MODELOWANIE WYBORU ŚRODKA TRANSPORTU PORÓWNANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ I LOGITOWEGO MODELU WYBORU DYSKRETNEGO

Transkrypt

1 PROBLEMY KOMUNIKACYJNE MIAST W WARUNKACH ZATŁOCZENIA MOTORYZACYJNEGO Poznńsk Konfrncj Nukowo-Tchnczn Poznń-Rosnówko Rfł KUCHARS* Mrk BAUER** Tomsz KULPA ** Andrzj SZARATA *** *) mgr nż., **) dr nż., ***) dr hb. nż., rof. PK, Zkłd Systmów Komunkcyjnych, Poltchnk Krkowsk, ul. Wrszwsk 24, Krków MODELOWANIE WYBORU ŚRODKA TRANSPORTU PORÓWNANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ I LOGITOWEGO MODELU WYBORU DYSKRETNEGO Nnjszy rtykuł jst tortyczną nlzą orównwczą dwóch modl mtmtycznych używnych w modlownu wyboru środk trnsortu rzz odróżngo. Osujmy orównujmy tu dw modl: rgrsję logstyczną modl logtowy. Obydw owszchn stosown w rktyc często nsłuszn uznwn z dntyczn. Dzęk formlnmu zdfnownu modl możlw jst ch nlz, orównn złożń rzdstwn ntrrtcj. W rtykul tym okzujmy różnc w złożnch modl ch konskwncj. Obydw modl okrślją rwdoodobństwo wyboru dngo środk trnsortu jko funkcję jgo trkcyjnośc. Wywodzą sę jdnk z różnych złożń. Modl logtowy jst modlm wyboru dyskrtngo, rgrsj logstyczn jst z kol dosownm funkcj jdnj zmnnj do zobsrwowngo zjwsk. Pokżmy jk są konskwncj tych złożń w: doborz zmnnych objśnjących wybór (ogrnczony w rgrsj nogrnczony w modlu logtowym); lczb ltrntyw (dw w rgrsj, dowoln lość w modlu logtowym); ostc ochodnj, czyl wrżlwośc n zmnę trkcyjnośc (sln nlnow złożon w rgrsj) rocs klbrcj (trdycyjny w rgrsj z wykorzystnm zgrgownych obsrwcj symulcyjny z wykorzystnm wszystkch obsrwcj w modlu logtowym). Słow kluczow: odzł zdń rzwozowych, modl slt, odzł modlny, funkcj logtow, modl logtowy. 1. Problm wyboru środk trnsortu

2 Rfł KUCHARS, Mrk BAUER, Tomsz KULPA, Andrzj SZARATA Rozwżmy roblm wyboru środk trnsortu rzz odróżngo w dnj sytucj. Podróżny wybr środk trnsortu sośród dostęnych mu ltrntyw z dnym rwdoodobństwm. W nnjszym rtykul rozwżmy wybór omędzy dwm ltrntywm: komunkcją zborową ndywdulną A {, }. Porównjmy dw modl mtmtyczn okrśljąc A -wo wyboru środk trnsortu modlm logtowym. W obydwu modlch U, nzwn koljno: rgrsją logstyczną moż być zdfnown jko funkcj A użytcznośc dostęnych środków trnsortu. Użytczność ltrntywy (środk trnsortu) jst zlżn od dnj sytucj jj czynnków wływjących n użytczność. W odnsnu do środk trnsortu czynnk, któr wływją n wybór w dnj sytucj to zzwyczj: czs rzjzdu, koszt rzjzdu, czs dojśc, lczb rzsdk, koszt rkown, t. Wobc tgo sytucję możmy zdfnowć jko wktor wrtośc czynnków wływjących n wybór w dnj sytucj (1), n. czs odróży, koszt bltu, lczb rzsdk, czs dojśc do rzystnku, koszt rkown, t. Tk ujęc ozwl n wyrżn użytcznośc dngo środk trnsortu jko funkcj dnj sytucj (2), nstęn n wyrżn -w wyboru środk trnsortu jko funkcj użytcznośc (3). Dl tk zdfnowngo -w zchodzą odstwow zlżnośc: (4), orz (5). x1 x2 x n {,,, } (1) U f ( ) f ({ x, x,, x }) (2) 1 2 f ( U ) (3) 0,1 (4) 1 (5) A Dw orównywn modl różną sę w dfnownu owyższych funkcj: okrślnu użytcznośc ltrntywy jko funkcj sytucj okrślnu - w jko funkcj użytcznośc Rgrsj logstyczn W rgrsj logstycznj trdycyjn zkłd sę, ż użytczność (2) jst okrślon dl jdngo z środków trnsortu wyrżon jst jko funkcj czsów rzjzdu w kżdj z ltrntyw, dokłdnj lorzm czsów rzjzdu (6). Ujęc tk ozwl uroścć roblm wyboru do funkcj jdnj zmnnj użytcznośc jdngo z środków trnsortu zstosowć mtody mtmtyczn dl jdnj zmnnj, n. rgrsję jdnj zmnnj. Aby to było możlw użytczność jst wyrżon jko względn różnc w czs rzjzdu omędzy n

3 Modlown wyboru środk trnsortu rgrsj logstyczn modl logtowy komunkcją zborową ndywdulną. Tk zdfnown użytczność moż być zstosown jko zmnn objśnjąc w roblm wyboru środk trnsortu. Nstty roblm moż być uroszczony do jdnj zmnnj tylko wówczs gdy rozwżmy wybór mędzy dwm ltrntywm. Tk wyrżon użytczność (6) jst używn do oblczn -w wyboru środk trnsortu w rgrsj logstycznj jdnj zmnnj (7). Rgrsj t jst nlnow, zkłd sę tu, ż zlżność omędzy -wm wyboru środk trnsortu, użytcznoścą osn jst dystrybuntą rozkłdu logstyczngo (7). W modlu logtowym rozkłd logstyczny służy do okrśln zmnnośc losowj użytcznośc (12) stąd odobństw w formułch dwóch modl. Zmnną nzlżną w rgrsj jst użytczność jdngo z środków trnsortu (zzwyczj ), zmnną zlżną - wo wyboru ltrntywy (tj dl którj okrślono użytczność). Prmtrm modlu jst mnożnk okrśljący względną wgę czsu w komunkcj ndywdulnj w stosunku do czsu w komunkcj zborowj. t (6) t 1 1 (7) 1 (8) U c (9) c Dodtkowym rozwnęcm owyższgo modlu moż być użyc kosztu c zmst czsu w formul okrśljącj użytczność (9). Pozwl to n uwzględnn dodtkowych czynnków sytucj oz czsm rzjzdu, n. lczby rzsdk, czsu dojśc, kosztu rkown, t. Wtdy ojw sę jdnk roblm rktyczny rzy normlzcj kosztów okrślnu mrodjngo lorzu okrśljącgo względną trkcyjność Modl Logtowy W modlu logtowym użytczność jst okrślon dl kżdj ltrntywy z osobn, jko funkcj czynnków sytucj x ch wsółczynnków β. Z względu n óźnjsz złożn modlu logtowgo użytczność wyrżon jst jko skłdow dwóch lmntów: użytcznośc mrzlnj V, orz losowj częśc ε, zgodn z wzorm (10), część mrzln będz okrślon w modlu n odstw zmnnych dnj sytucj, ntomst o częśc losowj złożymy jdyn rozkłd -w. Ujęc tk ozwl n uchwycn o rwsz różnych rfrncj użytkownków ch subktywnych, odczuwlnych użytcznośc ltrntywy (n. n dl kżdgo rzsdk jst tk smo ucążlw), o drug ozwl uwzględnć błędy użytkownków w ocn użytcznośc

4 Rfł KUCHARS, Mrk BAUER, Tomsz KULPA, Andrzj SZARATA (ndoszcown, rzszcown), o trzc ozwl uchwycć wszlk nmrzln czynnk losow wływjąc n wybór środk trnsortu (n. komfort, rzyzwyczjn, modę, t.). Użytczność mrzln V jst okrślon jko funkcj lnow czynnków sytucj (11), wrto rzy tym odkrślć, ż lnowość dotyczy jdyn wsółczynnków β (muszą on być stł), odczs gdy sm czynnk mogą być rzksztłcon nlnowo (n. logrytmczny wzrost ucążlwośc czsu, skokowy wzrost ucążlwośc rzsdkę). Z kol, o losowj częśc użytcznośc ε zkłd, ż jst zmnną losową o zdnym rozkłdz. W modlu logtowym zkłd sę, ż losow część użytcznośc m rozkłd logstyczny o dystrybunc F(ε) dnj rzz (12). Modl logtowy zkłd, ż użytkownk wybrz ltrntywę o njwększj użytcznośc mxu sośród dostęnych mu ltrntyw. A A Jdnk o zdfnownu użytcznośc jko sumy dwu skłdowych (mrzlnj, okrślonj V nmrzlnj, losowj ε) użytczność stj sę funkcją zmnnj losowj ε. Wobc tgo -wo wyboru ltrntywy stj sę równż funkcją zmnnj losowj wyrżon jst jko (13), czyl -wo ż użytczność dnj ltrntywy jst njwększ sośród wszystkch ltrntyw. Złożn o rozkłdz częśc losowj (12) ozwl okrślć -wo w form modlu logtowgo (14). Dl dwóch ltrntyw (roztrywn w rgrsj logstycznj A {, } ), -wo wyboru jdnj z nch wyrżon jst jko (15), co urszcz ostć modlu logtowgo do (16). Zwyczjowo [1] dodwny w modlu logtowym rmtr skl jst corz częścj omjny ustęuj wygodnjszmu w rktyc uwzględn sę ośrdno, orzz zmnę czynnków β (17), co zmnjsz stoń swobody ukłdu urszcz klbrcję klbrown są jdyn wsółczynnk β. U V (10) V x 0 1x1 2x2 nxn (11) x 1 F( ) (12) 1 ' ' ' A\{ } ' A Pr U mx U Pr U mxu (13) U (14) U ' ' A U U (15) Pr U (16)

5 Modlown wyboru środk trnsortu rgrsj logstyczn modl logtowy V x (17) x 1.3. Ilorz, czy różnc Dl orównn dwu owyższych modl, rzrowdźmy nstęującą orcj n modlu logtowym (16). Podzlmy lcznk mnownk rzz, by uzyskć modl logtowy wyrżony w form jdnj zmnnj (18). Okzuj sę, ż jst on wówczs objśnny n lorzm (tk jk w rgrsj) różncą omędzy użytcznoścm. Pozwl to zrysowć odstwową różncę w złożnu: -wo wyboru środk trnsortu w rgrsj logstycznj jst funkcją lorzu użytcznośc, odczs gdy w modlu logtowym jst funkcją różncy omędzy użytcznoścm. 1/ 1 1 U 1/ 1 U U U U U (18) 1.4. Anlz wrżlwośc Przrowdźmy nlzę wrżlwośc -w wyboru środk trnsortu (3) n zmnę użytcznośc (19). Okrśln wrżlwośc wyboru n zmnę sytucj jst brdzo stotn. W rktyc odstwow ytn w modlownu wyboru to: o l wzrośn udzł dnj ltrntywy, gdy zwększymy jj trkcyjność (now ln, zwększn rędkośc, sdk cny, tc.), odowdź zlży wrost od ostc ochodnj rzyjętgo modlu. W kc nnjszym rzdstwmy ochodn dl obydwu modl mtmtycznych. Złóżmy, ż użytczność komunkcj ndywdulnj (w tym wydku czs t ) jst stł wyrźmy zmnę -w wyboru komunkcj zborowj w form funkcj jj użytcznośc (czsu t ). Aby to oblczyć njrw okrślmy wrżlwość smj użytcznośc. W modlu logtowym użytczność jst wyrżon w form lnowj zlżnośc (11), węc jj ochodn cząstkow z względu n zmnę czynnk jst stł wyns (20). Co, rzy złożnu ż / x 0, ozncz, ż użytczność U m równż tką wrżlwość (21). Mmy węc rostą ntrrtcję, ż użytczność ltrntywy wzrst roorcjonln do wzrostu dnj zmnnj objśnjącj x z wsółczynnkm roorcjonlnośc równym. Z kol w wydku rgrsj logstycznj użytczność jst wyrżon w form lorzu (6), zmnn zlżn t jst w mnownku. Prowdz to do nlnowj ochodnj cząstkowj z względu n zmnę czsu rzjzdu (22). x

6 Rfł KUCHARS, Mrk BAUER, Tomsz KULPA, Andrzj SZARATA Znjąc wrżlwość użytcznośc n zmnę wrtośc czynnków x rmtrów β możmy okrślć wrżlwość -w n zmnę użytcznośc jdnj z ltrntyw (19). W wydku modlu logtowgo ochodn rzyjmuj ostć (23), co wyrżon w form funkcj zmny czsu rzjzdu możn rzdstwć jko (24). W wydku rgrsj logstycznj ostć ochodnj z względu n użytczność rzyjmuj ostć (25) nlogczną do modlu logtowgo, jdnk już wyrżn ochodnj jko funkcj czsu t (26) wrowdz dodtkowy czynnk od którgo zlżn jst ochodn: t. Wobc tgo wrżlwość (26) jst funkcją n tylko użytcznośc wsółczynnk, l jst odwrotn roorcjonln do użytcznośc ltrntywngo środk trnsortu t, co utrudn ntrrtcj wrżlwośc. U V x U ( V ) V t t t U t t t 2 U U U U ( ) 2 0 t U U U 2 ( ) U U U ( 1) 2 t / t t / t 2 t ( 1) t t U (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) 2. ESTYMACJA MODELI W tj częśc okżmy sosób stymcj obydwu modl n odstw dostęnych dnych. Posłużymy sę stndrdowym dnym dostęnym do rzrowdzn nlz trnsortowych w Polsc: dznnczkm odróży wykonywnym w rmch KBR. Dznnczk zwr nformcj o odróżch

7 Modlown wyboru środk trnsortu rgrsj logstyczn modl logtowy jk bdn odróżn odbyl w dnj sytucj. Część osu sytucj odróżny sm odł w dznnczku (czs mjsc rozoczęc, motywcj, środk trnsortu, dochód, dostęność smochodu t.), część mus być dobrn z źródł zwnętrznych, n. z modlu ruchu (czs odróży, lczb rzsdk, koszt rkown, czs dojśc, t.). O odróżnym wmy, ż wybrł dny środk trnsortu (dklruj to w dznnczku), wobc tgo zobsrwown -wo wyboru tgo środk trnsortu 1, zobsrwown -wo wyboru nnych środków trnsortu jst zrow ' : ' 0. Informcj t jst jdnostkową obsrwcją wyboru środk trnsortu w dnj sytucj. Clm stymcj jst tk dobrn wsółczynnków modlu, by zmodlown -w były jk njblższ tym zobsrwownym. Szukć będzmy węc mnmum wnj mry dosown (27), okrślonj wobc cłj obsrwownj róby. Zmodlown -wo jst funkcją zmnnych dnj sytucj { x1, x2,, x n } wsółczynnków modlu. Rozwązn będzmy szukć w rzstrzn możlwych wrtośc rmtrów modlu, odowdno dl modlu logtowgo β { 0, 1, 2,, n }, orz dl rgrsj logstycznj. W rgrsj logstycznj korzyst sę zzwyczj z zgrgownych wrtośc. Tworzy sę szrg rozdzlczy obsrwcj, gruując j z względu n lorz czsów t / t. Dl obsrwcj z dngo rzdzłu lorzów okrśl sę, jk część wszystkch odróży z dngo rzdzłu [mn,mx) odbył sę komunkcją ndywdulną (28) to stnow ojdynczą obsrwcję. Lczb obsrwcj jst węc równ lczb rzdzłów w szrgu rozdzlczym, wg kżdj obsrwcj równ sę lczb odróży w kżdym z rzdzłów. Pozwl to n stymcję z omocą dosown ksztłtu krzywj rgrsj logstycznj do obsrwcj,; ozom swobody roblmu rgrsj jst jdn (rmtr ). Przy okrślnu mry dosown możn stosowć klsyczn, jdnowymrow mry, n. błąd śrdno kwdrtowy, czy korlcję r 2. W modlu logtowym, z kol, do klbrcj wykorzystuj sę kżdą obsrwcję z osobn. Wymg to jdnk mry okrśljącj dosown zmodlowngo -w do tgo zobsrwowngo,; owszchn w szcownu modl dyskrtnych, w szczgólnośc dwumnowych wykorzystuj sę tzw. mrę log-lklhood (29). Jko, ż zobsrwown -wo moż rzyjąć tylko dw wrtośc {0,1}, modl logtowy okrśl rwdoodobństwo z zkrsu (0,1], do okrśln dosown ojdynczj obsrwcj stosuj sę odwzorown logrytmczn, któr dj wynk ujmn ( x 1 ln( x) 0 ). Mrą dosown cłj róby jst L okrślon jko (30). Im L jst blższ zr, tym lsz dosown modlu. Jdnk w rktyc, by uzyskć mrodjną ocnę dosown, orównuj sę mrę L( β) dl dwóch rmtryzcj: ) β0 : 0 czyl dl wynków modlu losowgo, w którym

8 Rfł KUCHARS, Mrk BAUER, Tomsz KULPA, Andrzj SZARATA użytcznośc są zrow, węc b) dl wynków stymcj. I mnjsz jst wrtość L w stosunku do modlu losowgo tym lsz dosown modlu (31). Im wrtość (31) jst blższ jdync, tym lsz dosown modlu. Nrzędzm ozwljącym stymowć rmtry modlu logtowgo jst n. ogólnodostęny kt BIOGEME [3]. β0 0.5 nzlżn od ltrntywy sytucj, orz : t / t [mn,mx) (27) (28) ln( ) (29) L( β ) ln( ) (30) L( β) 1 L( β0) (31) 3. PORÓWNANIE MODELI Obydw modl mją odobn formuły odobną ostć korzystjącą z rozkłdu logstyczngo, różną sę jdnk zsdnczo, jśl chodz o konccję. Rgrsj logstyczn osuj -wo wyboru środk trnsortu jko funkcję lorzu czsów m ogrnczon możlwośc użyc nnych czynnków nż czs w os użytcznośc. Przbg zmnnośc tj funkcj jst złożony n m czytlnj ntrrtcj jk zmn użytcznośc zmn -wo wyboru środk trnsortu. Dw rzksztłcn nlnow: lorz rgrsj logstyczn komlkują wnoskown ntucyjność. W stymcj rgrsj logstycznj używ sę zgrgownych dnych, któr orują jdyn n śrdnm obsrwownym udzl dngo środk trnsortu wyrżonym jko funkcj jdnj zmnnj: użytcznośc, czyl lorzu czsu, trcon są nformcj o rozrzuc wyborów w zlżnośc od sytucj. Rgrsj logstyczn moż być stosown tylko dl dwóch ltrntyw, oszrzn zboru ltrntyw o koljną ocję jst nmożlw (z owodu ostc lorzowj). Pondto brk jst ntucyjnj ntrrtcj modlu, bo o l możn uzsdnć, ż lorz czsów rzjzdu objśn wybór środk trnsortu, o tyl cężko uzsdnć dlczgo wrżlwość n tą zmnę ukłd sę wzdłuż dystrybunty rozkłdu logstyczngo. Pondto rgrsj logstyczn m tylko jdn stoń swobody, rmtr, co znczn zmnjsz możlwośc klbrcj. Modl logtowym z kol czr z brdzo bogtj rodzny modl wyboru dyskrtngo, dogłębn rzbdnj, osnj zwryfkownj w dzsątkch

9 Modlown wyboru środk trnsortu rgrsj logstyczn modl logtowy zstosowń rktycznych [1], n tylko trnsortowych. Modl logtowym m ścsł uzsdnn ksztłtu funkcj, któr wrost wynk z złożn o rozkłdz czynnk losowgo w użytcznośc wynkjących z tgo rwdoodobństw, ż dn ltrntyw m njwększą użytczność. Jdynym rbtrlnym złożnm jst węc złożn o tym, ż losow część użytcznośc m rozkłd logstyczny (rozkłd zblżony do normlngo, tylko o grubszych ogonch ). To jst kctowln złożn zzwyczj zgodn z rzczywstym rocsm wyboru. Modl logtowy wykorzystuj wszystk zobsrwown wybory w zborz zobsrwownych sytucj, stosown mr log-lklhood ozwl oszcowć modl dwumnowy wykorzystć fktyczną nformcj łynącą z obsrwcj. Dl tyowych wynków KBR mmy węc do klbrcj zbór klkudzsęcu tysęcy odróży, zmst klkunstu rzdzłów użytych w rgrsj logstycznj. Modl logtowy m znczn węcj ston swobody, tyl l rmtrów (co brdzo stotn) ozwl n uchwycn tzw. stłj ltrntywy β 0 (ASC - Altrntv Scfc Constnt), bz którj n jst możlw uchwycn nsymtrycznj skłonnośc użytkownków ku jdnj z ltrntyw. Zzwyczj wybory użytkownków n są ścśl rcjonln n tylko różną sę omędzy użytkownkm (co jst uchwycon w losowj uzytcznośc ), ondto użytkowncy mją skłonność do wyboru subktywn trkcyjnjszych ltrntyw z owodu mody, rzyzwyczjn, t. W modlu logtowym jst to uwzględnon z omocą rmtru, ntomst w rgrsj logstycznj możn to osągnąć, l orzz rmtr, który jdnoczśn osuj wrżlwość modlu, co ogrncz możlwośc odwzorown jdnoczśn wrżlwośc skłonnośc. Osny w nnjszj nlz dwumnowy modl logtowy moż z owodznm być rozszrzony do wlomnowgo modlu logtowgo, w którym lczb ltrntyw n jst ogrnczon. Pozwl to n uwzględnn ozostłych środków trnsortu, n. rowr, odróż łączon, sz, td. odowdn okrśln ch użytcznośc. Wówczs trcmy możlwość rzdstwn modlu w form wykrsu jdnj zmnnj, l wcąż możmy nlzowć jgo wrżlwość wynk w oszczgólnych sytucjch. Ogrncznm w uwzględnnych ltrntywch jst to, ż muszą być on nskorlown nzlżn, w wydku skorlownych ltrntyw stosuj sę modl zgnżdżony PODSUMOWANIE Artykuł nnjszy rzdstw formln orównn dwóch modl mtmtycznych. Skuono sę tu n strukturz, złożnch dzłnu dwóch modl. Pokzno w jk sosób orównywn modl odowdją n ytn o

10 Rfł KUCHARS, Mrk BAUER, Tomsz KULPA, Andrzj SZARATA wybór środk trnsortu rzz użytkownk. Dw modl zsdnczo różną sę od sb, ommo ozorngo odobństw. Kontynucją nnjszgo orównn ownn być nlz fktycznych wyborów użytkownków (uzysknych z wynków KBR z osttnch lt) odowdź n ytn jk jst rocs wyboru środk trnsortu. Jśl okż sę, ż: ) lczb stotnych ltrntyw wybrnych rzz użytkownków to n tylko komunkcj zborow ndywduln, znczn część użytkownków wybr n. rowr, odróż łączon, czy odwożn, b) wykzn zostn stotn zlżność wyboru środk trnsortu z czynnkm nnym nż czs (n. koszt rkown, zrobk, dostęność ojzdu, nzwodność, ztłoczn, t.), wówczs modlown wyboru środk trnsortu rgrsją logstyczną okż sę norwn nmożlw będz dobr odwzorown fktycznych zchowń. MATERIAŁY ŹRÓDŁOWE [1] Bn-Akv M., Lrmn S. (1985) Dscrt Choc Anlyss, MIT Prss, Cmbrdg [2] Bht, Chndr R. (1998) Accommodtng vrtons n rsonsvnss to lvl-ofsrvc msurs n trvl mod choc modlng. Trnsortton Rsrch Prt A. [3] Brlr, M. (2003) BIOGEME: fr ckg for th stmton of dscrt choc modls, Procdngs of th 3rd Swss Trnsortton Rsrch Confrnc, Ascon, Swtzrlnd. [4] Dudk M. (2011) Wływ rmtrów jkoścowych trnsortu zborowgo n odzł zdń rzwozowych, Przgląd Komunkcyjny 11/2011. [5] Frjngr E., Brlr M. (2010) On th gnrton lgorthms for rout choc modls. Choc Modllng: Th Stt-of-th-rt nd th Stt-of rctc Procdngs. [6] Jmroz K., Brr K., Grulkowsk S., Klkowsk K., Budzszwsk T. (2014) Anlz możlwośc wzrostu udzłu trnsortu zborowgo w wojwódzkch rzwozch sżrskch n rzykłdz wojwództw omorskgo, Trnsort Mjsk Rgonlny 08/2014. [7] Kuchrsk, R. (2012). Tło tortyczn dl dtcyjngo, dynmczngo modlu wyboru ścżk w modlu ruchu, Modlown Podróży rognozown ruchu, Krków. [8] Pnjr A., (2011) Modlng th choc contnuum: n ntgrtd modl of rsdntl locton, uto ownrsh, bcycl ownrsh, nd commut tour mod choc dcsons. Trnsortton. [9] Szrt A. (2005) Ocn fktywnośc funkcjonlnj rkngów rzsdkowych (P+R), Prc Doktorsk, Poltchk Krkowsk, 2005.

11 Modlown wyboru środk trnsortu rgrsj logstyczn modl logtowy MODE CHOICE MODELS COMPARING THE LOGIT MODEL WITH THE LOGISTIC REGRESSION W roos thortcl nlyss of th two mthmtcl modls commonly usd to modl mod choc rocss. On s th dscrt choc modl, nmly multnoml logt modl, whl scond on s th logstc rgrsson, whch r oftn confusd. Th forml nlyss nd fundmntl dfntons rovd nsght on wht s th mthmtcl structur of th modl nd wht r th rctcl mlctons. Th rtcl s concludd wth rmrks on th clbrton rocss. Kywords: mod choc, dscrt choc, modl slt, logt modl, logstc rgrsson, log-lklhood stmton.