Zad. 6 Na ile części dzieli płaszczyznę 30 prostych, z których Ŝadne dwie nie są równoległe i Ŝadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt.

Transkrypt

1 Zespół Szkół Ekonomicznych im. M. Kopernika w Olsztynie Zadania z poprzednich edycji Konkursu Matematyka w zarządzaniu dla uczniów szkół gimnazjalnych 2010 Czas pisania: 90 minut Uwaga: Rozwiązania powinny zawierać precyzyjny i wyczerpujący komentarz oraz odpowiedzi; w przypadku równej liczby punktów o zwycięstwie decydować będzie jakość komentarza. ZAD. 1 [4 punkty] W pewnej firmie płace 25% pracowników wzrosły o 40 zł. O ile złotych wzrosła średnia płaca w tej firmie? ZAD. 2 [10 punktów] Z arkusza papieru w kształcie koła o promieniu R długości 0 cm zrobiono trzy jednakowe pojemniki w kształcie stoŝków na popcorn. Ile naleŝy zapłacić za napełnienie ich popcornem po brzegi, jeŝeli porcja popcornu o objętości 1 kosztuje zł? Do obliczeń przyjmij π, 14, 2 1, 41i wynik zaokrąglij do pełnych złotych. ZAD. [8 punktów] Paweł mówi do Piotra: mam razy więcej lat niŝ ty miałeś wtedy, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy łącznie mieć 112 lat. Ile lat ma Piotr, a ile Paweł? ZAD. 4 [10 punktów] Krzysiek i Michał zobaczyli w sklepie grę komputerową, której cena wyraŝała się liczbą pierwszą. Krzysiek nie mógł jej kupić, bo zabrakło mu 74 zł, a Michałowi zabrakło 9 zł. Nie mogli jej takŝe kupić za wspólne pieniądze. Ile pieniędzy miał kaŝdy z nich i ile kosztowała gra komputerowa? ZAD. 5 [9 punktów] Samochód przebył drogę s km z nieznaną prędkością x km/h. Jaka jest prędkość samochodu, jeŝeli zwiększenie prędkości o 2 km/h skróciłoby czas jazdy o pół godziny? [11 punktów] Pewna firma handlowa chce wybudować hurtownię, która ma zaopatrywać sklepy w czterech sąsiednich miejscowościach A, B, C, D. W którym miejscu naleŝy wybudować hurtownię H, aby suma odległości od hurtowni do tych czterech miejscowości była najmniejsza? (odpowiedź uzasadnij). dm

2 2008 Czas rozwiązywania 45 minut Uwaga: Wszystkie rozwiązania powinny być wyjaśnione Na brzegu jeziora mieszkało siedmiu rybaków. Zimą, gdy lód pokrył jezioro, rybacy, odwiedzając się nawzajem, wydeptali ścieŝki tak, Ŝe domy dowolnych dwóch rybaków były połączone ścieŝką.. Ile było ścieŝek? W wannie o pojemności 200 litrów znajduje się 20 litrów wody. Po odkręceniu kurków, do wanny napływa 15 litrów wody w ciągu minuty. Napisz wzór funkcji opisującej zaleŝność liczby litrów wody w wannie od czasu. Po jakim czasie wanna napełni się wodą. Zad. Staw zarasta rzęsa. Co dwa dni obszar zarośnięty rzęsą podwaja się. Cały staw zarósł rzęsą w ciągu 64 dni. Po ilu dniach ćwierć stawu była zarośnięta rzęsą? Z jednego 2 metrowego drzewa o średnicy 10 cm otrzymuje się średnio 100 cm drewna. Z kolei na jedno pudełko zapałek zuŝywa się aŝ 9 cm drewna. Oblicz jaka stratę w ilości drzew poniesie las, jeŝeli wykona się tylko 1 mln małych pudełek zapałek? Latarnia uliczna jest oszklona sześcioma jednakowymi szybami w kształcie równoramiennych trapezów. Boki równoległe trapezu maja długości 24 cm i 12 cm, a odległości między tymi bokami jest równa 7,5 cm. Oblicz ile metrów kwadratowych szkła potrzeba na oszklenie 64 latarń, jeŝeli dokładnością do 0,01 2 m. 1 7 % 2 zuŝytego szkła doliczymy na odpadki. Wynik podaj z Cena akcji pewnej firmy w ciągu dwóch kolejnych sesji giełdowych obniŝała się o 10% i wyniosła 29, 97%. Ile kosztowały akcje tej firmy dwie sesje wcześniej? 2007 Na pewnej powierzchni naleŝy połoŝyć posadzkę. Są do wyboru płytki foremne: trójkątne, czworokątne, sześciokątne. Wszystkie płytki mają równe obwody. Których płytek potrzeba najmniej, a których najwięcej do pokrycia tej samej powierzchni? Pan Nowak umieścił w banku część kwoty zł na rocznej lokacie, oprocentowanej w wysokości % w skali roku wraz z roczną kapitalizacją odsetek. Za resztę zakupił jednoroczne obligacje oprocentowane w wysokości 4,5%. Gdyby pan Nowak złoŝył na lokacie w banku całą sumę, to po roku uzyskałby 60 zł mniej odsetek. Ile odsetek otrzyma po roku?

3 Zad. Złotnik wykonał róŝne bransolety. W jednej jest 10,5g czystego srebra, a w drugiej, która jest 2 razy cięŝsza, 27 g czystego srebra. Próba srebra w cięŝszej bransolecie jest o 0,200 większa niŝ w lŝejszej. Z jakiej próby srebra wykonał jubiler lŝejszą bransoletę? W pewnym kraju od podatku dochodowego są zwolnione dochody nie przekraczające 5 tys. dolarów. Za dochody przekraczające 5 tys. dolarów, ale nie większe niŝ 0 tys. dolarów podatnik płaci podatek w wysokości 10% od dochodu pomniejszonego o 5 tys. dolarów. JeŜeli dochód przekracza 0 tys. dolarów podatnik płaci 2500 dolarów plus 25% nadwyŝki powyŝej 0 tys. dolarów. Opisz system podatkowy w tym kraju za pomocą funkcji, która pokazuje zaleŝność podatku od dochodu i naszkicuj jej wykres. Od dwóch kawałków stopu o róŝnej zawartości procentowej miedzi waŝących m i n kg odcięto jednakowe wagowo kawałki i kaŝdy z odciętych kawałków stopiono z resztą drugiego stopu. W otrzymanych stopach stwierdzono jednakową procentowo zawartość miedzi. Ile waŝył kaŝdy z odciętych kawałków? Na ile części dzieli płaszczyznę 0 prostych, z których Ŝadne dwie nie są równoległe i Ŝadne nie przechodzą przez ten sam punkt. Zad. 7 Z drzew w sadzie zebraliście 667 jabłek. Wkładacie je teraz do toreb, Ŝeby rozdać owoce sąsiadom. Chcecie włoŝyć taka samą liczbę jabłek do kaŝdej torby, a jednocześnie chcecie zuŝyć moŝliwie mało toreb. Po ile jabłek naleŝy włoŝyć i do ilu toreb? 2005 Na globusie w kształcie kuli o promieniu R zakreślono cyrklem o rozwartości R okrąg (nóŝkę cyrkla umieszczono na biegunie). Jaka jest długość narysowanego równoleŝnika? Zad.2 W gospodarstwie rolnym zebrano w roku 2004 jęczmień z 6 ha. Na rok 2005 zaplanowano wzrost wydajności plonów z 1 ha jęczmienia o 8%, a całego zbioru o 20% w stosunku do roku O ile hektarów trzeba zwiększyć obszar uprawy jęczmienia, aby wykonać ten plan? Zad. o Wahadło starego zegara ma długość 50 cm i odchyla się od pionu o 18. Pełne wahnięcie (od lewej do prawej i z powrotem) trwa 2 sekundy. Jaką drogę pokonuje końcówka wahadła w ciągu godziny? Zad.4 W trójkącie prostokątnym o bokach długości 60 cm, 80 cm i 100 cm, wierzchołek kąta prostego połączono odcinkiem z punktem leŝącym na przeciwprostokątnej. Odcinek ten dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz długość tego odcinka.

4 W pewnym małŝeństwie wiek kaŝdego z małŝonków wyraŝa się liczbą dwucyfrową. JeŜeli przestawimy cyfry w liczbie lat męŝa, to otrzymamy liczbę lat Ŝony. RóŜnica ich wieku równa jest jednej piątej wieku Ŝony. Oblicz ile lat ma kaŝdy z małŝonków wiedząc, Ŝe mąŝ jest starszy od Ŝony. Mrówka zamierza wspiąć się na szczyt puszki w kształcie walca o wysokości 6cm i średnicy podstawy cm. Chce się jednak upewnić, czy w pobliŝu nie czai się mrówkojad, musi więc w drodze na szczyt obejść takŝe puszkę dookoła. Jaka jest długość najkrótszej drogi, którą mrówka musi przebyć? Zad Średnia miesięczna płaca netto w pewnym zakładzie zatrudniającym 0 pracowników wynosiła 2500 zł. Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia płaca netto w zakładzie wzrosła o 0,4%. Oblicz płacę netto nowego pracownika. Tomek wziął z banku kredyt w wysokości zł na okres dwóch lat, przy kapitalizacji co pół roku i rocznym oprocentowaniu 16%. Ile zł kosztował Tomka ten kredyt? Zad. W ciągu jednego miesiąca trzykrotnie wypadła niedziela w dniu parzystym. Jaki dzień tygodnia wypadł 20-tego w tym miesiącu? Zad.4 Pies dostrzegł w odległości 60 m lisa i rozpoczął pościg. Skok psa ma długość 2 m, a skok lisa 1 m. Pies daje dwa skoki w tym samym czasie, w którym lis daje trzy skoki. Ile metrów drogi musi przebyć pies, aby dogonić lisa? Zad.5 Cztery osoby siedzą na ławce. W pewnym momencie wstają z ławki, zaś po jakimś czasie siadają ponownie. Na ile sposobów mogą usiąść tak, aby Ŝadna z nich nie usiadła na miejscu poprzednio zajmowanym? Zad.6 Zwiększywszy prędkość pociągu o 10 km/h zyskuje się 40 minut na trasie. Jeśli jednak prędkość zostanie zmniejszona o 10 km/h, traci się 1 godzinę. Jaka jest długość trasy?

5 200 Dziewczęta twierdzą, Ŝę wśród wszystkich brunetów w ich szkole tylko 20% jest przystojnych. ChociaŜ aŝ 10% brunetów ma niebiesie oczy, to tylko jeden z nich jest przystojny, ale niestety ma złe wyniki w nauce. On i jeszcze trzech przystojnych brunetów, którzy mają trudności w nauce, stanowią 25 % wszytkich przystojnych brunetów. Ilu jest nieprzystojnych niebieskookich brunetów? Jedna z gmin liczy 50 tys. Mieszkańców. Językiem ojczystym wszystkich mieszkańców gminy jest język polski, ale 20 tys. z nich mówi równieŝ po niemiecku. 5 tysięcy takŝe po angielsku, a 10 tysięcy nie zna ani angielskiego ani niemieckiego. Ilu mieszkańców gminy mówi i po angielsku i po niemiecku? Zad. W 2 kg nasion znajduje się 10% zanieczyszczeń. Ile zanieczyszczeń trzeba usunąć, aby nasiona zawierały tylko 4% zanieczyszczeń? Zbadano płace pięciu zatrudnionych w pewnej instytucji i obliczono z nich średnią arytmetyczną. Płaca pierwszej osoby była wyŝsza od średniej o 88 zł, drugiej - niŝsza o 1 zł, trzeciej - niŝsza o 52 zł, czwartej - wyŝsza o 2 zł. Czy płaca piątej osoby była niŝsza, czy wyŝsza od średniej i o ile? Paweł mówi do Piotra: mam razy więcej lat niŝ ty miałeś, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieli łącznie 112 lat. Ile lat ma Piotr? Statek płynie z Warszawy do Gdańska przez 2 dni, a z powrotem w ciągu dni. Ile czasu będzie płynąć tratwa z Warszawy do Gdańska? Zad. 7 Trzej strzelcy strzelają do celu na strzelnicy. Pierwszy strzelec oddaje strzały w odstępach 6 sekundowych, a drugi i trzeci odpowiednio 8 i 10 sekundowych. Ile razy strzelcy wystrzelą jednocześnie w ciągu 15 minut licząc od pierwszego strzału, który wszyscy oddali jednocześnie? Zad. 8 W ciemnej piwnicy jest 20 słoików. Wśród nich jest 8 z dŝemem truskawkowym, 7 z dŝemem malinowym i 5 z zemem Ŝurawinowym. Ile co najwyŝej moŝna zabrać słoików ( po ciemku), aby być pewnym, Ŝe w piwnicy pozostaną 4 słoiki jednego rodzaju dŝemu i słoiki innego?