Warsztat pracy matematyka

Podobne dokumenty
SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

14. Grupy, pierścienie i ciała.

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Elementy algebry i analizy matematycznej II

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:

WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH 12

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

Liczby, działania i procenty. Potęgi I pierwiastki

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Minimalizacja kosztów

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

PRÓBNA MATURA. ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A) 200 B) 100 C) 3,2 D) 32

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA

Sterowanie rozmyte. mgr inż. Piotr Fiertek p. 544

Równania różniczkowe cząstkowe

lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Lista 1 (elementy logiki)

Wstęp do matematyki listy zadań

Algebra zbiorów. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez

Wartości i wektory własne

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

Realizacja funkcji przełączających

Równania różniczkowe cząstkowe

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Zadanie 1. ( 0-5. ) Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F jeśli jest fałszywe.

WYPEŁNIA KOMISJA KONKURSOWA. Nr zadania Razem Liczba punktów możliwych do zdobycia

Matematyka I TEORIA MNOGOŒCI I LOGIKA. Æwiczenia KMMF. 1. Narysowaæsumê i przeciêcie zbiorów A = {x Ε R; x > 2} oraz B = {x Ε R; x 8}.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 1-2

LX Olimpiada Matematyczna

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

4 Klasyczny rachunek zdań

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2017/2018 ETAP TRZECI

V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r.

Zwróć uwagę. Czytaj uważnie treści zadań i polecenia. W razie potrzeby przeczytaj je kilka razy.

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

matematyka Matura próbna

LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY FIGURY GEOMETRYCZNE

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Pochodna funkcji wykład 5

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

1 Działania na zbiorach

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

Indukcja matematyczna

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2017/2018

Próbny Egzamin Gimnazjalny z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis 28 marca 2015 Czas pracy: 90 minut

na oznaczony czas do miasta. Po przebyciu 3

Zadanie 2. objętość zmniejszy się o 1 m 3, co odpowiada liczbie 3% 60 m 3 zaokrąglonej w dół do liczby

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

W zadaniach 2 5 wpisz w wykropkowane miejsca odpowiednie wielkości.

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Transkrypt:

Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja 1. Jęzk teorii mnogości (teorii zbiorów) zawiera wszstkie smbole rachunku zdań oraz następujące smbole specficzne dla tej teorii: smbol zbioru pustego, tzn. zbioru nie posiadającego żadnego elementu, smbol prznależności elementu do zbioru. Wrażenie A cztam jako jest elementem zbioru A lub należ do A. smbol inkluzji (zawierania się zbiorów). Wrażenie A B oznacza, że zbiór A zawiara się w zbiorze B, tzn., że każd element zbioru A jest również elementem zbioru B: A B ( A B). Definicja 2. Działania na zbiorach. Niech dane będą zbior A i B. Przjmujem następujące definicje (1) Suma zbiorów A i B jest to zbiór A B spełniając warunek A B A B, czli A B = { : A B}. (2) Przekrój (iloczn, część wspólna) zbiorów A i B jest to zbiór A B spełniając warunek A B A B, czli A B = { : A B}. (3) Różnica zbiorów A i B jest to zbiór A \ B spełniając warunek A \ B A B, czli A \ B = { : A B}. (4) Dopełnieniem zbioru A w zbiorze (względem zbioru) (uniwersum) U nazwam zbiór A spełniając warunek A = U \ A = { U : A}, 1

Zadania obowiązkowe Zadanie 1. Oblicz A B, A B, A \ B oraz B \ A dla następującch przedziałów: a) A = ( ; 2], B = (1; 4] b) A = ( 3; 2], B = (; 1] c) A = [ 2; 2], B = ( 1; 2) d) A = ( ; 2], B = (2; ) e) A = (3; ], B = {2, 3, 4} Odpowiedź: a)a B = (, 4], A B = (1, 2], A \ B = (, 1], B \ A = (2 4]; b)a B = A, A B = B, A \ B = ( 3, ] (1, 2], B \ A = ; c)a B = A, A B = B, A \ B = [ 2, 1], B \ A = ; d)a B = R, A B =, A \ B = A, B \ A = B; e)a B = {2} [3; ), A B = {4}, A \ B = (3, 4) (4 ), B \ A = {2, 3}. Zadanie 2. A jest zbiorem wszstkich czworokątów, B jest zbiorem wszstkich kwadratów ma płaszczźnie E. Jakimi figurami geometrcznmi są element następującch zbiorów:a B, A B, A \ B oraz B \ A? Zadanie 3. Spośród 1 studentów 24 ucz się jęzka niemieckiego, 41 - francuskiego, 6 - angielskiego i francuskiego, 9 -niemieckiego i francuskiego, 15 - tlko niemieckiego, 2 - niemieckiego, ale nie angielskiego, 32 - nie ucz się żadnego z wmienionch jęzków. Ilu studentów ucz się tlko jęzka angielskiego, a ilu tlko jęzka angielskiego i niemieckiego? Odpowiedź: Rozwiązanie zilustrować na diagramie Venna. Tlko jęzka angielskiego ucz się 12 studentów, nie ma studentów uczącch się tlko angielskiego i niemieckiego. Zadanie 4. Zapisz w jęzku teorii mnogości jakie związki zachodzą pomiędz zbiorami A, B i C określonmi następująco: a) A = zbiór osób z co najmniej podstawowm wkształceniem (takich które ukończł szkołę podstawową) B = zbiór osób z co najmniej średnim wkształceniem C = zbiór osób z wższm wkształceniem Odpowiedź: C A, B A, C B Uwagi metodologiczne. Warunki z rozwiązania można zapisać równoważnie inaczej np. zamiast C A można napisać C A = A. b) A = zbiór ludzi znającch co najmniej dwa jęzki B = zbiór osób znającch co najwżej dwa jęzki C = zbiór osób znajacch dokładnie dwa jęzki Odpowiedź: C A, C B, C = A B Uwagi metodologiczne. Wrażenie dokładnie dwa oznacza nie mniej niż dwa oraz nie więcej niż dwa. Jest to zatem koniunkcja dwóch warunków. Zadania dodatkowe Zadanie 5. Zaznacz na płaszczźnie zbior A = {(, ) R 2 : + 1 2 }, B = {(, ) R 2 : < 1}, C = {(, ) R 2 : + 1}, A B C, A \ (B C), (A \ B) \ C. Odpowiedź: 2

A B C A B C = A \ (B C) = = (A \ B) \ C Zadanie 6. Sprawdź za pomocą diagramów Venna, które z podanch niżej implikacji są prawdziwe. a) [(A C = ) (B A )] (B C ) b) [(B C = C) (A C )] (A B ) c) [(A \ B = ) (C \ B = )] (A \ C = ) d) [(A B ) (B C )] (A C = ). Szkic rozwiązania. Korzstam z diagramów Venna dla trzech zbiorów. Fakt, że dan obszar jest pust oznaczam przez jego zakreskowanie. Natomiast to, że jest niepsut przez umieszczenie w tm obszarze znaku X. Rozwiązania przedstawiają ilustracje: Uwagi metodologiczne. W przkładzie d) warto użć kolorów. Tm samm kolorem zaznaczam brzeg obszaru oraz X oznaczając, że obszar ten jest niepust. Odpowiedź: a) tak, b) tak, c) nie d) nie Zadania domowe Zadanie 7. Zapisz w jęzku teorii mnogości jakie związki zachodzą pomiędz zbiorami A, B i C określonmi następująco: A = zbiór liczb naturalnch podzielnch przez 2 lub przez 3 B = zbiór liczb podzielnch prez 2 a niepodzielnch przez 3 C = zbiór takich liczb, które spełniają warunek: jesli liczba dzieli się przez dwa, to dzieli się przez trz. Odpowiedź: B A, B C =, A C. Zadanie 8. A jest zbiorem wszstkich trójkatów równobocznch, B jest zbiorem wszstkich trójkatów równoramiennch, C jest zbiorem wszstkich trójkatów prostokatnch na płaszczźnie E. Jakimi figurami geometrcznmi są element następującch zbiorów: A B, A B, A\B, B\A, A C, A \ C, C \ A? Odpowiedź: A B = B, A B = A, A\B =, B\A- równoramienne ale nie równoboczne, A C =, A \ C = A, C \ A = C 3

Zadanie 9. Zapisz podane twierdzenia w postaci implikacji. Zapisz twierdzenia odwrotne, przeciwne i przeciwstawne do nich oraz oceń ich wartość logiczną. a) Pole prostokąta o bokach a i b wnosi ab. b) Liczba całkowita podzielna przez 12 jest podzielna przez 3 i przez 4. Dowod niekonstruktwne Dowód niekonstruktwn to rodzaj dowodu matematcznego, w którm wkazuje się istnienie pewnch obiektów (zbiorów, liczb, figur geometrcznch o pewnch własnościach), zwkle nie wprost, przez stwierdzeni, że nieprawdziwość tez twierdzenia prowadziłab do sprzeczności, bez podania sposobu ich konstruowania. Przkład 1. Twierdzenie. Istnieją liczb niewmierne a i b takie, że a b jest liczbą wmierną. Dowód. Przjmijm a = b = 2 (wiem, że 2 jest liczbą niewmierną). Mam do rozważenia dwie możliwości (co wnika z prawa logiki nazwanego prawem włączonego środka trzeciego wjścia nie ma ): a) 2 2 jest liczbą wmierną, Wted a i b spełniają tezę twierdzenia. b) 2 2 nie jest liczbą wmierną. Wted jednak wstarcz wziąć dwie liczb niewmierne a = 2 2 oraz b = 2, co daje a b = 2 a 2 jest liczbą wmierną. Koniec dowodu. Dowód ten jednak nie stwierdza wprost, któr przpadek zachodzi! Przkładami dowodów niekonstruktwnch są dowod twierdzeń opartch na zasadzie szufladkowej Dirichleta: Twierdzenie 1. Zasada szufladkowa Dirichleta. Jeżeli m przedmiotów włożm do n różnch szufladek, prz czm m n, to co najmniej w jednej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmiot. Przkład 2. Wśród mieszkańców Warszaw co najmniej dwie osob mają tę samą liczbę włosów na głowie. Dowód. Liczba włosów na głowie człowieka nie przekracza 5, natomiast liczba mieszkańców Warszaw przekracza 1. Weźm 5 szufladek ponumerowanch kolejnmi liczbami naturalnmi od 1 do 5 i wkładajm do szufladki o danm numerze osob, które mają taką liczbę włosów na głowie, jak numer szufladki. Ponieważ osób jest ponad 1, a szufladek 5, z zasad szufladkowej Dirichleta wnika, że w jednej lub więcej szufladkach musi się znaleźć więcej niż jedna osoba. Nie wiem jednak jakie są te szufladki, więc nie wiem jaka liczba włosów powtarza się! Przkład 3. W grupie 2 osób muszą bć co najmniej dwie, które urodził się w tm samm miesiącu. Dowód. Weźm 12 szufladek z nazwami miesięc i wkładajm do nich osob, które urodził się w danm miesiącu. Ponieważ osób jest 2, a szufladek 12, w jednej z nich muszą bć co najmniej dwie osob. Nie wiem o jaki miesiąc chodzi! Literatura 4

(a) Marciszewski W. [red.], Mała encklopedia logiki, Zakład Narodow Imienia Ossolińskich Wdawnictwo, Wrocław Warszawa Kraków, Gdańsk Łódź, 1988. (b) Murawski R., Świrdowicz K., Wstęp do teorii mnogości, Wdawnictwo Naukowe UAM, Poznań 25. (c) Chronowski A., Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematcznej, Wdawnictwo Dla szkoł, Wilkowice 1999. 5