Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski
Penn World Table PWT 6.3 Alan Heston, Robert Summers and Bettina Aten, Penn World Table Version 6.3, Center for International Comparisons of Production, Income and Prices at the University of Pennsylvania, August 2009. http://pwt.econ.upenn.edu/php_site/pwt_index.php
Standardowy model wzrostu gospodarczego na danych przekrojowych można zapisad w następujący sposób: y g ( a 1) y b x dla i 1,..., N i i, t 1 j ij i k j1 gdzie y to PKB per capita w kraju i w czasie t (oraz Δy jest różnicą logarytmów PKB na mieszkaoca pomiędzy kolejnymi okresami), x jest wektorem z góry ustalonych zmiennych kontrolnych oraz zmiennych będących przedmiotem badania, a a,b,g dla j = 0,,k oraz są współczynnikami regresji, jest wyrażeniem błędu o właściwościach i.i.d.
Regresja w całej próbie (wszystkie okresy):. reg dpkb l.lpkb pop ki Source SS df MS Number of obs = 1590 -------------+------------------------------ F( 3, 1586) = 46.18 Model 3.6690368 3 1.22301227 Prob > F = 0.0000 Residual 42.0022271 1586.026483119 R-squared = 0.0803 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0786 Total 45.6712639 1589.028742142 Root MSE =.16274 ------------------------------------------------------------------------------ dpkb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lpkb L1. -.0124278.0040023-3.11 0.002 -.0202781 -.0045776 pop -1.427988.3252937-4.39 0.000-2.066039 -.7899376 ki.0033681.0003479 9.68 0.000.0026856.0040505 _cons.2498058.0497471 5.02 0.000.1522287.3473828 ------------------------------------------------------------------------------
Zakłada to jednak błędy niezależne dla każdej obserwacji w czasie. Nieprawda! Oszacowanie przy pomocy grupowania (clustering) daje błędy dwa razy większe.. reg dpkb l.lpkb pop ki, vce(cluster cty) Linear regression Number of obs = 1590 F( 3, 187) = 13.69 Prob > F = 0.0000 R-squared = 0.0803 Root MSE =.16274 (Std. Err. adjusted for 188 clusters in cty) ------------------------------------------------------------------------------ Robust dpkb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lpkb L1. -.0124278.0062808-1.98 0.049 -.0248182 -.0000374 pop -1.427988.6651244-2.15 0.033-2.7401 -.1158769 ki.0033681.000809 4.16 0.000.0017721.004964 _cons.2498058.0965514 2.59 0.010.0593357.4402758 ------------------------------------------------------------------------------
Oszacowanie modelu przy pomocy MNK przynosi obciążone wyniki, gdyż estymator ten nie jest zgodny. Taka sytuacja ma miejsce, ponieważ w przypadku krajów istnieją nieobserwowalne efekty stałe (czynniki stałe w czasie, nieuwzględnione w modelu), co powoduje, że zmienna objaśniana zmienia się szybciej w przypadku niektórych jednostek obserwacyjnych niż innych. E x '( it i i ) 0
Obciążenie zmienną pominiętą narusza warunki ortogonalności MNK Test Reset ovtest Ramsey RESET test using powers of the fitted values of dpkb Ho: model has no omitted variables F(3, 1583) = 18.02 Prob > F = 0.0000
Po co estymatory przekrojowo-czasowe? Dane panelowe pozwalają na analizę zjawiska równocześnie w czasie jak i wymiarze przekrojowym lub przestrzennym. Estymatory te pozwalają na wyodrębnienie indywidualnej specyfiki poszczególnych obiektów. Zastosowanie paneli danych pozwala na większą heterogeniczność (większe zróżnicowania) jednostek badania. Zapewnia większą liczbę stopni swobody oraz zwiększa efektywność oszacowania. Wyodrębnienie efektów okresowych ułatwia badanie dynamiki dostosowania. Dane panelowe pozwalają na wyodrębnienie wpływu nieobserwowalnych zmiennych lub efektów. Copyright by Dorota Ciołek
Standardowy panelowy model wzrostu gospodarczego można zapisad w postaci ogólnej w następujący sposób: k y g ( a 1) y b x dla i 1,..., N i t 1,..., T. it t i, t 1 j itj it j1 W tej specyfikacji wyrażenie błędu ma następującą strukturę: g v it i it it, gdzie jest błędem losowym charakterystycznym dla poszczególnych krajów, jest błędem losowym charakterystycznym dla poszczególnych okresów jest błędem o właściwościach i.i.d. Copyright by Dorota Ciołek
Nie wykorzystuje to jednak wszystkich informacji. Estymator MNK nieefektywny i niezgodny. Analiza różnych innych metod estymacji. PFGLS - Uogólniona Metoda Najmniejszych kwadratów z poprawką Praisa Weinsteina na autokorelację, BE to Between Effect (regresja średniej y na średniej x), RE efekty losowe, FE efekty stałe.
Stworzenie listy, żeby nie powtarzać: global xlist l.lpkb pop ki Poszczególne regresje, z poleceniem zapamiętania wyników. Wcześniejsze MNK: quietly regress dpkb $xlist, vce(cluster cty) estimates store OLS Uogólniona Metoda Najmniejszych kwadratów z poprawką na autokorelację: quietly xtgee dpkb l.lpkb pop ki, corr(ar 2) estimates store PFGLS Between effect: quietly xtreg dpkb $xlist, be estimates store BE Random Effect quietly xtreg dpkb $xlist, re vce(robust) estimates store RE Fixed Effect quietly xtreg dpkb $xlist, fe vce(robust) estimates store FE
Uzyskane wyniki w postaci tabeli: estimates table OLS PFGLS BE RE FE, b(%9.4f) se stats(n) Zamiast b (współczynniki), se (błędy standardowe) można użyć: P p-values Ci przedziały ufności F statystyka F itp
http://repec.org/bocode/e/estout/esttab.html Jak uzyskad ładne i przejrzyste tabele. Zwłaszcza przydatne, jak zapisywad prosto do Excela oraz Worda! Jeżeli chodzi o regresje w Paostwa modelach nie ma konieczności do doprowadzania do ładnej postaci, chod oczywiście sprzyja to przejrzystości.
-------------------------------------------------------------------------- Variable OLS PFGLS BE RE FE -------------+------------------------------------------------------------ lpkb L1. -0.0124-0.0189 0.0003-0.0280-0.1003 0.0063 0.0053 0.0064 0.0064 0.0147 pop -1.4280-0.7608-3.0720-0.8480-0.1886 0.6651 0.3736 0.5576 0.8122 1.1624 ki 0.0034 0.0037 0.0016 0.0041 0.0054 0.0008 0.0004 0.0006 0.0009 0.0013 _cons 0.2498 0.2413 0.3262 0.3124 0.8362 0.0966 0.0608 0.0815 0.1097 0.1725 -------------+------------------------------------------------------------ N 1590 1590 1590 1590 1590 -------------------------------------------------------------------------- legend: b/se
Najbardziej efektywny jest estymator efektów losowych, niemniej jednak korelacja nieobserwowanego efektu stałego charakterystycznego dla kraju jest skorelowana z błędem. Obciążenie Nickella (1981)
Test Hausmana Polega na porównaniu wartości ocen parametrów uzyskanych przy pomocy obu estymatorów. H 0 : E( it X ) 0 H1 : E( it X ) 0 gdzie it u i it H 0 oba estymatory są zgodne i nieobciążone, ale UMNK dla modelu RE jest bardziej efektywny. H 1 estymator UMNK jest obciążony, zatem należy stosować model FE, którego estymator jest nieobciążony.
Statystyka z próby: m gdzie ' 1 ˆ b ˆ b var( ˆ b ) var( ˆ b ) ˆ b ˆ b 1 RE FE FE RE RE bˆre bˆfe - wektor ocen parametrów z modelu RE - wektor ocen parametrów z modelu FE. var( ˆ b RE ) var( ˆ b FE ) - macierze wariancji i kowariancji obu estymatorów. FE Jeżeli hipoteza H 0 jest prawdziwa to statystyka m 1 ma rozkład 2 z k stopniami swobody. c
Prowadzi to niezgodności tego estymatora. Test Hausmana powinien dad odpowiedź. Estymację trzeba powtórzyd bez błędów odpornych na grupowanie: xtreg dpkb $xlist, fe eststo fe xtreg dpkb $xlist, re eststo re hausman fe re
Czyli silny efekt stały. Preferowany jest model z efektami stałymi (zgodnie z teorią). ---- Coefficients ---- (b) (B) (b-b) sqrt(diag(v_b-v_b)) fe re Difference S.E. -------------+---------------------------------------------------------------- L.lpkb -.1002949 -.0280038 -.0722911.0083999 pop -.1886181 -.8479667.6593485.2993869 ki.00537.0041039.001266.000453 ------------------------------------------------------------------------------ b = consistent under Ho and Ha; obtained from xtreg B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; obtained from xtreg Test: Ho: difference in coefficients not systematic chi2(3) = (b-b)'[(v_b-v_b)^(-1)](b-b) = 114.45 Prob>chi2 = 0.0000
Regresja na danych przekrojowo-czasowych z efektami stałymi:. xtreg dpkb l.lpkb pop ki, fe Fixed-effects (within) regression Number of obs = 1590 Group variable: cty Number of groups = 188 R-sq: within = 0.1060 Obs per group: min = 3 between = 0.0004 avg = 8.5 overall = 0.0152 max = 11 F(3,1399) = 55.31 corr(u_i, Xb) = -0.6669 Prob > F = 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------ dpkb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lpkb L1. -.1002949.0100178-10.01 0.000 -.1199464 -.0806434 pop -.1886181.4796391-0.39 0.694-1.129507.7522712 ki.00537.0006251 8.59 0.000.0041437.0065963 _cons.8362306.1026764 8.14 0.000.6348143 1.037647 -------------+---------------------------------------------------------------- sigma_u.14027855 sigma_e.1449879 rho.48349592 (fraction of variance due to u_i) ------------------------------------------------------------------------------ F test that all u_i=0: F(187, 1399) = 3.20 Prob > F = 0.0000
Model ten jest obciążony w razie występowania autokorelacji i mniej efektywny od modeli z zakłóceniem AR(1). Testujemy autokorelację testem Woolridge a (poznane testy na autokorelację nie mają zastosowania w panelach ekonomicznych) Konieczność instalacji: Net install xtserial Nie uznaje to polecenie operatorów czasu, zatem opóźnienie generujemy przy pomocy nowej zmiennej: g lagpkb=l.lpkb
Test Woolridge a na autokorelację: xtserial dpkb lagpkb pop ki Wooldridge test for autocorrelation in panel data H0: no first-order autocorrelation F( 1, 187) = 147.629 Prob > F = 0.0000 Zatem preferowane uogólnione modele z zakłóceniem AR(1). OFFTOPIC: co jeśli heteroskedastyczność? Nie taki duży problem, zazwyczaj szacunki przy pomocy odpornej na heteroskedastyczność macierzy kowariancji, ale przetestować można.
Test Greena na heteroskedastyczność w panelu: Net install xttest3 xttest3 Modified Wald test for groupwise heteroskedasticity in fixed effect regression model H0: sigma(i)^2 = sigma^2 for all i chi2 (188) = 3.4e+06 Prob>chi2 = 0.0000 A zatem heteroskedastyczność.
Ale wróćmy do efektów stałych i autokorelacji. Test Woolridge a na autokorelację: xtserial dpkb lagpkb pop ki Wooldridge test for autocorrelation in panel data H0: no first-order autocorrelation F( 1, 187) = 147.629 Prob > F = 0.0000 Zatem preferowane uogólnione modele z zakłóceniem AR(1).
Ale wróćmy do efektów stałych i autokorelacji. Test Woolridge a na autokorelację: xtserial dpkb lagpkb pop ki Wooldridge test for autocorrelation in panel data H0: no first-order autocorrelation F( 1, 187) = 147.629 Prob > F = 0.0000 Zatem preferowane uogólnione modele z zakłóceniem AR(1). Transformacja Praisa Winstena (1954) daje
xtregar dpkb l.lpkb pop ki, fe rhotype(dw) lbi FE (within) regression with AR(1) disturbances Number of obs = 1402 Group variable: cty Number of groups = 188 R-sq: within = 0.1586 Obs per group: min = 2 between = 0.0043 avg = 7.5 overall = 0.0043 max = 10 F(3,1211) = 76.09 corr(u_i, Xb) = -0.8320 Prob > F = 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------ dpkb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lpkb L1. -.1925656.0143733-13.40 0.000 -.2207648 -.1643664 pop -1.329191.5255693-2.53 0.012-2.360318 -.298063 ki.005664.0007658 7.40 0.000.0041617.0071664 _cons 1.720875.097295 17.69 0.000 1.52999 1.91176 -------------+---------------------------------------------------------------- rho_ar.29964933 sigma_u.22684223 sigma_e.13088516 rho_fov.75023555 (fraction of variance because of u_i) ------------------------------------------------------------------------------ F test that all u_i=0: F(187,1211) = 3.05 Prob > F = 0.0000 modified Bhargava et al. Durbin-Watson = 1.4589017 Baltagi-Wu LBI = 1.7759763
Test Walda Czy właściwy jest model jednokierunkowy, czy dwukierunkowy? H0 : γit γis γi, i 1,...,N, t,s 1,...,T H 1 : γit γis i 1,...,N, t,s 1,...,T gdzie g i, t, s it a Według hipotezy zerowej właściwy jest model jednokierunkowy, a według hipotezy alternatywnej model dwukierunkowy. Statystyka z próby: i F S t 2 1 (S /[NT - 2 0 S 2 1 (N -1)- )/(T -1) (T -1)- k]
Dodajemy efekty charakterystyczne dla czasu (model dwukierunkowy jeden kierunek to kraje, drugi to czas). Czyli efekty stałe dla kraju i dla czasu, które są stałe dla wszystkich obiektów. W naszym przypadku odzwierciedla to cykl koniunkturalny na świecie. Polecenie xi: [polecenie] [zmienne] i.num5, [opcje] tworzy w regresji zmienne zero-jedynkowe odpowiadające poszczególnym średnim 5 -letnim.
xi: xtregar dpkb l.lpkb pop ki i.num5, fe rhotype(dw) lbi F(12,1202) = 33.00 corr(u_i, Xb) = -0.3111 Prob > F = 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------ dpkb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lpkb L1. -.288346.0178293-16.17 0.000 -.3233259 -.253366 pop -.177964.5120851-0.35 0.728-1.182644.8267161 ki.004811.0007634 6.30 0.000.0033133.0063088 _Inum5_2 793.5391 251.4106 3.16 0.002 300.2868 1286.791 _Inum5_3 273.8368 86.79788 3.15 0.002 103.5446 444.1289 _Inum5_4 94.43364 29.96061 3.15 0.002 35.65274 153.2145 _Inum5_5 32.52672 10.33624 3.15 0.002 12.24763 52.8058 _Inum5_6 11.1347 3.560575 3.13 0.002 4.149062 18.12033 _Inum5_7 3.713178 1.221163 3.04 0.002 1.31733 6.109027 _Inum5_8 1.202872.4132053 2.91 0.004.3921884 2.013556 _Inum5_9.3217068.1343931 2.39 0.017.0580357.5853778 _Inum5_10.0675432.0379776 1.78 0.076 -.0069665.142053 _Inum5_11 (omitted) _Inum5_12 (omitted) _cons 2.56512.1088863 23.56 0.000 2.351492 2.778749 -------------+---------------------------------------------------------------- rho_ar.34528151 sigma_u 18.690031 sigma_e.12528372
test ( _Inum5_3 _Inum5_4 _Inum5_5 _Inum5_6 _Inum5_7 _Inum5_8 _Inum5_9 _Inum5_10 _Inum5_11 _Inum5_12 _Inum5_2) ( 1) _Inum5_3 = 0 ( 2) _Inum5_4 = 0 ( 3) _Inum5_5 = 0 ( 4) _Inum5_6 = 0 ( 5) _Inum5_7 = 0 ( 6) _Inum5_8 = 0 ( 7) _Inum5_9 = 0 ( 8) _Inum5_10 = 0 ( 9) _Inum5_11 = 0 (10) o._inum5_12 = 0 (11) _Inum5_2 = 0 Constraint 9 dropped Constraint 10 dropped F( 9, 1202) = 14.58 Prob > F = 0.0000
Zatem generalnie lepsze w makroekonomii będą modele dwukierunkowe, prawdopodobnie w innych zastosowaniach jednokierunkowe. Choć w zasadzie trzeba by było zacząć od tego, że ogólnie preferowane są modele z efektami losowymi. Tyle, że w wielu dziedzinach, w których są kontrolowane eksperymenty łatwiej o obserwowalność efektów stałych.
Zatem generalnie lepsze w makroekonomii będą modele dwukierunkowe, prawdopodobnie w innych zastosowaniach jednokierunkowe. Choć w zasadzie trzeba by było zacząć od tego, że ogólnie preferowane są modele z efektami losowymi. Tyle, że w wielu dziedzinach, w których są kontrolowane eksperymenty łatwiej o obserwowalność efektów stałych.
ALGORYTM 1. FE>MNK, chociaż w przypadku niektórych obciążeo MNK bardziej efektywna. 2. FE versus RE, BE - test Hausmanna. 3. Jeżeli FE test Woolridge a, czy poprawka na zaburzenie AR(1) 4. Pozostaje zbadad, czy model FE jednokierunkowy, czy dwukierunkowy test F zmiennych zerojedynkowych.
Nickell (1981) w FE nadal występuje korelacja pomiędzy opóźnioną zmienną zależną i przekształconym wyrażeniem błędu, która sprawia, że estymatory te mają pożądane właściwości wyłącznie asymptotycznie, tzn. gdy liczba obserwacji w czasie zmierza do nieskooczoności. Nie jest to przypadek typowego modelu wzrostu gdzie z reguły występuje znacznie mniej niż 50 obserwacji w czasie (ze względu na uśrednianie z reguły jest to 5-10 obserwacji). Z samej definicji metoda ta ogranicza analizę do szukania średniej wewnątrz krajów, pomijając byd może istotne różnice między krajami. Metoda ta w żadnym stopniu nie pomaga rozwiązad problemu przyczynowości, błędu pomiaru oraz pominiętych zmiennych, zmiennych w czasie. Nie pozwala również na szacowanie wpływu na wzrost gospodarczy zmiennych o charakterze stałym w czasie, jak np. wpływu geografii czy historii.
Rozwiązanie metody zmiennych instrumentalnych (i GMM) Estymatory: Andersona-Hsiao, Arellano-Bonda, Blundella Bonda, PMG, Kivietsa
OFFTOPIC: Alternatywną techniką, która może byd stosowana do "małych N, dużych T jest metodą Seemingly Unrelated Regression lub SURE. "Małe N, duże T" odnosi się do pojęcia, że mamy stosunkowo niewielką liczba jednostek panelu, każdy z długim szeregiem czasowym. Na przykład zmienne finansowe z dziesięciu największych firm WIG 20, obserwowane w ciągu ostatnich 40 kwartałów kalendarzowych. SURE polecenie w Stata: Sureg Generalnie modele wielorównaniowe.
Dziękuję za uwagę.