Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut. Rozwiązania zadań

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut Rozwiązania zadań

2 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 10. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź. W przypadku pomyłki na karcie odpowiedzi należy wypełnić następny diagram z odpowiedziami. Diagramy z niepoprawnymi odpowiedziami powinny zostać przekreślone wzdłuż przekątnych. Zaznaczenie więcej niż jednej odpowiedzi w jednym zadaniu jest równoznaczne z niepoprawną odpowiedzią. Zadanie 1. (1 punkt) Objętość Ziemi równa jest 1, km 3, czyli a) 1, m 3 b) 1, m 3 c) 1, m 3 d) 1, m 3 e) 1, m 3 Zadanie 2. (1 punkt) Trzej strzelcy strzelają do celu na strzelnicy. Pierwszy strzelec oddaje strzały w odstępach 5 sekundowych, a drugi i trzeci odpowiednio 7 i 9 sekundowych. Ile razy strzelcy oddadzą jednocześnie strzał w ciągu 15 minut, licząc łącznie z pierwszym strzałem, który wszyscy oddali jednocześnie? a) 4 razy b) 3 razy c) 5 razy d) 2 razy e) 6 razy Zadanie 3. (1 punkt) Środkowa w dowolnym trójkącie: a) przechodzi przez środek okręgu wpisanego w trójkąt c) przechodzi przez środek okręgu opisanego na trójkącie b) dzieli kąt przy wierzchołku z którego wychodzi na połowę d) dzieli trójkąt na dwa trójkąty o jednakowych polach e) dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne Zadanie 4. (1 punkt) Wysokość ostrosłupa czworokątnego, którego wszystkie krawędzie mają długość 10 cm wynosi a) 10 cm b) 5 cm c) 5 2 cm d) 5 3 cm e) 10 3 cm Zadanie 5. (1 punkt) Boki trójkąta mają długości: 5, 8, x. Wynika z tego, że x należy do zbioru: a) x (0, ) b) x (0, 1) c) x (3, 11) d) x (11, 13) e) x (3, 13)

3 Zadanie 6. (1 punkt) Ile wynosi x? a) 2 b) 3 c) 4, 5 d) 12 e) 8 Zadanie 7. (1 punkt) Która z liczb jest niewymierna? a) b) c) d) e) Zadanie 8. (1 punkt) Środkiem symetrii kwadratu jest początek układu współrzędnych, a jednym z jego wierzchołków jest punkt (2, 2). Promień okręgu opisanego na tym kwadracie wynosi a) 2 b) 4 2 c) 3 d) 8 e) 16 2 Zadanie 9. (1 punkt) Marek waży półtora raza więcej niż Małgosia, która waży dwa razy więcej niż Julia. Łączna waga całej trójki to 120 kg. Ile waży Julia? a) 6 kg b) 10 kg c) 12 kg d) 15 kg e) 20 kg Zadanie 10. (1 punkt) W ciągu jednego miesiąca trzykrotnie wypadła niedziela w dniu parzystym. Jaki dzień tygodnia wypadł 19-tego w tym miesiącu? a) poniedziałek b) wtorek c) środa d) czwartek e) piątek

4 kod ucznia ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań od 11. do 15. należy zapisać w wyznaczonym miejscu pod ich treścią. Zadanie 11.(3 punkty) Na stadionie, którego bieżnia ma 400 m długości, odbył się bieg na 10 km. Zwycięzca ukończył bieg po 30 minutach, a ostatni zawodnik po 32 minutach. Ile okrążeń przebiegł zwycięzca do momentu zdublowania ostatniego zawodnika. Przyjmij, że każdy z zawodników biegł ze stałą prędkością. Rozwiązanie: Oznaczamy prędkość zwycięzcy jako V 1 a prędkość ostatniego zawodnika jako V 2. V 1 = m 30 min, V 2 = m 32 min W momencie zdublowania zwycięzca przebiegnie odległość o 400 m większą od zawodnika ostatniego. Oznaczamy czas po którym to nastąpi przez t. Otrzymujemy następujące równanie: Z powyższego równania wyznaczamy t Po podstawieniu za V 1 i V 2 V 1 t = V 2 t t = 400 V 1 V 2 t = = ( ) = = 19, 2 min W czasie t zwycięzca przebiegł V 1 t = , 2 = 6400m Jedno okrążenie ma 400 m więc zwycięzca przebiegł = 16 okrążeń Odpowiedź: Zwycięzca do momentu zdublowania przebiegł 16 okrążeń. Wyznaczenie prędkości obu zawodników - 1 punkt Wyznaczenie układu równań umożliwiających obliczenie czasu w którym jeden zwycięzca zdublował ostatniego zawodnika - 1 punkt Obliczenie ilości okrążeń zwycięzcy do momentu zdublowania - 1 punkt W przypadku innego sposobu rozwiązywania zadania ilość punktów została przyznana w stosunku do zaawansowania obliczeń umożliwiających otrzymanie poprawnego wyniku.

5 Zadanie 12.(3 punkty) Ogrodzona łąka ma kształt kwadratu o boku 30 3 m. W jednym z rogów łąki (wierzchołku kwadratu) zaczepiona jest koza na łańcuchu o długości 60 m. Jaką część łąki ma w zasięgu koza? Wynik wyraź w procentach. Rozwiązanie: Część łąki w zasięgu kozy można podzielić na trzy figury geometryczne. Dwie z nich to trójkąty prostokątne o przyprostokątnej 30 3 m i przeciwprostokątnej 60m. Druga przyprostokątna trójkąta jest równa 30 m, natomiast jeden z kątów (zaznaczony na rysunku) jest równy 30 o. Trzecią figurą jest wycinek koła o kącie wewnętrznym 30 o i promieniu 60 m. Pole łąki w zasięgu kozy jest równe sumie pól trzech wymienionych figur. Całkowite pole łąki wynosi P = π P = 900 1, , = = 2499m 2 (30 3) 2 = 2700m 2 Procent łąki w zasięgu kozy = % = 92, 6% 2700 Odpowiedź: Koza ma w zasięgu 92,6% łąki. Punktacja: Poprawny rysunek (długość łańcucha dłuższa od boku i krótsza od przekątnej) - 1 punkt Wyznaczenie kątów w trójkątach i wycinku koła - 1 punkt Obliczenie pól figur i wyznaczenie ich stosunku procentowego - 1 punkt

6 Zadanie 13.(3 punkty) Wierzchołki trójkąta o bokach 4, 5 i 6 są środkami okręgów z których każdy jest zewnętrznie styczny do dwóch pozostałych. Oblicz długość promieni tych okręgów. Rozwiązanie: Zgodnie z oznaczeniami na rysunku promienie okręgów spełniają następujący układ równań: r 1 + r 2 = 6 r 1 + r 3 = 4 r 2 + r 3 = 5 Rozwiązując ten układ otrzymujemy r 1 = 2, 5 r 2 = 3, 5 r 3 = 1, 5 Odpowiedź: Promienie okręgów wynoszą r 1 = 2, 5 r 2 = 3, 5 r 3 = 1, 5 Punktacja: Poprawny rysunek poglądowy (okręgi są styczne w punktach leżących na bokach trójkąta) - 1 punkt Napisanie układu równań - 1 punkt Obliczenie długości promieni - 1 punkt

7 Zadanie 14.(3 punkty) Pole prostokątnej łąki o powierzchni 693 m 2 należy ogrodzić siatką rozciągniętą na słupkach. Odległość między dwoma kolejnymi słupkami wyrażona w metrach jest stała i jest liczbą całkowitą. Jaka jest długość siatki, jeżeli do ogrodzenia łąki nie trzeba więcej niż 50 słupków? (w każdym rogu łąki znajduje się jeden słupek). Rozwiązanie: Oznaczamy boki łąki przez x i y. Wtedy x y = 693m 2 Liczby x i y są liczbami całkowitymi gdyż są wielokrotnościami odległości między słupkami. Liczbę 393 można rozłożyć na iloczyn Łąka może mieć następujące wymiary: lp x y = W przypadkach 1), 3), 4), 5) jedynym wspólnym podzielnikiem długości boków jest liczba 1. Odległość między dwoma kolejnymi słupkami wynosi więc 1. Ilość słupków potrzebna do ogrodzenia byłaby równa obwodowi łąki, a więc przekraczałyby 50. W przypadkach 2) i 6) oprócz jedynki wspólnym podzielnikiem jest liczba 3. W tych przypadkach odległość między słupkami może wynosić 3. W przypadku 2) do ogrodzenia łąki potrzeba: 2 ( ) = słupków, a więc też powyżej 50. W przypadku 6) do ogrodzenia łąki potrzeba: słupków, a więc mniej niż 50. Obwód łąki jest więc równy 2 ( ) = 36 3 O = = 108 m. Odpowiedź: Długość siatki potrzebna do ogrodzenia łąki wynosi 108 m. Rozłożenie liczby 693 na czynniki i przedstawienie wszystkich możliuwości długości boków prostokąta - 1 punkt Zauważenie że odległość między słupkami powinna wynosić 3 m - 1 punkt Wyznaczenie właściwego rozwiązania i obliczenie długości siatki - 1 punkt

8 Zadanie 15.(3 punkty) Zwiększenie prędkości pociągu na drodze z miasta A do miasta B o 10 km/h skraca czas podróży o 1 godzinę, natomiast zmniejszenie prędkości o 10 km/h wydłuża czas podróży o 4 godziny. Oblicz odległość między miastami A i B. Rozwiązanie: Oznaczamy odległość między miastami przez S, prędkość pociągu przez V, czas przejazdu przez t. Z warunków zadania otrzymujemy następujący układ równań: S = V t S = (V + 10) (t 1) S = (V 10) (t + 4) Po wymnożeniu prawych stron równań otrzymujemy: S = V t S = V t V + 10 t 10 S = V t + 4 V 10 t 40 Odejmując pierwsze równanie od dwóch pozostałych otrzymujemy: Dodając stronami równanie drugie i trzecie: Ostatecznie obliczamy S = V t 0 = V + 10 t 10 0 = 4 V 10 t 40 S = V t 0 = V + 10 t 10 0 = 3 V 50 V = 50 3 t = V = 8 3 S = V t = = Prędkość V wyrażona jest w jest w km. km godz Odpowiedź: Odległość między miastami wynosi km. Wyznaczenie układu równań - 1 punkt Eliminacja z układu równań iloczynu V t - 1 punkt Wyznaczenie odległości między miastami - 1 punkt, czas t wyrażony jest w godzinach, odległość S wyrażona W przypadku innego sposobu rozwiązywania zadania ilość punktów została przyznana w stosunku do zaawansowania obliczeń umożliwiających otrzymanie poprawnego wyniku.