DLACZEGO W DYLEMAT WI NIA WARTO GRA KWANTOWO? *

Transkrypt

1 Marek Szopa Uniwersytet lski w Katowicach DLACZEGO W DYLEMAT WINIA WARTO GRA KWANTOWO? * 1. Klasyczny dylemat winia Dylemat winia [DW] jest bardzo znanym przykadem zastosowania teorii gier do zagadnie zwizanych z podejmowaniem decyzji. Po raz pierwszy opisany przez Flooda i Dreshera [Flood i in. 1952] zosta spopularyzowany przez Alberta Tuckera, którego historii o dwu winiach dylemat zawdzicza obecn nazw. Swoja popularno DW zawdzicza uniwersalnoci schematu gry, która opisuje dylemat decyzyjny powszechnie wystpujcy w wielu sytuacjach ycia codziennego. Typowy scenariusz zakada, e dwaj gracze, Alicja i Bartek, niezalenie od siebie wybieraj jedn z dwu strategii wspópraca (W) lub odmowa (O). Wybory obu graczy s podstaw do wypacenia im wygranych, które s opisane w tabeli 1. Macierz wypat Dylematu Winia Tabela 1 Bartek W O Alicja W (w, w) (f, z) O (z, f) (k, k) Wybór W oznacza wspóprac, a wybór O jej odmow. Pierwsza liczba kadej pary to wypata Alicji, druga to wypata Bartka. Wypata to nagroda za wspóprac, to pokusa do zdrady, to wypata frajera, a to kara za (obustronn) odmow wspópracy. Liczby te speniaj nierównoci: oraz [Straffin 2001]. * Praca bya dofinansowana ze rodków Narodowego Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji nr DEC-2011/01/B/ST6/07197.

2 Dlaczego w dylemat winia warto gra 175 Na podstawie macierzy wypat atwo zauway, e niezalenie od wyboru przeciwnika dominujc strategi kadego gracza jest odmowa. Para strategii (O,O) jest równowag Nasha (RN) tej gry. Paradoksalnie równowaga ta odpowiada wygranej ( ), która jest daleka od rozwizania optymalnego w sensie Pareto, którym jest wynik ( ). Sposobem uzyskania rozwizania optymalnego jest obustronna wspópraca (W,W). Jednak taka gra wymaga wzajemnego zaufania graczy, gdy kade odstpienie od tej strategii daje odmawiajcemu nagrod w postaci pokusy do zdrady, a drugiemu kar w postaci wypaty frajera. Jeli gra w DW toczy si pomidzy osobami, które nie maj do siebie zaufania a taka sytuacja spoeczna jest powszechna to najczstszym wynikiem gry jest obustronna kara za brak wspópracy. Gra ma naturalne rozszerzenie do wieloosobowego DW, w którym zasadniczy dylemat pozostaje taki sam, jak w przypadku dwuosobowym. Z punktu widzenia praktycznych zastosowa istotnym rozszerzeniem gry jest jej iterowana wersja [Hamilton i in. 1981], dla której strategie graczy zale od historii wczeniejszych rozgrywek. 2. Definicja gry kwantowej Psychologia eksperymentalna pokazuje, e realne decyzje ludzkie w sytuacji typu DW s czsto niezgodne z klasyczn RN. Niektórzy badacze dowodz, e lepiej od klasycznych do wyjanienia decyzji ludzkich nadaj si kwantowe metody opisu podejmowania decyzji [Busemeyer i in. 2006; Pothos i in. 2009]. Wraz z rozwojem bada na temat kwantowego przetwarzania informacji DW doczeka si swej kwantowej wersji [Eisert i in. 1999]. W tym ujciu strategie graczy s operatorami w pewnej przestrzeni wektorowej zwanej sfer Blocha. Przestrze ta to zbiór kubitów unormowanych wektorów o wspóczynnikach zespolonych rozpitych na dwuelementowej bazie, które, z dokadno- ci do fazy, mona przedstawi w postaci: (1) gdzie oraz (rys. 1). Kubity oraz to kwantowe stany czyste reprezentujce wspóprac i odmow. Pozostae kubity na sferze Blocha s stanami mieszanymi. Zgodnie z zasadami mechaniki kwantowej kubit w stanie mieszanym (1) jest superpozycj dwu stanów kwantowych. Oznacza to, e dopóki nie dokonamy pomiaru, nie moemy stwierdzi, w którym z dwu stanów kubit tak naprawd si

3 176 Marek Szopa znajduje. Jedyne, co moemy powiedzie, to e pomiar da wynik z prawdopodobiestwem oraz wynik z prawdopodobiestwem. Rys. 1. Sfera Blocha z oznaczonym pooeniem kubitów wspópraca, odmowa oraz kubitów lecych w paszczynie x-y i przecinajcych osie W wyniku pomiaru nastpuje tzw. kolaps funkcji falowej kubitu, która z postaci (1) przechodzi w stan lub. Przykadowo wszystkie kubity na równiku sfery Blocha (czerwona linia na rys. 1) reprezentuj stan kwantowy, który w wyniku pomiaru kolapsuje do stanu lub z prawdopodobiestwem. Analogiczna sytuacja ma miejsce w znanym przykadzie z kotem Schrödingera w tym przypadku stany i odnosz si do stanu witalnoci kota. W kwantowej teorii gier to jednak nie kubity ani odpowiadaj strategiom graczy. Strategiami s transformacje unitarne dla Alicji oraz dla Bartka dziaajce na pewnym, specjalnie przygotowanym i znanym obu graczom, spltanym stanie kwantowym. Transformacje te s w ogólnej postaci obrotami na sferze Blocha okrelonymi przez macierze unitarne: (2) gdzie, oraz,.

4 Dlaczego w dylemat winia warto gra 177 W szczególnym przypadku, gdy obrót jest okrelony tylko przez kt, tj., mona go wyrazi jako. Macierz jednostkowa odpowiada strategii wspópraca, a macierz (zamieniajc kubity i ) odpowiada strategii odmowa. Strategia jest równowana klasycznej strategii mieszanej, dla której prawdopodobiestwa obu strategii czystych oraz wynosz odpowiednio i. Gra kwantowa, jako e dotyczy dwojga graczy, toczy si w przestrzeni par kubitów, po jednym dla kadego gracza, które s ze sob skorelowane poprzez mechanizm spltania kwantowego (rys. 2). Alicja Bartek Rys. 2. Schemat kwantowego DW Gra taka moe by fizycznie zrealizowana przez komputer kwantowy realizujcy powyszy algorytm zaleny od strategii graczy. Algorytm taki zosta zrealizowany eksperymentalnie [Du i in. 2002] na dwukubitowym komputerze kwantowym opartym na jdrowym rezonansie magnetycznym. Szczegóy jego dziaania, tj. fizyczna implementacja algorytmu kwantowego, nie s istotne dla zrozumienia gry kwantowej i w niniejszym artykule zostan pominite. Stan pocztkowy gry jest par kubitów, z których pierwszy jest stanem Alicji, a drugi stanem Bartka. Wektory bazowe przestrzeni par kubitów:,,, s stanami czystymi. Dla wygody rachunkowej oznaczymy je jako wektory:,,, czterowymiarowej przestrzeni stanów. Na stan pocztkowy dziaa operator splatajcy, zdefiniowany w tej przestrzeni jako, gdzie jest jedn z macierzy Pauliego. W wyniku tego dziaania otrzymu-

5 178 Marek Szopa jemy, czyli stan spltany. Kolejno na uzyskany wynik dziaa iloczyn prosty operatorów reprezentujcych kwantowe strategie Alicji i Bartka. Przed pomiarem stanu kocowego dziaamy jeszcze operatorem rozplatajcym. Stan kocowy jest wic ostatecznie dany przez: i jest na ogó stanem spltanym: (3), (4) gdzie,, s prawdopodobiestwami, e pomiar dokonany kocowym stanie mieszanym (4) da jeden z czterech moliwych wyników. Warto oczekiwana wypaty Alicji w grze kwantowej jest redni wa- on czterech klasycznych wartoci i z macierzy wypat (tabela 1): (5) gdzie wagami s kwantowe prawdopodobiestwa odpowiednich stanów czystych, z dokadnoci do fazy równe [Chen i in. 2006]: Warto oczekiwan wypaty Bartka otrzymamy z wzoru (5) przez zamian rolami. Zwrómy uwag, e sytuacj kwantow mona jednak symulowa poprzez klasyczne obliczanie odpowiednich prawdopodobiestw i podstawienie ich do wzoru (5). Uzyskany wynik bdzie taki sam, jak redni wynik gry kwantowej rozgrywanej wielokrotnie. W przypadku urzdzenia kwantowego, które splata kubity oraz dokonuje odpowiednich przeksztace unitarnych (3), wynik gry poznamy przez pomiar stanu kocowego (4), który w wyniku kolapsu funkcji falowej, da jeden z czterech moliwych stanów z waciwym prawdopodobie-

6 Dlaczego w dylemat winia warto gra 179 stwem. W tym przypadku równie mona uy urzdze klasycznych do losowania jednego z czterech moliwych stanów czystych,,,. Dziki temu, e gracze wykorzystuj strategie kwantowe, spltanie daje moliwoci wzajemnego oddziaywania na siebie graczy, które nie ma odpowiednika w grach klasycznych. 3. Kwantowy DW w granicy klasycznej Gra kwantowa przechodzi w gr klasyczn, jeeli strategie (2) nie zawieraj zespolonych wspóczynników fazowych. Rzeczywicie, operator spltujcy jest tak dobrany, aby komutowa z iloczynem prostym kadej pary operatorów klasycznych, ale wic i warto oczekiwana wypaty Alicji (5) wynosi: (6) co daje wynik identyczny jak w klasycznej grze, kiedy obaj gracze wybieraj strategie mieszane (tabela 2). Macierz wypat kwantowego Dylematu Winia w granicy klasycznej dla gdy gracze graj strategiami mieszanymi wyznaczonymi przez i Bartek Tabela 2 W O Alicja W (w, w) (f, z) O (z, f) ( ) Wypaty graczy naley pomnoy przez prawdopodobiestwa wyboru poszczególnych strategii (liczby w nawiasach). Jeli na przykad Alicja wybierze wspóprac, a Bartek jej odmówi, to wynik gry bdzie ( ), czyli wygrana Bartka. Jedyna rónica pomidzy klasycznym DW a granic klasyczn kwantowego DW polega na tym, e w tym pierwszym przypadku gracz wykorzystujcy strategi mieszan sam

7 180 Marek Szopa musi dokona losowania, a nastpnie wybra wylosowan opcj lub. Pomidzy losowaniem a wyborem opcji jest chwila, w czasie której gracz moe zmieni zdanie (i zadany rozkad prawdopodobiestwa) lub przeciwnik moe przechwyci informacj o planowanym ruchu (i adekwatnie zareagowa). W przypadku kwantowym gracz jedynie decyduje si na wybór swojej strategii danej przez kt, a ca reszt wykonuje komputer kwantowy. Nie ma moliwoci przechwycenia informacji kwantowej przez druga stron kada taka próba zakoczyaby si kolapsem funkcji falowej i przedwczesnym zakoczeniem gry. W przypadku klasycznego DW równowag Nasha jest para strategii ( ), atwo to zobaczy po narysowaniu funkcji wypat obu graczy w zalenoci od któw (por. rys. 3, gdzie zaoylimy,, i ). Kt, gdzie odpowiada wspópracy, a odmowie. Wypaty i s rosncymi funkcjami i, a ich wspólne maksimum odpowiada równowadze Nasha (czerwony znacznik) w punkcie ( ). Rys. 3. Wypaty graczy klasycznego DW parametryzowane ktami Punkt odpowiadajcy obustronnej odmowie ( ) jest jedyn równowag Nasha klasycznego DW, gdy obie funkcje wypat i rosn wraz ze swoimi argumentami, osigajc wspólne maksimum tylko w tym jedynym punkcie. Jeli jeden z graczy gra klasycznie, np. to drugi, który wykorzystuje kwantowe strategie, moe zagra. Jak atwo sprawdzi (5), wynik gry bdzie w tym przypadku równy ( ) na korzy gracza kwantowego. Pokazuje to przewag strategii kwantowej nad klasyczn niezalenie od uytej

8 Dlaczego w dylemat winia warto gra 181 strategii klasycznej gracz kwantowy zawsze znajdzie najlepsz odpowied w postaci strategii, która daje mu maksymaln wygran, a gracza klasycznego pozostawi z minimaln wypat. Taka sytuacj jednak trudno uwaa za rozwizanie gry, gdy gracz pierwszy, dysponujc wiksz iloci strategii, jest uprzywilejowany. 4. Równowagi Nasha kwantowego DW Strategie kwantowe daj jednak duo wiksze bogactwo moliwych wyników, niemoliwych do osignicia za pomoc strategii klasycznych. Zaómy, e Alicja wybiera dowoln strategi kwantow. Bartek moe wybra strategi. Zauwamy, e niezalenie od wyboru Alicji, ruch Bartka daje wspóczynniki (4) oraz. Transformacja uyta przez Bartka uniewania zatem dowolny ruch Alicji i doprowadza do sytuacji, e kocow strategi Alicji zapisan w jest wspópraca, podczas gdy Bartek gra odmow. Wynikiem tej gry jest maksymalna wygrana Bartka. Jednak gra kwantowa jest symetryczna i Alicja moe odpowiedzie na strategi Bartka strategi. Tym razem jedynym niezerowym wspóczynnikiem jest, czyli teraz Alicja gra odmow, podczas gdy Bartek gra wspóprac i wypata odwraca si. Dla Bartka najlepsz odpowiedzi na strategi Alicji jest, gdy wynik gry jest znowu. W kocu najlepsz odpowiedzi na jest pierwotna strategia Alicji, która przywraca jej wygran. Zaómy teraz, e Alicja wybierze strategi mieszajc obie swoje strategie,, a Bartek postpi podobnie, grajc,. Warto oczekiwana wygranej Alicji (5) jest równa: (7) Zauwamy, e suma wygranych Alicji i Bartka w tej grze jest staa i wynosi. Na rysunku 4 przedstawiono wypat Alicji przy zaoeniu, e:,, i, wypata Bartka jest równa. Gra ma

9 182 Marek Szopa jedn równowag Nasha dla, w tym punkcie wypaty graczy s i aden z graczy nie powikszy swojej wypaty przez jednostronn zmian swojej strategii [Flitney i in. 2002]. Wystarczy, e jeden z graczy zastosuje strategi, aby wygrana obu bya równa i niezalena od strategii drugiego (czerwone linie na rys. 4). Rys. 4. Wypata Alicji dla kwantowego DW, w którym przeciwnicy graj strategiami mieszanymi i, gdzie. Gra ma jedyn RN w punkcie siodowym (czerwony znacznik) Gra w tej postaci sprowadza si wic do gry o sumie staej, a jej rozwizaniem jest punkt siodowy. Kwantowy DW ma nieskoczenie wiele równowag Nasha, kad wyznaczona przez trójk pierwotnych strategii Alicji. Pokazalimy zatem, e odpowiedni wybór mieszanych strategii kwantowych moe zapewni obu graczom wynik tylko nieco gorszy od wzajemnej wspópracy (pamitajmy, e z definicji DW). Biorc jednak pod uwag, e w grze klasycznej jedyn równowag Nasha jest wynik, gra kwantowa daje graczom duo korzystniejsz równowag nieosigaln w grze klasycznej. Zauwamy, e jeli w szczególnym przypadku ustalimy : (8)

10 Dlaczego w dylemat winia warto gra 183 oraz: (9) to strategie, z dokadnoci do staej, sprowadzaj si do czterech macierzy (macierz jednostkowa plus trzy macierze Pauliego) z grupy macierzy unitarnych. Macierze Pauliego s generatorami obrotów o kt wokó odpowiednich osi (rys. 1). 5. Czy mona wykorzysta kwantowe równowagi DW? Na rysunku 5 przedstawiono diagram uytecznoci DW (dla,, i ) z zaznaczeniem czterech klasycznych strategii i. Seria linii tworzcych widzian pod ktem szachownic odpowiada parom klasycznych strategii graczy o staym (linie czerwone) i staym (linie niebieskie). Strzaki wskazuj preferencje graczy i jedyn klasyczn równowag Nasha w punkcie. Czarna linia czca punkty i odpowiada grze o staej sumie i zawiera wszystkie wypaty kwantowych strategii Alicji oraz Bartka.

11 184 Marek Szopa Niezalenie od strategii mieszanej Alicji (linie czerwone) dla Bartka najkorzystniejsz strategi (strzaki) jest, podobnie w przypadku strategii mieszanych Bartka (linie niebieskie) dla Alicji najkorzystniejsz strategi jest. Kwantowy DW ma równowag Nasha dla pary strategii korzystniejsz od klasycznego (0, 0). Rys. 5. Diagram uytecznoci DW dla,, i Jak wykazalimy w poprzednim rozdziale, jedyna równowaga Nasha odpowiada w tym przypadku parze strategii. Równowaga ta daje obu graczom wygran, korzystniejsz od klasycznej równowagi dziki charakterystycznemu spltaniu klasycznych strategii i niemoliwemu do uzyskania za pomoc strategii klasycznych. Sprowadzenie DW do gry o staej sumie jest moliwe tylko kwantowo. Analiza tego rozwizania pokazuje, e jego istot jest specyficzna korelacja rozwiza typu wspópraca odmowa w taki sposób aby gracze nie potrafili przewidzie, kiedy ich strategia doprowadzi do jednej bd do drugiej opcji. Je- li Alicja wybiera strategi, to nie wie, czy Bartek odpowie jej czy, tym samym nie wie, czy jej ruch jest wspóprac czy odmow. To samo dotyczy strategii oraz sytuacji Bartka. Przy takim wyborze strategii kwantowy DW

12 Dlaczego w dylemat winia warto gra 185 sprowadza si wic do gry o sumie zerowej w wybór strony monety: dwaj gracze niezalenie od siebie wybieraj ora lub reszk; Alicja wygrywa, jeli wybrane strony s róne, a Bartek jeli s takie same (z ang. matching pennies ). Gra ta jest bardziej znana (w wersji z potrójnym wyborem) jako papier, noyce, kamie. Jak wiadomo, nie ma ona rozwizania w strategiach czystych, a jej jedyn równowag Nasha jest strategia losowa wybór dowolnej opcji z jednakowym prawdopodobiestwem. Jeli jeden z graczy zastosuje t strategi, to drugi, niezalenie od swojej, nie moe podwyszy wyniku, którego warto oczekiwana wynosi w tym przypadku zero. W naturalny sposób pojawia si pytanie, czy kwantowa wersja DW moe si przyczyni do rozwizywania typowych sytuacji z ycia codziennego, które maj charakter dylematu winia. Przykady z innych dziedzin wskazuj, e strategie kwantowe mog lepiej ni klasyczne rozwizywa problemy gier rynkowych i giedy [Piotrowski i in. 2002], aukcji i konkursów [Piotrowski i in. 2008] czy hazardu [Goldenberg i in. 1999]. Jak wynika z niniejszego artykuu rozwizanie dylematu za pomoc kwantowych strategii moe da lepsze rezultaty ni klasyczne rozwizania. Klasyczny DW w nieuchronny sposób doprowadza graczy do jedynego racjonalnego rozwizania obustronnej odmowy wspópracy i w konsekwencji kary za brak wspópracy, podczas gdy jego kwantowy odpowiednik ma równowagi Nasha na du- o korzystniejszym poziomie redniej z pokusy do zdrady i nagrody frajera. Czy zatem strategie kwantowe mog by praktycznie wykorzystane? Jak wiemy, jednym z pozytywnych sposobów, w jaki DW reguluje procesy rynkowe, jest równowaga cen, tzw. pikna równowaga Nasha. Dziki niej firmy, którym chciayby sprzedawa swoje towary droej, de facto obniaj ceny, aby optymalizowa swoje zyski [Dixit i in. 2009]. Dylemat winia polega tu na tym, e obopólna (lub wielostronna) wspópraca, polegajca na utrzymywaniu wysokich cen, jest w sytuacji rynkowej niemal niemoliwa, bo zawsze znajdzie si firma, która zechce sprzedawa taniej ( odmowa ), rekompensujc sobie nisze ceny zwikszon iloci klientów i pozostawiajc na lodzie (tzn. bez klientów) droszego producenta ( wspópraca ). Jednak w niektórych przypadkach dziaanie mechanizmu DW jest w tej dziedzinie zaburzone, dochodzi do niego w przypadku tzw. zmowy cenowej. Znany jest przykad z lat pidziesitych ubiegego wieku na rynku turbin w USA [Dixit i in. 2009]. Trzy ukadajce si firmy umówiy si, e bd stosowa zawyone ceny, lecz takie, aby, w zalenoci od terminu ogoszenia przetargu, wygraa jedna z nich. Wygrany w danym przetargu bra wszystko (pokusa do zdrady), pozostali zostawali z niczym (nagroda frajera). Losowo terminów ogaszania przetargów zapewniaa, e wszyscy partnerzy zarabiali, kady w stosownym terminie. Najwaniejsze w caej sprawie byo od-

13 186 Marek Szopa powiednie skorelowanie firmy, która miaa dany przetarg wygra z terminem jego ogoszenia w taki sposób, aby zainteresowani nie mieli wtpliwoci, a nikt poza nimi nie by w stanie przewidzie algorytmu (bo zmowy cenowe s nielegalne). Gdyby partnerzy zmowy wykorzystali algorytm oparty na spltaniu kwantowym, aden zewntrzny obserwator nie byby w stanie udowodni im zmowy cenowej. Jednak dyrektorzy firm wyldowali w wizieniu, gdy wykorzystali mniej wyszukany, a moliwy do odkrycia system korelujcy zwycizc przetargu wyaniano na podstawie kalendarza ksiycowego ta czy inna firma wygrywaa w zalenoci od iloci dni, które upyny od nowiu. Pozytywnym przykadem dziaania, które znajduje analogi do rozwizania kwantowego DW w zagadnieniach ekonomicznych, jest tzw. strategia szachowa w negocjacjach [Perrotin i in. 1994]. W strategii tej zakada si, e niezbdnym elementem kadych negocjacji s obustronne ustpstwa, a sztuka negocjowania polega na ich umiejtnym doborze. Ustpstwa dotyczce poszczególnych kwestii (zmiennych) negocjacyjnych s skategoryzowane ze wzgldu na ich wano dla obu stron i naniesione na macierz strategii szachowej, której kolejne wiersze oznaczaj kwestie: najwaniejsze, rednio wane i najmniej wane dla Alicji. Kolumny w analogiczny sposób porzdkuj wano kwestii dla Bartka. Zmienne, których wano dla Alicji jest mniejsza ni dla Bartka, le poniej przektnej macierzy strategii, a te, których wano dla Alicji jest wiksza ni dla Bartka, powyej przektnej [Szopa 2010]. Zastosowanie strategii szachowej polega m.in. na wzajemnej wymianie ustpstw tak, aby Alicja ustpowaa w kwestiach poniej, a Bartek w kwestiach powyej przektnej. Dziki takiej dystrybucji ustpstw suma ich wanoci jest minimalizowana, a wynik negocjacji zamiast klasycznego spotkania w poowie drogi zblia si do rozwizania optymalnego typu wygrany-wygrany. Analogia do równowagi kwantowego DW jest nastpujca: ustpstwa Alicji to jej wspópraca, a Bartka odmowa, w przypadku ustpstw Bartka role si odwracaj. Gracze ustpujc sobie kolejno graj kwantow sekwencj , gdzie kada kolejna para strategii oznacza ustpstwo jednej i wygran drugiej strony. Sekwencyjna wymiana ustpstw nie jest niczym nowym w relacjach spoecznych, wynika z gboko zakorzenionej w naturze ludzkiej korelacji wzajemnych yczliwoci, znanej w psychologii spoecznej jako regua wzajemnoci [Cialdini 1995].

14 Dlaczego w dylemat winia warto gra 187 Podsumowanie Przeprowadzona w niniejszym artykule analiza pokazuje, e do zasymulowania strategii kwantowych w grach wystarcz klasyczne rachunki. Dziki znajomoci mechaniki kwantowej jestemy w stanie symulowa zachowanie si czstek kwantowych i, co za tym idzie, przewidywa wynik stosowania strategii kwantowych. Znajc wynik dziaania tych algorytmów, nawet jeli ich fizycznie nie implementujemy, moemy si stara je naladowa, aby wykorzysta szersz klas moliwych kwantowo rozwiza gier. W artykule opisalimy dwa przykady klasycznych procesów zmowy cenowe oraz strategi szachow, które w du- ym stopniu wykorzystuj równowagi Nasha kwantowego DW. Mona zada pytanie: jaki jest zwizek gier klasycznych ze zjawiskami kwantowymi? Jako teoria matematyczna, gry klasyczne okazuj si by szczególnym przypadkiem gier kwantowych. Czy realne gry klasyczne, rozgrywane codziennie przez ludzi, maj jaki zwizek z fizycznymi procesami kwantowymi? Odpowied na to pytanie wydaje si by twierdzca takim procesem moe by kolaps funkcji falowej. Wedug oszacowa [Albrecht i in. 2012] to fluktuacje kwantowe s przyczyn zjawisk makroskopowych, które uznajemy za losowe, takich jak np. rzut monet lub koci. Wedug cytowanych autorów kade praktyczne uycie prawdopodobiestwa ma swoje ródo w zjawiskach kwantowych. Gdyby przyj taki punkt widzenia, to kade wykorzystanie w grze strategii mieszanej byoby w istocie zjawiskiem kwantowym. W grach kwantowych istotnym elementem mechanizmu gry jest spltanie. Czy to zjawisko równie ma swój odpowiednik w realnej grze klasycznej? Czy obiekty makroskopowe, które s kontrolowane bd tylko obserwowane przez nasze zmysy, mog by spltane? Tego nie potrafimy udowodni. Problemy z dekoherencj funkcji falowej powoduj, e nawet na poziomie cile kontrolowanych eksperymentów, odbywajcych si w skrajnych rygorach odizolowania od otoczenia, trudno jest utrzyma dwa spltane kubity. Budowa komputera kwantowego, opartego na rejestrze wielu spltanych kubitów, poddanych unitarnym operacjom bramek kwantowych, i zdolnego do rozwizywania za pomoc algorytmów kwantowych praktycznych problemów lub symulowania gier kwantowych jest prawdziwym wyzwaniem, które jednak wspóczesna fizyka nie bez sukcesów podejmuje [Vandersypen i in. 2001].

15 188 Marek Szopa Bibliografia Albrecht A., Phillips D., 2012: Origin of Probabilities and Their Application to the Multiverse [Online]. Cornell University Library, , v1.pdf. Busemeyer J.R., Wang Z., Townsend J.T., 2006: Quantum Dynamics of Human Decision Making. Journal of Mathematical Psychology, Vol. 50, Chen K., Hogg T., 2006: How Well Do People Play a Quantum Prisoner s Dilemma. Quantum Information Processing, Vol. 5(1), Cialdini R., 1995: Wywieranie wpywu na ludzi. Gdaskie Wydawnictwo Psychologiczne, Gdask. Dixit A.K., Nalebuff B.J., 2009: Sztuka strategii. MT Biznes, Warszawa. Du J. et al., 2002: Experimental Realization of Quantum Games on Quantum Computer. Physical Review Letters, Vol. 88, Eisert J., Wilkens M., Lewenstein M., 1999: Quantum Games and Quantum Strategies. Physical Review Letters, Vol. 83, 3077, s Flitney A.P., Abbott D., 2002: An Introduction to Quantum Game Theory. Fluct. Noise Lett, Vol. 2, R Flood M.M., Dresher M., 1952: Research Memorandum. RM PR. RAND Corporation, Santa-Monica, Ca. Goldenberg L., Vaidman L., Wiesner S., 1999: Quantum Gambling. Physical Review Letters, Vol. 82, Hamilton W.D., Axelrod R., 1981: The Evolution of Cooperation. Science, Vol , Perrotin R., Heusschen P., 1994: Kupi z zyskiem. Poltext, Warszawa. Piotrowski E., Sadkowski J., 2008: Quantum Auctions: Facts and Myths. Physica A, 15, Vol. 387, Quantum market games. Physica A. 1-2, 2002, Vol. 312, Pothos E.M., Busemeyer J.R., 2009: A Quantum Probability Explanation for Violations of Rational Decision Theory. Proceedings of the Royal Society B., Vol. 276, Straffin P.D., 2001: Teoria gier. WN Scholar, Warszawa. Szopa M., 2010: Teoria gier w negocjacjach. Skrypty dla studentów Ekonofizyki na Uniwersytecie lskim [Online]. Teoria_gier/strategie_taktyki_negocjacji. Vandersypen L.M.K. et al., 2001: Experimental Realization of Shor's Quantum Factoring Algorithm Using Nuclear Magnetic Resonance. Nature 6866, Vol. 414,

16 Dlaczego w dylemat winia warto gra 189?????????????????????????????? Summary The Prisoner s Dilemma [PD] is the best known example of a two-person, simultaneous game, for which the Nash equilibrium is far from Pareto-optimal solutions. In this paper we define a quantum PD, for which player s strategies are defined as rotations of the SU(2) group, parameterized by three angles. Quantum strategies are correlated through the mechanism of quantum entanglement and the result of the game is obtained by the collapse of the wave function. Classic PD is a particular case of the quantum game for which the set of rotations is limited to one dimension. Each quantum strategy can be, by appropriate choice of counter-strategy, interpreted as a cooperation or defection. Quantum PD has Nash equilibria that are more favorable than the classic PD and close to the Pareto optimal solutions. With proper selection of strategies, quantum PD can be reduced to the classic, zero-sum, matching pennies game. In this paper we show examples of economic phenomena (price collusion, the chess strategy) that mimics the Nash equilibria of quantum PD.