Partition Search i gry z niezupełną informacją
|
|
- Jarosław Józef Orzechowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MIMUW 21 stycznia 2010
2 1 Co to jest gra? Proste algorytmy 2 Pomysł Algorytm Przykład użycia 3 Monte Carlo Inne spojrzenie
3 Definicja Co to jest gra? Proste algorytmy Grą o wartościach w przedziale [0, 1] nazywamy czwórkę G, p I, s, ev gdzie: G jest skończonym zbiorem legalnych pozycji p I jest pozycją początkową s : G 2 G jest funkcją zwracająca pozycje możliwe w następnym ruchu ev : G {max, min} [0, 1] oraz spełnione są następujące warunki: Nie istnieje sekwencja pozycji p 0, p 1, p 2,..., p n taka, że p i s(p i 1 ) i p 0 = pn ev(p) [0, 1] wtedy i tylko wtedy gdy s(p) =, tzn. ev przyjmuje wartości liczbowe wtw gdy gra jest zakończona (wartość ev w innych pozycjach mówi nam, który zawodnik wykonuje ruch)
4 Wartość gry Co to jest gra? Proste algorytmy W dość naturalny sposób możemy zdefiniować funkcję ev c, mówiącą jaka jest wartość gry w każdej pozycji (nie tylko końcowej): ev(p) if ev(p) [0, 1] ev c (p) = max p s(p)ev c (p ) if ev(p) = max min p s(p)ev c (p ) if ev(p) = min Oznacza to po prostu że gracz MAX wykonuje taki ruch, który skutkuje pozycją o największej wartości ev c z możliwych, a gracz MIN gra tak, aby osiągnąć pozycję o jak najmniejszej wartości ev c. Wartością całej gry jest ev c (p I )
5 Minimax Co to jest gra? Proste algorytmy Korzystając z definicji funkcji ev c łatwo stworzyć algorytm wyliczający tę funkcję, a co za tym idzie grający optymalnie w daną grę: Minimax(p) if ev(p) [0, 1] return ev(p) if ev(p) = max return max p s(p)minimax(p ) if ev(p) = min return min p s(p)minimax(p ) Niestety ten algorytm przeszukuje wszystkie możliwe pozycje, a tych może być BARDZO dużo
6 Możliwe usprawnienia Co to jest gra? Proste algorytmy Jak łatwo zauważyć przeszukiwanie wszystkich węzłów drzewa nie jest konieczne. Załóżmy, że sprawdziliśmy już kilka następników dla pozycji p (ruch MAXa) i póki co największa wartość to α. Teraz sprawdzamy p s(p). Trafiamy na p s(p ), dla którego ev c (p ) = x α. Tu możemy zakończyć sprawdzanie, bo gracz MIN na pewno wybierze ten ruch (albo jeszcze lepszy dla siebie), więc ev c (p ) x α, a zatem p nie będzie najkorzystniejszym wyborem dla MAXa (jedynym). Podobnie możemy ograniczyć liczbę sprawdzanych poddrzew w przypadku gracza MIN. Na tych obserwacjach oparty jest algorytm alfa-beta.
7 Możliwe usprawnienia Co to jest gra? Proste algorytmy Kolejnym usprawnieniem (korzystającym z dodatkowej pamięci) może być stworzenie tablicy pamiętającej wartości wyliczonych już wcześniej pozycji. W wielu grach zdarza się, że zamieniając kolejność ruchów dochodzimy do tej samej pozycji. Dla przykładu, w brydżu zagranie 3 lew (z tymi samymi kartami) możliwe jest czasem na 6 4 sposobów. Po tym zagraniu otrzymujemy zawsze tę samą pozycję i 1000 razy wyliczamy to samo.
8 Alfa-beta Co to jest gra? Proste algorytmy
9 Alfa-beta Co to jest gra? Proste algorytmy
10 Skuteczność Co to jest gra? Proste algorytmy Algorytm alfa-beta redukuje dość mocno średni stopień rozgałęzienia drzewa: b b 0.75 dla losowego ustawienia potomków b b 0.50 dla optymalnego ustawienia potomków
11 Grać jak człowiek Pomysł Algorytm Przykład użycia Komputery dysponują mocą obliczeniową nieporównywalnie większą niż człowiek. Ich problemem w wielu grach jest natomiast brak inteligencji. Marnują one mnóstwo czasu na przeliczanie wariantów, które przeciętny gracz od razu by odrzucił. Przykładem mogą być np. szachy, w których, gdy ktoś zaatakuje naszego hetmana, to próbujemy nim uciekać lub zasłonić się figurą. do rozważenia mamy kilka, maksymalnie kilkanaście ruchów komputer rozważa natomiast wszystkie możliwe zagrania (do któregoś poziomu) nie jest w stanie przełożyć przewagi w mocy na przewagę w sile gry Algorytmy takie jak alfa-beta niewiele tu pomagają.
12 Grać jak człowiek Pomysł Algorytm Przykład użycia Drugą cechą wielu gier, na które proste algorytmy nie zwracają uwagi jest lokalność: mat jest najczęściej zasługą tylko kilku figur reszta mogłaby stać w innych miejscach lub mogłoby ich wcale nie być prawie zawsze moglibyśmy także dostawić na planszę kilka figur, a mat byłby dalej Dość naturalnie zatem jest zamiast pojedynczych pozycji pamiętać całe ich grupy, które mają tę samą wartość i sprawdzać czy rozpatrywana pozycja pasuje do któregoś ze wzorców.
13 Kółko i krzyżyk Pomysł Algorytm Przykład użycia
14 Kółko i krzyżyk Pomysł Algorytm Przykład użycia
15 Kółko i krzyżyk Pomysł Algorytm Przykład użycia
16 Pomysł Algorytm Przykład użycia Rozpatrzmy grę G, p I, s, ev oraz zbiór pozycji S G. Powiemy, że zbiorem pozycji osiągających S jest zbiór takich pozycji p, że s(p) S i będziemy go oznaczać jako R 0 (S). Zbiór pozycji p takich, że s(p) S będziemy natomiast nazywać zbiorem pozycji przechodzących do S i oznaczać C 0 (S). W algorytmie będziemy korzystać z pewnych przybliżeń obu tych zbiórów.
17 Pomysł Algorytm Przykład użycia Załóżmy teraz, że istnieje pewien zbiór pozycji S wygrywający dla gracza MAX. To oznacza, że wygrywające są dla niego wszystkie pozycje z C 0 (S) oraz te pozycje p R 0 (S) gdzie ev(p) = max. W naszym algorytmie będziemy konstruować funkcje R(p, S) i C(p, S), które będą reprezentowały zbiory pozycji podobnych do p w sensie osiągania lub przechodzenia do zbioru pozycji wygrywających S.
18 Pomysł Algorytm Przykład użycia Rozpatrzmy grę G, p I, s, ev oraz funkcję f o zbiorze wartości 2 G (podzbiory G). Powiemy, że f jest zgodna z funkcją ev jeśli dla każdych p, p F, F w zbiorze wartości f, mamy ev(p) = ev(p ). Systemem częściowym dla gry jest trójka P, R, C funkcji zgodnych z ev takich, że: P : G 2 G przekształca pozycje w zbiory pozycji (p P(p)) R : G 2 G 2 G taka, że jeśli p R 0 (S) to p R(p, S) R 0 (S) C : G 2 G 2 G taka, że jeśli p C 0 (S) to p C(p, S) C 0 (S)
19 Pomysł Algorytm Przykład użycia
20 Pomysł Algorytm Przykład użycia
21 Poprawność Pomysł Algorytm Przykład użycia Musimy pokazać, że każda pozycja w S ans ma wartość v ans. Rozpatrzmy przypadek kiedy w węźle gra MAX. wartość węzła to 0 - gracz MAX nie może wyjść poza zbiór pozycji przegrywających, a zatem każdy zbiór S new jest przegrywający, czyli także S all = S new jest przegrywający. Zatem za S ans możemy przyjąć C(p, S all ). jeśli wartość większa od zera, to aby inna pozycja p miała na pewno tę samą wartość, to p musi osiągać najlepszą możliwość w p, a także musi przechodzić tylko do tych pozycji co p. A zatem musi należeć do R 0 (S ans ) C 0 (S all ).
22 Brydż Pomysł Algorytm Przykład użycia
23 Brydż Pomysł Algorytm Przykład użycia
24 Brydż Pomysł Algorytm Przykład użycia
25 Monte Carlo Monte Carlo Inne spojrzenie Szybkie analizowanie w otwarte karty znalazło zastosowanie w programach grających w brydża. Polegają one na wylosowaniu wielu (ok. 100) różnych możliwych kart przeciwników i analizowaniu rozdań w otwarte karty: 1 wylosuj zbiór D rozdań zgadzających się z licytacją i grą do tej pory 2 dla każdego możliwego ruchu m i rozdania d policz wynik rozdania w otwarte karty (w(m, d)) 3 zwróć ruch, dla którego w(m, d) jest maksymalna m
26 Problemy Monte Carlo Inne spojrzenie Niestety takie podejście ma sporo wad: brak rozgrywek wywiadowczych wyrzucanie potrzebnych kart często wybór nieoptymalnej rozgrywki: 1 rozgrywka wygrywa przy D u W 2 rozgrywka wygrywa przy D u E 3 rozgrywka wygrywa przy D u dowolnego gracza 4 rozgrywka odkłada decyzję na później (ale trzeba będzie wybrać pomiędzy 1 i 2)
27 Inne podejście Monte Carlo Inne spojrzenie Przyjrzyjmy się wypowiedziom graczy: wygrałbym jakby D była u W wygrałbym jakby E miał K wygrałbym jakby przy 3 kierach były 2 trefle Jak widać dla gracza z pozycją nie jest powiązana konkretna wartość, lecz funkcja z możliwych układów rąk przeciwników w wynik (dla uproszczenia przyjmijmy, że albo wygra albo przegra) Zatem z pozycją jest związana f : S {0, 1}. Możemy także zdefiniować max(f, g)(s) = max(f (s), g(s)) oraz analogicznie minimum.
28 Formalnie Monte Carlo Inne spojrzenie Grą nazywamy G, V, p I, s, ev, f +, f gdzie: G jest skończonym zbiorem pozycji V jest zbiorem wartości gry p I G jest pozycją początkową s : G 2 G zwraca zbiór następników ev : G {max, min} V zwraca wartość pozycji dla pozycji końcowych oraz określa kto gra w pozostałych f + : P(V ) V i f : P(V ) V są funkcjami dla gracza MAX i MIN oraz spełnione są warunki takie jak wcześniej.
29 Formalnie Monte Carlo Inne spojrzenie Podobnie jak poprzednio możemy zdefiniować funkcję ev c mówiącą jaka jest wartość gry w pozycjach innych niż końcowe: ev(p) if ev(p) V ev c (p) = f + {ev c (p ) p s(p)} if ev(p) = max f {ev c (p ) p s(p)} if ev(p) = min Wartością całej gry jest oczywiście ev c (p I ).
30 Formalnie Monte Carlo Inne spojrzenie W naszym przypadku: zbiór G jest zbiorem par (p, Z) gdzie p jest układem kart znanych, a Z S jest zbiorem możliwych układów kart zakrytych zgodnych z dotychczasowymi zagraniami zbiór V jest równy 2 S p I = (p 0, S) gdzie p 0 jest układem znanych kart funkcja s jest zdefiniowana następująco: jeśli gra MAX, to zagrywa jedną z możliwych kart a Z się nie zmienia jeśli gra MIN, to zagrywa jedną z możliwych kart a Z jest podzbiorem Z, dla którego zagranie tej karty jest możliwe pozycje końcowe, to te kiedy zostaną zagrane wszystkie karty. Wtedy Z = {s}, bo znamy już położenie wszystkich kart. Wartością gry jest S jeśli wygraliśmy oraz S {s} gdy przegraliśmy f + (U, V ) = U V oraz f (U, V ) = U V
31 Poprawność Monte Carlo Inne spojrzenie Powinniśmy pokazać, że jeśli w pozycji (p, S) możemy wygrać dla T S, to wartością gry w (p, S) jest T jak korzeń jest końcowy to OK (dla MAX) jeśli dla konkretnego układu kart s S wygrywamy, to znaczy, że wygrywamy w jakimś następniku (p i, S i ). Zatem s U i = ev c (p i, S i ), czyli należy też do U i jeśli dla s przegrywamy to nie może on należeć do żadnego U i, a zatem także do sumy dla MIN analogicznie (jak do wszystkich U i to do przecięcia, jak nie do wszystkich to także nie do przecięcia)
32 Przykład Monte Carlo Inne spojrzenie
33 Przykład Monte Carlo Inne spojrzenie
34 Przykład Monte Carlo Inne spojrzenie
35 Przykład Monte Carlo Inne spojrzenie
36 Komplikujemy Monte Carlo Inne spojrzenie Niestety, to nie jest dokładnie to, o co nam chodziło. MAX dalej korzysta z informacji zupełnej, więc rozgrywka wygrywającą w T albo S jest tak samo dobra jak w T lub S. Ale posłuchajmy jeszcze raz graczy: mogę grać na kiery 3-3 albo D u W. To drugie jest lepszą szansą. To znaczy, że dla danej pozycji nie rozważamy zbioru układów kart dla których wygramy, lecz zbiór tych zbiorów.
37 Komplikujemy Monte Carlo Inne spojrzenie Z pozycją utożsamiamy zatem funkcję f : S 2 2S. Funkcja wyboru dla zawodnika MAX jest dana wzorem: max(f, G) = F G Dzieje się tak, gdyż gracz MAX może wybrać czy "grać na coś" z F czy "na coś" z G, a zatem może się zdecydować "na coś" z F G Funkcja dla gracza MIN jest natomiast dana wzorem: max({f i }, {G j }) = {min(f i, G j )} gdzie min(f, G)(s) = min(f (s), G(s)) (tu zakładamy, że MIN gra z informacją zupełną)
38 Formalnie II Monte Carlo Inne spojrzenie Grą z niezupełną informacją nazywamy G, V, p I, s, ev, f +, f gdzie: G jest skończonym zbiorem pozycji V = 2 2S jest zbiorem wartości gry (p 0, S) = p I G jest pozycją początkową funkcja s jest zdefiniowana następująco: jeśli gra MAX, to zagrywa jedną z możliwych kart a Z się nie zmienia jeśli gra MIN, to zagrywa jedną z możliwych kart a Z jest podzbiorem Z, dla którego zagranie tej karty jest możliwe ev : G {max, min} V zwraca wartość pozycji dla pozycji końcowych oraz określa kto gra w pozostałych pozycje końcowe, to te kiedy zostaną zagrane wszystkie karty. Wartością gry jest {{s}, {S}} jeśli wygraliśmy oraz {{S}, {S {s}}} gdy przegraliśmy f + : P(V ) V i f : P(V ) V są funkcjami dla gracza MAX i MIN zdefiniowanymi przed Partition chwilą Search i gry z niezupełną informacją
39 Poprawność II Monte Carlo Inne spojrzenie Załóżmy, że wartością gry G jest pewna rodzina zbiorów T. Wtedy T jest podzbiorem pewnego elementu T wtw gdy gracz MAX ma strategię wygrywającą dla każdego układu kart t T zakładając, że gracz MIN gra z informacją zupełną. jak korzeń jest końcowy to OK (dla MAX) jeśli MAX może wygrać w T to znaczy, że może przejść do pozycji (p i, S i ) o wartości F i, gdzie T F F i. Z definicji f + mamy zatem, że T F F, gdzie F jest wartością (p, S) jeśli MAX nie może wygrać, to T F F i dla żadnego i a zatem z definicji f + mamy, że T F F (dla MIN) nieco trudniej ale podobnie: jeśli MAX wygrywa to T F i F i a zatem T F i min(f i ) jeśli MAX przegrywa to istnieje i takie, że T F j F i. A zatem nie istnieje V T, takie że V min({f j }, {U k })
40 Przykład Monte Carlo Inne spojrzenie
Algorytmy dla gier dwuosobowych
Algorytmy dla gier dwuosobowych Wojciech Dudek Seminarium Nowości Komputerowe 5 czerwca 2008 Plan prezentacji Pojęcia wstępne (gry dwuosobowe, stan gry, drzewo gry) Algorytm MiniMax Funkcje oceniające
Bardziej szczegółowoWyznaczanie strategii w grach
Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowoBisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje
Bardziej szczegółowoPROJEKT REGULAMINU II EDYCJI GRAND PRIX POWIATU MIĘDZYCHODZKIEGO W SPORTOWEJ GRZE W KOPA O PUCHAR KRAINY 100 JEZIOR
PROJEKT REGULAMINU II EDYCJI GRAND PRIX POWIATU MIĘDZYCHODZKIEGO W SPORTOWEJ GRZE W KOPA O PUCHAR KRAINY 100 JEZIOR I. II Grand Prix Powiatu Międzychodzkiego w sportowej grze w Kopa o Puchar Kariny 100
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa w grach losowych.
Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Lista zawiera kilkadziesiąt zadań dotyczących różnych gier z użyciem kart i kości, w tym tych najbardziej popularnych jak brydż, tysiąc itp. Kolejne zadania
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy
Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!
Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:
Bardziej szczegółowo3. MINIMAX. Rysunek 1: Drzewo obrazujące przebieg gry.
3. MINIMAX. Bardzo wygodną strukturą danych pozwalającą reprezentować stan i przebieg gry (szczególnie gier dwuosobowych) jest drzewo. Węzły drzewa reprezentują stan gry po wykonaniu ruchu przez jednego
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoREGULAMINU III EDYCJI LETNIEGO GRAND PRIX W SPORTOWEJ GRZE W KOPA OŚRODEK WYPOCZYNKOWY MIERZYN K/MIĘDZYCHODU
REGULAMINU III EDYCJI LETNIEGO GRAND PRIX W SPORTOWEJ GRZE W KOPA OŚRODEK WYPOCZYNKOWY MIERZYN K/MIĘDZYCHODU I. III Letnie Grand Prix w sportowej grze w Kopa sportowego zorganizowane zostanie w formie
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 5, grupa zaawansowana (7..009) Gry matematyczne.
Bardziej szczegółowoHeurystyki. Strategie poszukiwań
Sztuczna inteligencja Heurystyki. Strategie poszukiwań Jacek Bartman Zakład Elektrotechniki i Informatyki Instytut Techniki Uniwersytet Rzeszowski DLACZEGO METODY PRZESZUKIWANIA? Sztuczna Inteligencja
Bardziej szczegółowoAlgorytmy z powrotami. Algorytm minimax
Algorytmy z powrotami. Algorytm minimax Algorytmy i struktury danych. Wykład 7. Rok akademicki: 2010/2011 Algorytm z powrotami rozwiązanie problemu budowane jest w kolejnych krokach, po stwierdzeniu (w
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPropozycje tematów zadań
Propozycje tematów zadań 1. WARCABY Opracować program do gry w warcaby dla dwu graczy. Program ma umożliwiać przesuwanie kursora na zmianę po polach białych lub czarnych, wskazywanie początku końca ruchu.
Bardziej szczegółowoBisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 11.03.2009 Czym będziemy się zajomwać? Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoSystemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH
Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Rozgrywki sportowe moŝna organizować na kilka róŝnych sposobów, w zaleŝności od liczby zgłoszonych druŝyn, czasu, liczby boisk
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoJoanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka
Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. O czym dzisiaj?
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...
Bardziej szczegółowoJak wygrywać w brydża znając mechanikę kwantową?
Jak wygrywać w brydża znając mechanikę kwantową? Tomasz Kisielewski 15 grudnia 2014 Podstawowe zasady brydża Brydż jest grą karcianą dla czterech osób grających w drużynach po dwie osoby. Gra składa się
Bardziej szczegółowoWykład 7 i 8. Przeszukiwanie z adwersarzem. w oparciu o: S. Russel, P. Norvig. Artificial Intelligence. A Modern Approach
(4g) Wykład 7 i 8 w oparciu o: S. Russel, P. Norvig. Artificial Intelligence. A Modern Approach P. Kobylański Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji 177 / 226 (4g) gry optymalne decyzje w grach algorytm
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI
POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA MEL WPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI NS 586 Dr inż. Franciszek Dul 6. GRY POSZUKIWANIA W OBECNOŚCI PRZECIWNIKA Gry Pokażemy, w jaki
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoDziałanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).
Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze
Bardziej szczegółowoRuletka czy można oszukać kasyno?
23 stycznia 2017 Ruletka czy można oszukać kasyno? M. Dworak, K. Maraj, S. Michałowski Plan prezentacji Podstawy ruletki System dwójkowy (Martingale) Czy system rzeczywiście działa? 1/22 Podstawy ruletki
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoΣ. MiNI/MatLic/AiPP/ /Kolokwium-IB (20)
Nazwisko i imię: Nr indeksu: 1 2 3 4 Σ MiNI/MatLic/AiPP/2014 2015/Kolokwium-IB (20) Uwaga: Za każde zadanie można uzyskać tę samą liczbę punktów. Do ostatecznej oceny wliczane są punkty za 3 najlepiej
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Jakub Cisło. Programowanie z pasją maja 2019
Teoria gier Jakub Cisło Programowanie z pasją http://programowaniezpasja.pl jakub@programowaniezpasja.pl 10 maja 2019 Jakub Cisło (Programowanie z pasją) Teoria gier 10 maja 2019 1 / 18 Plan wykładu 1
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoOcena pozycji szachowych w oparciu o wzorce
Ocena pozycji szachowych w oparciu o wzorce Stanisław Kaźmierczak s.kazmierczak@mini.pw.edu.pl 2 Agenda Motywacja Statystyki Metoda statyczna sortowania ruchów Metoda następstwa wzorców Metoda podobieństwa
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań
Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoPorządek symetryczny: right(x)
Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowoTemat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoMagiczny ogródek INSTRUKCJA GRA DLA 2 OSÓB WIEK DZIECKA 4+
Magiczny ogródek INSTRUKCJA GRA DLA 2 OSÓB WIEK DZIECKA 4+ Elementy gry: Plansza z ramką z dziewięcioma polami z Mi 1 sztuka Plansza z ramką z dziewięcioma polami z Ryśkiem 1 sztuka Karty z kwiatkami 72
Bardziej szczegółowooperacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.
Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne (3)
Algorytmy ewolucyjne (3) http://zajecia.jakubw.pl/nai KODOWANIE PERMUTACJI W pewnych zastosowaniach kodowanie binarne jest mniej naturalne, niż inne sposoby kodowania. Na przykład, w problemie komiwojażera
Bardziej szczegółowoSUKNIE ŚLUBNE - MODA I MODELKI
INSTRUKCJA SUKNIE ŚLUBNE - MODA I MODELKI Zabawa układanka dla 1-4 osób rekwizyty: 96 elementów tworzących 24 modelki Umieszczone w pudełku 24 kreacje zostały stworzone na wielki pokaz mody sukni ślubnych.
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZE ZAJĘĆ KLASA 1 DIDASKO Ewa Kapczyńska, Krystyna Tomecka
TEMAT: Spotkanie z liczbą 12 Miesiąc: luty Tydzień nauki: 21 Kształtowanie umiejętności: edukacja matematyczna ( 7.2; 7.3; 7.4. ;7.5; 7.8), edukacja społeczna (5.4) Materiały i środki dydaktyczne: kartoniki
Bardziej szczegółowoGazzilli po polsku. Opracował: Łukasz Gębalski
Opracował: Łukasz Gębalski Gazzilli po polsku Gazzilli to włoska konwencja stosowana w sekwencjach: 1 - i w systemach pełno strefowych. W systemach o wąskim przedziale otwarć, jak Precision czy Wspólny
Bardziej szczegółowoMIĘDZYCHÓD CUP 2014 W STAROPOLSKICH SPORTOWYCH GRACH w CZERWONĄ BAŚKĘ(AS I 10 KIER) I KOPA (AS KIER I TRZY 10).
REGULAMIN MIĘDZYCHÓD CUP 2014 W STAROPOLSKICH SPORTOWYCH GRACH w CZERWONĄ BAŚKĘ(AS I 10 KIER) I KOPA (AS KIER I TRZY 10). I. Termin: 8 lutego 2014 r. recepcja mistrzostw czynna będzie od godz. 10:15 II.
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia
Bardziej szczegółowo5.9 Modyfikacja gry Kółko i krzyżyk
274 5.9 Modyfikacja gry Kółko i krzyżyk Zajmiemy się obecnie grą, której plansza jest widoczna na rys. 5.17 (aplikacja Do15.bpr). Rysunek 5.17: Plansza do gry śuma do 15 Jej celem jest zaznaczenie cyfr,
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoSzachy INSTRUKCJA. rekwizyty: 1) Bierki - 32 szt. 2) plansza - 1 szt.
INSTRUKCJA Szachy rekwizyty: 1) Bierki - 32 szt. 2) plansza - 1 szt. Partia szachowa jest rozgrywana między dwoma przeciwnikami, którzy wykonują posunięcia bierkami na kwadratowej tablicy, zwanej szachownicą.
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoDobble? Co to takiego?
SZALONA GRA WYMAGAJĄCA REFLEKSU OD 2 DO 8 GRACZY OD 6. ROKU ŻYCIA GWIEZDNE WOJNY ZASADY GRY Dobble? Co to takiego? Gra Dobble składa się z 55 kart. Na każdej z nich znajduje się 8 różnych symboli z puli
Bardziej szczegółowoSZACHY mini INSTRUKCJA. rekwizyty: 1) Bierki - 32 szt. 2) plansza - 1 szt.
INSTRUKCJA SZACHY mini rekwizyty: 1) Bierki - 32 szt. 2) plansza - 1 szt. Partia szachowa jest rozgrywana między dwoma przeciwnikami, którzy wykonują posunięcia bierkami na kwadratowej tablicy, zwanej
Bardziej szczegółowoPodstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.
ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie binarne
Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne to technika pozwalająca na przeszukanie jakiegoś posortowanego zbioru danych w czasie logarytmicznie zależnym od jego wielkości (co to dokładnie znaczy dowiecie
Bardziej szczegółowoMecz Matematyczny. Rozwiązania 11 marca 2016
Mecz Matematyczny Rozwiązania 11 marca 016 Zadanie 1 Na stole leży 9 cuierków. Adam i Bartek grają w następującą grę: każdy z nich w swoim ruchu zabiera ze stołu od 1 do 4 cukierków. Przegrywa gracz, który
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoN W E S A K D A W 4 W 10 5 W N E S
CZĘŚĆ 1 7 PROBLEM 1 Obie przed partią, rozd. W. : Po trzech ach otwieram 1BA. Alex podnosi do 3BA, po czym licytacja wygasa. W wistuje w K. Ilekroć obrońcy atakują nasz słaby kolor, w dodatku figurą, z
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia 206-2-09 Plan zajęć usuwanie z B-drzew join i split na 2-3-4 drzewach drzepce adresowanie otwarte w haszowaniu z analizą 2 B-drzewa definicja każdy węzeł ma następujące
Bardziej szczegółowoELEMENTY GRY CEL GRY. 56 kart akcji (po 2 karty o wartości 1-7 w każdym kolorze) 50 kart zadań
08 NAGRODA RODZICÓW USA Wszystko albo nic ELEMENTY GRY kart akcji (po karty o wartości - w każdym kolorze) 0 kart zadań CEL GRY Wszystko albo nic to gra kooperacyjna, czyli oparta na współpracy. Macie
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowo8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji.
8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. W tym ćwiczeniu zapoznamy się z modelem sztucznego neuronu oraz przykładem jego wykorzystania do rozwiązywanie prostego zadania klasyfikacji. Neuron biologiczny i
Bardziej szczegółowoDane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:
Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Katarzyna Koman Maria Koman. Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej
Teoria gier Katarzyna Koman Maria Koman Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej GRA NIM HISTORIA Pochodzenie gry NIM nie jest do końca znane. Najprawdopodobniej powstała
Bardziej szczegółowo25. NIE TYLKO WORECZKI CZYLI O ROZUMIENIU SYSTEMU DZIESIĘTNEGO, CZ. I
124 25. NIE TYLKO WORECZKI CZYLI O ROZUMIENIU SYSTEMU DZIESIĘTNEGO, CZ. I Mirosław Dąbrowski 25. NIE TYLKO WORECZKI CZYLI O ROZUMIENIU SYSTEMU DZIESIĘTNEGO, CZ. I Cele ogólne w szkole podstawowej: zdobycie
Bardziej szczegółowoB jest globalnym pokryciem zbioru {d} wtedy i tylko wtedy, gdy {d} zależy od B i nie istnieje B T takie, że {d} zależy od B ;
Algorytm LEM1 Oznaczenia i definicje: U - uniwersum, tj. zbiór obiektów; A - zbiór atrybutów warunkowych; d - atrybut decyzyjny; IND(B) = {(x, y) U U : a B a(x) = a(y)} - relacja nierozróżnialności, tj.
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoProjekt 4: Programowanie w logice
Języki Programowania Projekt 4: Programowanie w logice Środowisko ECL i PS e W projekcie wykorzystane będzie środowisko ECL i PS e. Dostępne jest ono pod adresem http://eclipseclp.org/. Po zainstalowaniu
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoInstrukcje dla zawodników
Instrukcje dla zawodników Nie otwieraj arkusza z zadaniami dopóki nie zostaniesz o to poproszony. Instrukcje poniżej zostaną ci odczytane i wyjaśnione. 1. Arkusz składa się z 3 zadań. 2. Każde zadanie
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji Ozobot w klasie: Ciąg Fibonacciego
Scenariusz lekcji Ozobot w klasie: Ciąg Fibonacciego Opracowanie scenariusza: Richard Born Adaptacja scenariusza na język polski: mgr Piotr Szlagor Tematyka: Informatyka, Matematyka, Rekurencja, Fibonacci,
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoOdkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego
Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Piotr Rybak Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Piotr Rybak (Migacz UWr) Odkrywanie algorytmów kwantowych 1 / 17 Spis
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sztucznej inteligencji
www.math.uni.lodz.pl/ radmat Przeszukiwanie z ograniczeniami Zagadnienie przeszukiwania z ograniczeniami stanowi grupę problemów przeszukiwania w przestrzeni stanów, które składa się ze: 1 skończonego
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo