WIELOKRYTERIALNA METODA WEKTORA PREFERENCJI JAKO NARZ DZIE WSPOMAGAJ CE PROCES DECYZYJNY

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXII ZESZYT KESRA NERMEND WIELOKRYTERIALNA METODA WEKTORA PREFERENCJI JAKO NARZDZIE WSPOMAGAJCE PROCES DECYZYJNY 1. WPROWADZENIE W literaturze przedmiotu proponowane s róne metody suce wspomaganiu podemowania decyzi. Wybierac, np. rónego rodzau dobra i usugi zwizane z codziennym funkconowaniem (przykadowo kupuc samochód czy wycieczk, wybierac rm ubezpieczeniow), konsument potrzebue odpowiednie metody umoliwiace dokonanie waciwego wyboru na podstawie wielu kryteriów. W wikszoci przypadków konsumenci s manipulowani przez producentów i sprzedawców, co utrudnia im wybór zgodny z ich preferencami. Wykorzystanie metod wspomagacych podemowanie decyzi moe pomoc konsumentowi dokona wyboru w sposób bardzie raconalny. Istnie róne szkoy zamuce si metodami wspomagacymi proces podemowania decyzi: szkoa francuska, belgiska, polska, amerykaska. W ramach szkoy francuskie opracowano grup metod ELECTRE (szerze s one opisane w pracach Duckstein, Gershon, 1983; Grolleau, Tergny, 1971; Karagiannidis, Moussiopoulos, 1997; Mousseau i inni, 2001; Roy, 1968; Vallée, Zielniewicz, 1994). Metoda PROMETHEE (Scharlig, 1996) est rozwiana przez szko francusk i belgisk, natomiast metody AHP (Saaty, 1980), ANP (Saaty, 2005) s tworzone przez szko ameryka sk. Na wiecie szeroko stosue si równie metod TOPSIS do rangowania i wyboru obiektów (Jahanshahloo i inni, 2006; Hwang, Yoon, 1981). Ninieszy artyku opierac si gównie na szkole polskie koncentrue si na metodach rangowania wywodzcych si od metody Hellwiga (1968), rozwianych nastpnie przez rónych naukowców. Metoda Hellwiga znalaza wiele zastosowa, do których mona zaliczy midzy innymi: konstrukc zmiennych syntetycznych w procesie modelowania ekonometrycznego (Bartosiewicz, 1984), okrelanie akoci wyrobów (Borys, 1984), badanie rozwou regionów (Modak, 2006; Nermend, 2006; Nermend, 2008a; Strahl, 2006), badanie poziomu rozwou spoeczno-gospodarczego (Kompa, Witkowska, 2010), ocena efektywnoci nansowe gied (Kompa, 2014), badanie atrakcynoci inwestyci giedowych (Tarczyski, uniewska, 2006), badanie efektywnoci chiskich banków (Witkowska, 2010), badanie popytu na elektroniczne dobra trwaego uytku w Polsce (Dittman, Pisz, 1975), badanie zapotrzebowania na kadry kwalikowane (Cielak,

2 94 Kesra Nermend 1974; Cielak, 1976), syntetyczna ocena dziaalnoci przedsibiorstw (Pluta, 1977), badanie rozwou spoeczno-gospodarczego kraów wiata (Grabiski i inni, 1989), badanie poziomu produkci rolne w wybranych kraach europeskich (Nowak, 1990) oraz atrakcynoci inwestyci na przykadzie spóek notowanych na GPW w Warszawie (Tarczyski, 2004). Do szkoy polskie mona równie zaliczy metody bezwzorcowe indukowane przez wykresy radarowe, zaproponowane w pracy Binderman i inni (2008). Metody te posuyy midzy innymi do opracowania mierników syntetycznych zrónicowania polskiego rolnictwa (Binderman, 2011). Stosowanie metody budowy miary syntetyczne Hellwiga ogranicza uycie wzorca, który musi by obiektem pod kadym wzgldem nalepszym. Wyklucza to stosowanie wzorców rzeczywistych i wykazue czuo budowanych miar syntetycznych na poawienie si (w zbiorze badanych obiektów) ednostek o nietypowo duych wartociach wspórzdnych, które mog zasadniczo wpyn na wyniki rangowania. Zastosowanie rzutowania ortogonalnego do budowy miary syntetyczne zaproponowaa w swoe pracy Kolenda (2006). Metoda ta posiada dwa warianty nazwane II i III ciek rozwou Hellwiga. Oba warianty, podobnie ak metoda Hellwiga, wymaga zdeniowania odlegoci midzy dwoma punktami. Metoda zaproponowana przez Kolend, usprawnia metod Hellwiga o moliwo wykorzystania wzorców rzeczywistych, które nie musz by nalepszymi obiektami w rozpatrywanym zbiorze obiektów. W pracach Nermend (2007, 2008d) zaproponowano wykorzystanie wasnoci rachunku wektorowego do budowy wektorowe miary syntetyczne (ang. Vector Measure Construction Method VMCM) w oparciu o denic iloczynu skalarnego bez odwoywania si do miary odlegoci. Upraszcza to procedur wyliczania miary, dac moliwo stosowania dowolnych przestrzeni wektorowych, w które zdeniowano iloczyn skalarny, bez dodatkowego warunku co do istnienia miary odlegoci. Dodatkow zalet te metody est prostsza forma, co ma due znaczenie tam, gdzie przy niewielkie mocy obliczeniowe komputera, konieczne est obliczenie miary syntetyczne dla due liczby obiektów. W publikaci Borawski (2012) zdeniowano, w ramach arytmetyki przyrostów, iloczyn skalarny dla liczb dwuelementowych, w skad których wchodzi warto rednia i odchylenie standardowe. Taki iloczyn skalarny moe posuy do budowy miary syntetyczne, co zostao przedstawione w pracy Nermend (2012). Dziki takiemu podeciu mona uzyska dodatkow informac uyteczn przy interpretaci wyniku. W pracy Nermend, Tarczyska-uniewska (2013) wykorzystano zaproponowany przez Borawskiego iloczyn skalarny do budowy miary syntetyczne na potrzeby badania ednorodnoci przestrzenne i czasowe rozwou obiektów spoeczno-gospodarczych, a w publikaci atuszyska (2014) do oceny stopnia rozwou spoeczestwa informacynego. Proponowana metoda budowy miar wektorowych (Nermend, 2008c) moe by wykorzystywana nie tylko do rangowania obiektów spoeczno-gospodarczych, lecz moe by uyta wszdzie tam, gdzie zachodzi konieczno pomiaru dane wielkoci wzdu zadanego kierunku. Przykadem takiego zastosowania est pomiar okrelonego

3 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 95 koloru w pikselach obrazu. Pomiar ten ma znaczenie dla procedury usuwania dominucego zabarwienia obrazu, wynikace z rónego koloru wiata biaego. Miary syntetyczne opierace si na wyliczaniu odlegoci od wzorca ma pewne ograniczenia. Gówny problem stanowi poawianie si obiektów nietypowych (Nermend, 2008b), tzn. takich, których wartoci cech nie s porównywalne z analogicznymi cechami innych badanych obiektów. W takie sytuaci malee obiektywno tworzone miary syntetyczne ze wzgldu na silny wpyw mao reprezentatywnych obiektów na pooenie wzorca, co w konsekwenci decydue o wynikach rangowania. Problemem est równie dodanie nowego obiektu do zbioru badanych obiektów. Wymaga to ponownego wykonania procedury badawcze, gdy zbiór obiektów badanych est zamknity. Wzorcem nie moe by obiekt rzeczywisty, poniewa est takie niebezpieczestwo, e istniee lepszy obiekt sporód badanego zbioru. Nie est te moliwe odniesienie bada przeprowadzonych w ednym roku do bada w innych latach ze wzgldu na róne wzorce. W takie sytuaci konieczne est przeprowadzenie osobnych bada, w których wzorzec wyznacza si wspólnie. Metoda VMCM wykorzystuca rachunek wektorowy posiada nastpuce cechy uzupeniace ograniczenia akie s w metodzie Hellwiga: miara nie est ograniczona ani od dou ani od góry, przez co dopuszcza obiekty lepsze od wzorca, umoliwia doczanie obiektów spoza próby bez potrzeby budowy nowego wzorca, est bardzie wraliwa na dynamik zmian, umoliwia badanie dynamiki. Metoda VMCM po niewielkich zmianach moe by wykorzystywana ako narzdzie rozwizywania wielokryterialnych problemów decyzynych. Celem artykuu est przedstawienie podstaw teoretycznych i matematycznych metody wektora preferenci PVM (ang. Preference Vector Method), wywodzce si z metody VMCM i suce do wyboru wariantów decyzynych na podstawie kryteriów podanych przez decydenta. W artykule przeprowadzono równie porównanie metody PVM z innym metodami o podobnym charakterze oraz zaprezentowano przykad empiryczny pokazucy e dziaanie na tle metody ELECTRE II. 2. OPIS TEORETYCZNY I MATEMATYCZNY METODY PVM Podczas rozwizywania problemów decyzynych z wykorzystaniem metody wektora preferenci PVM decydent moe wyrazi swoe preference w rozmaitych postaciach. Na rysunku 1 przedstawione s przykadowe warianty rozwizywania problemów decyzynych: Wariant A. Decydent podae nazw i charakter kryteriów. Reszta procedury obliczeniowe odbywa si w sposób automatyczny bez udziau decydenta. Wariant B. Decydent podae nazw kryteriów decyzynych oraz ich wartoci dla obiektów speniacych ego oczekiwania oraz tych, które nie spenia.

4 96 Kesra Nermend PVM k 1 k Podanie A) Charakter kryteriów d nd m dm n ) B) Podanie k 1 k k n... k 1 k k n... k 1 k k n... k 1 k k n... Rysunek 1. Wybrane moliwe warianty PVM przeznaczone do rozwizywania problemów decyzynych (k i i-te kryterium, motywucy wektor preferenci, demotywucy wektor preferenci) ródo: opracowanie wasne. Dla wikszoci wariantów procedura badawcza przy obliczaniu PVM skada si z szeciu podstawowych etapów: wyboru kryteriów, okrelenia charakteru kryteriów, normowania wartoci kryteriów, wyznaczania wektora preferenci oraz budowy rankingu ETAP I. WYBÓR KRYTERIÓW Wybór kryteriów est zwizany z preferencami decydenta. Kryteria dobiera si w zalenoci od rodzau sytuaci decyzyne. Dla wielu sytuaci decyzynych est moliwe okrelenie staego zbioru kryteriów, które mog by wykorzystywane w podobnych przypadkach. Kryteria oznaczane dale bd za pomoc mae litery k i (indeks oznacza numer kryterium). Kryterium okrela cechy obiektów, które powinny da si wyrazi w sposób ilociowy. W pracy obiekty bd dale oznaczane, ako X, gdzie oznacza numer obiektu. Przykadowo, kryteriami opisucymi samochody

5 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 97 mog by dla decydenta: spalanie paliwa, moc silnika itp. Kryteria te wyraone s wartociami x (warto i-tego kryterium -tego obiektu). i Na podstawie okrelonych kryteriów tworzony est zbiór wartoci kryteriów dla obiektów. Na pocztku naley wyeliminowa wszystkie kryteria, których rozpito (lub odchylenie standardowe) est równe zeru. Kryteria takie nie ma wielkiego wpywu na wynik bada, lecz mog powodowa komplikace podczas oblicze, spowodowane dzieleniem przez zero. Moe ono poawi w przypadku normowania z uyciem odchylenia standardowego lub rozpitoci. Eliminace kryteriów realizue si z wykorzystaniem wspóczynnika zmiennoci V i. Kryteria mace V i mniesze od 0,1 s eliminowane. Szerze procedura eliminaci z wykorzystaniem tego wspóczynnika est omówiona w publikaci Nermend (2008c) ETAP II. OKRELENIE CHARAKTERU KRYTERIÓW Przewanie decydenci nie potra skwantykowa swoich preferenci, natomiast potra wyrazi akie obiekty s dla nich akceptowalne lub nieakceptowalne. Std propozyca charakteru kryteriów powinna by zgodna z ich intuic. Mona zaproponowa nastpuce grupy kryteriów: podane, niepodane, motywuce, demotywuce i neutralne, tworzce zbiory kryteriów (Nermend, Borawski, 2014): Podanych (k i d ), dla których podane s okrelone wartoci, nie za due i nie za mae. Przykadowo kupuc samochód decydent oczekue samochodu o pewne wielkoci, ani zbyt duego, ani zbyt maego (cecha nominanta). Niepodanych (k i nd ), dla których okrelona warto est niepodana. Motywucych (k i m ), dla których podane s wysokie wartoci, motywuce decydenta do podemowania decyzi. Przykadowo decydent, wybierac form lokaty bdzie oczekiwa maksymalnego oprocentowania (cecha stymulanta). Demotywucych (k i dm ), dla których podane s niskie wartoci, ich dua wysoko demotywue decydenta do podcia decyzi. Przykadem takiego kryterium est cena, która w przypadku zakupu powinna mie warto ak nanisz (cecha destymulanta). Neutralnych (k i n ), które w danym problemie decyzynym nie s istotne, ich wartoci nie powinny mie wpywu na podt decyz. Na tym etapie kademu kryterium naley przypisa okrelony charakter. Kad cech mona okreli ako edn z wye wymienionych, mona e równie zastpi nazwami stymulanta, destymulanta itp. uywanymi w wielowymiarowe analizie porównawcze. Zdaniem autora nazwy te nie s tak zrozumiae dla decydenta ak te zaproponowane w ninieszym artykule.

6 98 Kesra Nermend 2.3. ETAP II. NADANIE WAG KRYTERIOM Na ogó mona przy, e wszystkie kryteria ma ednakowe znaczenie, ednak s sytuace, w których edno kryterium moe by duo waniesze od pozostaych. Przykadem moe by cena, która czsto est gównym kryterium wyboru. Mona wówczas nada takie zmienne wiksz warto wagi. Domylnie mona na przykad przy, e wagi kryteriów w i s równe 1. W sytuaci, gdy konieczne est zwikszenie wanoci kryteriów mona te wagi zwikszy lub zmnieszy. Przykadowo nadanie kryterium wagi 2 bdzie powodowao, e dane kryterium bdzie dwa razy waniesze od pozostaych, wagi 0,5 e bdzie dwa razy mnie wane. Wagi mona te podawa w zakresie od 0 do 100 przy zaoeniu, e ich suma wynosi 100. Sta si wówczas procentowym wskanikiem wanoci kryterium. Po okreleniu wag powinny one zosta unormowane w celu eliminaci skali wartoci w akich s one podawane: w M w i1 w i (1) gdzie w to warto wagi dla -tego kryterium, w' i warto unormowane wagi dla i-tego kryterium, a M ilo kryteriów ETAP III. NORMOWANIE WARTOCI KRYTERIÓW Kryteria opisuce obiekty s z reguy nieednorodne, opisu bowiem róne parametry obiektów, które s wyraone w rónych ednostkach miary i ma róne skale wartoci. Powodue to, e dane zapisane w ten sposób s nieporównywalne. Konieczne est zatem sprowadzenie ich do postaci, w które byyby porównywalne. Std kolenym etapem metody PVM est normowanie kryteriów. W wyniku normowania usunite zosta ednostki miary, a skala wartoci kryteriów zostae sprowadzona do mnie wice ednakowego poziomu. Przewanie stosowan metod normowania est standaryzaca (Nermend, 2008c): xi xi x i (2) S gdzie x i to warto i-tego kryterium -tego obiektu, x i warto i-tego kryterium -tego obiektu po standaryzaci, x i warto rednia wartoci i-tego kryterium, a S i odchylenie standardowe wartoci dla i-tego kryterium. i

7 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 99 Przez ' (prim) dale bd oznaczane wartoci po unormowaniu. Wice informaci na temat normowania mona znale w pracach: Kukua (2000), Paweek (2008), Nermend (2013) ETAP IV. WYZNACZANIE WEKTORA PREFERENCJI Wektor preferenci okrela preference decydenta w stosunku do analizowanych obiektów. Jest to wektor, którego wspórzdne stanowi wartoci kryteriów wyliczone na podstawie rónicy midzy motywucym, a demotywuacym wektorem preferenci. Wartoci kryteriów dla wektora s podane przez decydenta i przewanie spenia ego oczekiwania. Wektor wskazue na wartoci kryteriów przez decydenta niepodane. Interpretaca wektorów preferenci oraz sposób ich wyznaczania zaley od wybranego wariantu obliczania PVM. Szerze zostanie to omówione przy opisie wariantów metody PVM przedstawionych na rysunku 1. W procesie obliczeniowym wektor preferenci est traktowany (pod wzgldem charakteru kryteriów oraz sposobu ich normowania) tak samo, ak kady inny wektor reprezentucy obiekt. Naley dokona normowania motywucego oraz demotywucego wektora preferenci wykorzystuc te same parametry normowania, które byy wykorzystywane przy normowaniu wartoci kryteriów. Przykadowo wektor mona unormowa wykorzystuc standaryzac w nastpucy sposób (Nermend, Borawski, 2014): x i i i (3) Si gdzie i to warto i-te wspórzdne wektora a i warto i-te wspórzdne wektora po normowaniu ETAP IV. RANGOWANIE OBIEKTÓW WEDUG PREFERENCJI DECYDENTA Ranking obiektów wedug preferenci decydenta est budowany na podstawie poczenia dwóch metod budowy miar agregatowych: metody Hellwiga, w które est uywana odlego euklidesowa oraz metody VMCM wykorzystucych rzut wektora. Sposób liczenia miary zaley od charakteru kryteriów. Dla kryteriów o charakterze motywucym i demotywucym est ona liczona ako wspórzdna wektorów-obiektów w ednowymiarowym ukadzie wspórzdnych. W przypadku kryteriów podanych i niepodanych podstaw wyliczenia wartoci miary est miara odlegoci. Kryteria neutralne nie ma znaczenia dla wartoci miary. Budow rankingu zaczyna si od rozdzielenia kryteriów. Kryteria neutralne s odrzucane. Pozostae kryteria s dzielone na trzy grupy: kryteria motywuce i demotywuce,

8 100 Kesra Nermend kryteria podane, kryteria niepodane. Dla kryteriów motywucych i demotywucych miara liczona est poprzez wyznaczenie dugoci rzutu wektora reprezentucego -ty obiekt na wektor preferenci T który est wyznaczany ako rónica wektorów i : T. (4) Wektory i stanowi wektory, których wspórzdnymi s kryteria motywuce i demotywuce wektorów i. Rysunek 2a przedstawia sposób wyznaczania wektora preferenci T. Punkt zaczepienia wektora T wyznacza wektor. Rysunek 2. We ktor preferenci T : a) umiescowienie w ukadzie wspórzdnych kryteriów (k 1 kryterium 1, k 2 kryterium 2); b) okrelanie pooenia obiektu wzgldem punktu zaczepienia T ródo: opracowanie wasne. Znak wspórzdnych wektora T est zwizany z charakterem kryteriów. Dodatni okrela kryterium motywuce, a uemny demotywuce. Nie zawsze musi by to zgodne z charakterem kryteriów okrelonym w etapie I, poniewa czasem moe si zdarza sytuaca, gdy decydent nie dba o przechodnio preferenci i podae wartoci kryteriów demotywuacych wysze od motywucych. Z tego wzgldu naley wykona korekt charakteru kryteriów poprzez dokonanie zmian znaku tego konkretnego kryterium we wspórzdnych wektora T. Wspórzdnym zwizanym z kryterium motywucym nadae si znak dodatni, a demotywucym uemny. Dla kadego

9 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 101 obiektu X naley okreli ego pooenie punktu zaczepienia wektora T. W tym celu liczona est rónica pomidzy nim a wektorem T (rysunek 2b). Na podstawie te rónicy wyznaczana est dugo rzutu obiektu X na wektor T (rysunek 3a). Dugo wektora T stanowi ednostk miary podczas rzutowania obiektów na wektor T. Dugo rzutu obiektu X zaley od ego pooenia wzgldem wektora T. Ilustrue to rysunek 3b. Rysunek 3. Dugo rzutu obiekt ów X na wektor T : a) wyznaczanie dugoci rzutu obiektu X ; b) pooenie obiektów a ich dugo rzutu ródo: opracowanie wasne. Fakt, e dugo rzutu na wektor T posiada inn ednostk miary ni ukad wspórzdnych kryteriów k 1, k 2 stanowi problem, eeli konieczne est zestawienie tych dugoci z wartociami miary odlegociowe liczone w k 1, k 2. W zwizku z tym wektor T sprowadzany est do postaci wektora ednostkowego: T (5) T przy czym w metodzie PVM przymuemy: T M i i1 (6) gdzie M to liczba kryteriów motywucych i demotywucych, a i i-ta wspórzdna wektora T.

10 102 Kesra Nermend Dugo rzutu -tego obiektu na wektor, bdca ednoczenie wartoci miary, moe by wyliczona z nastpucego wzoru: M xi i i w i (7) i1 gdzie i to i-ta wspórzdna wektora, i i-ta wspórzdna wektora, a w i waga i-tego kryterium. Im wysza est warto tym -ty obiekt ma wysz pozyc w rankingu. Dla kryteriów podanych w obliczeniach brany est pod uwag wektor, którego d wspórzdnymi s kryteria podane wektora. Warto miary est liczona ako odlego midzy punktami (rysunek 4) (Nermend, Borawski, 2014): M d wi xi i (8) d i1 d d gdzie M d to liczba kryteriów podanych, i i-ta wspórzdna wektora, a d d waga i-tego kryterium. w i d Rysunek 4. Wyznaczenie miary dla kryteriów podanych ródo : opracowanie wasne. Im mniesza est warto miary, tym wysza est pozyca obiektu w rankingu. d Nalepsze obiekty ma warto miary równ zero.

11 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 103 Dla kryteriów niepodanych brany est pod uwag w obliczeniach wektor, nd którego wspórzdnymi s kryteria niepodane wektora. Podobnie ak poprzednio warto miary est liczona ako odlego midzy punktami (Nermend, Borawski, 2014): M nd wi xi i (9) nd i1 nd i nd gdzie M nd to liczba kryteriów niepodanych, i i-ta wspórzdna wektora nd waga i-tego kryterium. Im wiksza est warto miary, tym wysza est pozyca obiektu w rankingu. nd Nagorsze obiekty ma warto miary równ zero. Ostateczn warto miary wyznacza si liczc redni waon wartoci miar i : d nd d nd M M d M nd d nd M M M. (10) nd, a w i nd Znak minus przy wartoci miary est zwizany z nieco odmiennym e charakterem. Dla i im wiksza warto miary tym lepszy obiekt, w przypadku nd d est odwrotnie im mniesza warto miary tym lepszy obiekt. 3. MATEMATYCZNY OPIS WARIANTÓW W METODZIE WEKTORA PREFERENCJI 3.1. WARIANT A Decydent podae kryteria oraz ich charakter. Wartoci wektorów i s wyliczane na podstawie danych. Procedura postpowania zaley od charakteru kryteriów. Wspórzdne tych wektorów s wyznaczane na podstawie I i III kwartyla do obliczania miary oraz maksimum i minimum do obliczania miar i. Do oblicze d nd brane s wartoci kryteriów dla wszystkich rozpatrywanych obiektów (tabela 1).

12 104 Kesra Nermend Obliczanie wektorów i w zalenoci od charakteru kryteriów Tabela 1. Wektor Kryterium motywuce demotywuce podane niepodane neutralne III kwartyl I kwartyl max - - I kwartyl III kwartyl - min - ródo: opracowanie wasne WARIANT B Decydent podae kryteria i charakter motywucego i demotywucego wektora preferenci w postaci danych dla dwóch obiektów rzeczywistych z próby lub spoza próby badawcze. Pierwszego, który mu si podoba i drugiego, który mu si nie podoba. 4. PORÓWNANIE METODY PVM Z WYBRANYMI METODAMI WIELOKRYTERIALNYMI Tabela 2 przedstawia charakterystyk wybranych metod wykorzystywanych w podemowaniu decyzi. W celach porównawczych doczono do nich metod PVM. Pod wzgldem charakterystyki est to metoda nabardzie podobna do metody TOPSIS. Od TOPSIS odrónia wykorzystanie w obliczeniach ednowymiarowego ukadu wspórzdnych. W odrónieniu od innych metod nie est konieczna ocena relatywne istotnoci kryteriów, gdy metoda sama potra e oceni na podstawie okrelenia pozytywnego i negatywnego wzorca. Tabela 3 przedstawia zestawienie porównawcze metod AHP, ELECTRE, PRO- METHEE, TOPSIS, PVM. Metod PVM wyrónia przede wszystkim prostota, co umoliwia atw interpretac wyniku i dziaania metody. Wykorzystue ona iloczyn skalarny zdeniowany dla przestrzeni Euklidesowe, ale nie ma przeciwskaza metodycznych do wykorzystania innych iloczynów skalarnych. Dae to moliwo atwe modykaci metody i dodania do nie nowych elementów, na przykad liczb wieloelementowych opisucych niedokadno danych, co czynioby równowan metodom wykorzystucym liczby rozmyte. W zalenoci od potrzeb decydenta metoda PVM moe pracowa w dwóch wariantach, albo wyszukiwa obiekty (warianty decyzyne) o cechach nabardzie podobnych do wskazanych przez niego, albo o cechach zblionych lub lepszych. Moliwa est równie kombinaca obu wariantów. adna inna z analizowanych metod nie pozwala na czenie obu wariantów. Proces obliczeniowy metody PVM est zbliony do metody TOPSIS i naley do naprostszych ze wszystkich porówny-

13 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 105 Charakterystyka metod AHP, TOPSIS, ELECTRE oraz PVM Tabela 2. Charakterystyka AHP TOPSIS ELECTRE I ELECTRE II ELECTRE III PVM Podstawowy proces Tworzenie hierarchiczne struktury i macierzy porówna parami Obliczanie odlegoci od pozytywnego i negatywnego wzorca Okrelanie indeksów zgodnoci i niezgodnoci Okrelanie indeksów zgodnoci i niezgodnoci Okrelanie indeksów zgodnoci i niezgodnoci z progami obotnoci i preferenci Wyznaczenie dugoci rzutu wektora reprezentucego obiekt X na wektor T oraz (lub) odlegoci od Konieczno oceny relatywne istotnoci kryteriów Tak Tak Tak Tak Tak Tak Okrelanie wag Macierze porówna parami, skala 1 9 Brak okrelone metody. Normalizaca liniowa lub wektorowa Brak okrelone metody. Zaley od osoby podemuce decyze Brak okrelone metody. Zaley od osoby podemuce decyze Brak okrelone metody. Zaley od osoby podemuce decyze Podwóny system wag. Podczas obliczania wektora T oraz na podstawie wzoru (1). Liczba i rodza relaci przewyszania N(N 1)/ Rozmyta 1 Kontrola spónoci Zapewniona Brak Brak Brak Zapewniona Brak Struktura problemu Maa liczba alternatyw i kryteriów, dane akociowe lub ilociowe Dua liczba alternatyw i kryteriów, dane obiektywne i ilociowe Dua liczba alternatyw i kryteriów, dane obiektywne i ilociowe Dua liczba alternatyw i kryteriów, dane obiektywne i ilociowe Obiektywne i ilociowe dane, wykorzystanie logiki rozmyte Dua liczba kryteriów, dane ilociowe Kocowe rezultaty Globalne uporzdkowanie Globalne uporzdkowanie Istotna tre Czciowe uporzdkowanie Czciowe uporzdkowanie Globalne uporzdkowanie ródo: opracowanie wasne na podstawie AHP, TOPSIS, ELECTRE I, ELECTRE II, ELECTRE III (Özcan i inni, 2011).

14 106 Kesra Nermend Porównanie metod AHP, Electre, Promethee, TOPSIS, PVM Tabela 3. Metoda Zalety Wady Obszary zastosowania Proces hierarchii analityczne (AHP) ELECTRE PROMETHEE TOPSIS PVM atwa w uyciu, skalowalna, struktura hierarchii moe by dostosowana, aby pasowaa do problemów rónych rozmiarów. Bierze pod uwag niepewno. atwa w uyciu, nie wymaga zaoenia, e kryteria s procentowe (proporconalne). Prosty proces, atwy do uycia i zaprogramowania, liczba kroków est zawsze taka sama, niezalenie od liczby atrybutów. Bardzo prosty proces, atwy do uycia i zaprogramowania, liczba kroków est zawsze taka sama, niezalenie od liczby kryteriów i obiektów, moliwo zastosowania dowolnego iloczynu skalarnego dae potencalnie due moliwoci dalszego rozbudowania metody, na przykad o niepewno. Problemy wynikace z wzaemnych zalenoci pomidzy alternatywami i kryteriami; moe prowadzi do niespónoci pomidzy decyz a kryteriami rankingu; odwrócenie rankingu. Proces oraz wyniki mog by trudne do wyanienia laikowi, relace przewyszania powodu, e siy i saboci poszczególnych rozwiza nie s atwe do bezporedniego zidentykowania. Nie zapewnia asne metody przypisywania wag. Uycie odlegoci Euklidesowe nie uwzgldnia korelaci midzy atrybutami; trudno okreli wagi i utrzyma spóno decyzi. Uycie odlegoci Euklidesowe dla kryteriów podanych i niepodanych nie uwzgldnia korelaci midzy kryteriami. Problemy dotyczce wydanoci, zarzdzanie zasobami, polityka i strategia korporacyna, polityka publiczna, polityczne strategie i planowanie. Energia, ekonomia, rodowisko, zarzdzanie wod, problemy transportowe. rodowisko, hydrologia, zarzdzanie wod, biznes i nanse, chemia, logistyka i transport, produkca i monta, energia, rolnictwo. Zarzdzanie acuchem dostaw, logistyka, inynieria, systemy produkcyne, biznes i marketing, rodowisko, zasoby ludzkie, zarzdzanie zasobami wody. Ochrona rodowiska, ekonomia, podemowanie decyzi konsumenckich. ródo: opracowanie wasne na podstawie AHP, TOPSIS, ELECTRE, Promethee (Velasquez, Hester, 2013).

15 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 107 wanych metod. Liczba kroków est zawsze staa i dla danego kryterium zaley tylko od ego charakteru. Obliczenia ma charakter umoliwiacy atwy zapis w postaci macierzowe, co upraszcza zrównoleglenie oblicze oraz implementac sprztow. Pozwala to na zastosowanie metody tam, gdzie zachodzi potrzeba szybkiego stworzenia rankingu dla due iloci danych (na przykad tworzenia rankingu wszystkich stron internetowych w danym zyku, wszystkich osób odwiedzacych dany portal internetowy). 5. PRZYKAD ZASTOSOWANIA METODY PVM DO WYBORU KOMPUTERA Zastosowanie metody PVM zostanie omówione na przykadzie wyboru komputera nabardzie odpowiadacego oczekiwaniom konsumenta. Przyto, e konsumenta nabardzie interesu nastpuce kryteria: k 1 pami RAM w GB; k 2 poemno dysku twardego HDD w GB; k 3 cena komputera w PLN; k 4 przektna matrycy ekranu w calach; k 5 liczba portów USB. Konsument okreli, e chciaby mie ak nawice pamici RAM, ak nawikszy dysk twardy HDD i ak nawiksz liczb portów USB przy ak nanisze cenie. Ponadto konsument chciaby mie matryc ak nabardzie zblion do rozmiaru 17 cali. Konsument ponadto okreli, e preferowane przez niego parametry komputera to 8 MB RAM-u, 1024 GB HDD, oraz 4 porty USB. Wiksze wartoci s dla niego dopuszczalne. Okreli take, e parametry 4 MB RAM-u, 500 GB HDD oraz 2 porty USB s za niskie, ak na ego potrzeby. Konsument nie poda preferowane ceny za ak chciaby kupi komputer, ale okreli, e to kryterium est dla niego wane. W zwizku z tym wartoci kryteriów RAM, HDD i USB dla wektora przyto na poziomie preferowanym przez konsumenta, czyli 8, 1024 i 4. Wartoci tych kryteriów dla wektora przyto na poziomie wartoci niepreferowanych przez konsumenta: 5, 500 i 2. Dla kryterium matryca, które est kryterium podanym, przyto warto 17 ako wspórzdn wektora. Wspórzdna wektora dla kryterium matryca nie zostaa okrelona, gdy nie est to wymagane (tabela 4). Ze wzgldu na to, e konsument nie wskaza ceny, wartoci tego kryterium okrelono na podstawie I i III kwartyla. Ze wzgldu na to, e konsument okreli, i cena est dla niego wana, przyto, e waga tego kryterium bdzie równa 4, a pozostaych kryteriów 1. Oznacza to, e wano tego kryterium est taka sama, ak wszystkich pozostaych razem wzitych (suma ich wag te est równa te 4). Na podstawie informaci podanych przez konsumenta wykonano ranking komputerów, co zostao przedstawione w tabeli 5.

16 108 Kesra Nermend Komputery wskazane przez konsumenta Tabela 4. RAM HDD Cena Matryca USB , komputer, który mu si podoba, komputer który mu si nie podoba. ródo: opracowanie wasne. Wartoci kryteriów dla komputerów w rónych wariantach decyzynych Ta bela 5. Wariant decyzyny RAM HDD Cena Matryca USB C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ródo: opracowanie wasne.

17 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 109 Wyniki otrzymanego rankingu zostay zaprezentowane w tabeli 6. Nalepszy wynik uzyska komputer C 5. Jego parametry w wikszoci ma wartoci pomidzy wielkociami preferowanymi a niepreferowanymi przez konsumenta. Wynika to z tego, e konsument okreli kryterium ceny ako bardzo wane, w zwizku z tym cena nalepszego wedug rankingu komputera est stosunkowo wysoka. Analizuc komputery nalece do klasy pierwsze mona zauway, e ich ceny s stosunkowo Wartoci miary PVM przy nadaniu kryterium ceny wagi równe 4 Tabela 6. Obiekt Miara wektorowa Miara odlegociowa Miara Klasa C 5 0,44 0,00 0,36 1 C 17 0,43 0,00 0,34 1 C 4 0,40 0,00 0,32 1 C 3 0,53 0,55 0,31 1 C 9 0,52 0,55 0,31 1 C 13 0,47 0,55 0,27 2 C 7 0,60 1,10 0,26 2 C 18 0,32 0,00 0,25 2 C 11 0,45 0,55 0,25 2 C 1 0,30 0,00 0,24 2 C 2 0,28 0,00 0,23 2 C 12 0,38 0,55 0,19 2 C 10 0,37 0,55 0,18 2 C 21 0,31 0,55 0,14 3 C 6 0,31 0,55 0,14 3 C 19 0,14 0,00 0,11 3 C 8 0,41 1,10 0,11 3 C 15 0,31 1,10 0,03 3 C 20-0,01 0,00-0,01 3 C 16 0,25 1,10-0,02 4 C 14 0,24 1,10-0,03 4 C 23 0,34 1,66-0,06 4 C 24 0,21 1,66-0,16 4 C 22 0,19 1,66-0,18 4 ródo: opracowanie wasne.

18 110 Kesra Nermend niskie (nie przekracza 4000 PLN). Jeeli konsumentowi nie odpowiada komputer C 5, moe poszuka bardzie odpowiadacego mu komputera z nalecych do klasy 1. Komputery te ma bardzo zblione wartoci miary, a róni si wyposaeniem i cen. Dla tych komputerów zwikszenie wartoci ednego kryterium powodue obnienie wartoci innych kryteriów. Badania powtórzono z wykorzystaniem metody ELECTRE II. Konsument wyrazi swoe preference poprzez okrelenie, które kryteria s dla niego motywuce, a które demotywuce. Wagi kryteriów okrelono identyczne ak dla metody PVM. Progi dominaci i eta przyto zgodne z podanymi w pracy (Wang, Triantaphyllou, 2008): progi dominaci silny i saby 0,85 i 0,65, a progi eta silny i saby 0,5 i 0,25. Na te podstawie zbudowano grafy silnych i sabych przewysze. Grafy posuyy do skonstruowania rankingu. W metodzie ELECTRE II obiekty s rangowane na dwa sposoby: od nalepszego do nagorszego oraz od nagorszego do nalepszego. Ten drugi ranking nazywany est czasami rankingiem odwróconym. Wariant decyzyny decydent wybiera zestawiac wyniki obu rankingów i posikuc si ewentualnie grafami przewysze. Dla uatwienia porównania z metod PVM dokonano oceny punktowe za pozyc obiektu w rankingu. Kademu wariantowi decyzynemu znaducemu si w rankingu o edn pozyc nie od wariantu analizowanego przyznawano 1 punkt, wariantowi znaducemu si w rankingu o dwie pozyce nie przyznawano dwa punkty, itd. Punktac tak przeprowadzono dla obu rankingów, przy czym dla rankingu odwróconego przyznawano punkty za poonie nisze w rankingu. Uzyskany wynik przedstawiono w tabeli 7. Ranking stworzony za pomoc metody Electre II Tabela 7. Pozyca Ranking Wariant decyzyny Ranking odwrócony Wariant decyzyny Ranking ostateczny Wariant decyzyny Punktaca Ranking metod PVM Wariant decyzyny 1 C 4, C 10 C 20 C 4 45 C 5 2 C 17 C 21, C 24 C C 17 3 C 3 C 19 C C 4 9 C 15 C 23 C 9, C C C 11 C 9, C 22 C C C 22 ródo: opracowanie wasne.

19 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 111 Podanie dwóch wektorów w metodzie PVM pozwala na bardzie precyzyne okre- lenie preferenci decydenta. W ELECTRE mona poda albo mao precyzynie preference decydenta, tak ak w przedstawionym przykadzie, albo bardzo precyzynie, poprzez porównanie wszystkich wartoci kryteriów parami, co w tym przypadku dae 280 porówna. Im wiksza est liczba obiektów, tym wiksza est liczba porówna. Przy due liczbie wariantów decyzynych liczba porówna stae si nie do przycia dla decydenta i konieczne est zastosowanie specalnych procedur zmnieszacych t liczb. Metoda PVM wskazaa ako nalepszy wariant C 4, a ELECTRE C 5. Ta rónica wynika z faktu, e konsument ako preferowan liczb portów USB poda 4, a niepreferowan 2. Jest to rónica równa rozpitoci liczby moliwych portów dla rozpatrywanych komputerów. Metoda PVM przya zatem, e est to istotny parametr dla decydenta. Porównuc obie metody mona zauway take, e kryterium ceny est w metodzie ELECTRE znacznie bardzie wane ni w metodzie PVM. Wpyw wagi równe 4 est zatem silnieszy w metodzie ELECTRE ni w metodzie PVM. Szczególnie wida to w przypadku wariantu C 22, gdzie wszystkie parametry s bardzo sabe oprócz ceny, któr mona okreli ako nieco mniesz od przecitne. Metoda PVM umiecia ten wariant na samym kocu rankingu, a metoda ELECTRE w ego poowie. W metodzie ELECTRE dobór parametrów takich ak wagi, progi dominaci i eta, moe by trudny dla decydenta ze wzgldu na trudno z przeoeniem ich poziomu na wynik. W metodzie PVM wspórzdne wektora i podae si w ednostkach miary kryteriów, co uatwia ich okrelenie przez decydenta. Wagi ma równie bardzo asn interpretac, mona e na przykad podawa ako procentowe wskaniki wanoci kryterium. Powanym problemem metody ELECTRE est e do zoona procedura. Dla rozpatrywanego przykadu czas oblicze w programie Matlab waha si od ok. 1 s do ok. 2 godzin. Czas oblicze bardzo silnie zalea od okrelenia preferenci konsumenta, co miao zwizek z ukadem pocze w grafach. Dla porównania czas oblicze dla metody PVM wynosi zawsze okoo 1 s, niezalenie od tego, ak konsument okreli swoe preference. 6. PODSUMOWANIE Przedstawiona w artykule metoda PVM wykorzystue wektor preferenci do stworzenia rankingu obiektów. Uatwia to decydentowi podcie waciwe decyzi. Decydent moe wyrazi swoe preference poprzez wskazanie ak wane s dla niego poszczególne kryteria, deniuc obiekt preferowany i ewentualnie obiekt niepodany. Moliwe est take okrelenie preferenci tylko na podstawie charakteru kryteriów. W artykule przedstawiono równie przykadowe zastosowanie metody PVM w wyborze komputera przez konsumenta. Dane zaczerpnito z internetowych skle-

20 112 Kesra Nermend pów komputerowych. Dla porównania podobne badania przeprowadzono dla metody Electre II. Na te podstawie okrelono, e metoda wektora preferenci est prostsza w uyciu przez decydenta ze wzgldu na bardzie oczywisty zwizek parametrów niezbdnych do dziaania metody z uzyskanym wynikiem. Ponadto ze wzgldu na wykorzystanie grafu metoda Electre II est duo bardzie zoona algorytmicznie co utrudnia e implementac oraz sprawia, e czas oblicze est zaleny od charakteru danych i moe by bardzo dugi. Metoda wektora preferenci est duo prostsza do przeoenia na zyk programowania szczególnie takich które wspiera operace macierzowe. Czas oblicze zaley tylko od iloci danych, nie za od ich charakteru. Czas ten nie powinien by znaczcy nawet przy okreleniu tysica kryteriów i tysica wariantów decyzynych. Jak wykazay badania dla metody Electre ze wzgldu na wykorzystanie grafu problematyczne moe by nawet okrelenie 5 kryteriów i 24 wariantów decyzynych. Ze wzgldu na podobiestwo metod Electre wnioski te mona uogólni na wszystkie metody grupy Electre, a uwagi dotyczce wykorzystania grafu na wszystkie metody wykorzystuce grafy (np. Promethee). Zaproponowana metoda moe mie szerokie zastosowanie w obszarze wspomagania podemowania decyzi. Przykadowo, mona zastosowa do wspomagania wyborów konsumentów. Metod mona zaimplementowa w oprogramowaniu uruchamianym na smartfonie, rozpoznacym produkty na podstawie kodu kreskowego. Metoda est wtedy w stanie szeregowa wybrane produkty wzgldem innych. Innym przykadem e zastosowania est szeregowanie obiektów spoeczno-gospodarczych, dziki czemu mona okreli ak dany powiat, woewództwo, czy te pastwo plasue si na tle innych podobnych ednostek administracynych. Moe to by podstaw do wyboru np. miesca inwestowania. Metod PVM mona zastosowa wszdzie, gdzie mamy do czynienia z wyborem ednego wariantu decyzynego sporód wielu innych. Kesra Nermend Uniwersytet Szczeciski LITERATURA Ba rtosiewicz S., (1984), Zmienne syntetyczne w modelowaniu ekonometrycznym, W Prace naukowe Akademii Ekonomiczne we Wrocawiu, Monograe i Opracowania, Wydawnictwo Uczelniane Akademii Ekonomiczne we Wrocawiu, Wrocaw, 5 8. Binderman A., (2011), Wielokryterialne metody analizy zrónicowania polskiego rolnictwa w 2009 roku, Metody ilociowe w badaniach ekonomicznych, 2 (12), Binderman Z., Borkowski B., Szczsny W., (2008), O pewne metodzie porzdkowania obiektów na przykadzie regionalnego zrónicowania rolnictwa, w: Binderman Z., (red.), Metody ilociowe w badaniach ekonomicznych: Wielowymiarowa analiza danych, Wydawnictwo Szkoy Gówne Gospodarstwa Wieskiego, Warszawa. Borawski M., (2012), Rachunek wektorowy z arytmetyk przyrostów w przetwarzaniu obrazów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

21 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 113 Borys T., (1984), Kategoria akoci w statystyczne analizie porównawcze, Wydawnictwo Uczelniane Akademii Ekonomiczne we Wrocawiu, Wrocaw. Cielak M., (1974), Taksonomiczna procedura programowania rozwou i okrelania zapotrzebowania na kadry kwalikowane, Przegld Statystyczny, 1 (21), Cielak M., (1976), Modele zapotrzebowania na kadry kwali kowane, Pastwowe Wydawnictwo Naukowe. Dittman P., Pisz Z., (1975), Metoda dynamicznego badania zrónicowania przestrzennego zawisk spo- eczno-ekonomicznych, Wiadomoci Statystyczne, 11 (20), Duckstein L., Gershon M., (1983), Multicriterion Analysis of a Vegetation Management Problem using ELECTRE II, Applied Mathematical Modelling, 6 (4), Grabiski T., Wydymus S., Zelia A., (1989), Metody taksonomii numeryczne w modelowaniu zawisk spoeczno-gospodarczych, Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. Grolleau J., Tergny J., (1971), Manuel de Reference du Programme ELECTRE II, Document de Traail 24, SEMA-METRA International. Hellwig Z., (1968), Zastosowanie metody taksonomiczne do typologicznego podziau kraów ze wzgldu na poziom ich rozwou oraz zasoby i struktur wykwalikowanych kadr, Przegld Statystyczny, 4 (15). Hwang C. L., Yoon K., (1981), Multiple Attribut Decision Making: Methods and Applications, Springer-Verlag. Jahanshahloo G. R., Lot F. H., Izadikhah M., (2006), An Algorithmic Method to Extend {TOPSIS} for Decision-Making Problems with Interal Data, Applied Mathematics and Computation, 2 (175), Karagiannidis A., Moussiopoulos N., (1997), Application of ELECTRE III for the Integrated Management of Municipal Solid Wastes in the Greater Athens Area, European Journal of Operational Research, 97, Kolenda M., (2006), Taksonomia numeryczna. Klasy kaca, porzdkowanie i analiza obiektów wielocechowych, Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne im. Oskara Langego we Wrocawiu, Wrocaw. Kompa K., (2014), Zastosowanie mierników taksonomicznych do oceny efektywnoci nansowe gied europeskich w latach , Metody Ilociowe w Badaniach Ekonomicznych, 4 (15) Kompa K., Witkowska D., (2010), Zastosowanie wybranych mierników syntetycznych do porówna poziomu rozwou spoeczno-gospodarczego w kraach Unii Europeskie, w: Jauga K., Walesiak M., (red.) Klasykaca i analiza danych teoria i zastosowania. Taksonomia, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocawiu, Wrocaw, Kukua K., (2000), Metoda unitaryzaci zerowane, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. atuszyska A., (2014), Miary agregatowe w ocenie stopnia rozwou spoeczestwa informacynego, PPH Zapol, Szczecin. Modak A., (2006), Analiza taksonomiczna w statystyce regionalne, Din, Warszawa. Mousseau V., Figueira J., Naux J.-P., (2001), Using Assignment Examples to Infer Weights for ELEC- TRE TRI Method: Some Experimental Results, European Journal of Operational Research, 2 (130), Nermend K., (2006), A Synthetic Measure of Sea Enironment Pollution, Polish Journal of Enironmental Studies, 4b (15), Nermend K., (2008a), Employing Similarity Measures to Examine the Deelopment of Technical Infrastructure in Polish Counties, Folia Oeconomica Stetinensia, 7 (15), Nermend K., (2012), Method for Examining the Variability of Socio-Economic Obects Quoting the Example of Baltic Sea Countries, Actual Problems of Economics Scienti c Economics Journal, 5 (2), Nermend K., (2008b), Problem obiektów nietypowych w badaniach taksonomicznych, Metody Informatyki Stosowane, 1 (13),

22 114 Kesra Nermend Nermend K., (2013), Properties of Normalization Methods used in the Construction of Aggregate Measures, Folia Oeconomica Stetinensia, 2 (12), Nermend K., (2008c), Rachunek wektorowy w analizie rozwou regionalnego, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczeciskiego, Szczecin. Nermend K., (2007), Taxonomic Vector Measure of Region Deelopment (TWMRR), Polish Journal of Enironmental Studies, 4A (16), Nermend K., (2008d), Zastosowanie rzutu wektora do budowy miernika syntetycznego, Przegld Statystyczny, 3 (55), Nermend K., Borawski M., (2014), Modeling Users Preferences in the Decision Support System, Indian Journal of Fundamental and Applied Life Sciences, S1 (4), Nermend K., Tarczyska-uniewska M., (2013), Badanie ednorodnoci przestrzenne i czasowe rozwou obiektów spoeczno-gospodarczych, Przegld Statystyczny,1, Nowak E., (1990), Metody taksonomiczne w klasy kaci obiektów spoeczno-gospodarczych, Pastwowe Wydawnictwo Ekonomiczne. Özcan T., Çelebi N., Esnaf., (2011), Comparatie Analysis of Multi-Criteria Decision Making Methodologies and Implementation of a Warehouse Location Selection Problem, Expert Systems with Applications, 8 (38), Paweek B., (2008), Metody normalizaci zmiennych w badaniach porównawczych zoonych zawisk ekonomicznych, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, Kraków. Pluta W., (1977), Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach ekonomicznych: metody taksonomiczne i analizy czynnikowe, Pastwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. Roy B., (1968), Classement et Choix en Pr esence de Points de ue Multiples (la Methode ELECTRE), W La Reue d Informatique et de Recherche Opérationelle, Saaty T., (1980), The Analytical Hierarchy Process, McGraw-Hill, New York. Saaty T., (2005), Theory and Applications of the Analytic Network Process: Decision Making with Bene ts, Opportunities, Costs and Risks, RWS Publications, Pittsburgh, Pennsylania. Scharlig A., (1996), Pratiquer ELECTRE et PROMETHEE : Un Complement`a Decider sur Plusieurs Crit`eres, Polytechniques et Uniersitaires Romandes, Lausanne. Strahl D. red., (2006), Metody oceny rozwou regionalnego, Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne im. Oskara Langego we Wrocawiu, Wrocaw. Tarczyski W., (2004), Dynamiczne ucie taksonomiczne miary atrakcynoci inwestyci na przykadzie wybranych spóek notowanych na giedzie papierów wartociowych w Warszawie. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczeciskiego, 15 (394), Tarczyski W., uniewska M., (2006), Metody wielowymiarowe analizy porównawcze, Wydawnictwo Naukowe PWN. Vallée D., Zielniewicz P., (1994), Electre III IV, ersion 3. x. Guide D utilisation (tome 2), Uniersité de Paris Dauphine, France. Velasquez M., Hester P. T., (2013), An Analysis of Multi-Criteria Decision Making Methods, International Journal of Operations Research, 2 (10), Wang X., Triantaphyllou E., (2008), Ranking Irregularities when Ealuating Alternaties by Using Some ELECTRE Methods. Omega, The International Journal of Management Science, 36, Witkowska D., (2010), Zastosowanie syntetycznych mierników taksonomicznych do pomiaru efektywno- ci Chiskich banków, Metody Ilociowe w Badaniach Ekonomicznych, 2 (11),

23 Wielokryterialna metoda wektora preferenci ako narzdzie wspomagace proces decyzyny 115 WIELOKRYTERIALNA METODA WEKTORA PREFERENCJI JAKO NARZDZIE WSPOMAGAJCE PROCES DECYZYJNY Streszczenie W artykule zaprezentowano podstawy teoretyczne metody wektora preferenci (PVM Preference Vector Method). Jest ona rozwiniciem metod wykorzystywanych przez szko polsk i moe by stosowana w procesie podemowania decyzi. Ranking obiektów wedug preferenci decydenta est budowany na podstawie poczenia dwóch metod budowy miar agregatowych: metody Hellwiga, w które est uywana odlego euklidesowa oraz metody budowy miar wektorowych (VMCM), wykorzystuce rzut wektora. Sowa kluczowe: mierniki syntetyczne, metody wielokryterialne, metoda wektora preferenci MULTI-CRITERIA PREFERENCE VECTOR METHOD (PVM) AS A TOOL SUPPORTING THE DECISION MAKING PROCESS Abstract The paper presents the theoretical foundations of Preference Vector Method (PVM). It is the deelopment of methods used by the Polish school and can be used in the decision making process. The ranking of obects according to a decision-maker preferences is performed on the basis of a combination of two methods for construction aggregate measures: Hellwig method, in which the Euclidean distance is used and the ector measures construction method (VMCM), which uses a ector proection. Keywords: synthetic measures, multicriteria method, PVM method, preference ector

24