WIZUALIZACJA WYNIKÓW PORZ DKOWANIA LINIOWEGO DLA DANYCH PORZ DKOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXIV ZESZYT MAREK WALESIAK 1 WIZUALIZACJA WYNIKÓW PORZDKOWANIA LINIOWEGO DLA DANYCH PORZDKOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO 1. WPROWADZENIE W artykule przedstawiono propozycj zastosowania skalowania wielowymiarowego (Borg, Groenen, 2005; Borg i inni, 2013) w porzdkowaniu liniowym zbioru obiektów, opisanych zmiennymi porzdkowymi, bazujcym na wzorcu rozwoju (Hellwig, 1968, 1972). Propozycj rozwizania dla danych metrycznych zaprezentowano w pracy (Walesiak, 2016b). Zaproponowano dwukrokow procedur badawcz pozwalajc na wizualizacj wyników porzdkowania liniowego. Najpierw w wyniku zastosowania skalowania wielowymiarowego otrzymuje si wizualizacj rozmieszczenia obiektów w przestrzeni dwuwymiarowej. Nastpnie przeprowadza si porzdkowanie liniowe obiektów na podstawie odlegoci Euklidesa od wzorca rozwoju. Zaproponowane podejcie zilustrowano przykadem empirycznym. W artykule wykorzystano koncepcj izokwant i cieki rozwoju (osi zbioru najkrótszej drogi czcej wzorzec i antywzorzec rozwoju 2 ) zaproponowan w pracy (Hellwig, 1981). Graficzna prezentacja wyników porzdkowania liniowego w tej koncepcji moliwa bya dla dwóch zmiennych. Zastosowanie skalowania wielowymiarowego rozszerzyo moliwoci zastosowania wizualizacji wyników porzdkowania liniowego dla m zmiennych. 2. DANE PORZDKOWE W teorii pomiaru rozrónia si cztery podstawowe skale pomiaru wprowadzone przez Stevensa (1946): nominaln, porzdkow, interwaow (przedziaow), ilorazow (stosunkow). Skale przedziaow i ilorazow zalicza si do skal metrycznych, natomiast nominaln i porzdkow do niemetrycznych. Skale pomiaru s uporzdko- 1 Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocawiu, Wydzia Ekonomii, Zarzdzania i Turystyki, Katedra Ekonometrii i Informatyki, ul. Nowowiejska 3, Jelenia Góra, Polska, marek.walesiak@ ue.wroc.pl. 2 Wzorzec (górny biegun) obejmuje najkorzystniejsze wartoci (kategorie) zmiennych, antywzorzec (dolny biegun) za najmniej korzystne wartoci (kategorie) zmiennych preferencyjnych.

2 6 Marek Walesiak wane od najsabszej (nominalna) do najmocniejszej (ilorazowa). Z typem skali wie si grupa przeksztace, ze wzgldu na które skala zachowuje swe wasnoci. Na skali porzdkowej dozwolonym przeksztaceniem matematycznym dla obserwacji jest dowolna cile monotonicznie rosnca funkcja, która nie zmienia dopuszczalnych relacji, tj. równoci, rónoci, wikszoci i mniejszoci. Zasób informacji skali porzdkowej jest nieporównanie mniejszy ni skal metrycznych. Jedyn dopuszczaln operacj empiryczn na skali porzdkowej jest zliczanie zdarze (tzn. wyznaczanie liczby relacji wikszoci, mniejszoci i równoci). Szczegóow charakterystyk skal pomiaru zawieraj m.in. prace (Walesiak 1996, s ; 2016a, s ). 3. GENEZA KONCEPCJI WZORCA ROZWOJU I MIARY ROZWOJU Pierwszy referat powicony koncepcji wzorca rozwoju i miary rozwoju w jzyku angielskim zosta zaprezentowany przez Profesora Zdzisawa Hellwiga na konferencji UNESCO w Warszawie w 1967 roku (Hellwig, 1967). Praca ukazaa si drukiem w jzyku angielskim w monografii pod redakcj Z. Gostkowskiego (Hellwig, 1972). Pierwszy artyku powicony koncepcji wzorca rozwoju i miary rozwoju w jzyku polskim ukaza si w czasopimie Przegld Statystyczny w 1968 roku (Hellwig, 1968). W pracach tych wprowadzono pojcia: stymulant i destymulant (ang. stimulants and dis-stimulants), wzorca rozwoju (ang. pattern of development), miary rozwoju (ang. measure of development) jako odlegoci od wzorca rozwoju (ang. distance from the pattern of development). Idea Hellwiga zapocztkowaa, mona bez przesady powiedzie, lawin propozycji tworzenia metod porzdkowania liniowego. Modyfikacje te zmierzay do (zob. Borys i inni, 1990; Pociecha, Zajc, 1990): a) rónicowania sposobu normalizacji wartoci zmiennych, b) wprowadzenia do zbioru zmiennych nominant, c) odmiennego ustalania wzorca rozwoju (bazy porównawczej), d) wykorzystania rónych konstrukcji miary agregatowej (tzw. miary rozwoju), e) wykorzystania zbiorów rozmytych w konstrukcji miary agregatowej. W ostatnim okresie w porzdkowaniu liniowym bazujcym na wzorcu rozwoju powstay koncepcje wykorzystujce liczby rozmyte (zob. np. Wysocki, 2010; Jefmaski, Dudek, 2016), dane symboliczne interwaowe (Modak, 2014) oraz uwzgldniajce zalenoci przestrzenne (Antczak, 2013; Pietrzak, 2014).

3 Wizualizacja wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych 7 4. TYPOWA PROCEDURA POSTPOWANIA W PORZDKOWANIU LINIOWYM BAZUJCYM NA WZORCU DLA DANYCH PORZDKOWYCH Typowa procedura postpowania w porzdkowaniu liniowym bazujcym na wzorcu (górny biegun) lub antywzorcu (dolny biegun) dla danych porzdkowych obejmuje nastpujce kroki:, (1) gdzie: P wybór zjawiska zoonego (nadrzdne kryterium porzdkowania elementów zbioru A, które nie podlega pomiarowi bezporedniemu), A wybór obiektów, X dobór zmiennych porzdkowych. Zgromadzenie danych i konstrukcja macierzy danych w przestrzeni m-wymiarowej [x ij ] nxm (x ij kategoria j-tej zmiennej porzdkowej dla i-tego obiektu, i = 1,,n numer obiektu, j = 1,,m numer zmiennej), SDN identyfikacja zmiennych preferencyjnych (stymulanty, destymulanty, nominanty). Zmienna M j jest stymulant (Hellwig, 1981, s. 48), gdy dla kadych dwóch jej obserwacji, odnoszcych si do obiektów A i, A k jest ( oznacza dominacj obiektu A i nad obiektem A k ). Zmienna M j jest destymulant (Hellwig, 1981, s. 48), gdy dla kadych dwóch jej obserwacji, odnoszcych si do obiektów A i, A k jest ( oznacza dominacj obiektu A k nad obiektem A i ). Zmienna M j jest nominant jednomodaln (Borys, 1984, s. 118), gdy dla kadych dwóch jej obserwacji, odnoszcych si do obiektów A i, A k (nom j oznacza nominalny poziom j-tej zmiennej): jeeli, nom j, to ; jeeli, > nom j, to. T w transformacja nominant w stymulanty lub destymulanty (w przypadku zastosowania miar odlegoci od antywzorca rozwoju). Metody transformacji nominant dla zmiennych mierzonych na skali porzdkowej w destymulanty przedstawiono w pracy Walesiak (2011), d i obliczenie dla i-tego obiektu wartoci miary agregatowej zastosowanie miar odlegoci od wzorca lub antywzorca z udziaem wag, R uporzdkowanie obiektów wedug wartoci d i. W tabeli 1 przedstawiono miary odlegoci od wzorca rozwoju dla danych porzdkowych.

4 8 Marek Walesiak Miary odlegoci od wzorca rozwoju dla danych porzdkowych Tabela 1. Nazwa Odlego d i Przedzia zmiennoci Odlego GDM2 (Walesiak, 1993, 1999) GDM2_TOPSIS (miara TOPSIS (Hwang, Yoon, 1981) z odlegoci GDM2) [0;1] [0;1] ( ) odlego GDM2 obiektu i-tego od wzorca (antywzorca), x wj = x +j (x wj = x j ) dla ( ); x +j (x j ) j-ta wspórzdna obiektu wzorca (antywzorca), i,l = 1,,n numer obiektu, j = 1,,m numer zmiennej, j waga j-tej zmiennej ( i lub i ). ródo: opracowanie wasne. 5. PROCEDURA BADAWCZA POZWALAJCA NA WIZUALIZACJ WYNIKÓW PORZDKOWANIA LINIOWEGO ZBIORU OBIEKTÓW Procedura badawcza pozwalajca na wizualizacj wyników porzdkowania liniowego zbioru obiektów opisanych zmiennymi porzdkowymi obejmuje nastpujce kroki: 1. Wybór zjawiska zoonego w porzdkowaniu liniowym, które nie podlega pomiarowi bezporedniemu (np. poziom atrakcyjnoci nieruchomoci lokalowych). 2. Ustalenie zbioru obiektów oraz zbioru zmiennych porzdkowych merytorycznie zwizanych z badanym zjawiskiem zoonym. Po zgromadzeniu danych konstruuje si macierz danych [x ij ] n'xm (x ij kategoria j-tej zmiennej dla i-tego obiektu; i = 1,,n' numer obiektu, j = 1,,m numer zmiennej). 3. Wród zmiennych wyrónia si zmienne preferencyjne (stymulanty, destymulanty, nominanty). 4. Do zbioru obiektów dodaje si wzorzec (górny biegun rozwoju) oraz antywzorzec (dolny biegun rozwoju) otrzymujc macierz danych [x ij ] nxm (n = n' + 2).

5 Wizualizacja wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych 9 5. Wzmacnia si skal pomiaru zmiennych wykorzystujc metodyk zaproponowan w pracy Walesiak (2014). Propozycja wzmacniania skali pomiaru zmiennych porzdkowych bazuje na odlegoci GDM2 waciwej do zastosowania dla danych porzdkowych. W wyniku przeksztacenia zmiennych porzdkowych na zmienne metryczne dla destymulant i nominant nastpi dodatkowo przeksztacenie w stymulanty. 6. Oblicza si odlegoci midzy obiektami i zestawia w macierz odlegoci [ ik ]. Zastosowano tutaj kwadrat odlegoci euklidesowej (uwzgldniajc wagi zmiennych):, (2) gdzie: i,k = 1,,n numery obiektów, j = 1,,m numer zmiennej, x ij (x kj ) warto j-tej zmiennej dla i-tego (k-tego) obiektu, j waga j-tej zmiennej ( i ). Mona wykorzysta inne miary odlegoci dla danych metrycznych (odlego miejska, odlego Euklidesa, odlego Czebyszewa, odlego GDM1). 7. Przeprowadza si skalowanie wielowymiarowe:. Skalowanie wielowymiarowe jest metod reprezentacji macierzy odlegoci midzy obiektami w przestrzeni m-wymiarowej [ ik ] w macierz odlegoci midzy obiektami w przestrzeni q-wymiarowej [ ik ] (q < m) w celu graficznej wizualizacji relacji zachodzcych midzy badanymi obiektami oraz interpretacji wyników. Wymiary q nie s bezpo- rednio obserwowalne. Maj one charakter zmiennych ukrytych, które pozwalaj na wyjanienie podobiestw i rónic midzy badanymi obiektami. Ze wzgldu na moliwo graficznej prezentacji wyników porzdkowania liniowego q wynosi 2. Iteracyjny schemat postpowania w algorytmie smacof przedstawiono w pracy (Borg, Groenen, 2005, s ). Ostatecznie otrzymuje si macierz danych w przestrzeni dwuwymiarowej [v ij ] nx2. 8. Prezentacja graficzna oraz interpretacja wyników w przestrzeni dwuwymiarowej (wyniki skalowania wielowymiarowego) oraz jednowymiarowej (rezultaty porzdkowania liniowego): na rysunku w przestrzeni dwuwymiarowej (wyniki skalowania wielowymiarowego) czy si lini prost punkty oznaczajce antywzorzec i wzorzec w tzw. o zbioru. Wyznacza si od punktu wzorca izokwanty rozwoju (krzywe jednakowego rozwoju) 3. Np. podzielenie osi zbioru na 4 czci pozwala wyznaczy 4 izokwanty. Podzia osi zbioru na 4 czci ma charakter umowny. Mona tutaj wykorzysta statystyczne kryteria podziau uwzgldniajce dwa kryteria: redni arytmetyczn i odchylenie standardowe lub median i medianowe odchylenie bezwzgldne (zob. np. Wysocki, 2010, s ). Obiekty znajdujce si pomidzy izokwantami prezentuj zbliony poziom rozwoju. Ten sam poziom rozwoju mog osign obiekty znajdujce si w rónych punktach na tej samej izokwancie 3 Przebieg izokwant rozwoju zobrazowano z wykorzystaniem funkcji draw.circle pakietu plotrix (Lemon i inni, 2016).

6 10 Marek Walesiak rozwoju (z uwagi na inn konfiguracj obserwacji na zmiennych). Dziki takiej prezentacji wyników wzbogaca si interpretacj wyników porzdkowania liniowego; oblicza si unormowane odlegoci obiektu i-tego od wzorca rozwoju zgodnie ze wzorem (Hellwig, 1981, s. 62): gdzie:,, (3) odlego Euklidesa obiektu i-tego od obiektu wzorca (górnego bieguna rozwoju), odlego Euklidesa obiektu wzorca (górnego bieguna rozwoju) od obiektu antywzorca (dolnego bieguna rozwoju). Porzdkuje si obiekty badania wedug rosncych wartoci miary odlegoci (3). Wyniki porzdkowania liniowego przedstawione zostaj graficznie na rysunku. 6. WYNIKI BADANIA EMPIRYCZNEGO W tabeli 2 zaprezentowano dane dotyczce 27 nieruchomoci lokalowych na jeleniogórskim rynku nieruchomoci opisanych 6 zmiennymi. Celem badania jest przeprowadzenie porzdkowania liniowego 27 nieruchomoci lokalowych na jeleniogórskim rynku nieruchomoci ze wzgldu na ich atrakcyjno. Mieszkalne nieruchomoci lokalowe zostay opisane nastpujcymi zmiennymi: x1. Lokalizacja rodowiskowa nieruchomoci gruntowej, z któr zwizany jest lokal mieszkalny (1 za, 2 nieodpowiednia, 3 dostateczna, 4 dobra, 5 bardzo dobra). x2. Standard uytkowy lokalu mieszkalnego (1 zy, 2 niski, 3 redni, 4 wysoki). x3. Warunki bytowe wystpujce na nieruchomoci gruntowej, z któr zwizany jest lokal mieszkalny (1 ze, 2 przecitne, 3 dobre). x4. Pooenie nieruchomoci gruntowej, z któr zwizany jest lokal mieszkalny, w strefie miasta (1 centralna, 2 ródmiejska, 3 porednia, 4 peryferyjna). x5. Typ wspólnoty mieszkaniowej (1 maa, 2 dua). x6. Powierzchnia gruntu, z któr zwizany jest lokal mieszkalny (1 poniej obrysu budynku, 2 obrys budynku, 3 obrys budynku z otoczeniem akceptowalnym, np. na parking, plac zabaw, 4 obrys budynku z otoczeniem zbyt duym).

7 Wizualizacja wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych 11 Macierz danych Tabela 2. Zmienne porzdkowe Nr nieruchomoci x1 x2 x3 x4 x5 x Wzorzec Antywzorzec ródo: opracowano na podstawie pracy Pawlukowicz (2006, s. 238).

8 12 Marek Walesiak W artykule zastosowano skrypt programu R przygotowany zgodnie z procedur badawcz z sekcji 5, w której zastosowano nastpujc metodyk postpowania: zmienne x1, x2 i x3 s stymulantami, zmienne x4 i x5 destymulantami, a zmienna x6 jest nominant o kategorii nominalnej (najkorzystniejszej) wynoszcej 3. do zbioru 27 nieruchomoci lokalowych dodano wzorzec i antywzorzec. Macierz danych obejmuje zatem 29 obiektów opisanych 6 zmiennymi (zob. tabela 2). wzmacnia si skal pomiaru zmiennych x1 x6 wykorzystujc metodyk zaproponowan w pracy (Walesiak, 2014). Propozycja wzmacniania skali pomiaru zmiennych porzdkowych bazuje na odlegoci GDM2 waciwej do zastosowania dla danych porzdkowych. Ze wzgldu na to, e metoda wzmacniania skali pomiaru zmiennych porzdkowych z wykorzystaniem odlegoci GDM2 dotyczy kadej zmiennej z osobna, wzór na odlego GDM2 w tej sytuacji jest nastpujcy: dla j = 1,,m, (4) gdzie: wyjanienie symboli a ipj, b wrj (dla p = w, l; r = i, l) znajduje si w tabeli 1. Do przeksztacenia zmiennej porzdkowej w zmienn metryczn zastosowany zostanie wzór: s iw = 1 d iw dla j = 1,,m. (5) W wyniku zastosowania wzoru (5) nastpi wzmocnienie skali porzdkowej w skal metryczn zgodnie ze schematem: dane porzdkowe obliczenie podobiestw (5) bazujcych na odlegoci GDM2 od obiektu wzorca dane metryczne. W tej sytuacji we wzorze (4) x wj (j = 1,,m) oznacza bdzie kategori najbardziej korzystn sporód wszystkich kategorii danej zmiennej. Dla stymulanty i destymulanty jest to kategoria odpowiednio maksymalna i minimalna. Z kolei dla nominanty jednomodalnej jest to kategoria nominalna zmiennej. W wyniku takiego przeksztacenia

9 Wizualizacja wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych 13 zmiennej porzdkowej na zmienn metryczn dla destymulanty i nominanty nastpi dodatkowo przeksztacenie w stymulant. W tabeli 3 zaprezentowano dane dotyczce 27 nieruchomoci lokalowych na jeleniogórskim rynku nieruchomoci opisanych 6 zmiennymi po wzmocnieniu skali pomiaru zmiennych x1 x6. Macierz danych po wzmocnieniu skali pomiaru zmiennych Tabela 3. Nr nieruchomoci Zmienne metryczne s1 s2 s3 s4 s5 s , ,225 0, , , , , , , , , , ,225 0, , ,725 0, , ,725 0, ,725 0, , , , , , , , , ,725 0, , ,725 0, ,225 0, , , ,725 0, ,225 0, , , , , , , , ,725 0, , , , , ,725 0, , ,725 0, ,225 0, , ,725 0, ,725 0, , , , ,725 0, , , , , ,225 0, ,725 0, ,725 0, , , ,725 0, , , , ,725 0, ,725 0, , , , ,225 0, , , , , , , , , , Wzorzec Antywzorzec 0, , ,225 0, , , ródo: obliczenia wasne z wykorzystaniem pakietu clustersim (Walesiak, Dudek, 2016a) programu R.

10 14 Marek Walesiak macierz odlegoci [ ik ] midzy obiektami obliczono z wykorzystaniem kwadratu odlegoci euklidesowej (2), dla której zastosowano wagi jednakowe. przeprowadzono skalowanie wielowymiarowe 29 obiektów (27 nieruchomoci plus wzorzec i antywzorzec) ze wzgldu na poziom atrakcyjnoci nieruchomoci lokalowych z wykorzystaniem funkcji smacofsym pakietu smacof (Mair i inni, 2016) otrzymujc konfiguracj 29 obiektów (punktów) w przestrzeni dwuwymiarowej [v ij ] 29 x2. na rysunku 1 przedstawiono graficzn prezentacj wyników skalowania wielowymiarowego 29 obiektów. Antywzorzec (obiekt 29) i wzorzec (obiekt 28) poczono lini prost otrzymujc tzw. o zbioru. Wyznaczono 4 izokwanty rozwoju dzielc o zbioru na 4 równe czci. Rysunek 1. Graficzna prezentacja wyników skalowania wielowymiarowego w przestrzeni dwuwymiarowej 29 obiektów obejmujcych 27 nieruchomoci, wzorzec (obiekt 28) i antywzorzec (obiekt 29) ze wzgldu na poziom atrakcyjnoci ródo: opracowanie wasne z wykorzystaniem programu R. obliczono odlegoci kadego obiektu (nieruchomoci) od wzorca rozwoju zgodnie ze wzorem (3). Uporzdkowano nieruchomoci wedug rosncych wartoci miary (3), a nastpnie wyodrbniono 4 klasy nieruchomoci podobnych pod wzgldem poziomu atrakcyjnoci. Uporzdkowanie 29 obiektów obejmujcych 27 nieruchomoci, wzorzec (obiekt 28) i antywzorzec (obiekt 29) ze wzgldu na poziom atrakcyjnoci wedug rosncych wartoci miary (3) prezentuje tabela 4.

11 Wizualizacja wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych 15 Uporzdkowanie nieruchomoci wedug rosncych wartoci miary (3) Tabela 4. Nr nieruchomoci Odlego 28 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ródo: obliczenia wasne z wykorzystaniem programu R.

12 16 Marek Walesiak Graficznie wyniki uporzdkowania liniowego 29 obiektów obejmujcych 27 nieruchomoci, wzorzec (obiekt 28) i antywzorzec (obiekt 29) ze wzgldu na poziom atrakcyjnoci wedug rosncych wartoci miary (3) przedstawia rysunek 2. Rysunek 2. Graficzna prezentacja wyników porzdkowania liniowego 29 obiektów obejmujcych 27 nieruchomoci, wzorzec (obiekt 28) i antywzorzec (obiekt 29) ze wzgldu na poziom atrakcyjnoci wedug rosncych wartoci miary (3) ródo: opracowanie wasne z wykorzystaniem programu R. Taka forma prezentacji wyników pozwala na: przedstawienie uporzdkowania nieruchomoci ze wzgldu na poziom atrakcyjno- ci wedug wartoci miary (3) oraz w formie prezentacji graficznej na rysunku 2, wyodrbnienie klas nieruchomoci lokalowych (nieruchomoci znajdujce si pomidzy izokwantami) o zblionym poziomie atrakcyjnoci (zob. rysunek 1), zidentyfikowanie nieruchomoci o zblionym poziomie atrakcyjnoci, ale rónicych si pooeniem na izokwancie rozwoju (zob. rysunek 1). Np. nieruchomo- ci 2 i 21, 13 i 14, 19 i 22 oraz 19 i 9 maj zbliony poziom atrakcyjnoci, ale róni si pooeniem na izokwancie rozwoju. Zatem nieruchomoci te osigaj zbliony poziom rozwoju, ale maj istotnie rónice si konfiguracje obserwacji na zmiennych.

13 Wizualizacja wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych PODSUMOWANIE W artykule przedstawiono propozycj procedury badawczej pozwalajc na wizualizacj wyników porzdkowania liniowego zbioru obiektów dla danych porzdkowych wykorzystujc do realizacji tego celu skalowanie wielowymiarowe. Przy ocenie poprawnoci wyników skalowania wielowymiarowego w kroku 7 zaprezentowanej procedury badawczej naley wzi pod uwag warto funkcji dopasowania STRESS, udziay procentowe obiektów w wartoci miary dopasowania STRESS (ang. stress per point) oraz interpretowalno wyników. W funkcji smacofsym pakietu smacof stosowana jest miara dopasowania STRESS-1 Kruskala (Borg, Groenen, 2005, s ). Z punktu widzenia skalowania wielowymiarowego podane jest jak najmniejsze odchylenie rozkadu bdów dla poszczególnych obiektów od rozkadu równomiernego. Dodatkowymi kryteriami akceptowalnoci wyników skalowania wielowymiarowego s wykresy Residual plot oraz Shepard diagram, które pozwalaj oceni dopasowanie wybranego modelu skalowania oraz zidentyfikowa obiekty odosobnione (De Leeuw, Mair, 2015). Szerzej o tym zagadnieniu traktuje praca Walesiak, Dudek (2016b). Koncepcja izokwant i cieki rozwoju zaproponowana w pracy (Hellwig, 1981) pozwala na graficzn prezentacj wyników porzdkowania liniowego tylko dla dwóch zmiennych. Zastosowanie skalowania wielowymiarowego rozszerza moliwoci zastosowania wizualizacji wyników porzdkowania liniowego dla m zmiennych. Dziki takiemu rozwizaniu wzbogacono interpretacj wyników porzdkowania liniowego. Zaproponowane podejcie zilustrowano przykadem empirycznym z zastosowaniem skryptu przygotowanego w rodowisku R (R Development Core Team, 2016). LITERATURA Antczak E., (2013), Przestrzenny taksonomiczny miernik rozwoju, Wiadomoci Statystyczne, 7, Borg I., Groenen P. J. F., (2005), Modern Multidimensional Scaling. Theory and Applications, 2nd Edition, Springer Science+Business Media, New York. Borg I., Groenen P. J. F., Mair P., (2013), Applied Multidimensional Scaling, Springer, Heidelberg, New York, Dordrecht, London. Borys T., (1984), Kategoria jakoci w statystycznej analizie porównawczej, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocawiu, 284, Seria: Monografie i Opracowania, 23. Borys T., Strahl D., Walesiak M., (1990), Wkad orodka wrocawskiego w rozwój teorii i zastosowa metod taksonomicznych, w: Pociecha J., (red.), Taksonomia teoria i zastosowania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków, De Leeuw J., Mair P., (2015), Shepard Diagram, Wiley StatsRef: Statistics Reference Online, John Wiley & Sons Ltd. Hellwig Z., (1967), Procedure of Evaluating High-Level Manpower Data and Typology of Countries by Means of the Taxonomic Method, COM/WS/91, Warsaw, 9 December, 1967, UNESCO working paper. Hellwig Z., (1968), Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziau krajów ze wzgldu na poziom ich rozwoju i struktur wykwalifikowanych kadr, Przegld Statystyczny, 15 (4), Hellwig Z., (1972), Procedure of Evaluating High-Level Manpower Data and Typology of Countries by Means of the Taxonomic Method, w: Gostkowski Z., (red.), Towards a System of Human Resources

14 18 Marek Walesiak Indicators for Less Developed Countries, Papers Prepared for UNESCO Research Project, Ossolineum, The Polish Academy of Sciences Press, Wrocaw, Hellwig Z., (1981), Wielowymiarowa analiza porównawcza i jej zastosowanie w badaniach wielocechowych obiektów gospodarczych, w: Welfe W., (red.), Metody i modele ekonomiczno-matematyczne w doskonaleniu zarzdzania gospodark socjalistyczn, PWE, Warszawa, Hwang C. L., Yoon K., (1981), Multiple Attribute Decision Making Methods and Applications. A Stateof-the-Art Survey, New York, Springer-Verlag. Jefmaski B., Dudek A., (2016), Syntetyczna miara rozwoju Hellwiga dla trójktnych liczb rozmytych, w: Appenzeller D. (red.), Matematyka i informatyka na usugach ekonomii. Wybrane problemy modelowania i prognozowania zjawisk gospodarczych, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Pozna, Lemon J. et al., (2016), plotrix: Various Plotting Functions. R package version 3.6-3, URL Mair P., De Leeuw J., Borg I., Groenen P. J. F., (2016), Smacof: Multidimensional Scaling. R package version , URL Modak A., (2014), On the Construction of an Aggregated Measure of the Development of Interval Data, Computational Statistics, 29 (5), Pawlukowicz R., (2006), Klasyfikacja w wyborze nieruchomoci podobnych dla potrzeb wyceny rynkowej nieruchomoci, Ekonometria 16, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocawiu, 1100, Pietrzak M. B., (2014), Taksonomiczny miernik rozwoju (TMR) z uwzgldnieniem zalenoci przestrzennych, Przegld Statystyczny, 61 (2), Pociecha J., Zajc K., (1990), Wkad orodka krakowskiego w rozwój teorii i zastosowa metod taksonomicznych, w: Pociecha J., (red.), Taksonomia teoria i zastosowania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków, R Development Core Team, (2016), R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, URL Stevens S. S., (1946), On the Theory of Scales of Measurement, Science, 103 (2684), Walesiak M., (1993), Statystyczna analiza wielowymiarowa w badaniach marketingowych, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocawiu, nr 654, Seria: Monografie i Opracowania, 101. Walesiak M., (1996), Metody analizy danych marketingowych, PWN, Warszawa. Walesiak M., (1999), Distance Measure for Ordinal Data, Argumenta Oeconomica, 2 (8), Walesiak M., (2011), Porzdkowanie liniowe z wykorzystaniem uogólnionej miary odlegoci GDM2 dla danych porzdkowych, Ekonometria, 30, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocawiu, 163, Walesiak M., (2014), Wzmacnianie skali pomiaru w statystycznej analizie wielowymiarowej, Taksonomia 22, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocawiu, 327, Walesiak M., (2016a), Uogólniona miara odlegoci GDM w statystycznej analizie wielowymiarowej z wykorzystaniem programu R. Wydanie drugie poprawione i rozszerzone, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocaw. Walesiak M., (2016b), Visualization of Linear Ordering Results for Metric Data with the Application of Multidimensional Scaling, Ekonometria, 2 (52), Walesiak M., Dudek A., (2016a), clustersim: Searching for Optimal Clustering Procedure for a Data Set. R package version , URL Walesiak M., Dudek A., (2016b), Wybór optymalnej procedury skalowania wielowymiarowego dla danych metrycznych z wykorzystaniem programu R, Referat na XXXV Konferencj Naukow nt. Multivariate Statistical Analysis. MSA 2016, ód, 7 9 listopada 2016 r. Wysocki F., (2010), Metody taksonomiczne w rozpoznawaniu typów ekonomicznych rolnictwa i obszarów wiejskich, Wydawnictwo Uniwersytetu Przyrodniczego w Poznaniu, Pozna.

15 Wizualizacja wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych 19 WIZUALIZACJA WYNIKÓW PORZDKOWANIA LINIOWEGO DLA DANYCH PORZDKOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Streszczenie W artykule zaproponowano dwukrokow procedur badawcz pozwalajc na wizualizacj wyników porzdkowania liniowego dla danych porzdkowych. W pierwszym kroku w wyniku zastosowania skalowania wielowymiarowego (zob. Borg, Groenen, 2005; Mair i inni, 2016) otrzymuje si wizualizacj obiektów w przestrzeni dwuwymiarowej. W nastpnym kroku przeprowadza si porzdkowanie liniowe zbioru obiektów na podstawie odlegoci Euklidesa od wzorca rozwoju. Zaproponowane podejcie zilustrowano przykadem empirycznym z zastosowaniem skryptu przygotowanego w rodowisku R. W artykule wykorzystano koncepcj izokwant i cieki rozwoju (osi zbioru najkrótszej drogi czcej wzorzec i antywzorzec rozwoju) zaproponowan w pracy Hellwig (1981). Zaproponowane podejcie rozszerzyo moliwoci interpretacyjne wyników porzdkowania liniowego zbioru obiektów. Sowa kluczowe: porzdkowanie liniowe, skalowanie wielowymiarowe, dane porzdkowe, miary agregatowe, program R VISUALIZATION OF LINEAR ORDERING RESULTS FOR ORDINAL DATA WITH APPLICATION OF MULTIDIMENSIONAL SCALING Abstract A two-step procedure was proposed to visualization of linear ordering results for ordinal data. In the first step as a result of the application of multidimensional scaling (see Borg, Groenen, 2005; Mair et al., 2016) is to visualize objects in two-dimensional space. In the next step, a linear ordering is carried out with the use of the Euclidean distance from the pattern (ideal) object. The proposed approach expanded the possibilities of interpretation of the results of the linear ordering of set of objects. The article uses the concept of isoquant and path of development (the shortest way connecting ideal and anti-ideal object) proposed by Hellwig (1981). The proposed approach is illustrated by an empirical example with application of script of R environment. Keywords: linear ordering, multidimensional scaling, ordinal data, composite measures, R environment

16