E4 - WYZNACZANIE STAŁEJ C 2 WE WZORZE PLANCKA l SPRAWDZANIE PRAWA STEFANA-BOLTZMANNA

Transkrypt

1 E4 - WYZNACZANIE STAŁEJ C WE WZORZE PLANCKA l SPRAWDZANIE PRAWA STEFANA-OLTZMANNA Cel ćwizenia Celem ćwizenia jest poznanie praw opisująyh promieniowanie iała doskonale zarnego, oraz optyznyh metod pomiaru temperatury. Zagadnienia do przygotowania: 1) Definije wielkość termodynamiznyh używanyh do opisu promieniowania. ) Podstawowe prawa opisująe zjawisko promieniowania iała doskonale zarnego ) Zasada działania i budowa używanyh przyrządów pomiarowyh Aparatura: 1) Lampa żarowa. ) Monohromator z fotopowielazem. ) Lampa spektralna Hg do kalibraji długośi światła w monohromatorze. 4) Opór wzorowy, woltomierze yfrowe. 5) Pirometr optyzny ze znikająym włóknem. Przebieg pomiarów Wyznazenie wykładnika potęgowego w prawie Stefana-olt/manna. Rys.1. Shemat układu pomiarowego do wyznazenia wykładnika potęgowego we wzorze Stefana- oltzmanna. Aparaturę należy zestawić zgodnie ze shematem przedstawionym na Rys. 1. Układ pomiarowy składa się z żarówki zasilonej z regulowanego źródła prądowego i szeregowo 1

2 włązonego z żarówką oporu wzorowego 0,01. Jeden woltomierz służy do mierzenia spadku napięia na oporze wzorowym, a w ten sposób do pomiaru prądu płynąego w obwodzie. Drugi woltomierz mierzy spadek napięia na samej żarówe. Celem ćwizenia jest pomiar energii wypromieniowanej przez żarówkę w funkji jej temperatury. Równozesny pomiar spadku napięia na żarówe U i prądu płynąego przez żarówkę I pozwala określić ałkowitą mo dostarzaną do żarówki. Mo elektryzna dostarzana do żarówki traona jest poprzez proesy przewodnitwa ieplnego oraz proesy promieniste. W stanie stajonarnym energia dostarzana do żarnika jest równoważona przez energię traoną, a zatem możemy napisać: UI = A(T-T 0 ) + (T n -T 0 n ), (A) gdzie pierwszy i drugi składnik sumy po prawej stronie równania opisują odpowiednio mo traoną poprzez przewodnitwo ieplne i poprzez promieniowanie, (A i są stałymi), T jest temperaturą włókna wyrażoną w K, T 0 temperaturą otozenia (w K), a n jest nieznanym wykładnikiem. Piszą wzór (A) uzyniliśmy założenie, że mo wypromieniowana jest potęgową funkją temperatury bezwzględnej. Dlazego nie funkją różniy temperatur jak w przypadku przewodnitwa? Nasze założenie sprowadza się do tego, że włókno żarówki promieniuje mo proporjonalną do T n oraz absorbuje mo promieniowania z otozenia proporjonalną do T 0 n. Gdybyśmy wzięli funkje potęgowa różniy temperatur odpowiadałoby to intuiyjnie niemożliwej sytuaji gdy mo wypromieniowana zależałaby od temperatury przedmiotów na które pada promieniowanie Opór elektryzny dla metali jest w bardzo szerokim zakresie, w przybliżeniu proporjonalny do temperatury. Wzór (A) można wię zapisać w postai wiążąej traoną mo do bieżąej wartośi oporu. UI = A'(R-R 0 ) + '(R n -R 0 n ), () gdzie A i ' są nowymi współzynnikami. Opór żarówki można określić z przeprowadzonyh pomiarów spadku napięia i prądu płynąego przez żarówkę. Należy jeszze określić tę zęść energii, która zamieniana jest na promieniowanie. Skorzystać można tu z faktu, że dla małyh wartośi napięia i prądu, a wię dla niskih temperatur żarnika, straty radiayjne są zaniedbywalnie małe. Zatem, w takim przypadku, mo będzie zależeć liniowo od oporu. Trzeba wykreślić mo dostarzaną do żarówki w funkji oporu elektryznego i do pozątkowyh punktów wykresu dopasować prostą. Można ekstrapolować tę zależność na ały zmierzony zakres pomiarowy i odjąć w ten sposób straty proporjonalne do temperatury, które interpretujemy, jako straty na przewodnitwo. Po odjęiu zęśi liniowej otrzymuje się zależność typu: P rad = R n C, (C) skąd można wyznazyć wykładnik n. Jeśli dopasowanie jest poprawne to C 0. Alternatywnie możemy przekształić wzór (A) do postai: UI = AT + T n -AT 0 -T 0 n, (D)

3 Jeśli II Praownia Fizyzna, E4 zyli UI = T n + AT +C (C) Gdzie C jest nową stałą. Jeśli zmierzymy temperaturę włókna (np.pirometrem) to możemy skorzystać z tej zależnośi. Podobnie jak wyżej możemy zidentyfikować składnik liniowy (AT +C), i odjąć go a następnie dopasować funkję potęgową aby znaleźć wykładnik n. Śiśle rzez ujmują opór włókna wolframowego nie jest dokładnie proporjonalny do temperatury i znaznie lepiej jest opisywany przez funkje potęgową R(T)= k (gdzie k jest nieo większe od jednośi). Jeśli, do pomiaru temperatury, zamierzamy wykorzystać pirometr ze znikająym włóknem musimy wykonać pomiar zależnośi R(T) w zakresie gdzie widać żarzenie włókna i rozszerzyć go (ekstrapolować) na ały zakres temperatur. Wyznazenie krzywej dyspersji monohromatora. Wyznazenie krzywej dyspersji jest konieznym krokiem przed następną zęśią doświadzenia, w której potrzebna będzie znajomość długośi fali. Monohromator SPM jest wyposażony w skalę długośi fali, ale o niewystarzająej dokładnośi. Skala ta pokazuje albo przybliżoną wartość długośi fali wybieranej przez monohromator (ustawienie pokrętła G60", wartośi podane w (µm), albo kąt skręenia pryzmatu (ustawienie pokrętła lin", wartośi pokazują kąt w stopniah). Proedura wyznazania krzywej dyspersji: 1. Włązyć lampę rtęiową i ustawić ją tak, aby światło padało dobrze na szzelinę wejśiową monohromatora.. Włązyć zasilanie fotopowielaza (U f = V),. Wyjśie sygnału z fotopowielaza podłązyć do woltomierza. 4. Przestrajać monohromator aż do zaobserwowania linii widmowyh rtęi. Dla każdej linii wyznazyć położenie maksimum i odzytać wskazanie na skali monohromatora. Proszę posługiwać się skalą lin. 5. Odzytać z tabli długośi fali obserwowanyh linii widmowyh rtęi. 6. Narysować krzywą dyspersji tj. zależność długośi fali od wskazania kąta na skali monohromatora. Krzywa powinna być gładka a wszystkie punkty powinny leżeć na tej krzywej.

4 Wyznazenie stałej we wzorze Planka. Stałą we wzorze Planka wyznaza się w tym doświadzeniu metodą izohromat tzn. z pomiaru zależnośi natężenia światła o ustalonej długośi fali w funkji temperatury źródła. Proszę zastanowić się, zy jest możliwe wykonanie pomiaru dla ustalonej temperatury w funkji długośi fali? Shemat doświadzalny przedstawiony jest na Rys.. Żarówkę należy umoować na ławie optyznej i skierować jej światło na szzelinę wejśiową monohromatora. Dla wybrania długośi fali proszę zmierzyć wstępnie kształt widma promieniowania emitowanego przez żarówkę i ustalić gdzie przypada maksimum emisji. Długośi fali, dla któryh będą wykonywane pomiary, proszę wybrać stosunkowo blisko tego maksimum. Proszę wykonać pomiary, dla o najmniej trzeh długośi fali. Temperaturę włókna żarówki mierzy się pirometrem optyznym. Pirometr ze znikająym włóknem działa na zasadzie porównywania barwy mierzonego, rozgrzanego iała Rys.. Shemat układu pomiarowego do wyznazenia współzynnika we wzorze Planka. FP oznaza fotopowielaz, SPM monohromator, a P pirometr. z barwą włókna grzanego elektryznie w pirometrze. Obraają pokrętłem należy doprowadzić do możliwie ałkowitego zlania się obrazu włókna i mierzonego obiektu. Temperaturę odzytuje się wtedy na skali przyrządu. Pirometr zasilany jest z zasilaza umieszzonego pod stołem laboratoryjnym napięiem,5v. Opraowanie wyników Celem ćwizenia jest wyznazenie wykładnika potęgowego w prawie Stefana- oltzmanna w pierwszej zęśi doświadzenia oraz, w drugiej zęśi, wyznazenie stałej w prawie Planka i wylizenie wartośi stałej Planka h. W sprawozdaniu powinny się znaleźć następująe wykresy: 1. zależność moy dostarzonej do żarówki od oporu żarówki,. powiększona pozątkowa zęść wykresu, gdzie mo zależy liniowo od oporu wraz z dopasowaną zależnośią liniową,. wykres moy traonej na promieniowanie od oporu z dopasowaniem krzywej potęgowej, 4. krzywa dyspersji monohromatora, 5. zależnośi napięia na fotopowielazu od temperatury włókna żarówki dla 4

5 wszystkih wybranyh długośi fali. Każdy wykres powinien zawierać punkty pomiarowe z zaznazonymi błędami doświadzalnymi. Proszę zwróić uwagę na dyskusję uzyskanyh dokładnośi pomiarów. Jeżeli program użyty do opraowania wyników nie uwzględnia błędów argumentu funkji, proszę te błędy uwzględnić przez odpowiednie przeskalowanie błędów wartośi. ezpiezeństwo Fotopowielaz zasilany jest wysokim napięiem powyżej 1 kv. Należy zahować szzególną ostrożność. Nie otwierać obudowy fotopowielaza ani zasilaza przy włązonym napięiu. Lampa rtęiowa emituje szkodliwy dla ozu ultrafiolet. Proszę oszzędzać swoje ozy i unikać wpatrywania się w samą lampę! Literatura 1) R. Eisberg, R. Resnik, Fizyka kwantowa atomów, ząstezek, jąder i ząstek elementarnyh, PWN Warszawa 198. ) E. Szpolski, Fizyka atomowa, t. l. 5

6 WPROWADZENIE TEORETYCZNE Ciało doskonale zarne Większość iał materialnyh podgrzanyh do dostateznie wysokiej temperatury staje się źródłami promieniowania. Ciała mogą także pohłaniać i rozpraszać promieniowanie, a wszystkie te proesy zależą od właśiwośi iał, od ih temperatury i od zęstotliwośi promieniowania. Pole promieniowania elektromagnetyznego harakteryzowane jest przez gęstość energii (, która dla promieniowania w próżni wynosi: E 0, (1) gdzie 0 przenikalność dielektryzna próżni, E natężenie pola elektryznego, 0 przenikalność diamagnetyzna próżni a indukja magnetyzna. Spektralną gęstość energii pola promieniowania [()]definiujemy jako: d ( ). () d (v)dv ma zatem sens energii promieniowania o zęstotliwośiah w przedziale od do +d zawartej w jednoste objętośi. Rozpatrzmy teraz przypadek gdy pole promieniowania znajduje się w zamkniętej wnęe w stanie równowagi termodynamiznej i jest harakteryzowane temperaturą T. Wtedy równowagowa, spektralna gęstość energii zależy od temperatury a nie od kształtu i właśiwośi śianek wnęki. To sformułowanie stanowi pierwsze prawo Kirhhoffa, które możemy zapisać następująo: () = T (v). Możemy teraz umieśić w wnęe dodatkowe iała fizyzne. Jeśli ustali się równowaga termodynamizna harakteryzowana temperaturą T wnioskujemy, na podstawie pierwszego prawa Kirhoffa, że obeność tyh iał nie wpływa na pole promieniowania poza nimi (bo możemy je traktować jako zęść wnęki). Dla każdego iała właśiwośi emisji promieniowania i jego pohłaniania są ze sobą związane. Współzynnik absorpji definiuje się, jako stosunek energii pohłanianej przez jednostkę powierzhni iała w jednoste zasu do ałkowitej energii promieniowania padająej na tę jednostkową powierzhnię w jednoste zasu. Zakłada się przy tym, że promieniowanie pada izotropowo na powierzhnię iała. Dodatkowo można określić spektralny współzynnik absorpji A(v) a wię odnosząy się wyłąznie do promieniowania w zakresie zęstotliwośi od do +d. Drugie prawo Kirhhoffa preyzuje, że w warunkah równowagi energia promieniowania pohłaniana przez jednostkę powierzhni iała równa jest energii wypromieniowanej przez ten element powierzhni: 6

7 R( ) T ( ) A( ) 4. () R(v) jest gęstośią spektralną strumienia energii emitowanego przez iało, a zynnik /4 wynika ze związku między gęstośią spektralną energii a gęstośią spektralną strumienia energii, oraz z założenia o izotropowym rozkładzie promieniowania. Stosunkowo łatwo jest wyprowadzić ten związek: mają spektralną gęstość energii izotropowego pola promieniowania (izotropowe zyli żaden kierunek nie jest wyróżniony) możemy też utworzyć wielkość d dopisująą przyzynek do tej gęstośi od promieniowania przyhodząego z określonego kierunku: (bo rozkład kątowy jest jednorodny). d d= T ()/(4). (.1) Możemy teraz wylizyć spektralną gęstość kątową strumienia energii promieniowania [S T (inazej natężenie promieniowania o zęstotliwośi ) mnożą T ()/(4) przez prędkość światła: S T = T ()/(4). (.) Aby pokazać związek () należy znaleźć ałkowity strumień energii promieniowania, przy zęstotliwośi padająy na element powierzhni (tylko z jednej strony) znajdująy się w naszym polu promieniowania. Należy zatem wyałkować gęstość kątową strumienia energii promieniowania (wz..) z osinusem kąta padania (mierzonym do normalnej) dla wszystkih możliwyh kierunków zyli dla kierunków z półsfery nad powierzhnią (patrz rys. poniżej).- Powinniśmy otrzymać wynik / 4 ( ). T Rys..1 Promieniowanie na element powierzhni umieszzony w we wnęe pada ze wszystkih stron jednorodnie Ciałem doskonale zarnym określa się iało, które ałkowiie pohłania padająe na nie promieniowanie, a wię, dla którego A(v) = 1. Dla takiego iała związek () przyjmuje szzególnie prostą postać: R ( ) / 4 ( ), (4) T T gdzie zaznazone zostało, że emitowane promieniowanie zależy od temperatury iała. 7

8 Możemy zatem opisywać promieniowanie iała doskonale zarnego albo podają gęstość strumienia energii emitowanej przez iało, R T (), albo gęstość energii zawartą w polu promieniowania we wnęe, T (v). Równanie (4) pokazuje, że obie te wielkośi są do siebie proporjonalne. Dobrym modelem iała doskonale zarnego jest wnęka wykonana z nieprzezrozystego materiału najlepiej uzerniona wewnątrz z małym otworkiem wejśiowym. Promieniowanie padająe z zewnątrz na ten otwór dostaje się do środka wnęki, jest tam wielokrotnie odbijane, rozpraszane i ostateznie pohłaniane przez śianki. Ponieważ otwór wejśiowy jest bardzo mały, prawdopodobieństwo, że promieniowanie whodząe wyjdzie z powrotem na zewnątrz jest zaniedbywalnie małe. Zatem taki otwór we wnęe zahowuje się jak powierzhnia iała doskonale zarnego. Z drugiej strony, jeśli śianki wnęki ogrzane są do skońzonej temperatury T, to emitują one promieniowanie termizne, które wypełni wnękę i wyjdzie przez otwór na zewnątrz. Zatem otwór jest również emiterem promieniowania termiznego pozostająego w równowadze ze śiankami wnęki. Wyhodząy strumień promieniowania jest tylko małą zęśią strumieni promieniowania wewnątrz wnęki, tak że równowaga termodynamizna pomiędzy promieniowaniem a śiankami wnęki nie jest zaburzona w sposób istotny. Widmo pola promieniowania wewnątrz wnęki będzie takie samo jak widmo promieniowania iała doskonale zarnego (i widmo promieniowania z otworka) o temperaturze określonej przez temperaturę śianek wnęki, T, tak jak to formułuje równanie (4). Promieniowanie iała doskonale zarnego wyniki doświadzalne. Rozkład widmowy promieniowania iała doskonale zarnego jest opisywany funkją R T (v). Najwześniejsze pomiary tej wielkośi zostały wykonane przez Lummera i Pringsheima w 1899 r. Przykładowe rozkłady widmowe dla różnyh temperatur przedstawione są na Rys.. Całkowita zdolność emisyjna, R T, (albo gęstość powierzhniowa strumienia energii) to ałka z powyżej zdefiniowanej spektralnej gęstośi strumienia energii R T (v) (spotyka się też określenie: zdolność emisyjna iała doskonale zarnego) po wszystkih zęstotliwośiah v. Jest ona równa ałkowitej energii wyemitowanej przez jednostkową powierzhnię iała o temperaturze T w jednostkowym zasie: 0 RT RT ( ) d (5) Prawo Stefana-oltzmanna (1879) określa, że wielkość ta jest proporjonalna do zwartej potęgi Rys.. Rozkład widmowy gęstośi energii promieniowania iała doskonale zarnego przedstawiony dla trzeh różnyh temperatur: l000k, 1500K i 000K. 8

9 temperatury iała: R T = (6) a stała, zwana stałą Stefana-oltzmanna, wynosi 5, W/m K 4. Maksimum spektralnego rozkładu zdolnośi emisyjnej zależy od temperatury i z jej wzrostem przesuwa się w stronę wyższyh zęstośi. Prawo Wiena określa, że położenie maksimum jest wprost proporjonalne do temperatury: max T. (7) Inne sformułowanie tego prawa mówi o długośi fali, max, dla której występuje maksimum rozkładu emisji: max T = onst. (8) FORMUŁA RAYLEIGHA-JEANSA I FORMUŁA WIENA Na przełomie ubiegłego stuleia Rayleigh i Jeans wykonali oblizenia energii promieniowania we wnęe (zyli promieniowania iała doskonale zarnego). Najpierw zastosowali oni klasyzną teorię pola elektromagnetyznego do pokazania, że promieniowanie wewnątrz wnęki ma harakter fal stojąyh (węzły na śiankah wnęki). Powtórzmy to rozumowanie. Rozważmy sześienną wnękę o metalowyh śiankah, o krawędzi L. Dozwolone typy drgań pola elektromagnetyznego (mody promieniowania) to fale stojąe z węzłami przy śiankah wnęki (ponieważ przesunięia ładunku swobodnego na powierzhni metalu kasują każde pole elektromagnetyzne równoległe do powierzhni tuż przy powierzhni, a nasze promieniowanie to fala poprzezna), które możemy rozważać dla każdego z trzeh kierunków kartezjańskih niezależnie. Zatem możemy napisać: n i /=L (n dowolna lizba naturalna - określająa tutaj ilość połówek długośi fali jakie mieszzą się na długośi L, a i jest indeksem przebiegająym trzy składowe kartezjańskie ( i=x,y,z ). Pojedynze drganie jest numerowane przez trójkę lizb (wektor): n x,n y,n z. Wiedzą, że lizba falowa wiąże się z długośią fali zależnośią: k=/ (9) możemy też napisać: Lk i =n i (10) Zadajmy sobie teraz pytanie ile modów (typów drgań pola) o zęstotliwośiah w zakresie (, +d) przypada na jednostkę objętośi. (objętość oznazamy V, w naszym przypadku: V= L ) Składowe kartezjańskie są niezależne a zatem: dn=dn x dn y dn z 9

10 Przy zym lizby n x,n y,n z muszą być tak dobrane by długość fali była w zadanym zakresie. Dla wygody zamiast numerów modów n użyjemy wektorów falowyh k. Drganie (mod) jest opisany przez wektor falowy k =(k x,k y,k z ). Na podstawie (10) piszemy: dn=dn x dn y dn z =(L/) dk x dk y dk z Ozywiśie lizby k x,k y,k z muszą być tak dobrane by długość fali była w zadanym zakresie. Związek pomiędzy lizbą falową a wektorem falowym jest następująy: k k k k k, ( k = k) x y z Mamy też: k=/ = / Teraz jesteśmy już gotowi wylizyć poszukiwaną lizbę stanów (modów). Wiemy już, że: dn=dn x dn y dn z =(L/) dk x d y dk z i k należy do przedziału (/, d/) Ponieważ wszystkie składowe k są dodatnie wektory k wskazują na punkty mieszząe się w 1/8 powłoki kulistej o promieniu k i grubośi d/. Wykonajmy teraz ałkowanie po 1/8 zęśi powłoki: dn( k) po 1/ 8 powloki dn( k x, k y, k z L ) dk x po 1/ 8 powloki dk y dk z 1 L 8 dk x po alej powloe Przejdźmy do ałkowania we współrzędnyh sferyznyh, przy standartowyh oznazeniah. dk y dk z L 8 0 / d / d 1 L k sin( ) dk 4k dk... 8 zamieniamy: k= / oraz dk= d/,... L ( ) d 4L d Ponieważ dla każdego modu możliwe są niezależne drgania o dwóh polaryzajah musimy otrzymany wynik przemnożyć przez. Ostateznie otrzymujemy: dn( ) 8L d 10

11 Lub na jednostkę objętośi: 1 dn( ) 1 dn( ) 8 L d V d Zwróćmy uwagę na to, że wynik uniezależnił się od rozmiarów wnęki. Wnioskujemy zatem, że kształt wnęki też może być dowolny. Spektralną gęstość energii promieniowania w równowadze z iałem doskonale zarnym możemy zapisać mnożą gęstość modów przez energię modu jako: N( ) 8 ( ) V. (11) gdzie jako <> oznazyliśmy (nieo na wyrost) średnią energię wnoszoną do układu przez mod o zęstotliwośi v. W 1900 r. D. Rayleigh i niedługo później D. D. Jeans przedstawili rozumowanie oparte o klasyzne prawo ekwipartyji energii, które mówi, że energia kinetyzna ząstezki przypadająa na jeden stopień swobody wynosi k T/, gdzie k jest stałą oltzmanna. Założyli oni, że rolę niezależnyh stopni swobody spełniają różne mody promieniowania, a dodatkowo na każdy mod przypadają dwa niezależne składniki energii; energia potenjalna i energia kinetyzna. Całkowita średnia energia przypadająa na jeden mod wynosi zatem k T. Formuła Rayleigha-Jeansa określa gęstość energii promieniowania iała doskonale zarnego jako: 8 ( ) k T. (1) Porównanie z obserwowanym rozkładem widmowym (Rys. 4) pokazuje, że prawo Rayleigha-Jeansa opisuje poprawnie widmo jedynie w graniy niskih zęstotliwośi. Dla wysokih zęstotliwośi wynik teoretyzny przewiduje wartość dążąą do nieskońzonośi i ponadto ałkowita gęstość energii: 11

12 Rys. 4. Rozkład widmowy gęstośi energii promieniowania iała doskonale zarnego dla temperatur 000K (krzywa iągła) i odpowiadająe tym warunkom gęstość widmowe wylizona według formuły Rayleigha-Jeansa (linia kropkowana). ( ) 0 o zostało nazwane katastrofą w nadfioleie". ( v ) d, (1) Kilka lat wześniej, w 1896 r., W. Wien przedstawił inny model, w którym mody drgań mają energie (), ale nie wszystkie dostępne mody o danej energii są rzezywiśie wzbudzone. Hipoteza Wiena zakładała, że w zbiorze modów o danej energii ułamek lizby wzbudzonyh modów (N) do lizby wszystkih modów (N) zadany jest przez rozkład oltzmanna dla temperatury T N/N = exp(-/k T). (14) Zatem średnia energia <> przypadająa na jeden mod o zęstotliwośi wynosi <> = () N/N = () exp(-/k T). (15) Dodatkowo wiadomo było, że energia wzbudzonego modu jest proporjonalna do zęstotliwośi fali v. Jeżeli zapiszemy współzynnik proporjonalnośi zgodnie ze współzesną wiedzą, jako stałą Planka h, to otrzymujemy formułę Wiena: 8h ( ) exp h / k T. (16) Formuła ta dobrze oddaje kształt obserwowanego rozkładu promieniowania iała doskonale zarnego dla wysokih zęstotliwośi fal, natomiast odbiega od niego dla niskih zęstotliwośi (Rys. 5). 1

13 Rys. 5. Rozkład widmowy gęstośi energii promieniowania iała doskonale zarnego dla temperatur 1500K i 000K (krzywe iągłe) i odpowiadająe tym warunkom gęstośi widmowe wylizone według formuły Wiena (linie kropkowane). Formuła Plank'a W roku 1900 Max Plank przedstawił formułę, która opisuje zależność pomiedzy gęstośią energii emitowanego promieniowania a jego zęstotliwosią i temperaturą promienujaego ośrodka T: T ()= 1 /(exp( /T)-1), gdzie stałe 1 i można wyrazić przez stałe podstawowe i otrzymać aktualną postać: 8h ( ) 1 exp h / k T 1. (17) Pozątkowo była to formuła empiryzna stanowiąa interpolaję pomiędzy formułami Raleigha-Jeansa i Wiena. Zwróćmy uwagę że: 8h ) 1 exp h / k h / kt 1 ( T 1 8h exp h / k T. oraz: 8h ( ) exp 1 8 h / k T 1 exph / k T h h / kt h / kt 1 ( reg. d ' Hosp.) 8h hkt 1 8 k 0 h e Czyli w graniznyh sytuajah dostajemy formuły Raleigha-Jeansa i Wiena. 1 T.

14 Wynik Planka można wyprowadzić teoretyznie na grunie teorii kwantowej. Postać wzoru Planka wynika z postulatu, że wypromieniowana i absorbowana energia nie jest wielkośią o rozkładzie iągłym, ale może przyjmować tylko dyskretne wartośi, będąe wielokrotnośiami najmniejszej dozwolonej energii energii kwantu promieniowania. Każdy mod może być obsadzony przez jeden, dwa lub więej kwantów promieniowania a prawdopodobieństwo obsadzenia wyznaza znormalizowany rozkład oltzmanna. Zwróćmy też uwagę na to, że formułę Wiena można reinterpretować w świetle teorii kwantowej w ten sposób, że dopuszzalne jest obsadzenie jednego modu tylko przez jeden kwant energii. Aby wykazać wzór Planka wylizmy średnią energię modu, wykonują sumę przebiegająą po możliwyh dyskretnyh wartośiah energii: = 0, hv, hv, hv,.... Oznazmy: n =nhv. Wtedy: n0 P( ) n n n0 nhp( ) n n1 nhp( ). n Gdzie P(ɛ n ) jest prawdopodobieństwem tego, że mod przyjmie energię ɛ n P( ) n exp( nh / k m0 exp( mh / k T ) T ) gdzie mianownik jest zynnikiem normalizayjnym suma prawdopodobieństw po wszystkih możliwyh stanah obsadzenia musi być jedynką: P( ) 1. n0 nh exp nh / k T n1 np( n )... (18) n0 exp mh / k T m0 Wylizenie sumy w mianowniku jest proste. Jest to szereg geometryzny z ilorazem exp h / k T i pierwszym wyrazem 1. Tak wię: 1 exp( h / kt ) exp mh / kt.(19) 1 exp( h / k T ) exp( h / k T ) 1 m0 n1 Aby wylizyć sumę szeregu nh exp nh / k T n wylizymy najpierw sumę szeregu: n exp( h / kt ) 1 exp nh / kt 1 1 exp( h / k T ) exp( h / k T ) 1 (19.1) 14

15 oznazmy =1/kT a następnie zróżnizkujmy obie strony równania (19.1) po d. Otrzymamy: ( nh ) exp nh n1 1 Czyli również: hv exp( h ) exp( h ) (0) nh exp nh n1 1 hv exp( h ) exp( h ) (0.1) Wraają do oznazeń pozątkowyh (kt=1/) i wstawiają (19) i (0.1) do (18) otrzymamy: h. (1) exp h / k T 1 Wstawiają (1) do (9) otrzymujemy ostateznie formułę Plank'a. 15