Jerzy Nowakowski Krzysztof Borowski. Wybrane zastosowania rachunku wektorów na rynku kapitałowym

Transkrypt

1 Jerzy Nowakowski Krzysztof Borowski Wybrane zastosowania rachunku wektorów na rynku kapitałowym W literaturze finansowej przedstawia się zazwyczaj teorię cykli za pomocą sumy określonych fal sinusoidalnych. W celu obliczenia stóp zwrotu z portfela inwestycji składającego się z szeregu aktywów, których ceny wykazują fluktuacje cykliczne, niezbędne jest wykorzystanie specyficznego narzędzia. Szczęśliwie system taki został juŝ wcześniej rozwinięty przez fizykę, gdzie wiele zmiennych jest reprezentowanych przez wektory. W przypadku inwestycji na rynku kapitałowym, kierunek wektora wskazuje punkt środkowy wyznaczony jako średnia arytmetyczna ceny najwyŝszej i najniŝszej w czasie danej sesji. Bardzo często do obliczeń przyjmuje się cenę zamknięcia. Długość wektora (amplituda) reprezentuje odległość lokalnego szczytu lub dołka od linii zero w aktualnie trwającym cyklu inwestycyjnym. W szczególności wektor o określonej amplitudzie obracający się wokół swojego początku nazywa się fazorem. Falę sinusoidalna moŝe zostać opisana przy pomocy wektora o amplitudzie równej amplitudzie fali i kierunku wyznaczonym przez kąt fazowy w chwili czasu 0. ZauwaŜmy, Ŝe kąt fazowy związany jest z translacją czasową a nie przestrzenną. Rysunek. Ilustracja powstawania fazora Wyobraźmy sobie teraz, Ŝe obracamy wektor L wokół jego początku z prędkością kątową ω w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Rzut długości wektora L na oś OY w kaŝdej chwili czasu t daje w konsekwencji falę sinusoidalną. Jeden obrót wektora wokół jego początku przedstawia jeden pełny cykl fali sinusoidalnej. Matematyczne równanie opisujące fazor moŝe zostać przedstawione w postaci: r ( t) = L sin( ω t + θ ) gdzie: r(t) oznacza długość rzutu wektora L na oś OY w chwili czasu t kąt θ oznacza kąt między wektorem a osią OX w chwili czasu t=0. Przeanalizujmy portfel składający się z dwu aktywów, których stopa zwrotu moŝe zostać opisana przy pomocy fali sinusoidalnej o tej samej częstości. Niech x 0 oznacza ilość pieniędzy wpływających do portfela, a x i x oznaczają środki zainwestowane odpowiednio Borowski K., Nowakowski J. Wykorzystanie ciągów liczbowych w analizie technicznej, Studia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów, SGH, Zeszyt 0, Warszawa 00. Długość rzutu wektora L na oś OY wynosi L sinθ, podczas gdy długość rzutu wektora L na oś OX wynosi L cosθ.

2 w aktywa nr i, podlegających falowym fluktuacjom. Oznaczmy przez m (t) i m (t) stopy zwrotu uzyskane z inwestycji w aktywa i w funkcji czasu t, a x (t) określa ilość pieniędzy jaka moŝe opuścić portfel po czasie t patrz rys.. Rysunek. Portfel inwestycyjny złoŝony z dwu aktywów. x m(t) x0 x(t) x m(t) Rysunek. Dwie fale sinusoidalne i związane z nim fazory. r m (t) θ R m (t) t R θ Na rysunku nr pokazane zostały fale sinusoidalne stóp zwrotu poszczególnych składników portfela i związane z nimi fazory: R i R. Czcionką pogrubioną oznaczać będziemy w dalszej części artykułu wielkości wektorowe. Amplituda fazora R jest większa od amplitudy R, a fazor drugi pozostaje w tyle za pierwszym dokładnie o kąt θ. Innymi słowy między fazorami występuje tzw. przesunięcie wynoszące θ stopni.

3 Stopa zwrotu z kaŝdej inwestycji w chwili czasu t moŝe być opisana jako: m ( t) = R sin( ω t + θ) m t) = R sin( ω t + ) ( θ Z rysunku nr wynika, Ŝe : θ = 0 θ = 60 θ Strumień środków finansowych opuszczających nasz portfel po okresie t wyniesie zatem: x t) = x m ( t) + x m ( ) ( t Rysunek 4. Dodawanie fazorów. r α m (t) m (t) R R α R m (t) t ZauwaŜamy, Ŝe fala złoŝona m (t) będąca sumą fal m (t) i m (t) opóźnia się w stosunku do fali pierwszej o kąt α. Stopa zwrotu z portfela x (t) w przypadku gdy x = x moŝe zostać obliczona w wyniku dodawania (wektorowego) fazorów R i R tak jak to obrazuje wykres 4. Tak, więc stopę zwrotu z portfela reprezentuje fazor R tworzący z wektorem R kąt α. W wyniku stosunkowo prostych obliczeń matematycznych otrzymujemy wzór na kąt α w postaci: R α = arctan R cos(90 θ ) + R cosθ W przypadku inwestycji, w których x x wzór ten przyjmuje postać: x R cos(90 θ ) α = arctan. x R + x R cosθ Davis H. Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon, Boston 987.

4 ZauwaŜmy, Ŝe poziomą składową wektora R opisuje wyraŝenie: x R + x R co prowadzi do pionowej składowej w postaci wzoru: x R cos(90 ). θ cosθ Regulację kąta α uzyskujemy dzięki odpowiedniemu doborowi wag środków zainwestowanych w poszczególne aktywa. PowyŜsze rozumowanie moŝe zostać przeniesione na przypadek, w którym oddziaływanie poszczególnych czynników, a tym samym ich stóp zwrotu: m (t) i m (t) ma przeciwstawny wpływ na wynik inwestycji patrz rys. 5. Rysunek 5. Portfel poddany działaniu dwu przeciwstawnych czynników. m(t) - m(t) x0 x x(t) Wypadkową stopę zwrotu naszej inwestycji moŝemy opisać w tym przypadku równaniem: m ( t) = m ( t) m ( t) = R =R - R Z rachunku wektorowego wiadomo, Ŝe róŝnicę wektorów R i R moŝna przedstawić jako sumę wektora R i wektora R. W tym celu do uzyskanych wcześniej obliczeń naleŝy konsekwentnie wstawić wartość R. Analogiczne rozumowanie moŝe zostać przeprowadzone dla obliczenia końcowej stopy zwrotu z n składnikowego portfela. Na przestrzeni ostatnich dwu lat fazory znalazły nowe zastosowanie w analizie technicznej. W tym przypadku jednakŝe przyjmuje się załoŝenie obrotu fazora zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a składowa pozioma jest wyznacznikiem upływu czasu. Proces rozkładu cyklu (fali) tworzonego przez cenę akcji na składową pionową i poziomą fazora nosi nazwę przekształcenia Hilberta 4. Metoda ta umoŝliwia otrzymanie współrzędnych końca wektora (x, y) w czasie t. Łącząc otrzymane w ten sposób punkty uzyskujemy wykres fazora odpowiadający upływowi określonego czasu. W przypadku idealnego cyklu 5 w jakim 4 Ehlers J. Adaptive Trend and Oscillators, Technical Analysis of Stock & Commodities, May 000, Volume 8, nr 5. 5 Poprzez idealny cykl rozumiemy przypadek, kiedy zmianę ceny w czasie moŝna opisać za pomocą fali sinusoidalnej będącej funkcją czasu. 4

5 mogłaby znajdować się cena akcji, współrzędne otrzymanych punktów utworzyłyby pełen okrąg. Niestety na rynku kapitałowym takie sytuacje zdarzają się niezmiernie rzadko. PoniŜej przedstawione zostały dwa przykłady wykorzystania fazorów do analizy cykli na polskim rynku kapitałowym. Na rysunku 6 zaprezentowany został wykres akcji Banku Rozwoju Exportu (BRE) na jesieni ub. r. Rysunek 6. Kurs akcji BRE na jesieni ub. r. BRE Bank 40 5 Sesja nr 6 k h Sesja nr 9 00 Etap 95 October November December 00 7 Początek analizowanego okresu przedstawia pierwsza pionowa linia na rysunku nr 6, a koniec druga. Rysunek nr 7 ilustruje wykres fazora uzyskany dla pierwszych 40 sesji badanego okresu. Punkt startowy usytuowany jest w pierwszej ćwiartce i oznaczony numerem pierwszym. Z uwagi na fakt, Ŝe cena znajduje się w silnym trendzie wzrostowym, wykres fazora do punktu 9 przemieszcza się z trudem. Następnie po spadku ceny i wybiciu w górę, rozpoczyna się cykl sesyjny. Po kilkunastu sesjach wzrostowych, siła cyklu słabnie i do głosu dochodzi ponownie wcześniejszy trend wzrostowy, który będzie trwał aŝ do końca pierwszego analizowanego etapu. 5

6 Rysunek 7. Fazor otrzymany dla analizowanego okresu czasu. 7 6 II Składowa pozioma 9 - Koniec 7 sesji = cykl 0 III IV 0 - Składowa pionowa Start Na rysunku nr 8 przedstawiony został wykres akcji Banku Inicjatyw Gospodarczych (BIG) na przełomie lat 00 / 00. Rysunek 9 przedstawia wykres fazora uzyskany na tej podstawie. ZauwaŜmy, Ŝe w ciągu sesji nie występuje Ŝaden określony trend za wyjątkiem połowy 4 sesyjnego cyklu (punkty od 8 do 4), po którym następuje sesyjny marsz fazora w miejscu. W pewnym momencie dochodzi nawet do zwrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara - punkty 5 (pogrubione na rysunku). Z teoretycznego punktu widzenia naleŝałoby przyjąć, Ŝe w czas między tymi punktami biegnie w kierunku przeciwnym, co jest oczywiście niemoŝliwe. W związku z tym jedynym właściwym wytłumaczeniem tego procesu moŝe być fakt, Ŝe cena znajduje się nadal pod wpływem trendu, ale takim, Ŝe upływ czasu nie ma tutaj znaczenia. I 6

7 Rysunek 8. Kurs akcji BIGu na przełomie 00 / 00. BIG Bank Gdanski Sesja nr 0 k h Sesja nr h Sesja nr 8 h Sesja nr December February Rysunek 9. Fazor uzyskany na podstawie analizy danych w badanym okresie. II 6,5 5 4 sesji = cykl 0,5 8 4 Koniec 0 9 Składowa 0 pozioma ,5 III - -,5 - Składowa pionowa 7 Start sesji = cykl 4 9 I IV 7

8 Stosunkowo rzadkim zjawiskiem występującym na wykresach fazorów są małe, pętle (czasami wielokrotne) usytuowane wewnątrz większych, określane mianem przesunięcia (ang. whiffles) patrz rys. 0. Zewnętrzna pętla o stosunkowo duŝej amplitudzie została przesunięta do środka układu współrzędnych tworząc dwie wewnętrzne pętle: o cyklach wynoszących 5 i 4 sesji. Początek tej translacji przypada w punkcie nr. W rezultacie otrzymany fazor jest wypadkową złoŝenia fazora 6, 4 i 5 sesyjnego. Zjawisko to moŝe zostać wytłumaczone w następujący sposób patrz rys.. Cykl krótszy został przedstawiony jako fazor wirujący na końcu fazora reprezentującego cykl główny (dominujący). Prędkość obrotowa fazora krótszego cyklu jest znacznie większa niŝ prędkość obrotowa fazora cyklu głównego. Cykle podrzędne nie muszą być widoczne na wykresie fazora w całości bardzo często ujawniają się jedynie w pewnej tylko części. Co waŝniejsze jedynie wykres fazora pozwala zidentyfikować cykle niemoŝliwe do odfiltrowania przy pomocy wielu metod matematycznych. Rysunek 0. Ilustracja zjawiska przesunięcia fazora -0,5 - -,5 Składowa pionowa II I Start sesji = cykl 0, sesji = cykl Składowa -,5 - -0,5 0 0,5,5 pozioma 4 5 sesji = cykl III 4 Koniec Przesunięcie - główny fazor zatrzymuje się, początek trendu 9 8 IV 8

9 Rysunek. Wytłumaczenie zjawiska przesunięcia Cykl mniejszego rzędu Cykl dominujący Jeszcze trudniejszą kwestię stanowią przypadki, w których fazor cyklu mniejszego wiruje z prędkością obrotową znacznie mniejszą niŝ prędkość obrotowa cyklu głównego. W takim przypadku naleŝy spodziewać się przesunięcia trajektorii fazora cyklu głównego od centrum (translacja) widoczny jest tutaj stały wpływ (stałe tło) oddziaływania fazora cyklu mniejszego. Stosunek długości obu wektorów nie ma w tym przypadku Ŝadnego znaczenia zastosowanie dodatkowych metod filtracyjnych pozwala dość skutecznie prześledzić oba cykle. Strategia inwestycyjna stworzona przez analizę techniczną 6, oparta na wykorzystaniu fazorów przewiduje: - otwarcie pozycji długiej w momencie kiedy składowa pozioma osiąga swoje minimum, - zamknięcie pozycji długiej kiedy składowa pozioma osiąga swoje maksimum Składowa pozioma osiąga swoje maksimum w momencie przebicia osi OX przy przejściu z pierwszej do czwartej ćwiartki układu, a swoje minimum w przypadku przebicia przez fazor osi OX z trzeciej do drugiej ćwiartki. Strategia inwestycyjna oparta na technice fazorów przynosi wyŝszą stopę zwrotu niŝ bazująca na wykorzystaniu połowy cyklu 7. Literatura:. Bartkowiak R. Electric Circuit Analysis, Harper & Row, New York 985. Bell D. Fundamentals of Electric Circuits, Reston Publ. Co., Reston, Virginia 98.. Bernstein J. Cykle giełdowe, WIG PRESS, Waraszawa Ehlers J. Phasor Displays, Technical Analysis of Stock & Commodities, December 000, Volume 8, nr. 7 Ehlers J. Phasor Displays, Technical Analysis of Stock & Commodities, December 000, Volume 8, nr. 9

10 4. Borowski K., Nowakowski J. Wykorzystanie ciągów liczbowych w analizie technicznej, Studia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów, SGH, Zeszyt 0, Warszawa Davis H. Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon, Boston Ehlers J. Adaptive Trend and Oscillators, Technical Analysis of Stock & Commodities, May 000, Volume 8, nr Ehlers J. Squelch Those Whipsaws, Technical Analysis of Stock & Commodities, September 000, Volume 8, nr Ehlers J. Traders Tips, Technical Analysis of Stock & Commodities, December November, Volume 8, nr. 9. Ehlers J. Phasor Displays, Technical Analysis of Stock & Commodities, December 000, Volume 8, nr. 0. Hsu H. Applied Vector Analysis, Harcourt, Brace Jovanovich, San Diego Jones K. Portfolio Management, McGraw Hill Book Company, London 99.. Martin D. Complex Number, Olivier and Boyd, Edinburgh and London Wolstenholme E. Elementary Vectors, Pergamon Press, Oxford