JESZCZE O PROCEDURZE WYBORU METODY PORZ DKOWANIA LINIOWEGO

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXIV ZESZYT KAROL KUKUA 1, LIDIA LUTY 2 JESZCZE O PROCEDURZE WYBORU METODY PORZDKOWANIA LINIOWEGO 1. WPROWADZENIE Liczni autorzy budujcy rankingi obiektów na podstawie oceny zjawisk zoonych stosowali dowolnie wybran przez siebie metod porzdkowania liniowego bd te uywali do tego celu kilka metod równie subiektywnie wytypowanych, poddajc otrzymane wyniki opinii czytelnika. Czstokro pozyskiwane wyniki przy zastosowaniu kilku metod porzdkowania liniowego róni si midzy sob. W niektórych zestawieniach porównywanych par metod rónice te s bardzo wyrane. Powstaje w zwizku z tym dylemat, któr z metod porzdkowania wybra. Problematyka wyboru metody porzdkowania liniowego zostaa podjta w pracy Kukua, Luty (2015a). W artykule tym przedstawiono propozycj procedury wspomagajcej wybór metody porzdkowania liniowego. Procedura ta bazuje na mierze podobiestwa rankingów uzyskanych w wyniku zastosowania kilku metod porzdkowania liniowego. Zdaniem autorów, przy wyborze metody porzdkowania liniowego w badaniach, naley wzi pod uwag dwa postulaty: zrealizowa wybór dostosowujc metod pod ktem wykorzystania jej wasnoci, charakteru zmiennych diagnostycznych oraz skali pomiaru zmiennych, wybra metod, która daje najblisze wyniki kocowe wzgldem pozostaych metod. Problematyk t podja take Kisieliska (2016). W swej pracy przedstawia propozycj budowy rankingu wykorzystujc wskanik zagregowanej pozycji w rankingach otrzymanych w wyniku zastosowania kilku metod porzdkowania liniowego. Celem niniejszego artykuu jest polemika z procedur przedstawion w pracy Kisieliskiej (2016). Zdaniem autorki jej metoda jest mniej odporna na rankingi odstajce, w porównaniu do procedury zaproponowanej przez Kukua, Luty (2015a). W szczególnoci pod rozwag pragniemy podda zasadno uwzgldniania wszystkich rankingów, a zwaszcza tych odstajcych, co autorka podkrela jako atut zapropo- 1 Uniwersytet Rolniczy, Wydzia Rolniczo-Ekonomiczny, Katedra Statystyki i Ekonometrii, Al. Mickiewicza 21; Kraków, Polska. 2 Uniwersytet Rolniczy, Wydzia Rolniczo-Ekonomiczny, Katedra Statystyki i Ekonometrii, Al. Mickiewicza 21; Kraków, Polska, autor prowadzcy korespondencj rrdutka@cyf-kr. edu.pl.

2 164 Karol Kukua, Lidia Luty nowanej procedury ( wszystkie opracowane rankingi maj wpyw na pozycj obiektu w rankingu ostatecznym ). Tym samym, zaproponujemy procedur eliminacji odstajcych rankingów, wskazujc na przykadach zasady jej przeprowadzenia, przed sporzdzeniem ostatecznego rankingu, w szczególnoci gdy rozwaamy wykorzystanie procedury proponowanej przez Kisielisk. 2. PREZENTACJA WYBRANYCH PROCEDUR Procedury porzdkowania liniowego obiektów zostay szczegóowo omówione w literaturze przedmiotu, w tym m.in. przez takich autorów jak: Perkal (1953), Hellwig (1968), Wesoowski (1975), Bartosiewicz (1976), Nowak (1977), Strahl (1978), Borys (1978), Grabiski (1992), Kukua (2000), Lira i inni (2002), Modak (2006), Paweek (2008), Panek (2009), Walesiak (2014) i innych. Wielu autorów podkrela, e rankingi tworzone rónymi metodami s niestabilne, co skania do zwrócenia uwagi, po raz kolejny na potrzeb wypracowania procedur, które pozwol na wybór metody lub moe, co zaproponowaa Kisieliska, procedury pozwalajcej wyznaczy ostateczne pozycje obiektów w rankingu. Rozwamy v rankingów n obiektów opracowanych z wykorzystaniem rónych metod porzdkowania linowego opartych na zmiennej syntetycznej ze wzgldu na stan zjawiska zoonego opisanego przez m zmiennych diagnostycznych. W literaturze przedmiotu pojawiy si nastpujce procedury 3 : A wybór metody porzdkowania liniowego (Kukua, Luty, 2015a), tym samym rankingu na niej podstawie opracowanego, dla której u p jest maksymalne, gdy:, p, q = 1, 2,, v, (1) gdzie m pq miara podobiestwa rankingów p i q (Kukua, 1989):, (2) c ip, c iq pozycja i-tego obiektu odpowiednio w rankingu p i q;., a P zbiór liczb naturalnych parzystych; 3 W dalszej czci pracy procedury bd odpowiednio oznaczone: A lub B.

3 Jeszcze o procedurze wyboru metody porzdkowania liniowego 165 B wyznaczenie rankingu ostatecznego (Kisieliska, 2016) na podstawie wskanika syntetycznego (w i ) wykorzystujcego wszystkie opracowane rankingi, który definiujemy: c ij pozycja i-tego obiektu w rankingu o numerze j; w i wskanik syntetyczny i-tego obiektu., (3) Sporzdzony ostatecznie ranking z wykorzystaniem proponowanych procedur zaley od wyjciowego zestawu metod porzdkowania. W szczególnoci procedura B oparta na redniej arytmetycznej rang jest czua na odstajce rankingi. Zasadnym zatem byoby wyeliminowanie tych ukadów porzdkowych. Proponujemy nastpujcy algorytm eliminacji: 1. porównanie ukadów porzdkowych kady z kadym z wykorzystaniem miary m pq (2) i przedstawienie ich w macierz M: ; (4) 2. wyznaczenie redniej miary podobiestwa rankingów: 3. wyznaczenie odchylenia przecitnego:, p, q = 1, 2,, v; (5), p, q = 1, 2,, v; (6) 4. wyeliminowanie rankingów, dla których:. (7)

4 166 Karol Kukua, Lidia Luty 3. WERYFIKACJA EMPIRYCZNA Do sporzdzenia rankingów 4 wykorzystano nastpujce metody porzdkowania liniowego oparte na zmiennej syntetycznej 5 : metody wzorcowe: R1 metoda Hellwiga, normalizacja cech z wykorzystaniem standaryzacji zmiennych, R2 metoda TOPSIS, normalizacja cech z wykorzystaniem standaryzacji zmiennych, R3 metoda pozycyjna, normalizacja cech z wykorzystaniem standaryzacji pozycyjnej z median Webera, agregacja zmiennych dokonana z wykorzystaniem propozycji Hellwiga; metody bezwzorcowe 6, uwzgldniajce normalizacj cech z wykorzystaniem: R4 standaryzacji zmiennych, R5 metody unitaryzacji zerowanej, R6 metody Strahl, R7 metody Nowaka. Przyjto ten sam zestaw metod co stosowaa w swoim artykule Kisieliska (2016) celem dokonania porówna. Przykad 1 7 Do oceny potencjalnych moliwoci zaspokojenia zapotrzebowania na produkty rolnicze pastw Unii Europejskie (UE) autorka wytypowaa nastpujce zmienne diagnostyczne: X 1 liczba ludnoci na 1 zatrudnionego w rolnictwie, X 2 liczba osób zatrudnionych w rolnictwie otrzymujcych wynagrodzenie w stosunku do nie otrzymujcych wynagrodzenia, X 3 powierzchnia UR przypadajca na 1 zatrudnionego w rolnictwie, X 4 udzia UR w powierzchni cakowitej, X 5 produkcja misa na 1 mieszkaca, X 6 produkcja rolinna na 1 mieszkaca, X 7 warto dodana wypracowana przez 1 zatrudnionego w rolnictwie. Dla wszystkich zmiennych diagnostycznych w badanej grupie obiektów wspóczynnik zmiennoci jest wikszy od 10%, a ilorazy skrajnych wartoci przekraczaj warto dwa (tabela 1). 4 W dalszej czci pracy metody (lub rankingi sporzdzone z ich wykorzystaniem) bd oznaczone odpowiednio: R1, R2, R2, R3, R4, R5, R6, R7. 5 Wymienione procedury wykorzystano i omówiono m.in. w pracy Kukua, Luty (2015a). 6 Zmienna syntetyczna wyznaczona jest jako rednia arytmetyczna sum znormalizowanych wartoci zmiennych diagnostycznych. 7 Przykad pochodzi z artykuu Kisieliska (2016).

5 Jeszcze o procedurze wyboru metody porzdkowania liniowego 167 Podstawowe charakterystyki przyjtych zmiennych diagnostycznych Tabela 1. Charakterystyki liczbowe Zmienne diagnostyczne X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Maksymalna warto 219,00 2,77 57,70 0,71 327,80 2,86 67,70 Minimalna warto 15,00 0,06 2,16 0,07 7,20 0,16 3,99 rednia arytmetyczna 75,36 0,57 23,85 0,40 82,15 1,20 19,61 Mediana 60,50 0,39 22,83 0,43 64,95 1,10 13,03 Wspórzdne mediany Webera 60,75 0,51 21,05 0,34 69,82 1,11 16,61 Odchylenie standardowe 57,76 0,61 15,07 0,16 65,35 0,67 15,34 Wspóczynnik zmiennoci 0,77 1,07 0,63 0,39 0,80 0,56 0,78 Iloraz skrajnych wartoci 14,60 46,17 26,71 10,14 45,53 17,88 16,97 Wspóczynnik skonoci 1,02 2,34 0,52-0,33 2,28 0,79 1,36 ródo: obliczenia wasne na podstawie z artykuu Kisieliskiej (2016). Wykorzystujc dane z baz EUROSTATU z 2015 roku sporzdzono rankingi: R1, R2,, R7 pastw UE ze wzgldu na ocen potencjau moliwoci zaspokojenia zapotrzebowania na produkty rolnicze. Pozycje pastw w sporzdzonych rankingach przedstawiono na rysunku 1. Naley zwróci uwag, e tylko dwa sporód 28 pastw UE we wszystkich rankingach miay t sam pozycj, byy to pastwa sklasyfikowane odpowiednio najwyej (Dania) i najniej (Sowenia). Litwa w rankingu sporzdzonym z wykorzystaniem metody TOPSIS (R2) uplasowaa si na 12 pozycji, a gdy bazowano na metodzie pozycyjne (R3) na pozycji 23. Rysunek 1. Rangi pastw UE ze wzgldu na ocen potencjau moliwoci zaspokojenia zapotrzebowania na produkty rolnicze uzyskane w wyniku zastosowania siedmiu metod porzdkowania liniowego obiektów (R1, R2,, R7) ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z artykuu Kisieliska (2016).

6 168 Karol Kukua, Lidia Luty Dla kadej pary sporzdzonych ukadów porzdkowych: R1, R2,, R7 wyznaczono miar m pq i przedstawiono w macierzy M 8 :. Nastpnie wedug wzorów (5) i (6) wyznaczono odpowiednio redni miar podobiestwa oraz odchylenie przecitne: m = 0,873 oraz d(m) = 0,068. Najwiksze podobiestwo (macierz M) charakteryzuje par rankingów uzyskanych z wykorzystaniem dwóch bezwzorcowych metod porzdkowania, w których formu normujc bya odpowiednio metoda Strahl i metoda unitaryzacji zerowanej (m 56 = 0,990). Z kolei najwiksze zrónicowanie charakteryzuje par rankingów uzyskanych z wykorzystaniem metody TOPSIS i metody pozycyjnej (m 23 = 0,714). Zauwaymy take, e w macierzy M wszystkie wartoci (oczywicie poza elementem na przektnej) w trzecim wierszu i w trzeciej kolumnie s mniejsze od przecitnej miary podobiestwa (m), co pozwala stwierdzi, e ranking zbudowany z wykorzystaniem metody pozycyjnej (R3) jest najbardziej odstajcy. Wykorzystujc algorytm zaproponowanej eliminacji, dla danych z przykadu 1 odstajcymi rankingami okazay si te, w których stosowano: metod Hellwiga, metod TOPSIS, metod pozycyjn, metod Nowaka. Tym samym do proponowanego wskazania/wyznaczenia ostatecznego rankingu proponuje si wykorzysta zredukowan liczb rankingów, zostawiajc te, które uzyskano z wykorzystaniem metod bezwzorcowych, gdy do normalizacji przyjto odpowiednio: standaryzacj zmiennych (R4), metod unitaryzacji zerowanej (R5), metod Strahl (R6). W tabeli 2 przedstawiono rangi pastw uzyskane w wyniku zastosowania procedury Kukua, Luty (A) i procedury Kisieliska (B), wykorzystujce odpowiednio wszystkie wyjciowe rankingi (oznaczono odpowiednio: ra i rb) oraz zredukowan liczb rankingów (oznaczono odpowiednio: r*a i r*b). 8 Numer wiersza (kolumny) odpowiada numerowi w przyjtym oznaczeniu metod.

7 Jeszcze o procedurze wyboru metody porzdkowania liniowego 169 Tabela 2. Pozycje pastw UE uzyskane w wyniku zastosowania procedury Kukua, Luty (A) i procedury Kisieliskiej (B), gdy wykorzystano odpowiednio wszystkie wyjciowe rankingi (ra, rb) i zredukowan ich liczb (r*a, r*b) Kraj Procedura A Procedura B ra r*a rb r*b Austria Belgia Bugaria Chorwacja Cypr Czechy Dania Estonia Finlandia Francja Grecja Hiszpania Holandia Irlandia Litwa Luksemburg otwa Malta Niemcy Polska Portugalia Rumunia Sowacja Sowenia Szwecja Wgry Wielka Brytania Wochy ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z artykuu Kisieliska (2016).

8 170 Karol Kukua, Lidia Luty Zastosowanie procedury Kukua, Luty zarówno w odniesieniu do wszystkich wyjciowych rankingów jak i do zredukowanej liczby nie zmienio kocowego uporzdkowania pastw. W rozpatrywanym przykadzie, w obu przypadkach najbardziej podobnym do wszystkich uwzgldnianych rankingów okaza si ranking oparty na metodzie unitaryzacji zerowanej (R5). W tabeli 3 przedstawiono wartoci rednich miar podobiestwa oszacowane (u p ) wedug wzoru (1) dla kadej zastosowanej metody porzdkowania liniowego. Tabela 3. Wartoci u p (p-numer metody) z uwzgldnieniem odpowiednio: wszystkich wyjciowych rankingów i wybranych rankingów (po odrzuceniu rankingów odstajcych ) Uwzgldnione rankingi Metoda konstrukcji zmiennej syntetycznej R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R1, R2,, R7 0,876 0,868 0,760 0,908 0,912 0,911 0,878 R4, R5, R ,964 0,980 0,974 - ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z artykuu Kisieliska (2016). Trudno to samo stwierdzi o wynikach zastosowania procedury Kisieliskiej. Pozycje siedmiu pastw róniy si w zalenoci od tego czy bazowano na wszystkich wyjciowych rankingach czy na zredukowanej ich liczbie. Podkreli naley take, i ukady porzdkowe pastw UE skonstruowane z wykorzystaniem odpowiednio procedury Kukua, Luty i procedury Kisieliskiej, gdy bazowano na wszystkich rankingach róniy si dla siedmiu badanych obiektów. Miara podobiestwa tych rankingów oszacowana wg wzoru (2) wynosi 0,974. Rónice te zmniejszyy si, gdy dokonano eliminacji rankingów odstajcych. Jako ostateczny ranking proponuje si uzna ranking r*a lub r*b, czyli rankingi wykorzystujce omówione procedury po dokonaniu redukcji rankingów odstajcych. Pozycje tylko dla dwóch pastw (Irlandii, Luksemburga), w tych rankingach róni si. Przykad 2 Wygenerowano realizacj siedmiu zmiennych diagnostycznych: X 1, X 2,, X 7 dla siedemnastu umownych obiektów: O1, O2,, O17, których realizacj przedstawiono w tabeli 4. Wartoci charakterystyk liczbowych zmiennych diagnostycznych przedstawiono w tabeli 5. Dla wszystkich zmiennych diagnostycznych w badanej grupie obiektów wspóczynnik zmiennoci jest wikszy od 10%, a ilorazy skrajnych wartoci przekraczaj warto dwa. W opracowaniu przyjto zaoenie, e kada zmienna jest stymulant oraz wnosi tak sam porcj informacji do oceny badanych obiektów (wagi wszystkich zmiennych s takie same i wynosz jeden).

9 Jeszcze o procedurze wyboru metody porzdkowania liniowego 171 Wartoci zmiennych diagnostycznych Tabela 4. Zmienne diagnostyczne Obiekt X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 O O O O O O O O O O O O O O O O O ródo: opracowanie wasne. Podstawowe charakterystyki przyjtych zmiennych diagnostycznych Tabela 5. Zmienne diagnostyczne Charakterystyki liczbowe X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Maksymalna warto 1000,00 155,00 80, ,00 100,00 882,00 660,00 Minimalna warto 14,00 5,00 30,00 200,00 20,00 2,00 10,00 rednia arytmetyczna 325,00 116,65 49,29 440,71 59,18 401,53 469,65 Mediana 300,00 120,00 45,00 300,00 59,00 380,00 525,00 Wspórzdne mediany Webera 299,50 129,05 51,16 325,69 58,39 399,13 522,24 Odchylenie standardowe 184,23 32,44 17,14 266,93 27,35 215,96 216,54 Wspóczynnik zmiennoci 0,57 0,28 0,35 0,61 0,46 0,54 0,46 Iloraz skrajnych wartoci 71,43 31,00 2,67 6,00 5,00 441,00 66,00 Wspóczynnik skonoci 2,86-2,41 0,78 1,46 0,10 0,62-1,63 ródo: obliczenia wasne na podstawie tabeli 4.

10 172 Karol Kukua, Lidia Luty Wykorzystujc dane z tabeli 4 sporzdzono rankingi: R1, R2,, R7 obiektów: O1, O2,, O17, których pozycje s ukazane na rysunku 2. Tylko jeden obiekt (O1) we wszystkich rankingach mia sta pozycj, a dla dwóch obiektów rónica rang wynosia a 13. Rysunek 2. Rangi obiektów (O1, O2,, O17) uzyskane w wyniku zastosowania siedmiu metod porzdkowania liniowego obiektów (R1, R2,, R7) ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z tabeli 4. Dla kadej pary ukadów porzdkowych: R1, R2,, R7 obiektów: O1, O2,, O17 wyznaczono warto miary m pq wedug wzoru (2). Wszystkie wyliczone wartoci m pq przedstawiono w macierzy M wg (4):. Nastpnie korzystajc ze wzorów (5) oraz (6) wyznaczono: m = 0,751 oraz d(m) = 0,110. Take i w tym przykadzie, najwiksze podobiestwo (macierz M) charakteryzuje par rankingów uzyskanych z wykorzystaniem metody Strahl i metody unitaryzacji zerowanej (m 56 = 0,958). Najmniej podobn okazaa si równie para rankingów

11 Jeszcze o procedurze wyboru metody porzdkowania liniowego 173 uzyskanych z wykorzystaniem metody TOPSIS i metody pozycyjnej (m 23 = 0,514). Zauwaymy, e i w tym przykadzie wartoci miar podobiestwa rankingu R3 z rankingami wyznaczonymi w oparciu o pozostae uwzgldnione metody s mniejsze od przecitnej miary podobiestwa. Wykorzystujc algorytm zaproponowanej eliminacji odstajcych rankingów do wskazania wedug proponowanej procedury ostatecznego rankingu wykorzystano nastpujce rankingi: R1, R4, R5, R6, R7, eliminujc, w tym przykadzie rankingi: R2 i R3. Analogicznie jak w tabeli 3 dla przykadu 1 tak dla przykadu 2, w tabeli 6 przedstawiono rangi obiektów uzyskane w wyniku zastosowania dwóch procedur: A, B, wykorzystujce odpowiednio wszystkie wyjciowe rankingi (ra, rb) oraz zredukowan liczb rankingów (r*a, r*b). Zastosowanie procedury A take i w tym przykadzie, w odniesieniu do wszystkich wyjciowych rankingów jak i do zredukowanej ich liczby nie zmienio uporzdkowania obiektów. Nie mona tego samego stwierdzi w odniesieniu do wyników uzyskanych z wykorzystaniem procedury B. Rangi w ukadach porzdkowych oznaczonych odpowiednio: rb i r*b róniy si a dla jedenastu obiektów. Naley take zaznaczy, e pozycje siedmiu obiektów zaleay od zastosowania procedury (A lub B), gdy bazujemy na wszystkich wyjciowych rankingach. Tabela 6. Pozycje obiektów uzyskane w wyniku zastosowania procedur: A, B, wykorzystujce odpowiednio wszystkie wyjciowe rankingi (ra, rb) oraz zredukowan liczb rankingów (r*a, r*b) Procedura Obiekt A B ra r*a rb r*b O O O O O O O O O O O O O O O O O ródo: opracowanie wasne.

12 174 Karol Kukua, Lidia Luty Wyeliminowanie rankingów odstajcych, a nastpnie wykorzystanie omówionych procedur (A, B) take nie dao identycznych rankingów, niemniej rónice dotyczyy tylko czterech obiektów. 5. UWAGI KOCOWE Przedstawiona, prawie pó wieku temu przez Hellwiga (1968) metoda porzdkowania liniowego obiektów w obszarze ekonomii przyczynia si niewtpliwie zarówno do rozpowszechniania jak i modyfikowania grupy metod Wielowymiarowej Analizy Porównawczej. Na rozwój tych metod wpyw miaa i nadal ma komputeryzacja, uatwiajca i niejednokrotnie umoliwiajca wykonywanie skomplikowanych oblicze z du dokadnoci. Stojc przed wyborem metody trzeba zwróci uwag na jej wasnoci, charakter zmiennych diagnostycznych, skal pomiaru zmiennych, a nie stosowa aktualnie czsto wybierane procedury. Tu naley wspomnie o metodzie pozycyjnej lub TOPSIS, które day w obu przedstawionych przykadach najbardziej odstajce wyniki w porównaniu do rankingów uzyskanych z wykorzystaniem innych metod, co równie mona zaobserwowa w artykuach Kukua, Luty (2015a, 2015b) i Kisieliska (2016). Rozwaajc wasnoci poszczególnych metod normowania cech diagnostycznych warto zwróci uwag, i niektóre z nich w sposób nieliniowy dokonuj wartociowania. Jeeli nie potrafimy sprecyzowa wyranych przesanek by realizowa przeksztacenie cech diagnostycznych w sposób nieliniowy to lepiej poprzesta na liniowym sposobie ich wartociowania. Z bada przedstawionych w artykule wycign mona nastpujce wnioski: wybierajc metod porzdkowania liniowego naley pamita, e róne metody daj znacznie rónice si od siebie rankingi, dokonujc wyboru metody porzdkowania liniowego naley przeprowadzi obliczenia z zastosowaniem kilku procedur i dokona wyboru wykorzystujc ju istniejce rozwizania w literaturze lub zweryfikowa z ekspertami badanej tematyki, zaproponowana procedura eliminacji rankingów odstajcych, a tym samym metod na podstawie, których zostay wyznaczone stanowi, jak si wydaje, pomocne narzdzie przed budow ostatecznego rankingu obiektów. Ponadto, pragniemy podkreli, i odzew w tak krótkim czasie na poruszany przez nas temat w artykule (Kukua, Luty, 2015a), wiadczy o tym, e problem ten jest istotny. LITERATURA Bartosiewicz S., (1976), Propozycja metody tworzenia zmiennych syntetycznych, Zeszyty Naukowe AE, 84, Wrocaw, 5 7. Borys T., (1978), Metody normowania cech w statystycznych badaniach porównawczych, Przegld Statystyczny, 25 (2), Grabiski T., (1984), Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach dynamiki zjawisk ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Seria specjalna, Monografie, 61, Kraków.

13 Jeszcze o procedurze wyboru metody porzdkowania liniowego 175 Hellwig Z., (1968), Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziau krajów ze wzgldu na poziom ich rozwoju oraz zasoby i struktur wykwalifikowanych kadr, Przegld Statystyczny, 15 (4), Hwang C. L., Yoon K., (1981), Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications, Springer Verlag. Kisieliska J., (2016), Ranking pastw UE ze wzgldu na potencjalne zaspokojenie zapotrzebowania na produkty rolne z wykorzystaniem metod porzdkowania liniowego, Problemy rolnictwa wiatowego, 16 (3), Warszawa, Kukua K., (1989), Statystyczna analiza strukturalna i jej zastosowanie w sferze usug produkcyjnych dla rolnictwa, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Seria specjalna, Monografie, 89, Kraków. Kukua K., (2000), Metoda unitaryzacji zerowanej, PWN, Warszawa. Kukua K., Luty L., (2015a), Propozycja procedury wspomagajcej wybór metody porzdkowania liniowego, Przegld Statystyczny, 62 (2), Kukua K., Luty L., (2015b), Ranking pastw UE ze wzgldu na wybrane wskaniki charakteryzujce rolnictwo ekologiczne, Metody Ilociowe w Badaniach Ekonomicznych, Wydawnictwo SGGW, Tom XVI, 3, Warszawa, Lira J., Wagner W., Wysocki F., (2002), Mediana w zagadnieniach porzdkowania obiektów wielocechowych, w: Paradysz J., (red.), Statystyka regionalna w subie samorzdu lokalnego i biznesu, Internetowa Oficyna Wydawnicza Centrum Statystyki Regionalnej, AE, Pozna, Modak A., (2006), Analiza Taksonomiczna w statystyce regionalnej, Difin, Warszawa. Nowak E., (1977), Syntetyczne mierniki plonów w krajach europejskich, Wiadomoci Statystyczne, 10, Paweek B., (2008), Metody normalizacji zmiennych w badaniach porównawczych zoonych zjawisk ekonomicznych, Zeszyty Naukowe UE, Seria specjalna, Monografie, 187, Kraków. Panek T., (2009), Statystyczne metody wielowymiarowej analizy porównawczej, SGH, Oficyna Wydawnicza, Warszawa. Pluta W., (1977), Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach ekonomicznych, PWE, Warszawa. Strahl D., (1978), Propozycja konstrukcji miary syntetycznej, Przegld Statystyczny, 25 (2), Walesiak M., (2014), Przegld formu normalizacji wartoci zmiennych oraz ich wasnoci w statystycznej analizie wielowymiarowej, Przegld Statystyczny, 61 (4), Wesoowski W. J., (1975), Programowanie nowej techniki, PWN, Warszawa. JESZCZE O PROCEDURZE WYBORU METODY PORZDKOWANIA LINIOWEGO Streszczenie W opracowaniu podjto po raz kolejny zagadnienie wyboru metody porzdkowania liniowego jako odpowied na propozycj procedury przedstawionej w pracy Kisieliskiej (2016). Pokazano na dwóch przykadach, e ranking zaley od zastosowanej metody, a rónice s istotne. Pokrelono tym samym konieczno zastosowania kilku metod przed budow ostatecznego rankingu oraz wyeliminowaniu rankingów odstajcych. W artykule zaproponowano procedur ich eliminacji. Oparto j na redniej arytmetycznej i odchyleniu przecitnym miar podobiestwa rankingów uzyskanych z wykorzystaniem kilku metod porzdkowania liniowego. Z przedstawionych bada wynika, e dokonujc wyboru metody porzdkowania liniowego naley przeprowadzi obliczenia z zastosowaniem kilku procedur i dokona wyboru wykorzystujc ju istniejce rozwizania w literaturze lub zweryfikowa z ekspertami badanej tematyki. Sowa kluczowe: normowanie cech, wybór metody, porzdkowanie liniowe, ranking

14 176 Karol Kukua, Lidia Luty ONCE MORE ABOUT THE SELECTION PROCEDURE FOR THE LINEAR ORDERING METHOD Abstract In this paper once again the issue of selecting the method of linear ordering was analyzed as a response to proposed procedure presented in Kisieliska s paper (2016). It was shown in two examples that the ranking depends on the method used, and the differences are significant. Underlined the need to apply several methods before the construction of the final ranking and eliminating the outliers rankings. The article proposes a procedure for their elimination. It is based on the arithmetic mean and deviation of average measures of rankings similarity obtained with the use of several linear ordering methods. The research shows that when choosing a linear ordering methods calculations should be carried out using several procedures and make a selection using the already existing solutions in the literature or verify with the experts of analyzed subject. Keywords: characteristics normalizing, selection of method, linear ordering, ranking