KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA. Sterowanie predykcyjne

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWNI Sterowanie predykcyjne Robert Piotrowski, dr inż Studia I stopnia inżynierskie, Semestr VI Trochę historii (/4) Połowa lat 7 XX wieku Fakt: algorytmy sterowania predykcyjnego zapotrzebowanie przemysłu, głównie chemicznego i petrochemicznego Model Predictive euristic Control (MPC) (później: Model lgorithmic Control (MC)) utorzy: Richalet J i współpracownicy (firma dersa) Cechy: liniowy model obiektu skończona odpowiedź impulsowa, heurystyczny sposób uwzględniania ogran, funkcja celu: suma kwadratowych składników kary za zmianę sterowania (tzw kwadratowe zadanie optymalizacji) Koniec lat 7 XX wieku Dynamic Matrix Control (DMC) utorzy: Cutler CR, Ramaker BL (firma Shell Oil) Cechy: liniowy model obiektu oparty na odpowiedzi skokowej, heurystyczny (przybliżony) sposób uwzględniania ograniczeń, funkcja celu: suma kwadratowych składników kary za zmianę sterowania

2 Trochę historii (/4) Połowa lat 8 XX wieku Quadratic Dynamic Matrix Control (QDMC) utorzy: Garcia CE i współpracownicy Cechy: liniowy model obiektu oparty na odpowiedzi skokowej, liniowe ograniczenia na sterowania i wyjścia, funkcja celu: suma kwadratowych składników kary za zmianę sterowania Koniec lat 8 XX wieku Generalized Predictive Control (GPC) utorzy: Clarke DW i współpracownicy Cechy: liniowy model obiektu (równania różnicowe), uwzględnianie szerszej klasy zakłóceń, liniowe ograniczenia na sterowania i wyjścia, funkcja celu: suma kwadratowych składników kary za zmianę sterowania Trochę historii (3/4) Koniec lat 8 XX wieku Constrained Receding orizon Predictive Control (CRPC) utorzy: Clarke DW, Scattolini R Cechy: rozwinięcie GPC poprzez sformułowanie zadania optymalizacji ze skończonym przesuwanym horyzontem Koniec lat 8 XX wieku Shell Multivariable Optimizing Controller (SMOC) utorzy: Marquis P, Broustail JP (firma Shell) Cechy: model obiektu w przestrzeni stanu, uwzględnienie obserwatora stanu dla estymacji nieznanych współrzędnych wektora stanu, podział na regulowane i mierzone zmienne wyjściowe obiektu

3 Trochę historii (4/4) UWG: Lata 9 XX wieku dzisiaj nieliniowe obiekty sterowania odporność sterowania (tzw sterowanie krzepkie) - niepewność modeli obiektów, niepewność estymacji zakłóceń badania stabilności Różne metody implementacji algorytmów predykcyjnych, często jedna nazwa: Model Predictive Control (MPC) Szczegóły dotyczące rozwoju algorytmów sterow predykc, np: Camacho EF, Bordons C (4) Model Predictive Control Springer- Verlag, London Limited Qin SJ, Badgwell T (3) survey of industrial model predictive control technology Control Engineering Practice (3) Tatjewski P () Sterowanie zaawansowane obiektów przemysłowych, Struktury i algorytmy kademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa Umiejscowienie sterowania predykcyjnego (/) Planowanie produkcji Optymalizacja Regulacja nadrzędna Regulacja bezpośrednia (i zabezpieczenia) sterowania u pomiary wejścia niesterowane (zakłócenia) Obiekt sterowany wyjścia 3

4 Umiejscowienie sterowania predykcyjnego (/) Sterowanie predykcyjne należy do grupy zaawansowanych metod sterowania (ang advanced control) UWG : Podstawowa cecha warstwy bezpośredniej: bezpośredni dostęp do obiektu sterowanego UWG : Warstwa sterowania nadrzędnego nie musi występować Główny wyznacznik to: cele sterowania, cechy obiektu sterowania (np różna dynamika procesów) UWG 3: Czasami warstwa optymalizacji połączona z warstwą sterowania bezpośredniego, np wyznaczenie trajektorii zadanych dla regulatorów PID warstwy bezpośredniej Istota sterowania predykcyjnego (/5) Oznaczenia: k*t s dyskr chwila czasu T s okres próbkowania Uproszczenie zapisu: k, k +, k + (k =,,, ) p horyzont predykcji s horyzont sterowania, s p u wartość sterowania, np: u(k k) wyznaczenie w chwili k sterowania na chwilę k u zmiana (przyrost) wartości sterowania, np: u(k+ k) wyznacz w chwili k zmiany sterowania na chwilę k + y wartość wyjścia, np: y(k+ k) wyznaczenie w chwili k wyjścia na chwilę k + y zad wartość (trajektoria) zadana 4

5 Istota sterowania predykcyjnego (/5) u U (k+ k) k- k- k k+ k+ k+3 k+ s k+ s + k+ p - k+ p s czas p Y Y zad k- k- k k+ k+ k+3 k+ s k+ s + k+ p - k+ p czas Istota sterowania predykcyjnego (3/5) Dane: dynamiczny model obiektu wraz z modelem zakłóceń pomierzone (lub estymowane) wartości wyjścia z obiektu y w chwili bieżącej i chwilach poprzednich wartości sterowań u w chwilach poprzednich wartość (trajekt) zadana y zad w chwili bieżącej i następnych Zadanie w chwili k: Dokonaj pomiaru wyjścia z obiektu Korzystając z modelu obiektu wyznacz wartości sterowań u(k k), u(k+ k),, u(k+ s k), w taki sposób, aby spełnić cele sterowania, np minimalizuj różnice między przewidzianym w chwili k wyjściem z obiektu y(k+p k) (p=,,, p ) a wartościami zadanymi y zad (k+p k) 3 Przyłóż do obiektu tylko pierwszą wartość sterowania u(k k) 5

6 Istota sterowania predykcyjnego (4/5) Zadanie w chwili k+: Dokonaj pomiaru wyjścia z obiektu Wyznacz z modelu wartości sterowań u(k+ k+), u(k+ k+),, u(k+ s k+), tak, aby spełnić cele sterowania 3 Przyłóż do obiektu tylko pierwszą wartość sterowania u(k+ k+) Powtórz zadanie dla całego horyzontu predykcji p UWG : lgorytm MPC sterowanie z przesuwanym horyzontem (ang receding horizon control) UWG : W algorytmie MPC zakłada się, że po s zmiany wartości sterowań są praktycznie równe zero Istota sterowania predykcyjnego (5/5) Najczęściej funkcja kryterialna (funkcja celu) postaci: p p zad min J k y k p k y k p k u k p k p p Pierwszy składnik: błąd (uchyb) sterowania Drugi składnik: zmiana wartości sterowania UWG: Czasami dodatkowo w funkcji kryterialnej umieszcza się wagi: p p min J k w y k p k y k p k w u k p k zad p p 6

7 Podstawowe cechy sterowania predykcyjnego (/) dla obiektów liniowych i nieliniowych układy sterowania typu SISO (ang Single Input Single Output) i MIMO (ang Multiple Input Multiple Output) uwzględnienie ograniczeń: na wartości sygnałów sterujących: u u k p k u min na wartości zmian (przyrostów) sygnałów sterujących: max u u k p k u min na wartości wyjść: y y k p k y min max max Podstawowe cechy sterowania predykcyjnego (/) optymalizacja wskaźników ekonomicznych związanych ze sterowaniem, np: maksymalizacja zysków związanych z produkcją minimalizacja strat dotyczących uszkodzeń urządzeń pomiarowych, wykonawczych minimalizacja kosztów sterowania dotyczących przełączania urządzeń wykonawczych uwzględnienie zmiennych opóźnień czasowych obiektów uwzględnienie uszkodzeń urządzeń pomiarowych, wykonawczych uwzględnienie wewnętrznych interakcji w obiekcie dzięki wykorzystaniu modelu obiektu (regulator poprzez model obiektu ma wiedzę o obiekcie) 7

8 Czy uwzględnianie ograniczeń jest istotne? na wartość amplitudy sygnału sterującego, np: otwarcie zaworu: min max prędkość obrotowa dmuchawy: n min n max częstotliwość falownika: f min f max na szybkość zmian sygnału sterującego, np: czas zmiany położenia zaworu z do czas zmiany prędkości obrotowej pompy z n do n prędkość przesuwania się podajnika taśmowego na wartość wyjścia, np: temperatura w pomieszczeniu: t min t max ciśnienie w rurociągu: < p max Regulatory PID a nieliniowości i ogranicz obiektu Fakt : Układy sterowania z regulatorami PID najlepsze do pracy w otoczeniu punktu pracy Układy sterowania z PID a obiekty nieliniowe: linearyzacja obiektów podział układu sterowania na podukłady z lokalnymi PID Jak przełączać się pomiędzy lokalnymi podukładami sterowania? Fakt : W większości przypadków w układach sterowania z regulatorami PID nie uwzględnia się ograniczeń Układy sterowania z PID a ograniczenia: dobudowanie dod układu uwzględniającego nasycenia urządz wykonawczego (ang anti-windup) (patrz poprzednie wykłady) Jak uwzględnić ograniczenia na wyjściu? 8

9 Sterowanie klasyczne a sterowanie predykcyjne y zad + - z R UW u OB y UP y zad Optymalizacja UW u z OB y Ograniczenia Funkcja celu Model obiektu + model zakłóceń UP Podstawowe ograniczenia sterowania predykcyjnego stosunkowo złożona implementacja algorytmu MPC, szczególnie dla obiektów nieliniowych czas obliczeń i złożoność obliczeniowa, szczególnie dla obiektów nieliniowych konieczność budowy możliwie dokładnego modelu obiektu/procesu sterowanego (czas, nakład pracy, wiedza o obiekcie/procesie, itd) model a obiekt, np spełnienie ograniczeń w modelu a w obiekcie czasami konieczność budowy krzepkiego (odpornego) algorytmu MPC obawa nie automatyków (np technolodzy, operatorzy) przed nowymi nie klasycznymi (np PID) algorytmami regulacji 9

10 MPC z modelem w postaci równań stanu (/6) Równania stanu i wyjścia obiektu (założenie: pomiar pełnego wektora stanu, brak zakłóceń): gdzie: x wektor stanu, y k Cx k x k x k Bu k y wektor wyjść mierzonych regulowanych W wyniku działania rekurencyjnego mamy: x k k x k Bu k k x k B u k k u k x k I B u k k B u k k I Bu k x k k x k k B u k k u k k u k MPC z modelem w postaci równań stanu (/6) s s s x k k x k k B u k k u k k u k s s s x k I Bu k k I Bu k k s s Bu k k I Bu k p p x k p k x k I B u k k p p s p I Bu k I B u k k I B u k p k

11 MPC z modelem w postaci równań stanu (3/6) przechodząc do postaci macierzowej dla stanu uzyskujemy (p = p,, p ): k k u k k u U k k k x k k x k X s p p, k u B I B I B I k x k X p s p p s p MPC z modelem w postaci równań stanu (4/6) k U I B I B B I B I s p p s p czyli: U k P k Bu k x k X ~ ~

12 MPC z modelem w postaci równań stanu (5/6) przechodząc do postaci macierzowej dla wyjścia mamy: y pred ~ C ~ C lub rozbijając wyjście na poszczególne chwile predykcji: p p p p j j y k p k C x k C Bu k C B u k i k dla p j i j C p pi p j s j C y k p k C x k C Bu k C B u k i k dla p k CX k Cxk CBuk j i j ~~ ~~ ~ CPU k y k yk s s MPC z modelem w postaci równań stanu (6/6) UWG : Model zakłóceń: k zzk k C zk z z y k Cx k x k x k Bu k k UWG : Jeżeli nie wszystkie zmienne stanu mierzone - dołączenie do modelu obiektu obserwatora stanu

13 Główne parametry regulatora predykcyjnego (/) horyzont predykcji p Dobór długości p uzależniony od dynamiki obiektu Właściwy wybór p = prawidłowa praca układu sterowania Dalszy wzrost p = niewielka poprawa wskaźników jakości działania układu sterowania Szczegóły laboratorium horyzont sterowania s Im dłuższy s tym większa liczba zmiennych decyzyjnych zadania optymalizacji ( s *n) Im dłuższy s tym dłuższy czas obliczeń Szczegóły laboratorium Główne parametry regulatora predykcyjnego (/) współczynniki wag w funkcji kryterialnej (funkcji celu) Istotny stosunek wag w do w między dokładnością nadążania za wartością (trajektorią) zadaną, a kosztem sterowania Im większe w w stosunku do w tym wolniejsze, ale lepsze wskaźniki jakości sterowania Szczegóły laboratorium okres próbkowania T s Im mniejszy T s tym większy wymiar zadania optymalizacji Im mniejszy T s tym dłuższy czas obliczeń Im większy T s tym gorsza dynamika układu sterowania (większe opóźnienia) Szczegóły laboratorium 3

14 Nieliniowe sterowanie predykcyjne (/) y zad (k) lgorytm sterowania Predykcja i optymalizacja z wykorzystaniem nieliniowego modelu obiektu u(k) - z - I u(k) z(k) Obiekt (proces) sterowany y(k) - z I u(k-) Źródło: Opracowanie własne na podstawie: Tatjewski P () Sterowanie zaawansowane obiektów przemysłowych, Struktury i algorytmy kademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa Szczegóły studia II stopnia magisterskie Nieliniowe sterowanie predykcyjnego (/) lgorytm sterowania z(k) y zad (k) Liniowe sterowanie predykcyjne u(k) - z - I u(k) Obiekt (proces) sterowany y(k) parametry modelu obiektu - z I Liniowy model obiektu u(k-) Źródło: Opracowanie własne na podstawie: Tatjewski P () Sterowanie zaawansowane obiektów przemysłowych, Struktury i algorytmy kademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa Szczegóły studia II stopnia magisterskie 4

15 Przykład Kolumna destylacyjna (/) Przykład Kolumna destylacyjna (/) Opis procesu: Destylacja proces rozdziału ciekłego roztworu na składniki (odparowanie roztworu i skroplenie powstałych oparów) Roztwór substancje o różnych temperaturach wrzenia odparowanie substancji o niższej temperaturze wrzenia 3 Podział surowca na dwie części: destylat D (skroplona para) i ciecz wyczerpana B (nieodparowana ciecz) 4 Fazy ciekła i gazowa roztworu są w przeciwprądzie ciecz spływa grawitacyjnie na dół, a gaz płynie do góry w sposób wymuszony 5 Częściowe odparowanie cieczy spływającej z góry w wyparce 6 Skroplenie gazów (oparów) odpływających z kolumny w skraplaczu (rodzaj chłodnicy) 7 Część cieczy i pary płynących przeciwprądowo w kolumnie tworzy obieg zamknięty, krążący stale między wyparką a skraplaczem 5

16 Przykład Kolumna destylacyjna (3/) Oznaczenia: Ozn F x F Nazwa strumień cieczy zasilającej (surówki) [kmol/min] stężenie molowe cieczy zasilającej kolumnę [ułamek molowy etanolu] B, D strumienie cieczy wyczerpanej i destylatu [kmol/min] x B, x D M B, M D stężenie molowe cieczy wyczerpanej i destylatu [ułamek molowy etanolu] zatrzymanie cieczy w zbiorniku cieczy wyczerpanej i powrotu [kmol] R, V strumień refluksu i pary [kmol/min] M i L i, V i x i, y i zatrzymanie cieczy na półce o numerze i [kmol] strumień cieczy spływający i strumień pary odpływający z półki o nr i [kmol/min] stężenie molowe cieczy i pary na półce o numerze i [ułamek molowy etanolu] Przykład Kolumna destylacyjna (4/) Parametry procesu: Wartość M i = 5 kmol L i = kmol/min β =,6 min N i = 3 Nazwa nominalna wartość zatrzymania cieczy na półce o numerze i nominalny przepływ cieczy na półce o numerze i stała reprezentująca warunki hydrauliczne liczba półek teoretycznych kolumny (obliczona) Model obiektu: dyskretny, dynamiczny i nieliniowy (układ kilkunastu równań różniczkowych i algebraicznych) Cel sterowania: oczyszczenie (rozdział) dwuskładnikowej mieszaniny etanolu i wody, destylat (główny produkt destylacji) musi zawierać określoną ilość (stałą/zmienną) etanolu 6

17 Przykład Kolumna destylacyjna (5/) Wielkość wyjściowa (sterowana): x D : stężenie destylatu Wielkości wejściowe (zakłócenia): F: strumień cieczy zasilającej kolumnę (surówka) x F : stężenie molowe cieczy zasilającej kolumnę (surówka) Wielkości sterujące: R: strumień refluksu V: strumień pary Ograniczenia: min i max wartość R ( 5 kmol/min) i V ( 5 kmol/min) zbiornik powrotu nie może być opróżniony: R(k+p k) < V(k+p k) + 4; p =,, p ograniczenia wynikające z modelu obiektu sterowania Przykład Kolumna destylacyjna (6/) Funkcja celu: J q min q p p x p p zad D ( k p k) x V ( k p k) D ( k p k) q 3 p p R( k p k) gdzie: pierwszy składnik: uchyb regulacji drugi składnik: kara za zmianę sterowania V trzeci składnik: kara za zmianę sterowania R q, q, q 3 wagi składowych funkcji celu 7

18 Przykład Kolumna destylacyjna (7/) Wyniki: zakłócenia Przykład Kolumna destylacyjna (8/) Wyniki: wielkość wyjściowa zakłócenia mierzone zakłócenia niemierzone zakłócenia mierzone zakłócenia niemierzone 8

19 Przykład Kolumna destylacyjna (9/) Wyniki: wielkości sterujące (wybrane wyniki) zakłócenia niemierzone stała trajektoria zadania zakłócenia niemierzone zmienna trajektoria zadania Przykład Kolumna destylacyjna (/) Wyniki: błędy sterowania (średni błąd bezwzględny i błąd RMS - Root Mean Square) gdzie: n liczba próbek RMS n i x D x n zad D Stała traj zadana zakł mierzone Stała traj zadana zakł niemierzone Śr błąd bezwzględny Błąd RMS Śr błąd bezwzględny Błąd RMS,37,489,58,548 Zm traj zadana zakł mierzone Zm traj zadana zakł niemierzone Śr błąd bezwzględny Błąd RMS Śr błąd bezwzględny Błąd RMS,4648,39,475,355 9

20 wejścia zakłócające wyjście Przykład Napowietrzanie ścieków (/8) stężenie tlenu wartość zadana (S o ref ) dopływ ścieków (Q in, ChZT, N, P) stężenie tlenu (S o ) respiracja (R r ) Zintegrowany obiekt sterowania sterowania dmuchawami (x b, n fb, n vb ) sterowania przepustnicami ( j ) wejścia sterujące Przykład Napowietrzanie ścieków (/8) S o, S o, n Q air, Komora tlenowa Q air, Q air, n Komora tlenowa n Q air,n p c Dmuchawy z falownikiem Dmuchawy wielobiegowe

21 Chemiczne zapotrzebowanie na tlen [g / m 3 ] Respiracja Rr, [mg / m 3 h] Natężenie dopływu do oczyszczalni [m 3 / h] Respiracja Rr, [mg / m 3 h] ZE ŚREDNIEJ ref PODWRSTWY S o, STEROWNI Przykład Napowietrzanie ścieków (3/8) ref Stężenie tlenu wartość zadana S o, n ref S o, S o, n Stężenie tlenu Układ sterowania górnego poziomu Nieliniowy MPC Nieliniowy MPC n Dynamiczny nieliniowy model stężenia tlenu S o natężenie przepływu powietrza Q air, ref Q air, n ref Układ sterowania dolnego poziomu Stan dmuchaw Nieliniowy ybrydowy MPC harmonogram pozycja kątowa pracy dmuchaw przepustnic Dynamiczny nieliniowy hybrydowy model systemu napowietrzania Q air, Q air, n

22 Natężenie przepływu Qair, [m 3 / h] Stężenie tlenu So, [g O / m 3 ] So [g O /m 3 ] Natężenie przepływu Qair, [m 3 / h] Stężenie tlenu So, [g O / m 3 ] Przykład Napowietrzanie ścieków (5/8),8,4 Wartość zadana,,6,,8,4,,,,3,4,5,6,7,8,9 Stężenie tlenu w komorze tlenowej obiekt rzeczywisty Trajektoria zadana ref S z podwarstwy średniej o, Trajektoria S zrealizowana o, 5 5 Trajektoria zadana ref S z podwarstwy średniej o, Trajektoria S zrealizowana o, Trajektoria obliczona przez układ górnego poziomu Trajektoria zrealizowana przez układ dolnego poziomu Trajektoria obliczona przez układ górnego poziomu Trajektoria zrealizowana przez układ dolnego poziomu

23 Kąt otwarcia φ [ ] Ciśnienie pc [kpa] Bieg Prędkość obrotowa nvb [obr/min] Kąt otwarcia φ [ ] Bieg Ciśnienie stan obecny t off min Przykład Napowietrzanie ścieków (8/8)

24 Produkty zawierające liniowe MPC Nazwa firmy Nazwa produktu Opis dersa spen Technology IECON PFC GLIDE DCM-plus DCM-plus model ierarchical constraint control Predictive functional control Identification package Dynamix matrix control package Identification package oneywell i-spec RMPCT Robust model predictive control technology Shell Global Solutions SMOC-II Shell multivariable optimizing control Invensys Systems, Inc Connoisseur Control and identification package Źródło: Qin SJ, Badgwell T (3) survey of industrial model predictive control technology Control Engineering Practice (3) Produkty zawierające nieliniowe MPC Nazwa firmy Nazwa produktu Opis dersa PFC Predictive functional control spen Technology spen Target Nonlinear MPC package Continental Controls, Inc MVC Multivariable control DOT Products NOV-NLC NOV nonlinear controller Pavilion Technologies Process Perfecter Nonlinear control Źródło: Qin SJ, Badgwell T (3) survey of industrial model predictive control technology Control Engineering Practice (3) Przykłady innych firm oferujących rozwiązania MPC: BB (wwwabbpl/industries/seitp46/7ac48f9596fcf5c573c55756aspx) oneywell (wwwhoneywellcom/sites/portal?smap=honeywell_pl&page=utomatyka-i-sterowanie&theme=t4) Rockwell utomation (wwwrockwellautomationpl/applications/gs/emea/gsplnsf/pages/update_7-_8) 4

25 Sterowanie predykcyjne podsumowanie Ciągły rozwój algorytmów sterowania predykcyjnego: rozwój teorii sterowania doskonalenie cyfrowych (komputerowych) metod sterowania zwiększanie mocy obliczeniowych wykonywanie obliczeń w czasie rzeczywistym rozpowszechnianie (rozwijanie) pakietów optymalizacyjnych sukcesy w implementacji na obiektach rzeczywistych Przykładowa literatura związana z MPC Maciejowski JM () Predictive Control with Constraints Prentice all, Pearson Education Ltd arlowe, England Tatjewski P () Sterowanie zaawansowane obiektów przemysłowych, Struktury i algorytmy kademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 3 Camacho EF, Bordons C (4) Model Predictive Control Springer-Verlag, London Limited 4 gachi PS, Nagy ZK, Cristea MV, Imre-Lucaci (6) Model Based Control Case Studies in Process Engineering Wiley-VC Verlag 5 Tatjewski P (7) dvanced control of industrial processes: structures and algorithms Springer-Verlag, London Limited 6 Re L, llgöwer F, Glielmo L, Guardiola C, Kolmanovsky I () utomotive Model Predictive Control Models, Methods and pplications Springer-Verlag, London Limited 7 olkar KS, Waghmare LM () n Overview of Model Predictive Control International Journal of Control and utomation, Vol 3, No 4, pp

26 Wybrane prace w KISS dotyczące MPC (/) Duzinkiewicz K (5) Zintegrowane sterowanie systemami zaopatrzenia w wodę pitną Wydawnictwa Naukowo Dydaktyczne kademii Górniczo-utniczej im Stanisława Staszica w Krakowie Seria: Rozprawy Monografie, nr 47 Piotrowski R, Brdyś M, Konarczak K, Duzinkiewicz K, Chotkowski W (8) ierarchical dissolved oxygen control for activated sludge processes Control Engineering Practice, Vol 6, No, pp Brdyś M, Grochowski M, Gmiński T, Konarczak K, Drewa M (8) ierarchical predictive control of integrated wastewater treatment systems Control Engineering Practice, Vol 6, No 6, pp Duzinkiewicz K, Brdyś M, Kurek W, Piotrowski R (9) Genetic hybrid predictive controller for optimised dissolved oxygen tracking at lower control level IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol 7, No 5, pp Piotrowski R, Brdyś M, Miotke D () Centralized dissolved oxygen tracking at wastewater treatment plant: Nowy Dwor Gdanski case study The th IFC Symposium on Large Scale Systems: Theory and pplications LSS, Villaneuve D'scq, July -4,, France, IFC Publisher, Elsevier, Vol 9, Part, ustria Laxenburg Wybrane prace w KISS dotyczące MPC (/) 6 Piotrowski R () ierarchiczne sterowanie predykcyjne stężeniem tlenu w reaktorze biologicznej oczyszczalni ścieków Monografie, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej 7 Piotrowski R, Mojsiewicz () Nieliniowy regulator predykcyjny w sterowaniu instalacją napowietrzającą Pomiary utomatyka Kontrola, Vol 57, Nr 3, Łapiński M, Piotrowski R () Sterowanie kolumną rektyfikacyjną z wykorzystaniem nieliniowego algorytmu predykcyjnego Pomiary utomatyka Kontrola, Vol 58, Nr 8, Tarnawski J (3) Implementacja algorytmu regulacji predykcyjnej MPC w sterownikach programowalnych Pomiary utomatyka Robotyka, 6/3, - 7 Strojny R, Piotrowski R (3) Optymalizujące sterowanie układem napędowym samochodu z silnikiem spalinowym Pomiary utomatyka Kontrola, Vol 59, Nr, Piotrowski R (5) Two-Level Multivariable Control System of Dissolved Oxygen Tracking and eration System for ctivated Sludge Processes Water Environment Research, Vol 87, No, pp 3-3 6

27 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki Dziękuję za uwagę Studia I stopnia inżynierskie, Semestr VI 7