasing Return to Scale NDRS). Oba podziały nakładają się na siebie (z wyłączeniem modeli niezorientowanych). Zanim przedstawimy szczegółowo interesujące nas modele wyjaśnienia wymaga kwestia nazewnictwa. W literaturze przedmiotu wykorzystuje się bowiem modele dualne zamiast pierwotnych. Praktyka ta jest tak powszechna, że doprowadziła do odwrócenia terminologii. Model pierwotny staje się w tej sytuacji dualnym zaś dualny pierwotnym. Postać modelu CCR została przedstawiona w poprzednim podrozdziale. Rozwiązując ten model otrzymujemy całkowitą efektywność techniczną danej jednostki (e_crs). W modelu zorientowanym na nakłady równa się ona θ zaś w modelu zorientowanym na efekty: 1/θ. Jeśli θ = 1 wówczas dany obiekt określamy mianem efektywnego. Całkowita efektywność techniczna

2.2. Inne typy modeli DEA 15 obiektu w modelu zorientowanym na nakłady określa o ile (proporcjonalnie) należy zredukować nakłady, aby osiągnąć efekty na tym samym co dotychczas poziomie. Rozważymy teraz przykład analizy metodą DEA wykorzystującą zorientowany na nakłady model CCR przy czym rozwiązywać będziemy model (2.13)-(2.16) czyli wariant dualny (a od teraz pierwotny). Przykład wyznaczania efektywności w modelu CCR Rozważamy sześć jednostek decyzyjnych (DMU) reprezentujących firmy o podobnym profilu działalności opisanych przy pomocy jednego nakładu oraz jednego efektu. Ograniczenie to pozwoli dokonać graficznej ilustracji idei wyznaczania efektywności poszczególnych obiektów. Dane do przykładu znalazły się w tabeli 2.3. Tabela 2.3. Przykładowe nakłady i efekty dla sześciu firm DMU 1 DMU 2 DMU 3 DMU 4 DMU 5 DMU 6 Nakład X 4 3 6 7 4 5 Efekt Y 10 4 15 16 7 10 Poniżej prezentujemy model CCR zorientowany na nakłady oraz jego rozwiązanie. Wartość θ wyraża tu miarę efektywności technicznej. Sam model należy rozwiązać 6 razy, za każdym z nich zmieniając wartości x i a także y i, wstawiając w te miejsca nakłady i efekty odpowiadające obiektowi, dla którego obliczamy efektywność. θ min (2.27) 4λ 1 + 3λ 2 + 6λ 3 + 7λ 4 + 4λ 5 + 5λ 6 θx i (2.28) 10λ 1 + 4λ 2 + 15λ 3 + 16λ 4 + 7λ 5 + 10λ 6 y i (2.29) λ 1 0,λ 2 0,λ 3 0,λ 4 0,λ 5 0,λ 6 0 (2.30) Wyniki z tabeli 2.4 wskazują, że efektywne okazały się firmy oznaczone jako DMU1 i DMU3. Oznacza to, że znalazły się one na krzywej efektywności. Firma DMU2, aby stać się efektywną powinna zużywać 1-0,5333=0,4667 jednostek mniej nakładu dla uzyskania tego samego co dotychczas efektu. Na tej podstawie możemy wyznaczyć nowe, mniejsze wielkości nakładów, które pozwoliłyby na osiągnięcie niezmienionych efektów dla wszystkich nieefektywnych jednostek decyzyjnych (czyli znalezienie się na krzywej efektywności). Stosowne obliczenia znalazły się w tabeli 2.5. Optymalna wartość parametru λ informuje jaką wielkość nakładu powinien zużyć dany obiekt w porównaniu z jednostkami efektywnymi. Numer w nawiasie w wierszu λ j tabeli 2.4 podaje, które spośród obiektów efektywnych stały się punktami odniesienia (tzw. benchmarkami) dla Tabela 2.4. Wyniki dla modelu CCR zorientowanego na nakłady DMU 1 DMU 2 DMU 3 DMU 4 DMU 5 DMU 6 e_crs j 1 0,5333 1 0,9143 0,7 0,8 θ 1 0,5333 1 0,9143 0,7 0,8 λ j 0,4 (1) 0,6 (1) 0,7 (1) 1 (1)

16 2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli Tabela 2.5. Nowe wielkości nakładów w modelu CCR przy ustalonych efektach Obiekt nieefektywny Zmniejszone nakłady DMU 2 0,5333 3 = 1,6 DMU 4 0,9143 7 = 6,4 DMU5 0,7 4 = 2,8 DMU 6 0,8 5 = 4 obiektów nieefektywnych. Tak się składa, że w naszym przykładzie porównywać będziemy wszystkie nieefektywne jednostki decyzyjne jedynie z DMU1. DMU2 powinien więc zużyć 0,4 tego co zużywa DMU1, czyli 0,4 4 = 1,6 jednostki w celu osiągnięcia efektu równego 4 jednostki. Model CCR zorientowany na efekty, który podlega optymalizacji zapiszemy następująco: θ max (2.31) 4λ 1 + 3λ 2 + 6λ 3 + 7λ 4 + 4λ 5 + 5λ 6 x i (2.32) 10λ 1 + 4λ 2 + 15λ 3 + 16λ 4 + 7λ 5 + 10λ 6 θy i (2.33) λ 1 0,λ 2 0,λ 3 0,λ 4 0,λ 5 0,λ 6 0 (2.34) Współczynniki efektywności technicznej są w tym przypadku takie same jak dla modelu zorientowanego na nakłady, ale powstały jako odwrotność wskaźnika efektywności θ. Siłą rzeczy zachowany został podział na jednostki efektywne i nieefektywne technicznie. Należy przez to rozumieć, że DMU1 i DMU3 w optymalny sposób wykorzystują posiadane nakłady. Tabela 2.6. Wyniki dla modelu CCR zorientowanego na efekty DMU 1 DMU 2 DMU 3 DMU 4 DMU 5 DMU 6 e_crs j 1 0,5333 1 0,9143 0,7 0,8 1/θ 1 1,875 1 1,0938 1,4286 1,25 λ j 0,75 (1) 1,75 (1) 0,67 (3) 1,25 (1) Wybierzmy do analizy, podobnie jak poprzednio, obiekt DMU2. Zgodnie z danymi z tabeli 2.6, aby osiągnąć stuprocentową efektywność powinien on wytwarzać 1,875 raza większy efekt (czyli 1,875 4 = 7,5 jednostki) wykorzystując do tego celu dotychczasową, niezmienioną wielkość nakładu. Znalazłby się wtedy na krzywej efektywności. W tabeli 2.7 podajemy nowe, wyższe wielkości efektów, które powinny być osiągnięte przez firmy nieefektywne, gdyby te optymalnie wykorzystały posiadane nakłady. Parametr lambda podaje jaki efekt osiąga dana jednostka decyzyjna w porównaniu z wzorcowymi jednostkami efektywnymi. DMU2 porównywać będziemy z DMU1. Wynika z tego, że Tabela 2.7. Nowe wielkości efektów osiągane przy ustalonych nakładach w modelu CCR Obiekt nieefektywny Zwiększone efekty DMU 2 1,875 4 = 7,5 DMU 4 1,0938 16 = 17,5 DMU 5 1,4286 7 = 10 DMU 6 1,25 10 = 12,5

2.2. Inne typy modeli DEA 17 Efekty 0 5 10 15 20 A1 A2 B1 DMU1 DMU2 B2 C1 DMU5 C2 DMU3 DMU4 DMU6 D1 D2 CRS 0 2 4 6 8 Naklady Rysunek 2.1. Krzywa całkowitej efektywności technicznej nieefektywny obiekt, przy wykorzystaniu nakładów firmy efektywnej osiągałby efekt równy 0,75 10 = 7,5 jednostki. Wartości nakładów i efektów wykorzystamy jako współrzędne punktów odpowiadających obiektom. Na rysunku 2.1 oprócz jednostek decyzyjnych znalazła się, wychodząca z początku układu współrzędnych i oznaczona jako CRS, krzywa efektywności przy stałych efektach skali, która dla modelu CCR wyznacza poziom całkowitej efektywności technicznej. Jednostki leżące na krzywej w optymalny sposób wykorzystują nakłady czyli nie istnieje lepsza kombinacja efektów osiąganych przy tych samych wielkościach nakładów. Dominują one nad jednostkami znajdującymi się pod krzywą, dla których istnieje bardziej optymalna kombinacja efektów możliwa do otrzymania przy wykorzystaniu tej samej wielkości nakładów. Na krzywej CRS znalazły się dwa, znane nam już obiekty efektywne: DMU1 i DMU3 co oznacza, że w ich przypadku θ = 1. Efektywność techniczną dla pozostałych jednostek graficznie da się wyznaczyć następująco: e_crs DMU2 = DMU2A 2 A 1 A 2 e_crs DMU5 = DMU5B 2 B 1 B 2 = 4 7,5 = 0,5333 e_crs DMU4 = DMU4B 2 = 16 D 1 D 2 17,5 = 0,9143 = 7 10 = 0,7 e_crs DMU6 = DMU6C 2 C 1 C 2 = 10 12,5 = 0,8 Przyjrzyjmy się obiektowi DMU2 w tym kontekście. Ma on współczynnik efektywności równy 0,5333. W kategoriach modelu zorientowanego na efekty oznacza to, że firma ta produkuje średnio 53,33% tego, co produkowałaby firma efektywnie wykorzystująca tą samą ilość nakładów. Przy

18 2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli obecnym nakładzie efekt powinien zatem wzrosnąć o 46,67% do 7,5 jednostki co spowodowałoby znalezienie się na krzywej CRS. Wykres na rysunku 2.1 da się również zinterpretować w kontekście modelu zorientowanego na nakłady. DMU2 znalazłby się również na krzywej CRS zmniejszając nakłady o 46,67% do 1,6 jednostki. W modelu CCR o stałych efektach skali określamy możliwą, proporcjonalną redukcję nakładów przy zachowaniu co najmniej tej samej ilości efektów. Jeżeli chcemy analizować o ile mniej nakładów można by wykorzystać do wyprodukowania tej samej ilości efektów musimy sięgnąć po model BCC. Różni się on od modelu CCR założeniem zmiennych efektów skali. Wprowadzamy w nim dodatkowe ograniczenie wypukłości, które oznaczyliśmy (2.38) oraz (2.43) w modelach zorientowanych odpowiednio na nakłady i na efekty. Model BCC zorientowany na nakłady: θ = θ min (2.35) n x pj λ j θx pi (2.36) n y rj λ j y ri (2.37) n λ j = 1 (2.38) λ j 0 (2.39) Model BCC zorientowany na efekty: θ = θ max (2.40) n x pj λ j x pi (2.41) n y rj λ j θy ri (2.42) n λ j = 1 (2.43) λ j 0 (2.44) Rozwiązaniem modelu BCC jest tzw. czysta efektywność techniczna (e_vrs). Podobnie jak miało to miejsce w przypadku poprzednio omówionego modelu, efektywność ta jest równa θ w modelu zorientowanym na nakłady i 1/θ tej wielkości w modelu zorientowanym na efekty. W odróżnieniu jednak od modelu CCR optymalne optymalne wartości funkcji celu z modelu zorientowanego na nakłady oraz na efekty nie muszą być swoimi odwrotnościami. Wyznaczona krzywa efektywności przy zmiennych efektach skali (VRS) opiera się na trzech następujących aksjomatach: 1. nie ma darmowego lunchu nie można produkować przy zerowych nakładach; 2. mogą istnieć koszty utopione przy niskim poziomie nakładów produkcja nie jest możliwa; 3. zbiór możliwości produkcyjnych jest zwarty i wypukły. Jeżeli efektywności przy stałych (model CCR) i zmiennych (model BCC) efektach skali istotnie się od siebie różnią, to możemy określić efektywność skali zgodnie ze wzorem: e_s_vrs = e_crs e_vrs (2.45) Efektywność skali dana wzorem (2.45) informuje o tym, o ile mniej nakładów można by wykorzystać, gdyby wielkość efektów była optymalna. Interpretując ten wzór powiemy, że przy e_s_vrs = 1 dana jednostka decyzyjna jest efektywna względem skali zaangażowanych czynników produkcji zaś e_s_vrs < 1 oznacza, że jest nieefektywna względem skali zaangażowanych czynników produkcji choć nie wiadomo w jakim obszarze efektów skali dokładnie się znajduje.

2.2. Inne typy modeli DEA 19 Przykład wyznaczania efektywności w modelu BCC Przyjrzyjmy się teraz, jak wygląda rozwiązanie modelu BCC dla danych z poprzedniego przykładu. Zaczniemy od modelu zorientowanego na nakłady, który prezentujemy poniżej: θ min 4λ 1 + 3λ 2 + 6λ 3 + 7λ 4 + 4λ 5 + 5λ 6 θx i 10λ 1 + 4λ 2 + 15λ 3 + 16λ 4 + 7λ 5 + 10λ 6 y i λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 + λ 5 + λ 6 = 1 λ 1 0,λ 2 0,λ 3 0,λ 4 0,λ 5 0,λ 6 0 Na podstawie wyników znajdujących się w tabeli 2.8 możemy stwierdzić, że przy założeniu zmiennych efektów skali, efektywne okazały się nie tylko DMU1 i DMU3, ale również DMU2 i DMU4. Obiekt DMU5 powinien zużywać 1 0,875 = 0,125 mniej nakładu, aby osiągnąć efekt ten sam co do tej pory. Nowe, mniejsze wielkości nakładów dla obu nieefektywnych jednostek decyzyjnych znalazły się w tabeli 2.9. Tabela 2.8. Wyniki dla modelu BCC zorientowanego na nakłady DMU 1 DMU 2 DMU 3 DMU 4 DMU 5 DMU 6 e_vrs j 1 1 1 1 0,875 0,8 θ 1 1 1 1 0,875 0,8 λ j 0,5 (1) 1 (1) 0,5 (2) Tabela 2.9. Nowe wielkości nakładów przy ustalonych efektach w modelu BCC Obiekt nieefektywny Zmniejszone nakłady DMU5 0,875 4 = 3,5 DMU6 0,8 5 = 4 Parametry λ j podają wielkości nakładów, które winna zużyć jednostka nieefektywna w porównaniu z jednostkami wzorcowymi przy założeniu zmiennych efektów skali. Dla DMU5 benchmark wyznaczają DMU1 i DMU2 więc firma DMU5 powinna zużywać połowę nakładu DMU1 oraz połowę nakładu DMU2 czyli 0,5 4 + 0,5 3 = 3,5 jednostki, aby osiągnąć wymagany efekt. W przypadku modelu zorientowanego na efekty optymalizowany model BCC ma postać: θ max 4λ 1 + 3λ 2 + 6λ 3 + 7λ 4 + 4λ 5 + 5λ 6 x i 10λ 1 + 4λ 2 + 15λ 3 + 16λ 4 + 7λ 5 + 10λ 6 θy i λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 + λ 5 + λ 6 = 1 λ 1 0,λ 2 0,λ 3 0,λ 4 0,λ 5 0,λ 6 0

20 2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli Jego rozwiązanie znalazło się w tabeli 2.10. Wynika z niej, że w przypadku DMU5, przy założeniu zmiennych efektów skali, aby osiągnąć stuprocentową efektywność powinien on wytwarzać 1,4286 7 = 10 jednostek wykorzystując do tego celu dotychczasową wielkość nakładu. W tabeli 2.11 znalazły się efekty, które powinny osiągnąć firmy nieefektywne, gdyby optymalnie wykorzystały posiadane nakłady. Parametr lambda podaje jaki efekt osiąga dana jednostka decyzyjna w porównaniu z wzorcowymi jednostkami efektywnymi. DMU5 porównywać będziemy tylko z DMU1. Wynika z tego, że przy wykorzystaniu nakładu firmy efektywnej DMU5 osiągałby efekt równy 1 10 = 10 jednostek. Tabela 2.10. Wyniki dla modelu BCC zorientowanego na efekty DMU 1 DMU 2 DMU 3 DMU 4 DMU 5 DMU 6 e_vrs j 1 1 1 1 0,7 0,8 1/θ 1 1 1 1 1,4286 1,25 λ j 1 (1) 0,5 (1) 0,5 (3) Tabela 2.11. Nowe wielkości efektów osiągane przy ustalonych nakładach w modelu BCC Obiekt nieefektywny Zwiększone efekty DMU5 1,4286 7 = 10 DMU6 1,25 10 = 12,5 Na rysunku 2.2 oprócz krzywej CRS (stałe efekty skali) znalazła się krzywa VRS dla zmiennych efektów skali. Na mocy aksjomatu 2 nie przechodzi ona przez początek układu współrzędnych. Widać wyraźnie, że jest ona odcinkami liniowa oraz to, że DMU5 i DMU6 wyraźnie znalazły się poza samą krzywą (zostały zdominowane przez jednostki na krzywej). Na podstawie efektywności zorientowanych na nakłady modeli CCR i BCC możemy sprawdzić czy poszczególne jednostki decyzyjne są efektywne względem skali zaangażowanych czynników produkcji. Wskaźniki e_crs (efektywności technicznej) oraz e_vrs (czystej efektywności technicznej) wraz z ich ilorazami obliczonymi na podstawie wzoru (2.45) podaje tabela 2.12. Wynika z niej, że DMU2, DMU4 i DMU5 działają w obszarze zmiennych efektów skali. Nie wiemy natomiast nic o rodzaju tych efektów. Tabela 2.12. Miary efektywności i efekty skali modeli CCR i BCC DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 DMU6 e_crs 1 0,5333 1 0,9143 0,7 0,8 e_vrs 1 1 1 1 0,875 0,8 e_s_vrs 1 0,5333 1 0,9143 0,8 1 Rozwiązując model BCC dowiadujemy się, czy dany obiekt znalazł się w obszarze zmiennych efektów skali. Nie uzyskujemy jednak informacji, czy chodzi o rosnące, czy też malejące efekty skali. Odpowiedź na to pytanie uzyskujemy dzięki rozwiązaniu modelu NIRS. Różni się on od modelu BCC poluzowaniem ograniczenia dotyczącego współczynnik kombinacji liniowej. W stosownych modelach będą to warunki (2.49) i (2.54).

2.2. Inne typy modeli DEA 21 Efekty 0 5 10 15 20 DMU1 DMU2 DMU5 DMU3 DMU4 DMU6 CRS VRS 0 2 4 6 8 Naklady Rysunek 2.2. Krzywe: całkowitej i czystej efektywności technicznej Model NIRS zorientowany na nakłady: θ = θ min (2.46) n x pj λ j θx pi (2.47) n y rj λ j y ri (2.48) n λ j 1 (2.49) λ j 0 (2.50) Model NIRS zorientowany na efekty: θ = θ max (2.51) n x pj λ j x pi (2.52) n y rj λ j θy ri (2.53) n λ j 1 (2.54) λ j 0 (2.55) Niech e_nirs oznacza rozwiązanie tego modelu zorientowanego na nakłady. Posłuży ono do określenia rejonu efektów skali, w którym operuje jednostka decyzyjna charakteryzująca się zmiennymi efektami skali. Wyznaczając wartość e_s_nirs zgodnie ze wzorem (2.56) dla każdego obiektu dowiadujemy się, czy mamy do czynienia z rosnącymi czy malejącymi efektami skali. Jeżeli e_s_nirs = 1 wówczas jednostka decyzyjna działa w obszarze rosnących efektów skali. Wartość e_s_nirs < 1 świadczy o znalezieniu się w obszarze malejących efektów skali. e_s_nirs = e_crs e_nirs (2.56)

22 2. Metoda DEA charakterystyka i podział modeli Wyznaczymy teraz rozwiązanie modelu NIRS zorientowanego na nakłady dla danych z naszego przykładu. Następnie poszerzymy tabelę 2.12 o nowe wskaźniki efektywności oraz wyznaczymy efekty skali zgodnie ze wzorem (2.56). Tabela 2.13. Wyniki dla modelu NIRS zorientowanego na nakłady DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 DMU6 e_nirs j 1 0,5333 1 1 0,7 0,8 θ 1 0,5333 1 1 0,7 0,8 λ j 0,1 (1) 0,26 (1) 0,43 (1) 0,2 (3) 0,29 (3) 0,38 (3) Efekty 0 5 10 15 20 DMU1 DMU2 DMU5 DMU3 DMU4 DMU6 CRS VRS NIRS 0 2 4 6 8 Naklady Rysunek 2.3. Porównanie krzywych CRS, VRS i NIRS DMU1 oraz DMU3 wypadły najlepiej zarówno pod względem stałych jak i zmiennych efektów skali. Są więc jednostkami wzorcowymi dla pozostałych czterech firm. DMU2 i DMU4 są wśród nich efektywne jedynie przy założeniu zmiennych efektów skali (jak informują nas wartości e_vrs = 1), natomiast DMU6 jako jedyna okazała się spośród wspomnianych czterech firm efektywna względem skali zaangażowanych środków (e_s_vrs = 1). Spośród obiektów, które znalazły się w obszarze zmiennych efektów skali tylko DMU4 charakteryzował się malejącymi efektami skali. Pozostałe jednostki decyzyjne czyli: DMU2 i DMU5 odznaczają się rosnącymi efektami skali. Krzywa efektywności NIRS pozwala określić gdzie na krzywej VRS znajdują się rosnące, a gdzie malejące efekty skali. Ponieważ VRS nie przechodzi przez punkt (0,0) relacja efektów do nakładów jest tu gorsza niż w przypadku krzywej CRS. Wzrost nakładów powoduje poprawę

2.2. Inne typy modeli DEA 23 Tabela 2.14. Miary efektywności i efekty skali modeli CCR, BCC i NIRS DMU1 DMU2 DMU3 DMU4 DMU5 DMU6 e_crs 1 0,5333 1 0,9143 0,7 0,8 e_vrs 1 1 1 1 0,875 0,8 e_s_vrs 1 0,5333 1 0,9143 0,8 1 e_nirs 1 0,5333 1 1 0,7 0,8 e_s_nirs 1 1 1 0,9143 1 1 tej relacji co interpretujemy jako rosnące efekty skali. Na rysunku 2.3 krzywą NIRS oznaczono zielonym kolorem.

3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA 3.1. Technologia w modelach DEA Każdy obiekt w metodzie DEA charakteryzuje się określoną technologią wynikającą z zestawu posiadanych nakładów i osiąganych efektów. Połączony wektor nakładów i efektów wybranego obiektu j nazywamy technologią empiryczną i zapisujemy go następująco: t j = [ x j y j ] (3.1) Liniową kombinację technologii wszystkich obiektów uznajemy za technologię wspólną całego ich zbioru. Technologia taka ma charakter teoretyczny. Znany nam już współczynnik λ j dla DMU j staje się wagą określającą intensywność wykorzystania technologii empirycznej danego obiektu w technologii wspólnej. Z tego powodu możemy spotkać się z określeniami takimi jak: waga intensywności lub po prostu intensywność. Współczynniki te są parametrami kombinacji liniowej wyznaczającej technologię wspólną całego zbioru obiektów (T): n T = λ j t j (3.2) Wspominaliśmy już o obiektach wzorcowych, z którymi porównywaliśmy obiekty nieefektywne. Obliczaliśmy m.in. ważone wielkości nakładów obiektów efektywnych, które powinien zużywać obiekt nieefektywny, aby osiągnąć ustalone efekty. Było to nic innego jak właśnie wyznaczenie technologii wspólnej na podstawie technologii empirycznych efektywnych jednostek decyzyjnych. Nie nakładamy przy tym warunku, aby suma wag dawała 1, wymagamy jedynie ich nieujemności. Zbiór technologii wspólnych dla wszystkich dopuszczalnych kombinacji parametrów lambda nazywamy przestrzenią produkcyjną. Oczywiście zawierają się w niej również technologie empiryczne samych obiektów, nie tylko ich kombinacje. Wzór (3.2) opisuje więc przestrzeń rozpiętą na technologiach empirycznych danego zbioru obiektów. Jeżeli posiadamy informacje o innych technologiach np. wzorcowych wówczas można do zadania wprowadzić dodatkowe obiekty. Nie oceniamy ich efektywności, ale posłużą one do oceny efektywności pozostałych obiektów. Ważne jest, aby brać pod uwagę technologie wiarygodne z punktu widzenia ich zastosowania, które na przykład pojawiały się w praktyce. Rzecz jasna zaliczają się do nich technologie empiryczne. Podsumowując, w metodzie DEA mamy do czynienia z trzema rodzajami technologii: 1. empiryczną; 2. dopuszczalną, za pomocą której możemy uzyskać dany wektor y y efektów przy pomocy możliwie najmniejszych nakładów x proporcjonalnych do nakładów x czyli x = θx;

3.1. Technologia w modelach DEA 25 3. optymalną, za pomocą której możemy uzyskać dany wektor ŷ y efektów przy pomocy możliwie najmniejszych nakładów x nieprzekraczających nakładów proporcjonalnych do x czyli x θx. Po raz kolejny mówimy o nakładach proporcjonalnych co nie znaczy, że nie mogą istnieć technologie, w których nie są one proporcjonalne do x. Rozpatrujemy efektywność Farrella-Debreu, w której wskaźnik efektywności ˆθ interpretujemy jako proporcjonalne zmniejszenie nakładów (krotność) do poziomu, który zapewni jednostce decyzyjnej stuprocentową efektywność co pokazywaliśmy we wcześniejszych przykładach. Wartość współczynnika ˆθ w tym kontekście wyraża największe proporcjonalne zmniejszenie nakładów potrzebnych do osiągnięcia założonych efektów. Geometrycznie oznacza to przesuwanie się wzdłuż promienia technologicznego w stronę początku układu współrzędnych. Na rysunku 3.1 odpowiada to przesunięciu się z punktu A do punktu B (w obu punktach proporcja między nakładami jest taka sama), w którym osiągamy największe dopuszczalne, proporcjonalne zmniejszenie nakładów, aby osiągnąć efekty dane wektorem y. Przypomnijmy, że półprosta przechodząca przez te punkty to promień technologiczny. Dla modelu zorientowanego na nakłady efektywność radialna w ścisłym sensie oznacza pełną komplementarność oraz zerową substytucję nakładów. W praktyce zdarza się przeważnie, że przynajmniej jedna składowa optymalnego wektora nakładów bądź efektów może być mniej niż proporcjonalna do składowej odpowiedniego wektora empirycznego oraz przynajmniej jedna taka składowa jest proporcjonalna. Wówczas poza promieniem technologicznym znajdą się technologie dopuszczalne, dla których efektywność również równa się ˆθ. W ich przypadku nie możemy mówić o proporcjonalności nakładów (efektów) zaś sama technologia oddala się od promienia. Na rysunku 3.1 ilustruje to położenie punktu ˆx wyrażającego rozwiązanie optymalne. Wynika z tego, że niekoniecznie musi ono znajdować się na promieniu technologicznym. X 2 x 2 A x 2 = ˆx 2 ˆx B ˆx 1 x 1 x 1 X 1 Rysunek 3.1. Graficzna ilustracja zmian proporcji nakładów dla technologii dopuszczalnych Przy efektywności Farrella równej 1 i optymalnej technologii znajdującej się poza promieniem technologicznym przynajmniej jeden nakład (dla tych samych efektów) jest większy niż nakład minimalny orientacja na nakłady lub przynajmniej jeden efekt jest mniejszy niż maksymalny (przy założeniu stałych nakładów) orientacja modelu na efekty. Technologie te nie są efektywne w sensie Pareto. Skutkuje to pojawieniem się luzów nakładów bądź efektów dla technologii z

26 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA promienia i optymalnej. Tylko w sytuacji kiedy technologia optymalna leży na promieniu technologicznym luzy owe są równe zero. W przeciwnym wypadku dostosowanie się do rozwiązania optymalnego oznacza zejście z promienia technologicznego. Przez optymalne luzy nakładów w metodzie DEA należy rozumieć różnice między nakładami technologii z promienia technologicznego o efektywności ˆθ = 1 a nakładami optymalnymi. 3.2. Analizy wynikające bezpośrednio z optymalizacji Modele DEA dają możliwość różnorodnej analizy wyników. Na podstawie przykładu przedstawimy niektóre, wybrane przez nas jej rodzaje. Posłużymy się w tym celu danymi z rynku Otwartych Funduszy Emerytalnych. Naszym zamiarem będzie ocena efektywności OFE z punktu widzenia prowadzonej przez nie polityki inwestycyjnej. Należy w tym miejscu podkreślić, ze jest to tylko jeden z możliwych kierunków analizy tego typu podmiotów, ponieważ można rozpatrywać takie aspekty ich działalności jak choćby efektywność prowadzonej akwizycji. Rzecz jasna wiązałoby się to z doborem innych nakładów i efektów. Jako nakłady wybrane zostały następujące wielkości: 1. liczba martwych rachunków; 2. liczba członków, którzy opuścili fundusz; 3. koszty operacyjne (mln zł). Zestaw efektów składał się zaś z wielkości jak poniżej: 1. liczba członków, którzy przystąpili do funduszu; 2. wartość składek przekazanych przez ZUS (mln zł, uwzględnia również należne i przekazane odsetki); 3. średnia wartość jednostki rozrachunkowej (zł); 4. przychody z lokat (mln zł). Dane pochodzą z oficjalnych raportów publikowanych przez Komisję Nadzoru Finansowego i obejmują sprawozdania kwartalne oraz roczne za rok 2009 a zawarte zostały w tabeli 3.1. Tabela 3.1. Dane na temat OFE w 2009 r. Fundusz Martwe Opuściło Koszty Przystąpiło Składki Jednostka Przychody rach. rozr. AEGON 75610 54907 19,91 33402 832,46 25,19 278,3 Allianz 35635 41314 20,64 25355 1135,66 24,02 182,7 Amplico 39525 34994 41,98 28464 1098,99 24,42 475,59 Aviva 71122 79939 175,69 54819 4246,26 25,07 1624,85 AXA 23309 38033 37,39 93829 984,16 25,37 336,26 Generali 64614 41091 14,94 38727 1666,73 26,75 273,54 ING 118072 35989 134,83 53752 1979,4 26,97 1561,9 Nordea 85452 65597 31,41 82719 4434,78 25,94 249,3 Pekao 28484 34401 13,69 35997 761,53 24,29 109,49 Bankowy 39024 18415 23,15 7099 443,4 24,51 187,66 Pocztylion 79347 26411 16,73 6810 491,59 23,85 128,91 Polsat 13829 16056 7,69 280 285,68 27,5 47,12 PZU 110709 62210 103,49 91041 2821,96 25,6 937,89 WARTA 37397 19727 12,1 16790 335,55 25,79 98,41

3.2. Analizy wynikające bezpośrednio z optymalizacji 27 Jako pierwsze podamy wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu CCR dla 2009 roku. Znalazły się one w tabeli 3.2. Liczby w nawiasach w kolumnie lambda jak poprzednio, oznaczają numery obiektów wzorcowych. Na podstawie zawartych tam wyników stwierdzamy, że brakiem efektywności przy założeniu stałych efektów skali charakteryzowały się następujące fundusze emerytalne: AEGON, Allianz, Bankowy, Pocztylion i PZU, przy czym najmniej efektywny okazał się OFE Pocztylion (współczynnik równy 0,7194). Pozostałe fundusze znalazły się na krzywej efektywności CRS. Fakt, że większość funduszy solidarnie na niej się ulokowała świadczy o prowadzeniu podobnej polityki inwestycyjnej. Najmniej efektywny fundusz emerytalny powinien zużywać średnio 28,06% mniej nakładów, aby osiągnąć te same efekty. Innymi słowy, gdyby OFE Pocztylion skonstruował swoją technologię na wzór tych funduszy efektywnych, które wyznaczają dla niego benchmark (czyli Generali, ING i Polsat) wykorzystałby 71,94% swoich nakładów. Wartości parametrów lambda pozwalają określić jakie wielkości nakładów powinien zużyć nieefektywny fundusz gdyby stosował optymalną technologię wzorowaną na technologiach trzech wzorcowych funduszy. Jeżeli przez t 6,t 7,t 12 oznaczymy technologie empiryczne odpowiednio: Generali, ING i OFE Polsat wtedy ogólna formuła optymalnej technologii zorientowanej na OFE Pocztylion (ˆT 11 ) ma postać daną wzorem (3.3) Składa się więc ona z 17% technologii stosowanej w funduszu Generali, 3% technologii stosowanej w funduszu ING oraz 67% technologii używanej w OFE Polsat. Podstawiając nakłady i efekty wzorcowych funduszy do wzoru (3.3) otrzymamy nowe wartości technologii optymalnej dla OFE Pocztylion. ˆT 11 = 0,17t 6 + 0,03t 7 + 0,67t 12 (3.3) W tym miejscu należy zwrócić uwagę na różnice wartości współczynników lambda w kombinacji obiektów wzorcowych. Najniższy z nich ma wartość 0,03 zaś najwyższy 0,67. Przypominamy, że jest to krotność wykorzystania nakładów wzorcowego DMU. Wartość λ ij zależy od skali nakładów i efektów obiektu ocenianego oraz wzorcowego. Tym samym jeśli na przykład DMU podlegający ocenie okaże się dużo mniejszy od DMU wzorcowego wówczas współczynnik lambda musi być niewielki. Tabela 3.2. Wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu CCR dla 2009 roku Lp Nazwa OFE e_crs λ j (benchmark) 1 AEGON 0,8096 0,02 (3); 0,91 (6); 0,01 (7) 2 Allianz 0,8999 0,17 (3); 0,06 (5); 0,09 (6); 0,14 (8); 0,45 (12) 3 Amplico 1 4 Aviva 1 5 AXA 1 6 Generali 1 7 ING 1 8 Nordea 1 9 Pekao 1 10 Bankowy 0,9094 0,01 (5); 0,11 (7); 0,78 (12) 11 Pocztylion 0,7194 0,17 (6); 0,03 (7); 0,67 (12) 12 Polsat 1 13 PZU 0,8739 0,41 (5); 0,46 (7); 0,34 (8) 14 WARTA 1

28 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA Tabela 3.3. Wyznaczenie technologii optymalnej dla OFE Pocztylion za 2009 rok Benchmark Generali ING Polsat Pocztylion λ 11j 0,17 0,03 0,67 technologia udział w techn. optymalna empirycznej Martwe rach. 64614 118072 13829 23791,97 29,98% Opuściło 41091 35989 16056 18822,66 71,27% Koszty oper. 14,94 134,83 7,69 11,74 70,16% Przystąpiło 38727 53752 280 8383,75 123,11% Składki 1666,73 1979,4 285,68 534,13 108,65% Jednostka rozr. 26,75 26,97 27,5 23,78 99,71% Przychody 273,54 1561,9 47,12 124,93 96,91% Z tabeli 3.3 wynika, że wzorcowe fundusze emerytalne uczestniczące w optymalnej technologii zorientowanej na fundusz Pocztylion potrafiłyby osiągnąć jego efekty wykorzystując do tego znacznie mniejsze nakłady. Szczególnie mocno widać to w przypadku liczby martwych rachunków, których liczba spadłaby w takiej sytuacji do około 30% liczby martwych rachunków faktycznie odnotowanych przez fundusz nieefektywny. Zdecydowanie ma on tu wiele do zrobienia. Pozostałe nakłady nie są aż tak radykalnie mniejsze, ale oscylują w okolicach 70% tego czym w rzeczywistości dysponuje OFE Pocztylion przez co należy rozumieć, że angażuje on mniej więcej o 30% nakładów za dużo osiągając podane powyżej efekty. Widać chyba wyraźnie jak nieefektywna była technologia wspomnianego OFE w 2009 roku. Zwróćmy również uwagę na fakt, że wartość jednostki rozrachunkowej oraz wartość przychodów operacyjnych są nieco niższe od tych osiąganych przez analizowany fundusz. Może to świadczyć o oddaleniu się od promienia technologicznego. Tak się bowiem składa, że dla liczby martwych rachunków oraz dwóch efektów: liczby osób, które przystąpiły do funduszu i kwoty składek przekazanych przez ZUS wystąpiły luzy, które w celu dostosowania się do rozwiązania optymalnego wymusiły zejście z promienia technologicznego. W tabeli 3.4 prezentujemy wyniki dla zorientowanego na nakłady modelu BCC. Okazało się, że przy założeniu zmiennych efektów skali liczba nieefektywnych obiektów spada o jeden. Zbiór powiększył się o OFE PZU Złota Jesień, który w modelu CCR znalazł się pod krzywą efektywności okazując teraz się efektywnym względem skali zaangażowanych czynników produkcji. Dla modelu BCC również można przeprowadzić analizy nakładów bądź efektów podobne do tych, które wykonaliśmy dla modelu CCR. Zostawiamy to zainteresowanym czytelnikom. My natomiast, po zoptymalizowaniu zorientowanego na nakłady modelu NIRS przystąpimy do oceny efektów skali. W tabeli 3.5 porównujemy wyniki trzech trzech wspomnianych modeli. Analizując wartości e_s_vrs zauważamy, że pięć funduszy emerytalnych: AEGON, Allianz, Bankowy, Pocztylion i OFE PZU w 2009 roku działały w obszarze zmiennych efektów skali. Ostatnia kolumna tabeli zawierająca wskaźnik e_s_nirs informuje nas, że tylko ostatni spośród wymienionych funduszy odznaczał się malejącymi efektami skali. Pozostałe cztery znalazły się w obszarze rosnących efektów skali. Trzeba jednak zwrócić uwagę na fakt, że są one nieefektywne tak przy stałych, jak i przy zmiennych efektach skali. Są więc nieefektywne technologicznie (nie wykorzystują posiadanych nakładów w dostatecznym stopniu).

3.3. Ranking obiektów a superefektywność 29 Tabela 3.4. Wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu BCC dla 2009 roku Lp Nazwa OFE e_vrs λ j (benchmark) 1 AEGON 0,8162 0,06 (3); 0,91 (6); 0,03 (12) 2 Allianz 0,9181 0,16 (3); 0,07 (5); 0,09 (6); 0,13 (8); 0,55 (12) 3 Amplico 1 4 Aviva 1 5 AXA 1 6 Generali 1 7 ING 1 8 Nordea 1 9 Pekao 1 10 Bankowy 0,9931 0,00 (5); 0,09 (7); 0,8 (12); 0,11 (14) 11 Pocztylion 0,7689 0,14 (6); 0,03 (7); 0,82 (12) 12 Polsat 1 13 PZU 1 14 WARTA 1 Tabela 3.5. Efekty skali OFE w 2009 roku Lp Nazwa OFE e_crs e_vrs e_nirs e_s_vrs e_s_nirs 1 AEGON 0,8096 0,8162 0,8096 0,9919 1 2 Allianz 0,8999 0,9181 0,8999 0,9802 1 3 Amplico 1 1 1 1 1 4 Aviva 1 1 1 1 1 5 AXA 1 1 1 1 1 6 Generali 1 1 1 1 1 7 ING 1 1 1 1 1 8 Nordea 1 1 1 1 1 9 Pekao 1 1 1 1 1 10 Bankowy 0,9094 0,9931 0,9094 0,9157 1 11 Pocztylion 0,7194 0,7689 0,7194 0,9356 1 12 Polsat 1 1 1 1 1 13 PZU 0,8739 1 1 0,8739 0,8739 14 WARTA 1 1 1 1 1 3.3. Ranking obiektów a superefektywność Wskaźnik efektywności ˆθ dobrze nadaje się do porządkowania jednostek decyzyjnych. Intuicyjnie zrozumiałe jest, że w tak utworzonym rankingu obiekty o niższym wskaźniku efektywności zajmować będą dalsze pozycje. Problem stanowią jednak obiekty efektywne, ponieważ dla każdego z nich ˆθ = 1. Pojawia się więc nadmiar liderów rankingu. Taka sytuacja nie wystąpi jedynie wtedy, gdy w pełni efektywny okaże się tylko jeden obiekt. Rozwiązanie problemu stanowi wykorzystanie pojęcia tzw. superefektywności. W modelu DEA z superefektywnością nadal oceniamy DMU na tle wszystkich pozostałych obiektów, ale po tym razem następuje to wyłączeniu go ze zbioru. Sama nazwa wzięła stąd, że wskaźnik efektywności może przyjmować wartości większe od 1, a model możemy traktować jako uogólnienie klasycznych modeli DEA. Do wyznaczenia superefektywności używa się modeli CCR (tak zorientowanych na nakłady, jak i na efekty).

30 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA Punkt wyjścia modeli z superefektywnością jest następujący: jeżeli inne obiekty radzą sobie z zadaniami danego DMU gorzej od niego, to jest on efektywny. Założenia dla modelu zorientowanego na nakłady sformułowane przez Bankera, Gilforda, Andersena i Petersena brzmią jak poniżej: 1. model CCR rozszerzamy o warunek, że własny (tj. dla analizowanego obiektu) współczynnik λ jest równy zero; 2. współczynnik ˆθ nie musi być mniejszy lub równy 1. Pomijając powyższe założenia, w modelu zorientowanym na nakłady nadal minimalizujemy współczynnik efektywności. Poszukujemy więc takich wartości λ ij, których kombinacja wyznaczająca technologię wspólną zapewni przynajmniej efekty osiągane przez DMU i przy czym nakłady technologii wspólnej są proporcjonalne do nakładów obiektu DMU i, lecz nie występuje w niej technologia tego obiektu. Rozpatrujemy więc daną jednostkę decyzyjną na tle zbioru wszystkich pozostałych jednostek, które traktować należy jako konkurencyjne wobec niej. Optymalną wartość funkcji celu w zorientowanym na nakłady modelu z superefektywnością interpretujemy jako minimalne nakłady konkurentów wymagane do zrealizowania efektów danego obiektu decyzyjnego. Wartość współczynnika ˆθ < 1 modelu z superefektywnością oznacza, że obiekt jest nieefektywny, a więc konkurencja uporałaby się z jego zadaniami wykorzystując mniejsze nakłady. Z kolei dla obiektu efektywnego zachodzi ˆθ 1, przy czym: 1. ˆθ > 1 oznacza, że dla osiągnięcia efektów danej jednostki decyzyjnej konkurenci potrzebowaliby więcej nakładów niż te, które badana jednostka faktycznie poniosła; 2. ˆθ = 1 oznacza, że dana jednostka decyzyjna jest nie gorsza od konkurentów. Pomiędzy efektywnościami e_crs z modeli klasycznych a takimi, w których wprowadzono superefektywność występują pewne różnice: 1. w przypadku obiektów nieefektywnych wartość współczynnika efektywności jest w obu typach modeli taka sama; 2. w przypadku obiektów efektywnych z punktu widzenia klasycznego modelu CCR superefektywność jest różna dla tych jednostek i pozwala na określenie, który DMU jest bardziej efektywny. Dzięki drugiej z wymienionych różnic otrzymujemy możliwość uporządkowania obiektów od najbardziej do najmniej efektywnego. Warto przy tym pamiętać, że tak wyznaczony ranking będzie identyczny dla modelu zorientowanego na nakłady i zorientowanego na efekty. Przypomnijmy, że w klasycznym modelu DEA obiekty efektywne lokowały się na granicy efektywności. Jednak wykluczenie jednego z obiektów przy ustalaniu rozwiązania optymalnego powoduje, że tworzy się odmienna od dotychczasowej, lokalna granica efektywności o następujących własnościach: 1. każdemu obiektowi efektywnemu odpowiada inna lokalna granica efektywności pod warunkiem, że każdy z nich ma inną technologię. W przeciwnym wypadku kilku obiektom może odpowiadać jedna granica lokalna; 2. dla obiektu nieefektywnego lokalna i globalna granica efektywności jest taka sama; 3. jeśli obiekt nieefektywny leży na lokalnej granicy efektywności innego obiektu jego efektywność nie jest równa 1.

3.3. Ranking obiektów a superefektywność 31 Przykład wyznaczania superefektywności Powyższe rozważania zilustrujemy przykładem bazującym na danych dotyczących rynku funduszy emerytalnych w 2009 roku. Obliczenia wykonaliśmy dla zorientowanego na nakłady modelu CCR, w którym uwzględniliśmy występowanie superefektywności a wyniki umieściliśmy w tabeli 3.6. Oczywiście fundusze, które były nieefektywne w tabeli 3.2 nadal pozostają nieefektywne z tymi samymi wartościami współczynników. Z kolei tabela 3.7 zawiera ranking OFE z punktu widzenia osiąganej przez nie efektywności. Przez superefektywność względną należy rozumieć podzielenie wartości każdego ze wskaźników efektywności przez najwyższy otrzymany wynik ˆθ. Tabela 3.6. Wyniki optymalizacji zorientowanego na nakłady modelu CCR z superefektywnością Lp Nazwa OFE Efektywność λ j (benchmark) 1 AEGON 0,8096 0,02 (3); 0,91 (6); 0,01 (7) 2 Allianz 0,8999 0,17 (3); 0,06 (5); 0,09 (6); 0,14 (8); 0,45 (12) 3 Amplico 1,0631 4 Aviva 1,7343 5 AXA 3,2268 6 Generali 1,5322 7 ING 2,1732 8 Nordea 1,8506 9 Pekao 1,2016 10 Bankowy 0,9094 0,01 (5); 0,11 (7); 0,78 (12) 11 Pocztylion 0,7194 0,17 (6); 0,03 (7); 0,67 (12) 12 Polsat 2,3317 13 PZU 0,8739 0,41 (5); 0,46 (7); 0,34 (8) 14 WARTA 1,0140 Tabela 3.7. Ranking OFE na podst. modelu z superefektywnością Superefektywność Lp Nazwa OFE bezwzględna względna 1 AXA 3,2268 1 2 Polsat 2,3317 0,7226 3 ING 2,1732 0,6735 4 Nordea 1,8506 0,5735 5 Aviva 1,7343 0,5375 6 Generali 1,5322 0,4748 7 Pekao 1,2016 0,3724 8 Amplico 1,0631 0,3295 9 WARTA 1,0140 0,3142 10 Bankowy 0,9094 0,2818 11 Allianz 0,8999 0,2789 12 PZU 0,8739 0,2708 13 AEGON 0,8096 0,2509 14 Pocztylion 0,7194 0,2229 Najbardziej efektywnym funduszem emerytalnym w 2009 roku okazał OFE AXA (por. tabela 3.7). Aby osiągnąć swoje efekty potrzebował on ponad trzy razy mniej nakładów niż musiałyby

32 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA ich zużyć pozostałe fundusze w ramach optymalnej technologii wspólnej. Konkurenci najsłabszego z funduszy efektywnych OFE WARTA dla osiągnięcia jego efektów musieliby ponieść nakłady zaledwie o 1,4% większe od tych jakie empirycznie zastosował OFE WARTA. Analizując względną superefektywność zauważamy, że efektywność drugiego na liście OFE Polsat stanowi niewiele ponad 70% efektywności najlepszego funduszu. Najmniej efektywny Pocztylion charakteryzuje się jeszcze mniej korzystnym stosunkiem, bo wynoszącym nieco ponad 20%. Świadczy to o dużym zróżnicowaniu efektywności poszczególnych funduszy emerytalnych. Wyznaczając technologie optymalne obiektów efektywnych w sensie modelu CCR musimy pamiętać, że w tym wypadku otrzymujemy technologie optymalne konkurentów danego obiektu. W przypadku nieefektywnych jednostek decyzyjnych postępowanie mające na celu otrzymanie technologii optymalnej nie różni się od tego z klasycznego modelu CCR. Z uwagi na to, że w modelu z superefektywnością współczynnik ˆθ i może być większy od 1, ale nie określamy jego górnej wartości istnieje niebezpieczeństwo, że przyjmie on bardzo duże wartości. Mówimy wtedy o braku jednorodności zbioru obiektów wybranych do badania. Zwróćmy uwagę, że dla zwykłych modeli DEA takiego wniosku nie jesteśmy w stanie wyciągnąć. Za nietypowe uznajemy te obiekty, dla których superefektywność znalazła się poza pewną, założoną z góry granicą. W tym celu ustalamy progi górny (θ G ) i dolny (θ D ) po czym porównujemy z nimi efektywności uzyskane w toku obliczeń. Jeżeli ˆθ i > θ G lub ˆθ i < θ D obiekt taki uznajemy za nietypowy i usuwamy ze zbioru. Całe postępowanie da się ująć w ramy następującej procedury: 1. Rozwiązujemy zadanie dla wszystkich obiektów. 2. Odrzucamy te obiekty, dla których zachodzi ˆθ i > θ G. 3. Rozwiązujemy zadanie ponownie, już dla nowego zbioru obiektów. 4. Jeżeli nadal występują obiekty o ˆθ i > θ G wracamy do etapu 2. W przeciwnym przypadku przechodzimy dalej. 5. Odrzucamy obiekty, dla których zachodzi ˆθ i < θ D. 6. Tak otrzymany zbiór możemy uznać za jednorodny. Etap odrzucania obiektów o zbyt małej wartości ˆθi przeprowadzamy na końcu ponieważ po ponownym obliczeniu wskaźniki efektywności będą nie mniejsze od poprzednich. Zatem tak w pełnym, jak i w zredukowanym zbiorze obiektów cały czas będzie zachodzić ˆθ i < θ D. 3.4. Dynamika zmian w modelach DEA Modele DEA oparte na efektywności Farrella nie muszą ograniczać się do analiz o charakterze statycznym. Istnieje również możliwość badania zmian dynamiki efektywności. Jako punkt wyjścia potraktujemy tzw. odległość Shepharda (D (x,y )). Jest to odwrotność optymalnej efektywności z modelu zorientowanego na nakłady czyli 1/ˆθ. Pochodzić więc może bezpośrednio z modelu CCR zorientowanego na efekty (taką właśnie interpretację ma tam wartość funkcjis celu) lub może zostać obliczona na podstawie wyników optymalizacji modelu CCR zorientowanego na nakłady. Zapiszemy zatem: D (x,y ) = 1ˆθ (3.4)

3.4. Dynamika zmian w modelach DEA 33 Tabela 3.8. Sposoby wyznaczania odległości Shepharda LHS RHS D (x,y ) technologia obiekt D t (x t,y t ) z okresu t z okresu t D t+1 (x t+1,y t+1 ) z okresu t + 1 z okresu t + 1 D t (x t+1,y t+1 ) z okresu t z okresu t + 1 D t+1 (x t,y t ) z okresu t + 1 z okresu t Symbol przy D oznacza technologię w okresie t lub t + 1 (przy założeniu, że porównujemy dwa sąsiednie okresy) zaś przy zmiennych (x,y) okres z którego pochodzą nakłady i efekty. Odległości Shepharda obliczamy określając w odpowiedni sposób parametry lewych oraz prawych stron ograniczeń obecnych w modelu DEA co ilustruje tabela 3.8. W związku z zależnościami podanymi w tabeli 3.8 odległości D t (x t,y t ) oraz D t+1 (x t+1,y t+1 ) otrzymujemy na przykład poprzez rozwiązanie zorientowanych na efekty modeli CCR dla danych dotyczących nakładów i efektów pochodzących z okresów odpowiednio t i t + 1. Model zorientowany na efekty pozwalający wyznaczyć odległości Shepharda D t (x t+1,y t+1 ) prezentuje się jak poniżej: θ = θ max (3.5) n x t pjλ j x t+1 pi (3.6) n y t rjλ j θy t+1 ri (3.7) λ j 0 (3.8) Odległości dane jako D t+1 (x t,y t ) wyznaczymy z następującego modelu: θ = θ max (3.9) n x t+1 pj λ j x t pi (3.10) n y t+1 rj λ j θy t ri (3.11) λ j 0 (3.12) Zmiany efektywności (zwanej w literaturze w tym przypadku również produktywnością) pomiędzy okresami t oraz t + 1 możemy oceniać wykorzystując tzw. indeksy Malmquista. Opierają się one na modelach CCR a więc nie informują o zmianach efektów skali. Warto przy tym dodać, że niezależnie od tego czy wyznaczymy je na podstawie modelu zorientowanego na nakłady czy na efekty ich wartość liczbowa będzie taka sama. Indeks Malmquista dla okresu t ma postać:

34 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA M t (x t,y t,x t+1,y t+1 ) = Dt (x t+1,y t+1 ) D t (x t,y t ) Z kolei indeks Malmquista dla okresu t + 1 obliczamy następująco: (3.13) M t+1 (x t,y t,x t+1,y t+1 ) = Dt+1 (x t+1,y t+1 ) D t+1 (x t,y t ) (3.14) Wzór (3.13) porównuje efektywność (produktywność) obiektu w okresie t + 1 z jego efektywnością w okresie t, wykorzystując jako punkt odniesienia technologię z okresu t. Natomiast wzór (3.14) pozwala na porównywanie efektywności) obiektu w okresie t + 1 z jego efektywnością w okresie t, wykorzystując jako punkt odniesienia technologię z okresu t + 1. Indeksy Malmquista uśredniamy przy pomocy średniej geometrycznej w celu określenia zmian w efektywności działania obiektu pomiędzy okresami t i t + 1 (wzór (3.15)). M t,t+1 (x t,y t,x t+1,y t+1 ) = Po przekształceniach średniej geometrycznej uzyskamy: D t (x t+1,y t+1 ) D t (x t,y t Dt+1 (x t+1,y t+1 ) ) D t+1 (x t,y t ) (3.15) gdzie: M t,t+1 (x t,y t,x t+1,y t+1 ) = T E(x t,y t,x t+1,y t+1 ) T C(x t,y t,x t+1,y t+1 ) (3.16) T E(x t,y t,x t+1,y t+1 ) = Dt+1 (x t+1,y t+1 ) D t (x t,y t ) T C(x t,y t,x t+1,y t+1 ) = D t (x t+1,y t+1 ) D t+1 (x t+1,y t+1 ) D t (x t,y t ) D t+1 (x t,y t ) (3.17) (3.18) TE wyraża zmianę efektywności technicznej, która określa relatywną zmianę efektywności obiektu pomiędzy okresami t i t + 1 bez uwzględnienia zmiany położenia krzywej efektywności (efektywność jest mierzona względem krzywej z odpowiedniego okresu t albo t + 1). TC zaś jest miernikiem zmiany technicznej (związanej z postępem technologicznym), która określa relatywną (w rozumieniu zmiany położenia krzywej efektywności) zmianę efektywności, mierzoną osobno względem technologii z dwóch różnych okresów, tzn. efektywność obiektu w okresie t jest mierzona względem technologii z okresu t + 1, a efektywność obiektu w okresie t + 1 jest mierzona względem technologii z okresu t (następuje przesunięcie krzywej efektywności między okresem t a t + 1). Jeżeli jesteśmy zainteresowani oceną dynamiki zmian efektywności w czasie z uwzględnieniem wpływu efektów skali obliczamy indeksy oparte na modelu CCR (krzywa CRS) i modelu BCC (krzywa VRS). Indeks zmiany czystej efektywności technicznej (PTE) oraz indeks zmiany skali efektywności (SE) dla modelu zorientowanego na efekty opisują równania: P T E(x t,y t,x t+1,y t+1 ) = Dt+1 V RS (xt+1,y t+1 ) D t V RS (xt,y t ) (3.19)

3.4. Dynamika zmian w modelach DEA 35 SE(x t,y t,x t+1,y t+1 ) = D t+1 CRS (xt+1,y t+1 ) DCRS t (xt,y t ) / Dt+1 V RS (xt+1,y t+1 ) D t V RS (xt,y t ) (3.20) Dla modelu zorientowanego na nakłady odpowiednie równania mają postać: P T E(x t,y t,x t+1,y t+1 ) = Dt V RS (xt,y t ) D t+1 V RS (xt+1,y t+1 ) SE(x t,y t,x t,y t DCRS t ) = (xt,y t ) D t+1 CRS (xt+1,y t+1 ) / Dt V RS (xt,y t ) D t+1 V RS (xt+1,y t+1 ) (3.21) (3.22) Odległość obliczona na podstawie modelu BCC zorientowanego na nakłady nie jest odwrotnością odległości wyliczonej z modelu zorientowanego na efekty. Dlatego indeksy PTE i SE w przypadku orientacji na nakłady i na efekty nie muszą być jednakowe. Przykłady analizy dynamiki w metodzie DEA Na początek wyznaczymy odległości Shepharda wymienione w tabeli 3.8. Ponownie wykorzystamy znane nam już informacje na temat OFE. Rozszerzymy je dodatkowo o kolejny 2010 rok, z którego pochodzą dane zawarte w tabeli 3.9. Same odległości D (x,y ) znalazły się w tabeli 3.10. Przyjmujemy, że t oznacza rok 2009 zaś t + 1 rok 2010. W tabeli tej zamieściliśmy wyniki optymalizacji modeli CCR zorientowanych na efekty. Tabela 3.9. Dane na temat OFE w 2010 r. Fundusz Martwe Opuściło Koszty Przystąpiło Składki Jednostka Przychody rach. rozr. AEGON 83303 41602 48,21 60705 923,37 28,59 295,65 Allianz 30570 16845 35,31 21681 697,76 27,4 211,04 Amplico 35299 45485 93,18 43437 1717,88 28,12 528,41 Aviva 55125 142638 247,48 17727 5192,85 28,72 1755,71 AXA 34264 36151 65,28 136196 1375,03 28,92 422,72 Generali 70397 21506 55,4 56479 1140,52 30,52 338,91 ING 101347 101319 223,65 50042 5836,23 31,07 1761,14 Nordea 56665 41375 48,26 60425 1005,26 29,55 302,89 Pekao 26923 13589 18,11 19835 410,67 27,8 118,56 Bankowy 58087 23535 34,24 60039 624 28,17 197,29 Pocztylion 48147 19692 23,42 5941 527,15 27,16 137,54 Polsat 13279 12878 10,51 1310 287,8 31,97 55,47 PZU 92117 65508 142,41 53809 3076,12 29,38 978,47 WARTA 29316 21385 16,54 15882 343,17 29,48 101,58 Przypomnijmy, że odległość Shepharda możemy otrzymać bezpośrednio rozwiązując model zorientowany na efekty. Zgodnie z zasadami przedstawionymi w tabeli 3.8 wartość D t (x t,y t ) to nic innego jak model CCR dla 2009 roku. Dlatego nie powinno nas dziwić, że nieefektywne okazały się te same fundusze co w modelu CCR zorientowanym na nakłady. Na przykład OFE Pocztylion, aby osiągnąć stuprocentową efektywność powinien (przy niezmienionych nakładach) wytwarzać efekty średnio o 39% większe od dotychczasowych.

36 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA Tabela 3.10. Odległości Shepharda dla OFE w latach 2009-2010 Fundusz D t (x t,y t ) D t+1 (x t+1,y t+1 ) D t (x t+1,y t+1 ) D t+1 (x t,y t ) AEGON 1,2351 1,1113 1,2730 1 Allianz 1,1112 1 1 1 Amplico 1 1,0832 1,0069 1 Aviva 1 1 1 1 AXA 1 1 1 1 Generali 1 1 1 1 ING 1 1 1 1 Nordea 1 1,0890 1,2259 1 Pekao 1 1 1 1 Bankowy 1,0996 1,0195 1 1 Pocztylion 1,3900 1,1562 1,0482 1 Polsat 1 1 1 1 PZU 1,1443 1,1069 1,1695 1 WARTA 1 1,0076 1,0139 1 Kolumna D t+1 (x t+1,y t+1 ) zawiera wyniki optymalizacji zorientowanego na efekty modelu CCR dla 2010 roku. Zmienił się w tym wypadku zbiór funduszy nieefektywnych. Znalazły się w nim: AEGON, Amplico, Nordea, Bankowy, Pocztylion, PZU i WARTA. Najsłabiej ponownie wypadł Pocztylion, który w 2010 roku powinien zwiększyć stopień osiąganych efektów średnio rzec biorąc około 1,16 razy. Tabela 3.11. Indeks dynamiki Malmquista i jego składowe dla OFE w latach 2009-2010 Fundusz TE TC Malmquist AEGON 0,8998 1,1895 1,0702 Allianz 0,8999 1,0541 0,9486 Amplico 1,0832 0,9641 1,0444 Aviva 1 1 1 AXA 1 1 1 Generali 1 1 1 ING 1 1 1 Nordea 1,0890 1,0610 1,1554 Pekao 1 1 1 Bankowy 0,9272 1,0385 0,9629 Pocztylion 0,8318 1,1226 0,9338 Polsat 1 1 1 PZU 0,9673 1,0996 1,0636 WARTA 1,0076 1,0031 1,0107 Średnia 0,9790 1,0380 1,0135 Na podstawie wyników, które znalazły się w tabeli 3.11 możemy stwierdzić, że bez uwzględniania efektów skali (tj. interpretując jej ostatnią kolumnę) największy wzrost produktywności w 2010 roku w porównaniu do roku 2009 odnotował OFE Nordea. Zwiększyła się ona o 15,54%. Fundusz ten miał również jeden z większych wzrostów efektywności technicznej o czym poniżej. Z kolei największy spadek zaobserwowaliśmy w przypadku OFE Pocztylion a wyniósł on 6,62%. Warto zwrócić również uwagę na to, że sześć funduszy nie odnotowało zmian produktywności w analizowanym okresie w związku z czym średnia produktywność dla całego rynku wzrosła

3.4. Dynamika zmian w modelach DEA 37 Tabela 3.12. Indeksy dynamiki uwzględniające wpływ efektów skali dla OFE w latach 2009-2010 Orientacja na efekty nakłady Fundusz PTE SE PTE SE AEGON 1,0028 0,8972 1,1046 1,0061 Allianz 0,9020 0,9977 1,0892 1,0202 Amplico 1,0812 1,0018 0,9438 0,9782 Aviva 1 1 1 1 AXA 1 1 1 1 Generali 1 1 1 1 ING 1 1 1 1 Nordea 1,0355 1,0517 0,9265 0,9911 Pekao 1 1 1 1 Bankowy 0,9631 0,9627 1,0069 1,0712 Pocztylion 1,0057 0,8270 1,1479 1,0474 Polsat 1 1 1 1 PZU 1,0494 0,9218 0,9045 1,1430 WARTA 1,0068 1,0008 0,9956 0,9968 zaledwie o 1,35%. Ponadto, żaden z owych sześciu funduszy nie charakteryzował się zmianami składników TE oraz TC. Analizując zmianę efektywności technicznej bez uwzględniania zmiany położenia krzywej efektywności (kolumna TE tabeli 3.11) możemy powiedzieć, że największy wzrost (o 8,9%) wystąpił również w przypadku OFE Nordea oraz Amplico (8,32%). Największy spadek obserwujemy ponownie u OFE Pocztylion, dla którego wyniósł on 16,82%. Rynek OFE jako całość zanotował średnio rzecz biorąc spadek efektywności technicznej rzędu 2,1%. Zmiana techniczna (związana z postępem technologicznym), uwzględniająca zmianę położenia krzywej efektywności zaprezentowana w kolumnie TC naszej tabeli najsilniej zaznaczyła swoją obecność w przypadku OFE AEGON (wzrost o 18,95%) oraz Pocztylion (wzrost o 12,26%). Obecność drugiego z wymienionych funduszy jest tu sporym zaskoczeniem, ponieważ w dotychczasowych analizach plasował się on w grupie najsłabszych obiektów. Jak widać duży wzrost w dziedzinie postępu technicznego nie zrównoważył w jego przypadku spadku efektywności technicznej w dostatecznym stopniu. Największy spadek wielkości TC wystąpił dla OFE Amplico i wyniósł 3,59%. Fundusz ten był wymieniony wcześniej w gronie OFE o największym wzroście efektywności technicznej. Średnia wartość TC dla wszystkich funduszy wskazuje, że nastąpił 3,8% wzrost efektywności związany z postępem technicznym. W tabeli 3.12 zawarliśmy wyniki obliczeń indeksów PTE i SE uwzględniających zmianę efektów skali. Indeks zmian czystej efektywności technicznej (PTE) dla modelu zorientowanego na efekty przyjął największą wartość OFE Amplico, który w 2010 roku w porównaniu do roku 2009 zanotował wzrost wynoszący 8,12%. Z kolei w modelu zorientowanym na nakłady największy wzrost na poziomie 14,79% obserwujemy w przypadku OFE Pocztylion. Najniższe wartości tego indeksu to odpowiednio: spadek o 9,8% dla OFE Allianz oraz 9,55% dla OFE PZU Złota Jesień". Interpretując indeks zmiany skali efektywności (SE) dla modelu zorientowanego na efekty zauważamy, że największy wzrost efektów skali (o 5,17%) wystąpił w przypadku OFE Nordea. Za to największy spadek (o 17,3%) odnotował OFE Pocztylion. Jeśli chodzi o model zorientowany

38 3. Wybrane typy analiz w metodzie DEA na nakłady, to analogiczne wielkości są następujące: OFE PZU wzrost o 14,3% i Amplico spadek o 2,18%. 3.5. Wpływ własności danych empirycznych na wyniki modelu CCR Efektywność wyznaczana z modelu CCR i innych zależy nie tylko od różnic między obiektami. Zależy ona również od pewnych własności związanych ze zgromadzonym materiałem empirycznym. Mamy tu na myśli zmiany liczby nakładów i efektów, dodawanie nowych obiektów czy występowanie korelacji między składowymi modelu. Jeżeli na przykład zwiększamy liczbę nakładów i/lub efektów efektywność obiektów zwykle rośnie a przynajmniej nie maleje. Różnice wskaźników efektywności między obiektami ulegają zmniejszeniu. Efektywność DMU nieefektywnego nie pogarsza się a może nawet wzrosnąć zaś jednostki decyzyjne, które były do tej pory efektywne pozostają efektywnymi. Z drugiej strony duży wzrost ilości nakładów/efektów powoduje (zwłaszcza w modelu CCR) pojawienie się dużej liczby obiektów efektywnych. W modelu CCR wyniki są bardziej zróżnicowane przy niewielkiej liczbie nakładów/efektów. Ponadto zmiana liczby nakładów i/lub efektów wywołuje zmiany wartości współczynników lambda. We wcześniejszych rozważaniach poświęciliśmy nieco uwagi kwestii liczby obiektów analizowanych metodą DEA. Nie były to rozważania bezpodstawne. Na dołączenie kolejnego obiektu do już istniejącego zbioru należy patrzeć z punktu widzenia jego efektywności. Pojawienie się DMU nieefektywnego nie zmienia wskaźnika efektywności już uwzględnionego obiektu. Jednakże dołączenie obiektu w pełni efektywnego powoduje, że efektywność pozostałych obiektów spada lub co najwyżej pozostaje na dotychczasowym poziomie. Tym samym liczba obiektów efektywnych zmienia się w miarę dodawania kolejnych DMU. Niekiedy decydujemy się na wprowadzenie nakładów i efektów w postaci wskaźników natężenia zamiast jednostek naturalnych. Przechodzimy więc przykładowo z przychodów w mln zł na przychody w przeliczeniu na 10 tys. mieszkańców. Operacja taka nie pozostaje bez wpływu na wyniki optymalizacji w metodzie DEA. Wprowadzenie wskaźników natężenia sprawia, że wskaźnik efektywności obiektu może ulec zmianie. W konsekwencji zmienić się może liczba obiektów efektywnych. Inną operacją często wykonywaną na danych jest ich przeskalowanie czyli pomnożenie zmiennej przez pewną liczbę dodatnią. Okazuje się, że taka operacja nie zmienia wskaźnika efektywności obiektu. Innym rodzajem jest przesunięcie zmiennej czyli powiększenie jej o pewną stałą. W takim wypadku dodawanie wartości do zmiennej nie wpływa na obiekty efektywne, ale może wpłynąć na obiekty nieefektywne. Kolejną sytuacją z jaką się stykamy, szczególnie gdy korzystamy ze zmiennych ekonomicznych, jest występowanie korelacji między nimi. Zaznaczmy, że w przypadku metody DEA rozpatrujemy wyłącznie korelację dodatnią, ponieważ wzrost nakładów powinien powodować wzrost efektów. Po pierwsze należy podkreślić, że wysoka korelacja między nakładami a efektami oznacza degenerację rozwiązania. Jeżeli przynajmniej jeden efekt jest skorelowany (współczynnik korelacji równy 1) z przynajmniej jednym nakładem wtedy wszystkie obiekty są efektywne w sensie Farrela. W związku z tym na liście nakładów i efektów nie może występować ta sama zmienna. Jeśli

3.5. Wpływ własności danych empirycznych na wyniki modelu CCR 39 między nakładami a efektami korelacja występuje jako funkcja liniowa z wyrazem wolnym wtedy efektywność może odchylać się od 1 szczególnie jeśli wyraz wolny jest ujemny. Związki korelacyjne można również rozpatrywać w ograniczeniu wyłącznie do grupy nakładów lub efektów. Rozszerzenie modelu o nakład (efekt) będący liniową kombinacją innych nakładów (efektów) bez wyrazu wolnego nie powoduje zmiany rozwiązania. Jeżeli wyraz wolny jest różny od 0 wtedy rozwiązanie ulega zmianie przy czym najsilniejsze zmiany powoduje wyraz wolny dużo mniejszy od 0.

4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów 4.1. Nadwyżki efektów i niedobory nakładów w zadaniu standardowym Oryginalne modele DEA w jawny sposób uwzględniają w funkcji celu i ograniczeniach luzy nakładów i efektów rozumianych jako nadwyżki pierwszych i niedobory drugich dla technologii empirycznej w stosunku do technologii optymalnej. Mają one podobne znaczenie jak zmienne swobodne znane z badań operacyjnych z tym, że luzy w funkcji celu modelu DEA mogą pojawiać się z wagami różnymi od zera. Jednak w przeważającej liczbie zastosowań praktycznych nie uwzględnia się luzów w w modelach. Zacząć należy od tego, że po rozwiązaniu na przykład zadania CCR jesteśmy w stanie wyznaczyć kilka różnic o odmiennej interpretacji. Przez optymalne luzy nakładów rozumiemy różnice między nakładami technologii z promienia technologicznego, dla której ˆθ o = 1 a nakładami optymalnymi. Wiąże się to z istnieniem technologii dopuszczalnych poza promieniem technologicznym o czym pisaliśmy już wcześniej. Technologia optymalna najczęściej nie leży bowiem na promieniu, ale na krawędzi kostki określającej rzut punktu leżącego na promieniu technologicznym na odpowiednią oś. Różnicę tę możemy zapisać następująco: D o = ˆθ o x o ˆx o. Jej odjemna to nakłady ˆθ o -proporcjonalne a odjemnik to nakłady optymalne optymalne. Tylko gdy technologia optymalna leży bezpośrednio na promieniu technologicznym luzy są równe zero. Ich pojawienie się sygnalizuje, że utrzymywanie dotychczasowych nakładów poprzez przemieszczanie się po promieniu jest nieefektywne w sensie Pareto. Rozwiązanie dowolnego modelu DEA pozwala jednak wyznaczyć kilka innych zależności. Możemy określić nadwyżkę nakładów empirycznych nad optymalnymi czyli o = x o ˆx o oraz różnicę między nakładami empirycznymi a tymi z promienia technologicznego: δ o = x o ˆθ o x o. Przyjmijmy jednak definicję luzu analogiczną do definicji zmiennej swobodnej z badań operacyjnych czyli jest to różnica między lewą a prawą stroną danego ograniczenia. Dla nakładu n w obiekcie o otrzymamy wówczas: D on = θ n x no J λ oj x nj (4.1) Z kolei dla efektu r w obiekcie o różnica owa wyrażać się będzie wzorem: S or = J λ oj y rj y ro (4.2) Luzy wprowadzamy do modelu z wagami ε, które są dowolnie małymi liczbami dodatnimi. Uzyskamy w ten sposób model w postaci kanonicznej zapisany jak poniżej (dla przypadku modelu CCR zorientowanego na nakłady):

4.1. Nadwyżki efektów i niedobory nakładów w zadaniu standardowym 41 ( N ) R θ o ε D on + S or min (4.3) n=1 r=1 J x nj λ oj + D on = θ o x no (4.4) J y rj λ oj S or = y ro (4.5) θ o 1 (4.6) θ o ; λ o1,...,λ oj ; S o1,...,s or ; D o1,...,d on 0 (4.7) Wprowadzenie luzów do funkcji celu służy zasygnalizowaniu obniżenia efektywności obiektu z powodu deficytu efektów lub nadmiaru nakładów. Stąd założenie, że wagi ε są małymi liczbami dodatnimi. W ograniczeniach spełniają one podobną rolę jak zmienne swobodne. Zadania w postaci kanonicznej nie rozwiązuje się bezpośrednio, ale stosując specyficzną dla niego procedurę. Przechodzi ona następujące etapy: 1. Rozwiązujemy zadanie CCR w postaci standardowej i określamy optymalny mnożnik nakładów ˆθ o. 2. Jeżeli obiekt jest w pełni efektywny (ˆθ o = 1, ˆλ o,o = 1, λ oj = 0) to nie ma żadnych luzów i następuje koniec postępowania. Jeżeli jednak jego efektywność jest mniejsza od 1 przechodzimy do kroku 3. 3. Obliczamy prawe strony ograniczeń dla nakładów przy mnożniku ˆθ o : ˆx no = ˆθ o x no. 4. Rozwiązujemy model CCR(II), w którym ustala się nowe współczynniki λ oj maksymalizujące sumę luzów przy warunkach z zadania w postaci kanonicznej. Prawe strony warunków dotyczących nakładów równe są wartościom danym w kroku 3 zaś te dotyczące efektów zawierają efekty empiryczne. Model CCR(II) ma następującą postać: N R D on + S or max (4.8) n=1 r=1 J x nj λ oj + D on = ˆx no (4.9) J y rj λ oj S or = y ro (4.10) θ o ; λ o1,...,λ oj ; S o1,...,s or ; D o1,...,d on 0 (4.11) Ze względu na uwarunkowania metody DEA model (4.8)-(4.11) podlega istotnym ograniczeniom. Załóżmy najpierw, że interesuje nas maksymalizacja jedynie luzów dla nakładów. Minimalizacja θ w standardowym modelu zorientowanym na nakłady oznacza maksymalizację luzów dla nakładów. Nie ma więc sensu rozpatrywać zadania, w którym maksymalizuje się tylko luzy

42 4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów związane z nakładami. W szczególności mija się to z celem gdy w standardowym modelu CCR zorientowanym na nakłady luzy dla efektów i tak są zerowe. Po drugie różnice lambd pojawiają się między modelem standardowym a kanonicznym kiedy występują luzy dla efektów (efekt technologii optymalnej jest większy od efektu empirycznego). Wprowadzenie do modelu CCR(II) efektów empirycznych (y ro ) doprowadzi do tego, że przy nowych parametrach lambda otrzymana technologia nie będzie optymalna w sensie Pareto. Z powyższych powodów za bardziej właściwe należy uznać korzystanie z modelu standardowego. 4.2. Model z karami za luzy nakładów i efektów Wiemy już, że optymalne nakłady i efekty wyznaczone po rozwiązaniu na przykład zadania CCR różnią się od faktycznie poniesionych. W przypadku nakładów mówić będziemy o nadwyżce zaś w przypadku efektów o niedoborze tychże w stosunku do wielkości empirycznych. Stąd nadwyżkę nakładów możemy zdefiniować następująco: Wzór (4.12) można rozumieć trojako: S no = x no ˆx no (4.12) 1. Jako oszczędność nakładów optymalnych ˆx no technologii wspólnej w stosunku do nakładów ˆθ o -proporcjonalnych stanowiących ˆθ o krotność nakładów empirycznych. 2. Jako nadwyżkę nakładów ˆθ o -proporcjonalnych w stosunku do nakładów optymalnych. 3. Jako rozrzutność obiektu w wydatkowaniu nakładów (nakłady ponad miarę). Deficyt efektów w sensie ekonomicznym zapiszemy: D ro = ŷ ro y ro (4.13) W jego wypadku interpretacja również ma potrójne znaczenie: 1. Uzyskana przy nakładach ˆx no nadwyżka efektu optymalnej technologii ponad poziom efektu danego obiektu. 2. Niedobór rezultatu w stosunku do tego jaki ten obiekt mógłby uzyskać przy swoich nakładach ˆx no w technologii optymalnej. 3. Niewykorzystane możliwości generowania wyższych efektów przez dany obiekt. Obecność luzów nakładów i efektów wpływa na poziom efektywności danego obiektu. Ponoszenie nakładów ponad miarę lub osiąganie efektów niższych niż to możliwe obniża wartość ˆθ o i rodzi chęć skorygowania efektywności poprzez zmniejszenie pojawiających się luzów. Odbywa się to poprzez wprowadzanie do modelu kar za nadwyżki nakładów i/lub niedobory efektów. Wspomniana korekta może odbywać się albo poprzez zmniejszenie początkowej wartości ˆθ o o karę związaną z nadwyżką nakładów lub niedoborem efektów, albo rozwiązanie zadanie DEA, w którym kary za nadwyżkę nakładów lub niedobór efektów wprowadza się do funkcji celu. Zajmiemy się tym drugim przypadkiem. Poniżej prezentujemy model CCR zorientowany na nakłady, w którym funkcja celu została powiększona o kary nakładane na luzy nakładów i efektów:

4.2. Model z karami za luzy nakładów i efektów 43 θ o + K o min (4.14) J y rj λ oj D ro = y ro (4.15) J x nj λ oj + S no = θ o x no (4.16) θ o 1 (4.17) K o θ o (4.18) θ o ; λ o1,...,λ oj ; S o1,...,s or ; D o1,...,d on 0 (4.19) Wartość kar obecnych w funkcji celu obliczamy następująco: gdzie: N R K o = S no s no + D ro d ro (4.20) n=1 r=1 s no = d ro = 1 1 (4.21) N + R x no 1 1 (4.22) N + R y ro Wprowadzenie kar do modelu zwiększa zróżnicowanie efektywności zbioru obiektów. Ponadto parametry lambda w stosunku do modelu bez kar będą inne. Rozpatrzmy teraz ponownie przykład badania efektywności otwartych funduszy emerytalnych w 2009 roku. Dane do tego modelu znajdowały się w tabeli 3.1. Model dla OFE AEGON czyli obiektu nr 1 prezentuje się następująco 1 : θ o + K o min 33402λ o1 + 25355λ o2 +... + 16790λ o14 D 1o = 33402 832,46λ o1 + 1135,66λ +... + 335,55λ o14 D 2o = 832,46 25,19λ o1 + 24,02λ o2 +... + 25,79λ o14 D 3o = 25,19 278,3λ o1 + 182,7λ o2 +... + 98,41λ o14 D 4o = 278,3 75610λ o1 + 35635λ o2 +... + 37397λ o14 + S 1o = 75610θ o 54907λ o1 + 41314λ o2 +... + 19727λ o14 + S 2o = 54907θ o 19,91λ o1 + 20,64λ o2 +... + 12,1λ o14 + S 3o = 19,91θ o 1 Dla łatwiejszego porównania z modelem (4.14)-(4.19) pozostawiamy symbol o w miejscu przeznaczonym na numer obiektu.

44 4. Uwzględnianie luzów nakładów i efektów θ o 1 K o θ o θ o ; λ o1,...,λ oj ; S o1,...,s or ; D o1,...,d on 0 Kary jednostkowe dla luzów nakładów i efektów obliczone zostały według formuł (4.22) i (4.22). W tabeli 4.1 prezentujemy wyniki obliczeń dla modelu CCR z karami za luzy nakładów i efektów. Dodanie wartości kary powoduje podwyższenie wartości funkcji celu co sugeruje wyższą niż rzeczywista efektywność obiektu. Dlatego należy ją zmniejszyć o wartość K o i różnica ta również znalazła się w tabeli. Jest to zatem faktyczny poziom efektywności obiektu. Nie zmienia się jednak interpretacja wskaźnika efektywności ani wag intensywności wykorzystania technologii obiektów efektywnych. Poza tym obiekty efektywne wg klasycznego modelu CCR nadal pozostają efektywne. Dlatego najsłabiej nakłady na efekty przekładają się wciąż w przypadku OFE Pocztylion tak jak to miało miejsce we wcześniejszym przykładzie. W tym modelu technologię zorientowaną na ten fundusz tworzą technologie czterech innych funduszy efektywnych a mianowicie: OFE AEGON, OFE Generali, OFE ING i OFE POLSAT z wagami podanymi w ostatniej kolumnie tabeli 4.1. Ponadto zwiększa się zróżnicowanie wskaźników efektywności pomiędzy funduszami nieefektywnymi. Tabela 4.1. Wyniki modelu CCR z karami za luzy nakładów i efektów Lp OFE ˆθo K o ˆθo K o Parametry ˆλ oj 1 AEGON 0,9641 0,1536 0,8104 0,91(6), 0,02(7), 0,01(12) 2 Allianz 0,9309 0,0310 0,8999 0,17(3), 0,06(5), 0,09(6), 0,14(8), 0,45(12) 3 Amplico 1 0 1 4 Aviva 1 0 1 5 AXA 1 0 1 6 Generali 1 0 1 7 ING 1 0 1 8 Nordea 1 0 1 9 PEKAO 1 0 1 10 Bankowy 0,9684 0,0559 0,9125 0,11(7), 0,73(12) 11 Pocztylion 0,8285 0,0884 0,7401 0,05(1), 0,11(6), 0,03(7), 0,68(12) 12 POLSAT 1 0 1 13 PZU 0,9158 0,0420 0,8739 0,41(5), 0,46(7), 0,34(8) 14 Warta 1 0 1 To jednak nie wszystko. Uwzględnienie w modelu optymalizacyjnym kar za luzy nie oznacza jeszcze, że automatycznie będą one równe zero dla wszystkich obiektów. Jak można przekonać się na podstawie tabeli 4.2 dzieje się tak dla obiektów w pełni efektywnych. W pozostałych przypadkach pojawiają się nadwyżki niektórych nakładów oraz niedobory części efektów. Na przykład dla wymienionego wcześniej OFE Pocztylion liczba martwych rachunków powinna być o ponad 34 tysiące mniejsza zaś w stosunku do osiąganej przez niego efektywności liczba nowych członków winna być większa o prawie 1300 osób. W podobny sposób da się przeanalizować pozostałe wartości luzów z tabeli 4.2.

4.2. Model z karami za luzy nakładów i efektów 45 Tabela 4.2. Obliczone luzy nakładów i efektów Nakład/efekt Martwe Opuściło Koszty Przystąpiło Składki Jedn. Przychody Lp OFE rach. oper. rozr. 1 AEGON 0 6158 0 2942,47 728,44 0 0 2 Allianz 0 8955,93 0 0 0 0 0 3 Amplico 0 0 0 0 0 0 0 4 Aviva 0 0 0 0 0 0 0 5 AXA 0 0 0 0 0 0 0 6 Generali 0 0 0 0 0 0 0 7 ING 0 0 0 0 0 0 0 8 Nordea 0 0 0 0 0 0 0 9 PEKAO 0 0 0 0 0 0 0 10 Bankowy 10393,04 0 0 0 0 0 22,34 11 Pocztylion 34232,55 0 0 1277,05 0 0 0 12 POLSAT 0 0 0 0 0 0 0 13 PZU 3959,11 0 2,7 0 0 5,94 0 14 Warta 0 0 0 0 0 0 0 Jeżeli jednostkowe kary za luzy ulegają zwiększeniu wówczas rośnie wskaźnik efektywności i przy odpowiednio wysokich karach wszystkie luzy mogą się wyzerować. Tylko technologia własna obiektu pozbawiona jest bowiem luzów. Z kolei zmniejszanie kar za luzy powoduje, że rozwiązanie zbliża się do tego z klasycznej metody (na przykład CCR). Tak więc odpowiednio małe kary nie wpłyną na rozwiązanie zwykłego modelu. Mnożnik w modelu z karami za luzy jest nie mniejszy od mnożnika z modelu klasycznego. Wynika to po pierwsze z dwóch przed chwilą podanych własności a po drugie z faktu dołączenia do modelu dodatkowego ograniczenia. Wagi intensywności lambda zmieniają się ponieważ lista zmiennych decyzyjnych uległa rozszerzeniu właśnie o luzy.

5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną 5.1. Model efektywności nieradialnej Klasyczne podejście do metody DEA zakłada jednolitą efektywność wszystkich nakładów lub efektów. Założenie to da się jednak uchylić. Punktem wyjścia jest tzw. efektywność Russella, którą można potraktować jako uogólnienie efektywności Farrella-Debreu. W modelu zorientowanym na nakłady bada się w niej efektywność względem poszczególnych nakładów natomiast w modelu zorientowanym na efekty bada się efektywność względem poszczególnych efektów. Wskaźnikiem efektywności Russella w modelu zorientowanym na nakłady staje się średnia efektywności cząstkowych względem poszczególnych nakładów. θ = 1 N N θ n (5.1) n=1 Z tego powodu ten sam poziom wskaźnika efektywności Russella może być osiągany przy różnych kompensujących się efektywnościach cząstkowych. W modelu zorientowanym na efekty efektywność Russella wyznacza się jako odwrotność średniej arytmetycznej optymalnych efektywności cząstkowych. W modelu efektywności radialnej (Farrella) zmiany efektywności dokonują się poprzez proporcjonalne zmiany wszystkich nakładów lub efektów. W rezultacie przesuwamy się wzdłuż półprostej wychodzącej z początku układu współrzędnych. Punkty na tej półprostej określają zmiany nakładów lub efektów co w konsekwencji przekłada się na ich całkowitą komplementarność czyli zerową substytucyjność. Efektywność nieradialna zakłada, że efektywność cząstkowa ze względu na dany nakład lub efekt może być inna dla każdego nakładu (efektu) przy czym sama efektywność cząstkowa jest wciąż radialna. Jeżeli cząstkowe wskaźniki efektywności nie są identyczne to kombinacje nakładów i efektów nie układają się na promieniu technologicznym. W konsekwencji możliwa jest substytucyjność nakładów lub efektów. Możliwe jest także uwzględnienie zmian struktury nakładów czy efektów oraz zróżnicowanie ich efektywności. Nieradialny zorientowany na nakłady model CCR opisany został równaniami (5.2)-(5.7). W literaturze można niekiedy spotkać model, w którym minimalizuje się nie średnią a po prostu sumę cząstkowych wskaźników efektywności. Istnieje możliwość zastąpienia funkcji celu (5.2) średnią ważoną jeżeli z jakiegoś powodu niektóre nakłady są ważniejsze od innych. Ograniczenie (5.6) wyraża pożądane relacje między mnożnikami efektywności różnych nakładów. Mogą to być relacje typu równy, mniejszy lub równy albo większy lub równy. 1 N N θ no min (5.2) n=1

5.2. Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną 47 J λ oj y rj y ro (5.3) J λ oj x nj θ no x no (5.4) θ no 1 (5.5) θ no Rθ mo (5.6) θ 1o,...,θ No ; λ o1,...,λ oj 0 (5.7) Optymalny wskaźnik ˆθ no wyraża po pierwsze efektywność obiektu o ze względu na nakład n. Po drugie określa procent do jakiego należałoby zmniejszyć nakład n aby obiekt o uzyskał stuprocentową efektywność ze względu na ten nakład. Mnożniki optymalne dla poszczególnych nakładów wskazują przy jakich krotnościach nakładów obiektu o optymalna technologia wspólna pozwoli uzyskać efekt analogiczny do efektu tego obiektu przy minimalnych nakładach. Średnia wartości optymalnych cząstkowych wskaźników efektywności dla wszystkich nakładów jest wspomnianą wcześniej efektywnością Russella. 5.2. Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną Rozważmy teraz model CCR dla otwartych funduszy emerytalnych jako zadanie z nieradialną efektywnością Russella. Jako empiryczne nakłady i efekty wykorzystamy dane dla OFE obejmujące 2009 rok. Tabela 5.1. Wyniki nieradialnego modelu CCR dla OFE z 2009 r. Martwe Opuściło Koszty Lp OFE θ rach. ˆθ1 ˆθ2 oper. ˆθ 3 Parametry ˆλ oj 1 AEGON 0,7569 0,6659 0,6049 1 0,07(5), 0,62(6), 0,05(7), 0,2(12) 2 Allianz 0,8252 0,8404 0,6748 0,9604 0,21(3), 0,07(5), 0,16(8), 0,48(12) 3 Amplico 1 4 Aviva 1 5 AXA 1 6 Generali 1 7 ING 1 8 Nordea 1 9 PEKAO 1 10 Bankowy 0,7729 0,5765 0,9123 0,8299 0,02(5), 0,09(7), 0,78(12) 11 Pocztylion 0,5723 0,2849 0,6805 0,7514 0,13(6), 0,04(7) 0,7(12) 12 POLSAT 1 13 PZU 0,8373 0,5522 1 0,9596 0,34(4), 0,6(5), 0,1(7), 0,14(8) 14 Warta 1 Oczywiście efektywność Russella w tabeli 5.1 nie przekracza 1 gdyż jest ona średnią liczb zawierających się w przedziale od 0 do 1. Fundusze, które były efektywne w klasycznym modelu CCR w modelu z nieradialną efektywnością nadal są efektywne przy czym w tym wypadku

48 5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną interpretujemy to jako pełną efektywność ze względu na każdy z nakładów. Obiekty nieefektywne w sensie nieradialnym są nieefektywne ze względu na przynajmniej jeden nakład choć mogą być (jak na przykład OFE Pocztylion) nieefektywne ze względu na wszystkie nakłady. Wskaźnik efektywności zwykłego modelu CCR jest nie mniejszy od wskaźnika efektywności Russella. Wskaźnik efektywności klasycznego modelu CCR na ogól zawiera się między minimum a maksimum wskaźników dla nakładów nieradialnej CCR. Gdy liczba nakładów jest mała wskaźnik efektywności CCR jest często równy maksymalnemu cząstkowemu wskaźnikowi efektywności. Analizując cząstkowe efektywności funduszy nieefektywnych dowiadujemy się jaka jest efektywność obiektu z punktu widzenia poszczególnych nakładów. I tak na przykład OFE PZU jest bardzo nieefektywny jeśli chodzi o liczbę martwych rachunków, ale wykazuje się stuprocentową efektywnością w przypadku liczby członków, którzy opuścili w 2009 roku fundusz (opuścili go ci, którzy powinni). Jego technologia wykorzystania tego nakładu jest zatem w pełni efektywna. Dla kosztów operacyjnych efektywność znalazła się dość blisko 1. Analizując efektywności (czy raczej nieefektywności) cząstkowe funduszy gdzie θ < 1 możemy zaobserwować duże zróżnicowanie poziomów wskaźnika efektywności. Jeśli chodzi o efektywność wykorzystania martwych rachunków to fundusze nieefektywne generalnie nie radzą sobie z tym zjawiskiem przy czym najgorszą sytuację obserwujemy w OFE Pocztylion. Dysponując cząstkowymi efektywnościami możemy przygotować rankingi obiektów z punktu widzenia poszczególnych nakładów. Gdyby taką listę utworzyć dla liczby osób, które opuściły fundusz to liczba obiektów efektywnych byłaby o 1 większa od liczby obiektów efektywnych w sensie Russella gdyż znalazłby się na niej OFE PZU. Poza tym może dojść do zmian pozycji DMU na różnych listach rankingowych w zależności od rozpatrywanego nakładu. Formuły benchmarkingowe w modelu z nieradialną efektywnością są inne niż te z radialnego modelu CCR. Niektóre fundusze (np. Pocztylion) zachowały niezmienioną listę obiektów wzorcowych, ale występują one z innymi wagami. Z kolei inne mogą mieć bardzo różniące się formuły benchamrkingowe (por. np. PZU). Zresztą poprawa technologii może być teraz rozumiana dwojako: 1. jako poprawę wykorzystania tych nakładów, dla których cząstkowa efektywność jest mniejsza od 1; 2. jako poprawę efektywności wybranych nakładów, które wypadły pod tym względem najsłabiej. Model nieradialny pozwala również przeprowadzić analizę dysproporcji nakładów i efektów. Jeżeli wszystkie nakłady i efekty charakteryzują się taką samą efektywnością uznajemy je za zharmonizowane. Jeżeli przynajmniej jedna para nakładów lub para efektów ma różne cząstkowe wskaźniki efektywności to mówimy o pojawieniu się dysproporcji tym większej im większa jest wspomniana różnica efektywności. Stopień braku zharmonizowania można określić na przykład przy pomocy odchylenia standardowego lub po prostu obliczając rozstęp. Dla danych z tabeli 5.1 obliczyliśmy odchylenia standardowe współczynników efektywności poszczególnych funduszy. Dodatkowo tabelę 5.2 wzbogaciliśmy o współczynniki zmienności. Na jej podstawie stwierdzamy ogólnie spore niezharmonizowanie nakładów przy czym zdecydowanie

5.2. Wybrane analizy modelu z efektywnością nieradialną 49 najwyższe jest ono w przypadku OFE Pocztylion. Spośród funduszy nieefektywnych najbardziej zharmonizowane nakłady obserwujemy w OFE Allianz (najniższy współczynnik zmienności). Tabela 5.2. Ocena stopnia zharmonizowania efektywności funduszy Odchylenie Wsp. Lp OFE θ stand. zmienności 1 AEGON 0,7569 0,1737 0,2294 2 Allianz 0,8252 0,1171 0,1419 3 Amplico 1 0 0 4 Aviva 1 0 0 5 AXA 1 0 0 6 Generali 1 0 0 7 ING 1 0 0 8 Nordea 1 0 0 9 PEKAO 1 0 0 10 Bankowy 0,7729 0,1429 0,1849 11 Pocztylion 0,5723 0,2053 0,3587 12 POLSAT 1 0 0 13 PZU 0,8373 0,2022 0,2415 14 Warta 1 0 0 Gdy efektywność obiektu w modelu nieradialnym jest mniejsza od 1 możemy określić rozrzutność nakładu, której stopień wyraża zależność: β no = 1 ˆθ no (5.8) W tabeli 5.3 przedstawiona została rozrzutność nakładów nieefektywnych funduszy emerytalnych. Jak widać mamy w ich przypadku do czynienia z dużym niewykorzystaniem nakładów rzędu średnio 70-80%. Jak to już miało miejsce wcześniej ponownie zwraca uwagę liczba martwych rachunków. Najgorszy pod tym względem OFE Pocztylion ma ich aż ponad 70% za dużo. Tabela 5.3. Wskaźniki rozrzutności nakładów dla funduszy nieefektywnych Martwe Opuściło Koszty OFE rachunki oper. AEGON 0,3341 0,3951 0 Allianz 0,1596 0,3252 0,0396 Bankowy 0,4235 0,0877 0,1701 Pocztylion 0,7151 0,3195 0,2486 PZU 0,4471 0 0,0404 średnia 0,7914 0,7234 0,6785 Dla modelu z nieradialną efektywnością można również wyznaczyć luzy nakładów i efektów, ale należy pamiętać, że w modelu zorientowanym na nakłady luzy nakładów będą równe zero. Ponieważ wzrost liczby nakładów i/lub efektów powoduje wzrost wskaźnika efektywności wskaźnik z modelu nieradialnego może być traktowany jako sposób na dokładniejsze oszacowanie efektywności obiektu. Wiąże się to również z poglądem, że obecność luzów przyczynia się do obniżenia efektywności.

50 5. Model wykorzystujący efektywność nieradialną Izokwanty efektywności nieradialnego modelu CCR są nieliniowe co przekłada się na stabilność rozwiązań. Może się bowiem zdarzyć, że nawet niewielka zmiana nakładów spowoduje dużą zmianę efektywności oraz wag lambda. Ta sama zmiana efektywności wymagać będzie różnej skali nakładów a przecież model nieradialny zakłada możliwą substytucję nakładów.

6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA 6.1. Arkusz kalkulacyjny Z formalnego punktu widzenia metoda DEA jest zadaniem programowania ilorazowego, ale dzięki transformacji Charnesa-Coopera można dokonać przekształcenia w zadanie programowania liniowego, które dużo łatwiej rozwiązać. Problem polega na tym, że zadanie optymalizacyjne należy rozwiązać oddzielnie dla każdego obiektu. Gdy jest ich kilka nie stanowi to dużego problemu, lecz przy kilkudziesięciu lub kilkuset jednostkach decyzyjnych konieczne staje się sięgnięcie po oprogramowanie komputerowe. Celem tego dodatku jest zaprezentowanie możliwości wybranych narzędzi do poszukiwania rozwiązań modeli DEA. Istniejące komercyjne pakiety są dość kosztowne w zakupie dlatego ograniczymy się do narzędzi dostępnych za darmo. Na początek omówimy możliwości, które dają arkusze kalkulacyjne. Będziemy posługiwać się zrzutami ekranu z arkusza MS Excel, ale wykorzystane funkcje i formuły równie dobrze można zastosować na przykład w arkuszu Calc będącym częścią darmowego pakietu biurowego LibreOffice. Rysunek 6.1 przedstawia arkusz przygotowany do rozwiązania zorientowanego na nakłady modelu CCR. W kolumnie A znalazły się etykiety obiektów. Zakres B3:H16 zawiera empiryczne efekty i nakłady. Komórki J3:J17 przedstawiają zmienne decyzyjne modelu czyli parametry lambda. Zwróćmy uwagę na ostatnią komórkę wspomnianego zakresu. Jest ona opisana jako theta. Jest ona jednocześnie obecna w ograniczeniach i stanowi funkcję celu. Dlatego celowo wyróżniliśmy ją ossdzielnym odwołaniem pod adresem L3. Poniżej znajdują się formuły konieczne do rozwiązania zadania. Zakres B18:H18 zawiera lewą stronę ograniczeń odpowiadających poszczególnym nakładom i efektom. Powstaje ona prze pomnożenie wektora lambd przez odpowiednią kolumnę zakresu danych. Wykorzystaliśmy do tego celu funkcję SUMA.ILOCZYNÓW. Znaki nierówności w wierszu 19 pełnią jedynie informacyjny charakter. Przygotowany arkusz pozwala na rozwiązanie modelu DEA tylko dla jednego obiektu naraz. Postanowiliśmy ułatwić zmianę parametrów zadania wynikającą ze zmiany jednostki decyzyjnej. W tej chwili optymalizacja dokonywana jest dla OFE1. Wpisanie w komórce A21 etykiety innego funduszu spowoduje automatyczną zmianę parametrów zadania. Służy do tego funkcja WYSZUKAJ.PIONOWO, która pobiera nazwę aktualnie rozpatrywanego funduszu z komórki A21 a potem wyszukuje ją na liście znajdującej się w kolumnie A. Drugi argument tej funkcji przechowuje cały zakres włącznie z wartościami nakładów i efektów. Po znalezieniu wiersza odpowiadającego danemu obiektowi trzeci argument pobrany z wiersza 20 wskazuje który efekt

52 6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA Rysunek 6.1. Arkusz przygotowany do modelu CCR zorientowanego na nakłady lub nakład staje się prawą stroną ograniczenia. Formułę z komórki B21 należy skopiować dla wszystkich efektów czyli do komórki E21 włącznie. Jako że nasz model jest zorientowany na nakłady, prawe strony ograniczeń dotyczących nakładów właśnie są mnożone przez krotność wyrażoną parametrem theta. Z tego powodu wynik działania funkcji WYSZUKAJ.PIONOWO dla nakładów jest dodatkowo mnożony przez zawartość komórki J17. Taka formuła znalazła się w komórkach zakresu F21:H21. Po przygotowaniu arkusza uruchamiamy dodatek Solver arkusza MS Excel (w arkuszu Calc występuje on pod podobną nazwą). Sposób wprowadzenia parametrów zadania ilustruje zrzut na rysunku 6.2. Zwracamy uwagę żeby jako metodę rozwiązywania wybrać LP simpleks w miejsce domyślnej Nieliniowej GRG. Po rozwiązaniu otrzymujemy wskaźnik efektywności danego obiektu. Jeżeli będzie on nieefektywny wówczas w kolumnie J pojawią się wartości wag intensywności lambda, które ponadto wskażą obiekty efektywne wyznaczające benchmark. Oczywiście przedstawiony sposób wykorzystania arkusza kalkulacyjnego nie eliminuje konieczności ręcznego rozwiązywania modelu dla każdego obiektu oddzielnie. Jedynie czyni to mniej uciążliwym. Czytelnik obeznany z językiem VBA może jednak na bazie takiego arkusza napisać program, który w pełni zautomatyzuje procedury obliczeniowe. Nie taki jest wszakże cel niniejszego opracowania więc zostawiamy to zainteresowanym. Warto przy tym podkreślić, że arkusz o opisanej strukturze łatwo modyfikuje się do pozostałych typów modeli: zorientowanych na efekty, BCC, NIRS i innych. 6.2. Pakiet EMS Na potrzeby DEA powstaje również dedykowane oprogramowanie. Duża jego część jest płatna, ale istnieje darmowa alternatywa. Jest nią program EMS autorstwa Holgera Scheela. Program można pobrać ze strony www.holger-scheel.de/ems/. Od razu trzeba podkreślić, że najnowsza dostępna wersja pochodzi z 2000 roku. Program najwyraźniej nie jest już rozwijany, ale wciąż

6.2. Pakiet EMS 53 Rysunek 6.2. Parametry dodatku Solver dla modelu CCR zachowuje swoją funkcjonalność choć należy się spodziewać, że z upływem czasu i zmianami w systemach operacyjnych uruchomienie go będzie stwarzało coraz większe problemy. Sam program obsługuje się bardzo prosto. Dane wczytuje się z z plików.csv lub.xls 1. Arkusz musi nazywać się Data i zawierać wyłącznie dane do wczytania. Nazwę (pozbawioną polskich znaków) każdego nakładu należy opatrzyć symbolem {I} zaś efektu {O}. Ilustracja na rysunku 6.3 zawiera fragment arkusza przygotowany do wczytania. Rysunek 6.3. Arkusz z danymi do programu EMS Po wczytani danych wybieramy z menu DEA->Run model i przechodzimy do okna, w którym ustawiamy parametry rozwiązywanego modelu. Okno to znalazło się na rysunku 6.4. W zakładce Model wybieramy takie opcje jak rodzaj efektów skali, orientację czy superefektywność. Przykładowo na naszym rysunku obliczone zostaną wskaźniki efektywności dla zorientowanego na nakłady modelu CCR z uwzględnieniem superefektywności. Po wybraniu parametrów naciskamy Start i otrzymujemy wyniki obliczeń. Przykład wyników dla zorientowanego na nakłady modelu CCR prezentuje rysunek 6.5. Kolumna DMU zawiera etykiety jednostek decyzyjnych (o ile zostały jakieś przyjęte). W kolumnie Score znajdują się wartości wskaźników efektywności. Obiekty w pełni efektywne mają wyróżnione całe wiersze. Informacje w kolumnie Benchmarks różnią się w zależności od tego czy dany obiekt okazał się efektywny czy nie. W pierwszym przypadku podawana jest ilość obiektów 1 Z uwagi na zaawansowany wiek programu obsługiwany jest jedynie format MS Excel 97-2003.

54 6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA Rysunek 6.4. Okno wyboru modelu w programie EMS Rysunek 6.5. Okno wyników dla modelu CCR w EMS nieefektywnych, w których dana jednostka służy jako wzorzec. W drugim program informuje, które jednostki decyzyjne i z jakimi wagami (lambda) należy wykorzystać do utworzenia technologii mającej poprawić efektywność obiektu. Ostatnie kolumny oznaczone jako {S} podają luzy dla odpowiednich nakładów i efektów. Otrzymane wyniki mogą zostać wyeksportowane do plików.csv lub.xls. Zakładkę Options w oknie wyboru modelu możemy wykorzystać podczas wyznaczania indeksów Malmquista. Podręcznik użytkownika podpowiada inne rozwiązanie, ale jest ono dość skomplikowane. Rysunek 6.6 ilustruje jak przygotować opcje, w którym lewa i prawa strona ograniczeń pochodzą z tego samego okresu. Mamy do czynienia z trzema jednostkami decyzyjnymi o nakładach i efektach pochodzących z dwóch okresów. Dane w arkuszu zostały pogrupowane właśnie według okresów. Najpierw wszystkie obiekty z okresu t potem te same obiekty z okresu t+1. Na rysunku 6.6 widzimy ustawienia właśnie dla okresu t. Z kolei rysunek 6.7 obrazuje w jaki sposób przygotować program do obliczenia odległości Shepharda D t+1 (x t,y t ), w której

6.3. DEA w środowisku R 55 Rysunek 6.6. Odległość D t (x t,y t ) w EMS Rysunek 6.7. Odległość D t+1 (x t,y t ) w EMS lewa strona ograniczeń pochodzi z okresu wcześniejszego zaś prawa z późniejszego. Należy zatem czterokrotnie użyć EMS zmieniając opcje modelu po czym na przykład w arkuszu kalkulacyjnym obliczyć indeksy Malmquista według podanych wcześniej wzorów. 6.3. DEA w środowisku R Program EMS jest wygodny w użyciu, ale wobec zaniechania jego rozwoju przyjdzie moment, w którym nie będzie dało się go uruchomić bez karkołomnych operacji w systemie operacyjnym. Dlatego zaprezentujemy jeszcze jedno narzędzie a jest nim pakiet benchmarking napisany dla środowiska obliczeniowego R. Samo środowisko to zbiór funkcji i pakietów przeznaczonych głównie do analiz statystycznych i prognozowania udostępniane na licencji Open Source. Jednak ciągle powiększająca się społeczność zaowocowała wieloma interesującymi pakietami napisanymi przez użytkowników, które znacząco rozszerzają możliwości środowiska. Wersję instalacyjną R można pobrać ze strony www.cran.r-project.org. Tam również znajdziemy interesujący nas pakiet, ale można go zainstalować z poziomu konsoli programu (tzw.

56 6. Wykorzystanie komputera do obliczeń w metodzie DEA Y 0 5 10 15 D C A F E B 0 2 4 6 8 X Rysunek 6.8. Granica efektywności graficznie pakiet benchmarking RGui). W tym celu wybieramy w menu Pakiety->Zainstaluj pakiet(y), wybieramy jeden z serwerów po czym na liście znajdujemy benchmarking 2. Po zainstalowaniu przy pomocy poleceń Pakiety->Załaduj pakiet... uruchamiamy nasz pakiet. Typową cechą R i podobnych pakietów jest obsługa przy pomocy wiersza poleceń. Dlatego właśnie podamy wybrane zestawy poleceń. Jako pierwszy rozważymy przypadek przedstawienia metoda DEA graficznie co jest możliwe przy jednym nakładzie i jednym efekcie. Przyjrzyjmy się następującym poleceniom: x < matrix ( c ( 4, 3, 6, 7, 4, 5 ), n col =1,dimnames=l i s t (LETTERS[ 1 : 6 ], " x " ) ) y < matrix ( c ( 1 0, 4, 1 5, 1 6, 7, 1 0 ), ncol =1,dimnames=l i s t (LETTERS[ 1 : 6 ], " y " ) ) dea. p l o t ( x, y,rts="vrs ",ORIENTATION="in out ", txt=rownames ( x ) ) dea. p l o t ( x, y,rts="drs ",ORIENTATION="in out ", add=true, l t y ="dashed ", lwd=2) dea. p l o t ( x, y,rts="c r s ",ORIENTATION="in out ", add=true, l t y ="dotted ") Pierwsze dwa tworzą dwie zmienne x i y, które przechowują odpowiednio poziom nakładu oraz efektu dla sześciu obiektów. Wykorzystaliśmy w tym celu standardowe polecenia R. Funkcja dea.plot pochodzi już jednak z pakietu benchmarking. Jako jej argumenty podajemy macierze nakładów i efektów, rodzaj efektów skali i orientację. Pozostałe argumenty dotyczą efektów graficznych. Jak widać wywołaliśmy funkcję trzykrotnie za każdym razem podając inny rodzaj efektów skali. Efekty jej działania czyli granicę efektywności ilustruje wykres na rysunku 6.8. Zwykle jednak nie będziemy ręcznie wprowadzać danych. R posiada duże możliwości importu z różnych formatów, ale my ograniczymy się do plików typu.csv jako najbardziej uniwersalnych. Następne przykłady będą bazowały na danych z książki Guzika a dotyczących oceny efektywności funkcjonowania służby zdrowia w poszczególnych województwach. Znajdujący się poniżej listing przedstawia polecenia służące wczytaniu danych zebranych w pliku dane_guzik97.csv. Zmienna DaneDEA przechowuje wczytane dane. Kolejne polecenia tworzą macierze nakładów i efektów a następnie przypisują odpowiednie nazwy kolumnom i wierszom. DaneDEA< read. csv2 ( f i l e ="dane_guzik97. csv ", row. names=1, header=true) 2 Uwaga! Na liście znajduje się również pakiet benchmark, ale służy on do innych celów.

6.3. DEA w środowisku R 57 x< c b i n d ( DaneDEA$Majatek_I, DaneDEA$Lekarze_I, DaneDEA$Pielegniarki_ I ) y< cbind (DaneDEA$Zdrowi_O, DaneDEA$Leczeni_O ) naklady< c (" Majatek "," Lekarze "," P i e l e g n i a r k i ") efekty < c (" Zdrowi "," Leczeni ") dimnames ( x)< l i s t ( rownames ( x, do.null=false, p r e f i x ="woj. " ), naklady ) dimnames ( y)< l i s t ( rownames ( y, do.null=false, p r e f i x ="woj. " ), e f e k t y ) Kolejny ciąg poleceń pozwala obliczyć zorientowany na nakłady model CCR. Służy do tego funkcja dea, której rezultaty zostały zapamiętane w zmiennej zdrowie_ccr. Jej argumenty są następujące: macierz nakładów, macierz efektów, RTS rodzaj efektów skali, ORIENTATION orientacja modelu. Szczegółowe informacje na temat możliwych wartości tych parametrów zawiera podręcznik użytkownika. zdrowie_ccr< dea ( x, y, RTS="c r s ", ORIENTATION="in ") e f f ( zdrowie_ccr ) lambda ( zdrowie_ccr ) p r i n t ( p e e r s ( zdrowie_ccr, NAMES=TRUE), quote=false) summary ( zdrowie_ccr ) Rysunek 6.9. Wartości lambd z pakietu benchmarking Poszczególne olecenia służą wyświetlaniu poszczególnych składowych zapamiętanego rozwiązania. Wywołanie eff z argumentem w postaci zmiennej przechowującej wyniki optymalizacji wyświetli wskaźniki efektywności. Jak nietrudno się domyślić komenda lambda wywoła wartości wag intensywności. Kolumny odpowiadają obiektom efektywnym. Wiersze podają wagi intensywności wykorzystania technologii dla danej jednostki decyzyjnej. Jak możemy zauważyć na rysunku 6.9 na przykład dla województwa 5 benchmark wyznaczają województwa 7 i 14 z wagami odpowiednio 0,1761 oraz 0,7148. Nieco podobną funkcje pełni polecenie peers. Podaje ono po prostu listę obiektów tworzących benchmark dla danej jednostki decyzyjnej. Z kolei summary wyświetla krótkie podsumowanie wyników jako zestaw miar statystycznych. Na zakończenie warto dodać, że benchmarking pozwala na obliczenie superefektywności dzięki funkcji sdea. Jego składnia jest podobna jak przed chwilą opisanej funkcji dea.