Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Kierunek Matematyka Specjalność Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

Transkrypt

1 Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Kierunek Matematyka Specjalność Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Praca dyplomowa magisterska Porównanie numerycznych metod wyceny opcji Szymon Wysoczański Promotor: dr Rafał Weron Wrocław, 2004r.

2 2

3 Spis treści 1 Wprowadzenie 5 2 Rynek finansowy a opcje Strukturarynkufinansowego Opcje Cotojestopcja? Rodzajeinstrumentówpodstawowych Cenaopcji Greckiewskaźniki Metody wyceny opcji MetodaBlacka-Scholesa Opcjawaniliowa Opcjabinarna Greckiewskaźniki Metodadwumianowa Brakdywidendy Stałastopadywidendy Dywidendaprocentowa Dywidendastała Alternatywnakonstrukcjadrzewekdwumianowych Greckiewskaźniki Schematyróżnicowe Schematróżnicowyjawny Schematróżnicowyukryty MetodaCranka-Nicolsona Wycena opcji w praktyce Cenaopcji Metodadwumianowa Schematróżnicowyjawny Schematróżnicowyukryty MetodaCranka-Nicolsona Porównanie Greckiewskaźniki Delta Gamma

4 4 SPIS TREŚCI Theta Vega Rho Podsumowanie Zakończenie 69 A Numerical Option Pricer(NOP) 71 B Toolbox NOP w Matlabie 75 Literatura 79

5 Rozdział 1 Wprowadzenie Problemy, które poruszyłem w pracy, inspirowane były wprowadzeniem na Giełdę Papierów Wartościowych w Warszawie SA nowego instrumentu pochodnego opcji na indeks giełdowy. Choć nie jest to nowy instrument na giełdach światowych, jego wycena, szczególnie na bardziej skomplikowane instrumenty podstawowe nie jest prosta. Wprawdzie istnieją wzory analityczne typu Blacka-Scholesa, ale dotyczą one tylko pewnych typów opcji. Za ich pomocą nie jesteśmy w stanie wyceniać opcji typu amerykańskiego, czy opcji na akcję wypłacającą dywidendę. Wysokość dywidendy może być ściśle określoną wartością, jak również stanowić pewien procent wartości instrumentu podstawowego. Nie sposób wyobrazić sobie wycenę takich instrumentów bez wsparcia ze strony komputerów zaopatrzonych w odpowiednie oprogramowanie. Kiedy nie mamy wzorów analitycznych, są one nieocenionym narzędziem wspomagającym pracę analityków finansowych. Wówczas pozostają nam jedynie metody numeryczne, pozwalające z dużą dokładnością dokonać wyceny opcji na instrumenty podstawowe o skomplikowanej strukturze, czy też opcje typu amerykańskiego, które posiadacz może wykonać w dowolnej chwili do momentu wygaśnięcia opcji. Głównym celem rozprawy jest przedstawienie metod numerycznych wyceny opcji oraz porównanie ich zbieżności. Jednak sama wycena instrumentu to tylko część pracy dealera. Bardzo istotnym czynnikiem jest również analiza wpływu zmieniających się warunków panujących na rynku na wartość wycenianych instrumentów, czyli analiza wrażliwości. Wrażliwość instrumentów na zmieniające się warunki oceniana jest za pomocą tzw. greckich wskaźników. W pracy znajduje się charakterystyka greckich wskaźników, opis sposobu ich wyliczania, a także porównanie greckich wskaźników wyliczanych za pomocą różnych metod numerycznych. Rozdział 2 zawiera krótki opis struktury rynku finansowego, a także charakterystykę badanego instrumentu pochodnego opcji. W rozdziale 3 znajduje się dokładny opis konstrukcji metod używanych do wyceny opcji, ich wyprowadzenia oraz schematy ilustrujące działanie algorytmów. Przedstawione zostały również pewne modyfikacje metod, np. uwzględniające zależność od instrumentu podstawowego, jak również wyceny opcji giełdowych i pozagiełdowych. Rozdział 4 ilustruje działanie przedstawionych metod. Można tu znaleźć porównanie zbieżności metod w zależności od różnych parametrów oraz zachowanie się greckich wskaźników. Przedstawione są sytuacje na rynku, które niekorzystnie wpływają na dokładność wyceny używanych metod, a także podane są zalecane sposoby wyceny opcji na różne instrumenty podstawowe. W dodatku załączonym do pracy znajdują się opisy zaimplementowanych w Matlabie 5

6 6 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE funkcji. Używając ich można prowadzić eksperymenty we własnym zakresie, porównywać zbieżności cen opcji, a także zbieżności greckich wskaźników. Opisana jest również aplikacja NOP dołączona do pracy, napisana w języku programowania JAVA. Za jej pomocą można wycenić całą gamę opcji na różne instrumenty, od opcji na akcje poczynając na opcjach na kontrakty futures kończąc.

7 Rozdział 2 Rynek finansowy a opcje 2.1 Struktura rynku finansowego Rynek finansowy jest rozumiany jako ogół warunków, w których dochodzi do zawierania transakcji między sprzedawcami oferującymi towary, nabywcami reprezentującymi potrzeby i dysponującymi odpowiednimi funduszami. Towarami na rynku są instrumenty finansowe, które można określić jako umowy między dwoma stronami, regulujące zależności finansowe, w jakich obie strony pozostają. Rynek finansowy tradycyjnie dzieli się na następujące segmenty[11, 12]: rynek pieniężny- transakcje krótkoterminowe(do jednego roku), instrumenty finansowe o dużej płynności rynek kapitałowy- tworzenie kapitałów udziałowych lub pożyczkowych, zawierane są na nim transakcje instrumentami finansowymi o charakterze własnościowym bądź wierzycielskim rynek walutowy- transakcje kupna i sprzedaży walut różnych krajów, spekulacje, interwencje w celu utrzymania na określonym poziomie kursu własnej waluty. Na początku lat siedemdziesiątych XX w. powstał nowy segment rynku finansowegorynek instrumentów pochodnych. Zawierane są na nim transakcje instrumentami pochodnymi.służąonegłówniezabezpieczeniuuczestnikówrynkuprzedtzw.ryzykiemceny 1, zapewnieniu pożądanej jego struktury, zabezpieczeniu przed niekorzystnymi zmianami wartości instrumentu podstawowego, czy też spekulację w celu uzyskanie ponadprzeciętnych zysków. Do podstawowych instrumentów, którymi handluje się na rynku terminowym należą: kontrakty wymiany(swapy), forward, futures i opcje. Najwięcej możliwości dają inwestorom opcje. Są one także najciekawsze z matematycznego punktu widzenia. Można tworzyć dowolne rodzaje opcji, zależnie od potrzeb uczestników rynku. Im bardziej skomplikowany instrument, tym ciekawsza jest jego wycena. Wycena pozostałych przytoczonych kontraktów terminowych nie nasuwa tylu problemów. Przykładowa wycena kontraktu forward jest przytoczona w przykładzie 2.1. Przykład 2.1 Rozpatrzmy kontrakt forward na jedną akcję nie wypłacającą dywidendy, niechjejobecnacenawynosix=80pln.półrocznawolnaodryzykastopaprocentowaw 1 Częstonazywanerównieżryzykiemrynkowym. 7

8 8 ROZDZIAŁ 2. RYNEK FINANSOWY A OPCJE skali rocznej r = 8%. Jaka powinna być cena kontraktu, aby nie było możliwości dokonania arbitrażu? F=80e =83.26PLN. Cena kontraktu musi być równa wartości, do której wzrosłaby wielkość X, zainwestowana na okres T, przy pozbawionej ryzyka stopie procentowej r[5]. Kontrakty wymiany można traktować jako serie kontraktów forward i tak je wyceniać. Z punktu widzenia funkcjonalności, również kontrakty futures nie różnią się od kontraktów forward. Obligują one do kupna lub sprzedaży w przyszłości określonej ilości instrumentu podstawowego. Co więcej, w warunkach stałych stóp procentowych ceny kontraktów forward i futures są zbliżone, jeśli mają one takie same terminy wygaśnięcia [2]. 2.2 Opcje Co to jest opcja? Regulamin Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie SA w 60 podaje definicję opcji handlowanych na tej giełdzie: W rozumieniu niniejszego Regulaminu opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: a) żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania(opcja kupna z dostawą instrumentu bazowego), albo b) żądania w ustalonym terminie przyjęcia dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania(opcja sprzedaży z dostawą instrumentu podstawowego), albo c) żądania w ustalonym terminie zapłaty kwoty zależnej(w sposób określony w warunkach obrotu) od różnicy pomiędzy ceną(wartością) rynkową instrumentu bazowego a ceną(wartością) wykonania(opcja kupna z rozliczeniem pieniężnym), albo d) żądania w ustalonym terminie zapłaty kwoty zależnej(w sposób określony w warunkach obrotu) od różnicy pomiędzy ceną(wartością) wykonania a ceną(wartością) rynkową instrumentu bazowego(opcja sprzedaży z rozliczeniem pieniężnym). Innymi słowy: opcja kupna jest kontraktem dającym nabywcy prawo do kupna ustalonej ilości instrumentu podstawowego po określonej cenie wykonania i w ustalonym terminie, opcja sprzedaży daje nabywcy prawo do sprzedania ustalonej ilości instrumentu podstawowego po określonej cenie w ustalonym terminie[15]. Bardzo ważne jest rozróżnianie terminu wykonania opcji- w którym nabywca ma prawo wykonać opcję, jeżeli jest to operacja opłacalna- i terminu rozliczenia, który zazwyczaj upływa dwa dni robocze później i do którego musi nastąpić fizyczna wymiana gotówki lub towarów, oraz terminu wygaśnięcia, po którym opcja traci swoją ważność i niemożebyćwykonana.opcjezewzględunaterminwykonaniadzieląsięnadwatypy:

9 2.2. OPCJE 9 opcja europejska- może zostać wykonane tylko i wyłącznie w dniu wygaśnięcia opcji opcja amerykańska- może zostać wykonana w dowolnym terminie od momentu nabycia, aż do terminu wygaśnięcia, kiedy jej nabywca uzna, że będzie to dla niego optymalne Nazwyobutypówniesązwiązanewżadensposóbzmiejscemobrotu.Mająjedynie znaczenie historyczne. Obecnie większym powodzeniem cieszą się opcje amerykańskie (choć na przykład na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie 22 września 2003 r. zadebiutowały i są w obrocie jedynie opcje europejskie). Jednym z powodów jest to, że opcje typu europejskiego mogą być narażone na manipulacje kiedy zbliża się ich termin wygaśnięcia. Opcja ma tą przewagę nad kontraktami futures, że dla nabywcy jest prawem, a nie obowiązkiem. Nabywca skorzysta ze swego prawa, czyli wykona opcję, tylko wtedy gdy odniesie z tego powodu korzyści. Transakcje opcyjne mają tę przewagę dla nabywców, że nie muszą oni wnosić depozytu zabezpieczającego, angażują więc mniej środków finansowych. Wystawiający opcje ma obowiązek odsprzedać(opcja kupna) lub odkupić(opcja sprzedaży) instrument podstawowy, na który była wystawiona opcja, jeśli nabywca będzie chciał wykonać opcję. W terminie wykonania(dla opcji europejskiej) lub w całym okresie ważności opcji(dla opcji amerykańskiej) podstawę do wykonania lub niewykonania opcji stanowi porównanie ceny wykonania opcji z bieżącą ceną instrumentu podstawowego na który opcja była wystawiona. Mogą zajść trzy sytuacje: 1.opcjajestwcenie-wówczasopłacasięwykonaćopcję,dlaopcjikupnaoznaczato, że cena wykonania opcji jest niższa niż cena instrumentu podstawowego, zaś dla opcji sprzedaży, że cena wykonania jest wyższa od ceny instrumentu podstawowego 2. opcja jest po cenie- wówczas cena wykonania opcji równa jest cenie instrumentu podstawowego,wykonującopcjejejnabywcanicnietraci 2,alerównieżnicniezyskuje 3.opcjaniejestwcenie-wówczasnieopłacasięwykonaćopcji,dlaopcjikupna oznacza to, że cena wykonania opcji jest wyższa niż cena instrumentu podstawowego, zaś dla opcji sprzedaży, że cena wykonania jest niższa niż cena instrumentu podstawowego. Stosując dźwignię finansową zyski oraz straty w handlu opcjami są większe niż zyski bądź straty na rynku kasowym. Dla kupującego zysk jaki może uzyskać praktycznie jest nieograniczony, natomiast maksymalna strata jest równa wysokości premii zapłaconej za opcje. W przypadku wystawcy opcji mamy sytuację odwrotną. Wysokość strat jest nieograniczona, a zysk jest ograniczony do wartości premii otrzymanej od nabywcy Rodzaje instrumentów podstawowych Opcje znajdujące się w obrocie giełdowym są głównie opcjami wystawionymi na: akcje, kontrakty futures, indeksy i waluty obce[11, 12, 14]. Na rynkach pozagiełdowych opcje 2 Oczywiściekupującopcjenabywcamusiałzapłacićpremię,czylicenęopcji.

10 10 ROZDZIAŁ 2. RYNEK FINANSOWY A OPCJE dostosowywane są do wymagań klientów. Pozwala to wystawić opcje na praktycznie dowolny instrument podstawowy, jak również zastosować inną niż standardowa funkcja wypłaty 3. Opcje na akcje są szczególnie wrażliwe na wypłacane posiadaczom akcji dywidendy. Dawniej w obrocie pozagiełdowym, aby rozwiązać problem wyceny takich opcji, korygowanocenęwykonanieowysokośćwypłacanejdywidendy 4.Obecniepodobniejakw obrocie giełdowym stosuje się inne, bardziej precyzyjne techniki. Wypłata dywidendy przezakcjęnaktórąwystawionajestopcjamaolbrzymiwpływnawycenętejopcji.w przypadku podziałów i połączeń akcji cena wykonania opcji wystawionej na te akcje jest odpowiedniokorygowana.jeślinastępujepodziałakcjiwstosunku 1 n,towłaścicielopcji naxakcjizcenąwykonaniakstajesięposiadaczemopcjinanxakcjizcenąwykonania K n. Opcjenaindeksyumożliwiająinwestoromnaoperowaniecałymiportfelamiakcjiprzy zaangażowaniu stosunkowo małych środków finansowych. Jednymi z najbardziej popularnych są opcje na amerykańskie indeksy S&P100 i S&P500 oraz na niemiecki indeks DAX. Opcje rozliczane są wyłącznie w sposób pieniężny. Nie ma miejsca fizyczna dostawa portfela indeksu. Na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie inwestorzy mają do dyspozycji opcje na indeks WIG20. Mają one europejski styl wykonania, więc nabywca może swoje prawo wykonać tylko w dniu wygaśnięcia opcji. W praktyce wykonanie opcji jest automatyczne w dniu wygaśnięcia, jeżeli opcja jest w cenie. Ponieważ wykonanie opcji jest prawem, a nie obowiązkiem, to inwestor może zrezygnować z tego prawa. Do takiej sytuacji może dojść jeśli np. prowizja za wykonanie przekroczyła kwotę rozliczenia z tytułu wykonania opcji. W początkowej fazie obrotu opcjami na GPW w Warszawie w pierwszym dniu obrotu opcjami o nowym terminie wygaśnięcia do obrotu wprowadzano po 3 serie opcji kupna i opcji sprzedaży z kursami wykonania najbardziej zbliżonymi do wysokości określonej na zamknięciu ostatniej sesji przed wprowadzeniem serii do obrotu. Na przykład w dniu debiutu opcji na GPW w Warszawie do obrotu zostało wprowadzonych 12 serii opcji(po 3serieopcjikupnaiopcjisprzedażywygasającewgrudniuipo3serieopcjikupnai opcji sprzedaży wygasające w marcu 2004 r.). Po pierwszych analizach rynku opcji zmodyfikowano sposób wprowadzania kolejnych serii. Z trzech do czterech zwiększono liczbę początkowo wprowadzanych serii opcji danego typu z nowym terminem wygaśnięcia. Jeśli na zamknięciu sesji wartość indeksu wyniesie 1515 punktów do obrotu zostaną wprowadzone, dla opcji kupna, serie z kursami wykonania równymi 1500(po cenie), 1400(w cenie)oraz1600i1700(niewcenie)punktów.dlakażdegoterminuwygaśnięciaidla każdego typu opcji(kupna i sprzedaży) w obrocie cały czas będą znajdować się serie opcji wcenie,pocenieidwieniewceniewodniesieniudowartościindeksunazamknięciesesji z dnia poprzedniego. Jeżeli w czasie trwania serii indeks wzrośnie powyżej pierwszego poziomu nie w cenie, albo spadnie poniżej poziomu w cenie(dla opcji kupna), to następnego dnia zostaje wprowadzona do obrotu opcja odpowiednio o 100 punktów wyższa albo 100 punktów niższa. Na przykład jeśli indeks z powyższego przykładu wzrośnie do 1603 punktów to następnego dnia do obrotu wejdzie opcja z kursem wykonania 1800 punktów. Pierwszymi opcjami walutowymi były opcje na funty brytyjskie, które zadebiutowały w grudniu 1982 r. na giełdzie Philadelphia Stock Exchange. Obecnie jest to największa 3 Wtakisposóbpowstałyopcjeegzotyczne. 4 Następowałotozarazapodniuustaleniaprawadodywidendy.

11 2.2. OPCJE 11 giełda opcji walutowych. Opcje na futures są dostępne dla większości instrumentów, na które wystawiane są kontrakty futures. Nabywca opcji na futures ma prawo do zajęcia długiej(opcja kupna) lub krótkiej(opcja sprzedaży) pozycji w kontrakcie futures po cenie wykonania. Do najpopularniejszychopcjinafuturesnależąkontraktynaeurodolary 5,amerykańskieobligacje skarbowe, a także niemieckie obligacje skarbowe Cenaopcji Na cenę opcji wpływ ma wiele czynników, jednak największy ma funkcja wypłaty[8, 11, 12]. Określa ona jaką wypłatę otrzymuje nabywca opcji w momencie jej wykonania. Standardowafunkcjawypłatyeuropejskiejopcjikupnajestpostacif T =max{s T K,0},natomiaststandardowafunkcjawypłatyopcjisprzedażyjestpostacif T =max{k S T,0}. Dlastandardowejopcjiamerykańskiejmamyodpowiednio:f t =max{s t K,0}oraz f t =max{k S t,0},gdziekjestcenąwykonaniaopcji,tjestterminemwygaśnięcia opcji(dlaopcjiamerykańskiejmamyttakie,żett),natomiasts T is t cenąinstrumentu podstawowego w chwili T i t odpowiednio. Wartość wewnętrzną opcji w każdej chwili t otrzymujemy, przez podstawienie bieżącej ceny instrumentu podstawowego do wzoru na funkcję wypłaty. Wpływ na nią mają oczywiściedwaczynniki:cenainstrumentupodstawowegos t orazcenawykonaniaopcji K. Im wyższa cena wykonania i im niższa cena instrumentu podstawowego tym więcej jest warta opcja sprzedaży. Dla opcji kupna mamy sytuację odwrotną, tzn. im niższa cena wykonania i wyższa cena instrumentu podstawowego tym więcej jest warta opcji kupna. Na pozostałą część premii składa się wartość zewnętrzna(czasowa) opcji. Największy wpływ na wartość czasową opcji mają trzy czynniki. Pierwszym z nich jest czas pozostały doterminuwygaśnięciat.imczastenjestdłuższy(tzn.imwiększejestt),tymwięcej warta jest opcja kupna jak i opcja sprzedaży. Łatwo można to wytłumaczyć. Dla opcji europejskiej im większe T, tym więcej może się jeszcze zmienić, a ponieważ wypłata jest ograniczona z dołu przez zero, więc istnieje duże prawdopodobieństwo, że będą to zmiany korzystnedlaposiadaczaopcji 6.Właścicielopcjiamerykańskiejodłuższymterminiewygaśnięcia ma do dyspozycji możliwości wykonania opcji jak posiadacz opcji o krótszym terminie, a także te które pojawią się później. Drugim czynnikiem jest stopa procentowa. Jej wzrost powoduje wzrost ceny opcji kupna, ponieważ na kupno opcji wydajemy mniej niż na instrument podstawowy. Zaoszczędzone tym sposobem fundusze można zainwestować przy bieżącej stopie procentowej do terminu wygaśnięcia opcji. Dla opcji sprzedaży wzrost stopy procentowej pociąga za sobą odwrotne skutki, czyli powoduje spadek jej wartości. Wreszcietrzecimczynnikiemwpływającymnawartośćczasowąopcjijestzmienność 7 ceny instrumentu podstawowego. Jest to miara niepewności co do przyszłych zmian tej ceny. Jeśli zmienność wzrasta, wraz z nią rośnie prawdopodobieństwo większych zmian wartości instrumentu podstawowego. Ponieważ zysk właściciela opcji kupna rośnie wraz ze wzrostem ceny instrumentu podstawowego, natomiast ewentualna strata będzie w 5 DolaryamerykańskiezdeponowanewamerykańskimbądźzagranicznymbankupozagranicamiStanów Zjednoczonych. 6 Niezawszejesttakasytuacja,gdyżdlaopcjinaakcjęwypłacającądywidendęprzedwygaśnięciem opcji, akcja traci na wartości. 7 Empiryczniewyznaczanajestjakoodchyleniestandardowestopyzwrotutegoinstrumentu.

12 12 ROZDZIAŁ 2. RYNEK FINANSOWY A OPCJE najgorszym wypadku równa premii, dlatego wartość opcji kupna jest większa dla większej zmienności cen. Analogicznie zysk posiadacz opcji sprzedaży rośnie wraz ze spadkiem ceny instrumentu podstawowego, a strata jest ograniczona, dlatego również wartość opcji sprzedaży rośnie wraz ze wzrostem zmienności Greckiewskaźniki Zarządzając ryzykiem portfela instrumentów finansowych jesteśmy zainteresowani wrażliwością ceny opcji na zmiany wartości niektórych parametrów mających na nią wpływ [11, 12]. Na przykład ceny instrumentu podstawowego, zmienności, czy czasu do terminu wygaśnięcia. Z matematycznego punktu widzenia greckie wskaźniki są pochodnymi cząstkowymi ceny opcji względem wymienionych czynników. Pierwszym i najważniejszym wskaźnikiem wrażliwości jest delta. Wskazuje jak bardzo zmieni się wartość opcji, gdy zmieni się cena instrumentu podstawowego o jedną jednostkę. Delta jest pierwszą pochodną cząstkową ceny opcji względem ceny instrumentu podstawowego. Drugi wskaźnik wrażliwości gamma Γ wskazuje jak bardzo zmieni się delta, gdy zmieni się cena instrumentu podstawowego. Z matematycznego punktu widzenia jest to druga pochodna ceny opcji względem ceny instrumentu podstawowego. W praktyce mnoży się Γ przez cenę instrumentu podstawowego, aby otrzymana wartość wskazywała jak zmieni się delta w przypadku wzrostu lub spadku ceny instrumentu podstawowego o 1%. Wskaźnik theta Θ określa względną zmianę ceny opcji względem czasu pozostałego do terminu wygaśnięcia. Wartość Θ jest prawie zawsze ujemna, ponieważ wraz z upływem czasu wartość opcji z reguły maleje. Jest to pochodna ceny opcji względem czasu. W praktyce często dzieli się otrzymany wynik przez liczbę dni w roku, tak aby otrzymana wartość wskazywała jak zmieni się cena opcji w ciągu jednego dnia. Wskaźnikvega 8 Vokreślawzględnązmianęcenyopcjiwzględemzmianyzmienności instrumentu podstawowego(pochodna ceny opcji względem zmienności). Jeżeli V jest duża, to cena opcji jest bardzo wrażliwa na niewielkie wahania zmienności. W praktyce dzieli się otrzymany wynik przez 100, tak aby otrzymana wartość wskazywała jak zmieni się cena opcji w przypadku zmiany zmienności o 1%. Ostatni wskaźnik rho ρ określa względną zmianę ceny opcji względem zmiany stopy procentowej(pochodna ceny opcji względem stopy procentowej). W praktyce często dzieli sięρprzez100tak,byotrzymanawartośćwskazywałajakzmienisięcenaopcjiwprzypadku zmiany stopy procentowej o 1%. 8 Wskaźniktenczęstonazywanyjestkappaκ,ponieważveganiejestgreckąliterą.

13 Rozdział 3 Metody wyceny opcji Opcje można wyceniać za pomocą różnych metod numerycznych. W pracy zastosowałem metody:blacka-scholesa,dwumianową(orazjejmodyfikację metodędwumianową( 1 2 )), schematy różnicowe jawny oraz ukryty, a także metodę Cranka-Nicolsona. W rozdziale tym znajduje się dokładny opis każdej z tych metod. 3.1 MetodaBlacka-Scholesa Black-Scholes(1973) i niezależnie od nich Merton(1973) podali wzór na tzw. sprawiedliwą cenę standardowej europejskiej opcji kupna na akcję nie wypłacającą dywidendy. Kupno lub sprzedaż instrumentu po tej cenie nie powinno przynieść strat(ani zysków). Dlatego, aby zarobić, należy kupować poniżej tej ceny, a sprzedawać powyżej. Równoważnie można powiedzieć, że jest to cena nie dopuszczająca arbitrażu. Dokonali tego przy następujących założeniach: Brak arbitrażu na rynku. Oznacza to, że nie istnieją możliwości osiągnięcia zysku bez ponoszenia ryzyka. W rzeczywistości takie sytuacje się zdarzają, ale niemal natychmiast są korygowane przez siły popytu i podaży. Rozkład zwrotów cen instrumentu podstawowego jest normalny. Rynek działa w sposób ciągły, a cena instrumentu podstawowego S jest opisana geometrycznym ruchem Browna. Krótkoterminowa, wolna od ryzyka stopa procentowa r nie zmienia się w okresie ważności opcji. Ponadto uczestnicy rynku mogą pożyczać i inwestować środki według tej samej stopy procentowej. Instrument podstawowy jest podzielny, tzw. można kupić lub sprzedać dowolną jego ilość. Cenakupnajesttakasamajakcenasprzedaży. Nie uwzględnia się kosztów transakcji ani podatków. Nie ma dodatkowych kosztów związanych z zajmowaniem tzw. krótkiej pozycji. 13

14 14 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI Opcjawaniliowa Rozpatrzmy standardową opcję kupna i oznaczmy ją przez X. Jej funkcja wypłaty ma następującąpostaćf T =(S T K) +.Zewzorunacenęarbitrażową 1 mamyv 0 =e rt E Q (S T K) +.Abywyliczyćtęwartośćoczekiwanąwzględemmiary Q,wyrazimyprocescenyS T zapomocąruchubrowna B t względem Q: d(lns t )=σd B t +(r 1 2 σ2 )dt. Stąd lns t =lns 0 +σ B t +(r 1 2 σ2 )t i konsekwentnie S t =S 0 e σ B t+(r 1 2 σ2 )t. Zauważmy,żerozkładzmiennejS T możnaprzedstawićjakorozkładzmiennejs 0 e Z+rT, gdziezmiennalosowaz N( 1 2 σ2 T,σ 2 T),cowynikazwłasnościruchuBrowna B t. Stąd: V 0 (X) = e rt E Q [S 0 e Z+rT K] + = = 1 2πσ2 T ln K S 0 rt (S 0 e x Ke rt )e (x+1 2 σ 2 T) 2 2σ 2 T dx. Popodstawieniuu= x+1 2 σ2 T σ T mamy V 0 (X)= 1 d (S 0 e σ Tu 1 2 σ2t Ke rt )e 1 2 u2 du, 2π gdzie Zauważmy, że stąd otrzymujemy d ± = lns 0 K +(r±1 2 σ2 )T σ. (3.1) T e σ Tu 1 2 σ2 T 1 2 u2 =e 1 2 (u+σ T) 2, V 0 (X) = S d + 0 2π d 2π e 1 2 u2 du Ke rt = S 0 Φ(d + ) Ke rt Φ(d ), e 1 2 u2 du= gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. Ostatecznie otrzymujemy wzórblacka-scholesanacenęc 0 V 0 (X)europejskiejopcjikupna C 0 =S 0 Φ lns 0 K +(r+1 2 σ2 )T σ Ke rt Φ lns 0 K +(r 1 2 σ2 )T T σ. T 1 Szczegółowyopismożnaznaleźćw[11].

15 3.1. METODA BLACKA-SCHOLESA 15 Powyższy wzór można rozszerzyć na cenę opcji kupna w dowolnej chwili t: gdzie C t =C t (S t,k,t t)=s t Φ(d + ) Ke r(t t) Φ(d ), (3.2) d ± = lnst K +(r±1 2 σ2 )(T t) σ. (3.3) T t Korzystajączparytetukupna-sprzedaży 2 łatwootrzymujemycenęopcjisprzedaży: P t =P t (S t,k,t t)= S t Φ( d + )+Ke r(t t) Φ( d ), (3.4) gdzied ± sątakiesamejakdlaopcjikupna. Wzory(3.2) i(3.4) ulegną niewielkiej modyfikacji, kiedy wyceniamy opcję na instrument wypłacający w sposób ciągły dywidendę o stopie równej d w skali rocznej. PodstawiającS t S t e d(t t) otrzymujemycenęopcjikupna gdzie C d t=c d t(s t,k,t t)=s t e d(t t) Φ(d d +) Ke r(t t) Φ(d d ), d d ±= lnst K +(r d±1 2 σ2 )(T t) σ. (3.5) T t Analogicznie cena opcji sprzedaży na akcję wypłacającą dywidendę d w sposób ciągły P d t=p d t(s t,k,t t)= S t e d(t t) Φ( d d +)+Ke r(t t) Φ( d d ), gdzied d ±sątakiesamejakdlaopcjikupna. W przypadku opcji handlowanej na rynku pozagiełdowym wzory na ceny opcji kupna i sprzedaży mamy odpowiednio: oraz C d t=s t e d(tr tr) Φ(d d +) Ke r(tr tr) Φ(d d ), P d t= S t e d(tr tr) Φ( d d +)+Ke r(tr tr) Φ( d d ), d d ±= lnste(r d)(tr tr) K ± 1 2 σ2 (T h t h ) σ T h t h, (3.6) gdziet h -terminwygaśnięciaopcji,t h -terminzawarciatransakcji,t r -terminrozliczenia transakcjiorazt r -dataspotdlat h Opcjabinarna Rozpatrzmy binarną europejską opcję kupna i oznaczmy ją przez X. Jej funkcja wypłatymapostaćf T = AI {ST >K}.Postępującpodobniejakwprzypadkuopcjiwaniliowej otrzymujemy V 0 (X)=e rt E Q [AI {ST >K}]= Ae rt 2πσ2 T ln K S 0 rt e (x+1 2 σ 2 T) 2 2σ 2 T dx. 2 Parytetkupna-sprzedażyC t P t =S t Ke r(t t).

16 16 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI Popodstawieniuu= x+1 2 σ2 T σ T mamy V 0 (X)= Ae rt d e 1 2 u2 du, 2π gdzied jesttakiesamojakwewzorze(3.1).ostatecznieotrzymujemywzórtypublacka- ScholesaC B 0 V 0 (X) C B 0 =Ae rt Φ(d ). Rozszerzając teraz powyższy wzór na cenę opcji kupna w dowolnej chwili t otrzymujemy wzór na cenę europejskiej binarnej opcji kupna C B t =C B t(a,k,t t)=ae r(t t) Φ(d ), gdzied jesttakiesamojakwewzorze(3.3).analogicznieotrzymujemywzórnacenę europejskiej binarnej opcji sprzedaży P B t =P B t(a,k,t t)=ae r(t t) Φ( d ), gdzied jesttakiesamojakdlaopcjikupna. Dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły o stopie równej d, po przekształceniach jak dla opcji waniliowej, otrzymujemy wzór na cenę opcji kupna oraz na cenę opcji sprzedaży C B,d t =C B,d t (A,K,T t)=ae r(t t) Φ(d d ), P B,d t =P B,d t (A,K,T t)=ae r(t t) Φ( d d ), gdzied d jesttakiejakwewzorze(3.5). Dla opcji znajdujących się w obrocie pozagiełdowym ceny opcji binarnych mają postać: C B,d t =Ae r(tr tr) Φ(d d ), gdzied d jesttakiejakwewzorze(3.6) Greckiewskaźniki P B,d t =Ae r(tr tr) Φ( d d ), Greckie wskaźniki są pochodnymi ceny instrumentu podstawowego względem odpowiedniej zmiennej. W poniższych wzorach podane są greckie wskaźniki dla opcji znajdujących sięwobrociepozagiełdowym.dlaopcjigiełdowychmamyt r =t h orazt r =T h.w przypadku opcji waniliowej mają one postać: C = C t S t =e dτr Φ(d d +), P = P t S t = e dτr Φ( d d +),

17 3.1. METODA BLACKA-SCHOLESA 17 Γ= 2 C t S 2 t =e dτr n(dd +) S t σ τ h, Θ C = C t t = S tn(d d +)σe dτr 2 τ h +ds t e dτr Φ(d d +) rke rτr Φ(d d ), Θ P = P t t = S tn(d d +)σe dτr 2 τ h ds t e dτr Φ( d d +)+rke rτr Φ( d d ), V= C t σ =S te dτr n(d d +) τ h, ρ C = C t r =τ rke rτr Φ(d d ), ρ P = P t r = τ rke rτr Φ( d d ). Gdzie Φ( ) oraz n( ) to odpowiednio dystrybuanta i gęstość standardowego rozkładu normalnego,τ r =T r t r,τ h =T h t h,natomiastd d ±jesttakiejakwewzorze(3.6). Natomiast dla opcji binarnej mamy: B C= CB t S t = Ae rτr n(d d ) S t σ τ h, B P= PB t = Ae rτr n( d d ) S t S t σ, τ h Γ B C= (CB t) 2 S 2 t = Ae rτr n(d d )d d +, σ 2 τ h St 2 Θ B C= CB t t Θ B P= PB t t Γ B P= (PB t) 2 = Ae rτr n(d d )d d +, St 2 σ 2 τ h St 2 ( ( =Ae rτr rφ(d d ) n(dd ) d d 2τ + 2r )) τ h, h σ ( ( =Ae rτr rφ( d d )+ n( dd ) d d 2τ + 2r )) τ h, h σ VC B = CB t = Ae rτr n(d d )d d +, σ σ VP B = PB t =Ae rτr n( d d )d d +, σ σ ( ρ B C= CB t r =Ae rτr τ r Φ(d d )+ n(dd ) ) τ h, σ ( ρ B P= PB t r = Ae rτr τ r Φ( d d )+ n(dd ) ) τ h. σ GdzieΦ( ),n( ),τ h,τ r orazd d ±sątakiejakdlaopcjiwaniliowej.

18 18 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI 3.2 Metodadwumianowa Brakdywidendy Drzewko dwumianowe jest graficznym przedstawieniem losowości w przyjętym modelu matematycznym[3, 11]. Losowość wyraża się poprzez przyjmowanie przez akcję(ogólniej: instrument podstawowy) w każdej następnej chwili jednej z dwóch możliwych cen. Drzewko dwumianowe składa się z wierzchołków oraz linii oznaczających drogi między tymi wierzchołkami. Przy każdej linii można umieścić odpowiednie prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego, polegającego na przejściu z jednego wierzchołka do drugiego, awięcschematlosowyjestopisanymiarąprobabilistyczną P={p i }.Wswejpracystosuję drzewka multiplikatywne, budowane w sposób zaprezentowany na rysunku 3.1. Su 4 1 Su 3 1 Su 2 1 Su 3 1u 2 Su 1 Su 2 1u 2 S Su 1 u 2 Su 2 1u 2 2 Su 2 Su 1 u 2 2 Su 2 2 Su 1 u 3 2 Su 3 2 Su 4 2 Rysunek 3.1: Konstrukcja drzewka dwumianowego, gdzie S- cena instrumentu podstawowego wchwili0,orazu 1 = 1 u 2 =e δ t. AbywycenićinstrumentX,którymafunkcjęwypłatyf T,budujemyportfelreplikującyΠ t =(Φ t,ψ t ),gdzieφ t toliczbaakcji(s t ),aψ t toliczbaobligacji(λ t )wportfelu. Wartość portfela w chwili t wynosi Natomiast w chwili t + δt otrzymujemy V t (Π t )=Φ t S t +Ψ t Λ t =x t. (3.7) V t+δt (Π t )= Φ ts + t+δt +Ψ tλ t+δt =x + t+δt,gdycenas twzrośnie Φ t S t+δt +Ψ tλ t+δt =x t+δt,gdycenas tspadnie (3.8) gdzieλ t+δt =e rδt Λ t.poodjęciustronami(3.8)mamy Φ t (S + t+δt S t+δt )=x+ t+δt x t+δt,

19 3.2. METODA DWUMIANOWA 19 więc Zrównań(3.8)i(3.9)mamy,że Φ t = x+ t+δt x t+δt S t+δt +. (3.9) S t+δt x + t+δt x t+δt S t+δt + S S t+δt + +Ψ tλ t e rδt =x + t+δt, t+δt więc Ψ t =Λ 1 t e rδt x + t+δt t+δtx + S+ t+δt x t+δt. S t+δt + S t+δt Podstawiając do wzoru(3.7) otrzymujemy Wprowadźmy oznaczenie x t = x+ t+δt x t+δt S t+δt + S t +Λ 1 S t+δt t e rδt x + t+δt x+ t+δt x t+δt S t+δt + S t+δt A= x+ t+δt x t+δt S t+δt +. S t+δt Teraz równanie(3.10) upraszcza się do równania S + t+δt Λ t. (3.10) x t =AS t +x + t+δt e rδt AS t+δt + e rδt =e rδt [A(S t e rδt S t+δt + )+x+ t+δt ]. (3.11) Wprowadźmykolejneoznaczenie 3 q t = S te rδt S t+δt S + t+δt S t+δt S te rδt S t u 2 S t u 1 S t u 2 = erδt u 2 u 1 u 2. Wzór(3.11) będzie miał teraz postać Ostatecznie mamy x t =e rδt [(q t 1)(x + t+δt x t+δt )+x+ t+δt ]. x t =e rδt [q t x + t+δt +(1 q t)x t+δt ]. (3.12) Dlaopcjiamerykańskiej 4 musimyuwzględnićmożliwośćwykonaniaopcjiwdowolnym momencie. Mamy zatem x t =max{e rδt [q t x + t+δt +(1 q t)x t+δt ];f t}. (3.13) Jest to cena instrumentu pochodnego. Interpretujemy ją jako zdyskontowaną wartość oczekiwanąwzględemnowejmiary. Q={q t }interpretujemyjakomiaręarbitrażową 5. Zauważmybowiem,że0<q t <1,bogdybyq t 0,toS t e rδt S t+δt <S t+2δt,wtedy sprzedając obligacje i kupując za uzyskane pieniądze akcje można uzyskać zysk bez ponoszeniaryzyka(awięcarbitraż).wchwilit+δtakcjebyłybywarteconajmniejs t+δt, 3 Tożsamośćzachodzitylkodladrzewekmultiplikatywnych. 4 Opcjaktórąmożnawykonaćwdowolnejchwilit [0,T]. 5 Jesttomiara,któraniedopuszczadoarbitrażu.

20 20 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI Su 4 1(1 δ) Su 3 1(1 δ) S Su 1 Su 2 Su 2 1(1 δ) Su 1 u 2 (1 δ) Su 3 1u 2 (1 δ) Su 2 1u 2 (1 δ) Su 2 1u 2 2(1 δ) Su 1 u 2 2(1 δ) Su 2 2(1 δ) Su 1 u 3 2(1 δ) ex-dividend date Su 3 2(1 δ) Su 4 2(1 δ) Rysunek 3.2: Drzewko dwumianowe dla opcji na instrument wypłacający dywidendę procentową w wysokości δ w ex-dividend date. aobligacje,którenależałobyodkupić,jedynies t e rδt.przeprowadzającanalogicznerozumowanieotrzymujemy,żemusizachodzićtakżenierównośćq t <1. Dlaopcjihandlowanychnarynkupozagiełdowych,gdziet h -liczbadnimiędzysprzedażą(kupnem)opcji,aterminemwygaśnięciait r -liczbadnipomiędzydatąspot,a terminemrozliczeniasąróżne,zmianieulegająwspółczynnikiu 1 iu 2.Mająoneteraz postać: u 1 = 1 u 2 =e δ t h. Zmianie ulega także wzór na prawdopodobieństwo arbitrażowe: q t = erδtr u 2 u 1 u 2, natomiast we wzorach 3.12 i 3.13 mamy odpowiednio: x t =e rδtr [q t x + t+δt +(1 q t)x t+δt ], x t =max{e rδtr [q t x + t+δt +(1 q t)x t+δt ];f t} Stała stopa dywidendy Porównajmy akcję wypłacającą w sposób ciągły dywidendę o stopie równej d w skali roku z inną akcją tej samej spółki, nie wypłacającą dywidendy. Przyjmijmy, że cena pierwszej akcjiwzrastawczasieδtzwartościs t dos t+δt.wtedy,abyniebyłookazjidoarbitrażu, cenadrugiejakcjimusiałabywzrosnąćwtymsamymczasiezs t dos t+δt e dδt.alternatywniemożnapowiedzieć,żecenadrugiejakcjiwzrosłabyzs t e dδt dos t+δt.dlategoprzy

21 3.2. METODA DWUMIANOWA 21 wycenianiu opcji na instrumenty o stałej stopie dywidendy można zmniejszyć aktualną cenęakcjis t dowartościs t e dδt,anastępniewycenićopcjęwtakisamsposóbjakopcje na akcje nie wypłacające dywidend. Postępując w ten sposób otrzymujemy następujący wzór na prawdopodobieństwo arbitrażowe w chwili t: q t = S te (r d)δt St+δt S t+δt +, S t+δt gdzies t jestobecnącenąakcji,natomiasts + t+δt is t+δt sąznanyminamcenamiakcjiw następnym kroku, odpowiednio w przypadku ruchu w górę i w dół. Wartość opcji jest dana jak wcześniej wzorami(3.12) oraz(3.13) Dywidendaprocentowa Przy wycenie opcji na instrument wypłacający w ex-dividend date dywidendę δ, będącą pewnym procentem wartości instrumentu podstawowego pewnej modyfikacji ulega drzewko cen instrumentu podstawowego[6]. Przed wypłatą dywidendy nic się nie zmieniaimaonopostaćjakwcześniejsu j 1u i j 2, j=0,1,...,i,gdzieinorazu 1 iu 2 jak wcześniej. Natomiast po wypłacie dywidendy δ cena instrumentu podstawowego jest odpowiedniomniejszaiwynosis(1 δ)u j 1u i j 2, j=0,1,...,i.schematdrzewkawyceny opcji na akcję wypłacającą dywidendę procentową jest przedstawiony na rys Dywidendastała W przypadku wyceny opcji na instrument wypłacający dywidendę o stałej wysokości D w określonym terminie pojawia się problem rozjeżdżającego się drzewka. Schemat takiego drzewkailustrujerys Abyominąćtenproblemniecoinaczejzbudujemydrzewkocen akcji. Przed wypłatą dywidendy(wypłata następuje w momencie τ) cena instrumentu podstawowegowynosis =S De r(τ iδt),gdzieiδtτ.dlatakiegos tworzymy drzewkoceninstrumentupodstawowegos u j 1u i j 2, j=0,1,...,i,gdziein,anastępnie dlaiδtτmamys u j 1u i j 2 +De r(τ iδt).zabiegtenpozwalanamrozwiązaćproblem rozjeżdżającego się drzewka i wycenić opcję na instrument wypłacający dywidendę wysokości D w chwili τ(ex-dividend date) Alternatywna konstrukcja drzewek dwumianowych Przedstawiony w tym rozdziale sposób konstrukcji drzewek dwumianowych nie jest jedynym. Można podejść do niego w nieco inny sposób[6]. Mianowicie zamiast drzewek, na których prawdopodobieństwo zmiany ceny w następnym kroku jest dowolne, choć takie samo na całym drzewku, tworzymy drzewko dla którego prawdopodobieństwo to jest zawszerówne 1 2.Dlaodróżnieniaodpoprzedniejmetodydwumianowej,metodaalternatywnanazywanabędziedwumianowa( 1 2 ).Wtejprocedurzezmianieulegajączynnikiu 1 orazu 2.Sąoneterazpostaci: 6 Szczegółymożnaznaleźćw[6]. u 1 =e (r d σ2 2 ) t+σ t,

22 22 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI S Su 1 Su 2 Su 2 1 D Su 1 u 2 D Su 2 2 D ex-dividend date Rysunek 3.3: Drzewko dwumianowe dla opcji na instrument wypłacający dywidendę stałą w wysokości D w ex-dividend date. u 2 =e (r d σ2 2 ) t σ t. Gdzie d jest wysokością dywidendy wypłacanej w sposób ciągły. Kiedy tworzymy drzewko dlaopcjinaakcjęwypłacającądywidendęprocentowąlubstałąwu 1 orazu 2 wstawiamy oczywiście d = 0. Dla opcji w obrocie pozagiełdowym współczynniki te ulegają pewnej modyfikacji: u 1 =e (r d σ2 2 ) t h+σ t h, u 2 =e (r d σ2 2 ) t h σ t h. Wszystkie pozostałe kroki w tej procedurze pozostają identyczne jak w poprzednim schemacie tworzenia drzewek dwumianowych. Przy takiej konstrukcji nie można jednak odczytać greckich wskaźników wprost z drzewka. Aby je wyznaczyć należy skorzystać zdefinicji Greckiewskaźniki Dla metody dwumianowej część greckich wskaźników można obliczyć wprost z drzewka [6].Wtakisposóbobliczamy,ΓiΘ,pozostałe,czyliViρotrzymujemywykorzystując definicję. Dla drzewek konstruowanych w alternatywny sposób wszystkie wskaźniki liczymy wprost z definicji. Poniższe wzory pokazują jak numerycznie przybliżać greckie wskaźniki z drzewka: = f 2,2 f 2,0, Su 2 1 Su 2 2 Γ= f 2,2 f 2,1 Su 2 1 S f 2,1 f 2,0 S Su 2 2 1, 2 (Su2 1 Su 2 2)

23 3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE 23 Θ= f 2,1 f 0,0, 2 t gdzief i,j jestwartościąopcjinadrzewkuwwierzchołku(i,j). Z definicji liczymy pozostałe wskaźniki, a dla alternatywnej konstrukcji także, Γ i Θ: = f f S, Γ= S, Θ= f f, t V= f f σ, = f f, r gdziefif ( i )sąwyliczonymiwartościamiopcji(parametru )nadrzewkudla odpowiednio oryginalnych i jednego, zależnie od wskaźnika, nieco zmienionego parametru. 3.3 Schematyróżnicowe Opisana w poprzednim rozdziale metoda wyceny opcji nie jest oczywiście jedyną. Innym podejściem do wyceny są metody różnicowe. Podstawową cechą jaka odróżnia schematy różnicowe od metody dwumianowej jest wpływ na podział zarówno osi czasu jak i osi instrumentu podstawowego na siatce cen opcji. W[1] po raz pierwszy zastosowano schematy różnicowe do finansów Schemat różnicowy jawny Niech f będzie ceną opcji zależną od ceny S instrumentu podstawowego wypłacającego wsposóbciągłydywidendędorazczasut[1,6,7,9,10,13].załóżmy,żesjestopisana geometrycznym ruchem Browna ZlematuItô 7 otrzymujemy df= f S µs+ f t +1 2 ds=µsdt+σsdb t. 2 f S 2 S 2σ2 dt+ f S σsdb t. MożemyzbudowaćportfelΠowartościV(Π)= f+ f S.Zmiana V(Π)wartości S portfela w czasie t dana jest równaniem V(Π)= f t 1 2 f S 2 t. 2 S 2σ2 7 LematItô:JeżeliX t maróżniczkęstochastycznądx t =µ(t)dt+σ(t)dw t,x 0 =0,f C 1,2, tof(x,t)maróżniczkępostacidf(x,t) = (µ(x,t) f X (X,t)+ 1 2 σ2 (X,t) 2 f X(X,t)+ f 2 t (X,t))dt+ σ(x,t) f X (X,t)dB t.napodstawie[11].

24 24 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI S max Cena akcji Wartość opcji wtympunk- cie jest liczona z wykorzystaniem wartości opcji w tych punktach. 2 S S 0 t t+ t Czas T Rysunek 3.4: Schemat działania metody jawnej na siatce cen opcji. Wczasie twłaścicielportfelazarabia V(Π)orazdywidendęrównąSd f S t.całkowita zmiana wartości portfela W w czasie t równa jest zatem W= f t f S 2 +Sd f t. S 2σ2 S Porównując całkowity zwrot dla W ze zwrotem wolnym od ryzyka rπ t otrzymujemy więc f t f S 2 +Sd f t=r f+ f S 2σ2 S S S t, f t +(r d)s f S +1 2 σ2 S 2 2 f S2=rf, (3.14) gdzie σ jest zmiennością cen instrumentu podstawowego, a r jest wolną od ryzyka stopą procentową. Zdefiniujmy t= T Smax oraz S=.Naosiczasumamy(n+1)punktów0, t,2 t,...,t, n m natomiastnaosiwartościinstrumentupodstawowego (m+1)punktów0, S,2 S,...,S max. Punkt(i, j) na siatce odpowiada wartości instrumentu podstawowego i S oraz czasowi j t.wartośćopcjiwtympunkcieoznaczmyprzezf i,j. Wartości opcji f 0,j dla j=0,1,...,n, f m,j dla j=0,1,...,n, otrzymujemy z warunków brzegowych, natomiast f i,n dla i=0,1,...,m,

25 3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE 25 zadane są przez funkcję wypłaty. Wartości opcji w wewnętrznych punktach siatki(i, j) będziemy obliczać wykorzystując: ( fi+1,j+1 f i,j+1 S f t =f i,j+1 f i,j, (3.15) t f S =f i+1,j+1 f i 1,j+1, (3.16) 2 S f ) i,j+1 f i 1,j+1 S S 2 f S 2= Możemy teraz zapisać równanie(3.14), przy pomocy wzorów(3.15),(3.16) i(3.17), w postaci: f i,j+1 f i,j t = f i+1,j+1+f i 1,j+1 2f i,j+1 S 2. (3.17) +(r d)i S f i+1,j+1 f i 1,j S 2 σ2 i 2 S 2f i+1,j+1+f i 1,j+1 2f i,j+1 =rf S 2 i,j. Po uporządkowaniu składników otrzymujemy algorytm na wycenę opcji, na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły wg. stopy d, w schemacie różnicowym jawnym: gdzie f i,j =a if i 1,j+1 +b if i,j+1 +c if i+1,j+1, (3.18) a i = 1 1+r t ( 1 2 (r d)i t+1 2 σ2 i 2 t), b i = 1 1+r t (1 σ2 i 2 t), c i = 1 1+r t (1 2 (r d)i t+1 2 σ2 i 2 t). Wschemacietymwartośćopcjif i,j otrzymujemywsposóbjawny 8,ponieważwartości opcjif i 1,j+1,f i,j+1 orazf i+1,j+1 sąjużwcześniejznane.rysunek3.4przedstawiaschemat działania metody jawnej na siatce cen opcji. Dla opcji handlowanych na rynku pozagiełdowym, gdzie czas handlu opcji nie pokrywa sięzczasemprzepływówpieniężnych(t h t r ),pewnejmodyfikacjiulegnąwspółczynniki a i,b i,c iwalgorytmie3.18.będąonemiałyterazpostać: a i = 1 1+r t r ( 1 2 (r d)i t r+ 1 2 σ2 i 2 t h ), b i = 1 1+r t r (1 σ 2 i 2 t h ), c i = 1 1+r t r ( 1 2 (r d)i t r+ 1 2 σ2 i 2 t h ), gdziet h -liczbadnimiędzyterminemzawarciatransakcji,aterminemwygaśnięciaopcji, natomiastt r -liczbadnipomiędzydatąspotiterminemrozliczenia. Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu (tzw. ex-dividend date dzień ustalenia prawa do dywidendy), a dywidenda stanowi pewien procent δ wartości akcji, to musimy nieco zmodyfikować siatkę cen tego instrumentu (patrz rys. 3.5). Od dnia wypłaty dywidendy aż do czasu T cena instrumentu podstawowego musi być pomniejszona o wartość wypłaconej dywidendy, a więc zamiast i S 8 Stądnazwametody-schematróżnicowyjawny.

26 26 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI S max Cena akcji 2 S S 0 t t+ t ex-dividend date Czas T Rysunek 3.5: Siatka cen opcji w schemacie różnicowym jawnym dla opcji na instrument wypłacający dywidendę procentową w określonym terminie. mamyi S(1 δ)dlai=0,1,...,m.kolejnekrokialgorytmuwycenyopcjisątakiejak dla wyceny opcji w schemacie jawnym na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły, przy czym oczywiście we wzorze(3.18) dywidenda d = 0. Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu (ex-dividend date), a dywidenda jest określonej wartości D, to podobnie jak dla dywidendy procentowej musimy nieco zmodyfikować siatkę cen tego instrumentu. W tym przypadku stosujemy jednak nieco inny zabieg techniczny. Ponieważ siatkę cen instrumentu podstawowegodopewnegostopniadobieramydowolnie 9,towprzypadkugdyinstrument podstawowy wypłaca dywidendę o określonej wartości D można najpierw obniżyć cenę instrumentu podstawowego o zdyskontowaną wartość dywidendy na chwilę 0. Następnie tworzymy siatkę cen instrumentu podstawowego oraz podwyższamy jego cenę, o zdyskontowaną na odpowiedni moment t wartość dywidendy, do momentu jej wypłaty. Wartość instrumentu podstawowego po dniu ustalenia prawa do dywidendy pozostaje wówczas bez zmian. Zmiana ta pozwoli nam bez problemu wycenić opcję na takie instrumenty stosując w kolejnych krokach algorytm(3.18), oczywiście dla d = 0. Schemat siatki jest w tym przypadku taki sam jak dla dywidendy procentowej. Część greckich wskaźników dla schematu różnicowego jawnego, podobnie jak w metodzie dwumianowej, można obliczyć wprost z siatki cen opcji, pozostałe wykorzystując definicję. Z siatki obliczymy: 9 Szczegółymożnaznaleźćw[13]. = f i+1,0 f i 1,0, 2 S Γ= f i+1,0 2f i,0 +f i 1,0 S 2,

27 3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE 27 S max Cena akcji Wartości opcji wtychpunk- tach są liczone wykorzystując wartość opcji w tym punkcie. 2 S S 0 t t+ t Czas T Rysunek 3.6: Schemat działania metody ukrytej na siatce cen opcji. Θ= f i,1 f i,1, t gdzief i,j jestwartościąopcjinasiatcewpunkciei(odpowiadanumerowiwierszana siatce), j(odpowiada numerowi kolumny na siatce). Natomiast V i ρ obliczamy z definicji: V= f f σ, ρ= f f, r gdziefif sąwartościamiopcjiobliczonymiodpowiedniodlaoryginalnychparametrów orazlekkozmienionymσdlavorazrdlaρ Schemat różnicowy ukryty Podstawę do wyceny opcji w schemacie ukrytym stanowi równanie(3.14). Rysunek 3.6 przedstawia schemat działania metody ukrytej[1, 6, 7, 9, 10, 13]. Podobnie jak w schemacieróżnicowymjawnymzdefiniujmy t= T n oraz S=Smax.Naosiczasumamy m n+1punktów0, t,2 t,...,t,natomiastnaosiwartościinstrumentupodstawowego mamym+1punktów0, S,2 S,...,S max.punkt(i,j)nasiatceodpowiadawartościinstrumentu podstawowego i S oraz czasowi j t. Wartość opcji w tym punkcie oznaczmy przezf i,j. Wartości opcji f 0,j dla j=0,1,...,n, f m,j dla j=0,1,...,n, otrzymujemy z warunków brzegowych, natomiast f i,n dla i=0,1,...,m,

28 28 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI zadane są przez funkcję wypłaty. Wartości opcji w wewnętrznych punktach siatki(i, j) będziemy obliczać wykorzystując(3.15) oraz: f S =f i+1,j f i 1,j, (3.19) 2 S ( fi+1,j f i,j f ) i,j f i 1,j S S S 2 f S 2= Możemy teraz zapisać równanie(3.14), przy pomocy wzorów(3.15),(3.19) i(3.20), w postaci: f i,j+1 f i,j t +(r d)i S f i+1,j f i 1,j 2 S = f i+1,j+f i 1,j 2f i,j S 2. (3.20) σ2 i 2 S 2f i+1,j+f i 1,j 2f i,j S 2 =rf i,j. Po uporządkowaniu składników otrzymujemy algorytm na wycenę opcji, na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły wg. stopy d, w schemacie różnicowym ukrytym: a i f i 1,j +b i f i,j +c i f i+1,j =f i,j+1, (3.21) gdzie a i = 1 2 (r d)i t 1 2 σ2 i 2 t, b i = 1+σ 2 i 2 t+r t, c i = 1 2 (r d)i t 1 2 σ2 i 2 t. Wschemacietymwartościopcjif i 1,j,f i,j orazf i+1,j otrzymujemywsposóbniejawny 10, ponieważ najpierw należy rozwiązać układ równań. Dlaopcjihandlowanychnarynkupozagiełdowymwspółczynnikia i,b i ic i walgorytmie 3.21 mają postać: a i = 1 2 (r d)i t r 1 2 σ2 i 2 t h, b i = 1+σ 2 i 2 t h +r t r, c i = 1 2 (r d)i t r 1 2 σ2 i 2 t h, gdziet h -liczbadnimiędzysprzedażą(kupnem)opcji,aterminemwygaśnięcia,natomiast t r -liczbadnipomiędzydatąspotiterminemrozliczenia. Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu (ex-dividend date), a dywidenda stanowi pewien procent δ wartości akcji, to siatkę cen tego instrumentu modyfikujemy w analogiczny sposób jak w schemacie jawnym dla dywidendy procentowej. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem wyceny(3.21) dla schematu różnicowego ukrytego dla d = 0. Jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu (ex-dividend date), a dywidenda jest określonej wartości D, to modyfikujemy siatkę cen tego instrumentu identycznie jak dla dywidendy stałej w schemacie różnicowym jawnym. Zmiana ta pozwoli nam bez problemu wycenić opcję na taki instrument stosując w kolejnych krokach algorytm(3.21), oczywiście dla d = 0. Greckie wskaźniki w schemacie różnicowym ukrytym obliczamy dokładnie w taki sam sposób, jak w schemacie jawnym. 10 Stądnazwametody-schematróżnicowyukryty.

29 3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE 29 S max Cena akcji Wartości opcji wtychpunk- tach są liczone wykorzystując wartości opcji w tych punktach. 2 S S 0 t t+ t Czas T Rysunek 3.7: Schemat działania metody Cranka-Nicolsona na siatce cen opcji MetodaCranka-Nicolsona Metoda Cranka-Nicolsona została zaproponowana w oparciu o dwa, opisane powyżej schematy różnicowe[4, 6]. Jest ona swego rodzaju średnią z tych metod. Rysunek 3.7 przedstawia schemat działania metody Cranka-Nicolsona. Wykorzystując algorytm schematu różnicowego jawnego(3.18) oraz algorytm schematu różnicowego ukrytego(3.21) wyprowadzę algorytm wyceny opcji, na instrument podstawowy wypłacający dywidendę w sposób ciągły, metodą Cranka-Nicolsona. Dodając stronami(3.18) i(3.21) otrzymujemy f i,j +a i f i 1,j +b i f i,j +c i f i+1,j =f i,j+1 +a if i 1,j+1 +b if i,j+1 +c if i+1,j+1, (3.22) gdziewspółczynnikia i,b iic isątakiesamejakwewzorze(3.18),natomiastwspółczynnikia i,b i ic i jakwewzorze(3.21).gdypogrupujemywyrazymamy: a i f i 1,j +(b i +1)f i,j +c i f i+1,j =a if i 1,j+1 +(b i+1)f i,j+1 +c if i+1,j+1. Po podstawieniu: g i,j+1 a if i 1,j+1 +(b i+1)f i,j+1 +c if i+1,j+1, (3.23) otrzymujemy algorytm Cranka-Nicolsona wyceny opcji: a i f i 1,j +(b i +1)f i,j +c i f i+1,j =g i,j+1, (3.24)

30 30 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI gdzie: a i = 1 1+r t ( 1 2 (r d)i t+1 2 σ2 i 2 t), b i = 1 1+r t (1 σ2 i 2 t), c i = 1 1+r t (1 2 (r d)i t+1 2 σ2 i 2 t), a i = 1 2 (r d)i t 1 2 σ2 i 2 t, b i = 1+σ 2 i 2 t+r t, c i = 1 2 (r d)i t 1 2 σ2 i 2 t. orazg i,j+1 jestznane.podobniejakwschemacieróżnicowymukrytymwartościopcji f i 1,j,f i,j orazf i+1,j mamypodanewsposóbniejawny,abyjewyliczyćmusimyrozwiązać układ równań. Dlaopcjinarynkupozagiełdowymwspółczynnikia i,b i,c i,a i,b i orazc i,podobnie jak w metodach jawnej i ukrytej, mają postać: a i = 1 1+r t r ( 1 2 (r d)i t r+ 1 2 σ2 i 2 t h ), b i = 1 1+r t r (1 σ 2 i 2 t h ), c i = 1 1+r t r ( 1 2 (r d)i t r+ 1 2 σ2 i 2 t h ), a i = 1 2 (r d)i t r 1 2 σ2 i 2 t h, b i = 1+σ 2 i 2 t h +r t r, c i = 1 2 (r d)i t r 1 2 σ2 i 2 t h, gdziet h -liczbadnimiędzysprzedażą(kupnem)opcji,aterminemwygaśnięcia,natomiast t r -liczbadnipomiędzydatąspotiterminemrozliczenia. Metoda Cranka-Nicolsona jest średnią schematu różnicowego jawnego i ukrytego. Dlatego jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu (ex-dividend date), a dywidenda stanowi pewien procent δ wartości akcji, to siatkę cen tego instrumentu modyfikujemy w analogiczny sposób jak w schemacie jawnym i ukrytym dla dywidendy procentowej. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem wyceny (3.24) dla metody Cranka-Nicolsona z d = 0. Podobnie jak dla dywidendy procentowej w metodzie Cranka-Nicolsona, jeżeli wyceniamy opcję na instrument wypłacający dywidendę w wyznaczonym dniu(ex-dividend date), a dywidenda jest określonej wartości D, to modyfikujemy siatkę cen tego instrumentu identycznie jak dla dywidendy stałej w schemacie różnicowym jawnym i ukrytym. W następnych krokach stosujemy algorytm(3.24), oczywiście dla d = 0. Greckie wskaźniki w metodzie Cranka-Nicolsona obliczamy dokładnie w taki sam sposób jak w schematach różnicowych jawnym i ukrytym. W Options, futures and other derivatives J. Hulla[6] znajduje się niepoprawne wyprowadzenie metody Cranka-Nicolsona. Prowadzi ono do błędnego algorytmu: gdzieg i,j jestpostaci: a i f i 1,j +(b i 1)f i,j +c i f i+1,j =g i,j, g i,j a if i 1,j +(1 b i)f i,j c if i+1,j,

31 3.3. SCHEMATY RÓŻNICOWE 31 który istotnie różni się od równań(3.24) i(3.23) odpowiednio, wyprowadzonych przeze mnie. 11 BłądHullapoleganatym,żewmomencieporównywaniametodyjawnejiukrytej przyrównuje on wartości opcji nie zwracając uwagi na czas w którym opcja osiąga określoną wartość. Zatem zamiast równania postaci: f i,j +a i f i 1,j +b i f i,j +c i f i+1,j =f i,j+1 +a if i 1,j+1 +b if i,j+1 +c if i+1,j+1, otrzymuje równanie postaci: f i,j+1 +f i,j =a i f i 1,j +b i f i,j +c i f i+1,j +a if i 1,j+1 +b if i,j+1 +c if i+1,j+1, co prowadzi do błędnego rozwiązania! 11 Hull[6]stosujekonwencję(i,j),gdzieijestnumeremkolumny,natomiastjjestnumeremwiersza, orazj:=j 1(cooczywiścieniemawpływunapoprawnośćalgorytmu).

32 32 ROZDZIAŁ 3. METODY WYCENY OPCJI

33 Rozdział 4 Wycena opcji w praktyce Podstawowym kryterium zbieżności w numerycznych metodach wyceny opcji oraz określenia ich wrażliwości na zmianę parametrów jest liczba kroków zastosowana w symulacji. Dla metody dwumianowej ustalamy jedynie na ile jednostek t podzielony zostanie odcinek czasu T pozostały do wygaśnięcia opcji. W schematach różnicowych możemy dodatkowo wpływać na wielkość podziału wartości instrumentu podstawowego S. Oczywiście immniejsze ti S,tzn.dlan orazm,tymdokładnośćmetodyjestwiększa, choć wyjątek stanowi metoda ukryta, która nie zawsze jest zbieżna. 4.1 Cenaopcji Metodadwumianowa Dla opcji europejskich nie wypłacających dywidendy lub płacących dywidendę w sposób ciągły wyniki metod numerycznych można łatwo porównać z wynikami uzyskanymi za pomocą wzorów typu Blacka-Scholesa. Przykład 4.1 Waniliowa opcja kupna, z wykonaniem typu europejskiego oraz z parametrami:k=50, S 0 =52, r=10%, d=3%, T h =152dni, T r =152dni, σ=40%, wypłacająca dywidendę w sposób ciągły. Na rysunku 4.1 przedstawiona jest wycena opcji z przykładu 4.1 za pomocą metody dwumianowej. Łatwo zauważyć, że już dla n = 500 zbieżność ceny jest bardzo dokładna, co pokazuje także porównanie różnicy wartości opcji. Nie można powiedzieć jednak, która z metod dwumianowych jest lepsza. Zbiegają one okresowo, a różnice między nimi są niewielkie. Błąd względny między tymi metodami jest mniejszy niż 0.05%. Rysunek 4.1 przedstawia także różnice wyceny w metodach dwumianowych i Blacka-Scholesa. Nieco inaczej przedstawia się sytuacja dla opcji binarnych. Przykład 4.2 Binarna opcja kupna, z wykonaniem typu europejskiego oraz z parametrami:k=50,s 0 =52,X=50,r=10%,d=3%,T h =152dni,T r =152dni,σ= 40%, wypłacająca dywidendę w sposób ciągły. Porównanie wyceny dokładnie takiej samej opcji jak w przykładzie 4.1, tylko binarnej (przykład 4.2), wypłacającej kwotę X = 50 przedstawia rysunek 4.2. Zarówno różnice względne, jak i bezwzględne między metodami są większe niż dla opcji waniliowych. 33

34 34 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE x 10 3 Cena europejskiej opcji kupna Roznica x 10 3 Roznica Roznica x Rysunek 4.1: Waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.1. Na lewym górnym wykresie cenyopcji( BS, dwumianowa( 1 2 ), dwumianowa),naprawymgórnymróżnicecenopcjidla metodydwumianowejidwumianowej( 1 2 ).Nadolepolewejróżnicawartościopcjidlametody dwumianowejibs,poprawejróżnicecenopcjidlabsimetodydwumianowej( 1 2 ).Dlaróżnic wartości mamy: błąd bezwzględny, błąd względny. Zbieżność jest wolniejsza choć również charakteryzuje się okresowością. Nie można również stwierdzić jednoznacznie która z metod dwumianowych jest szybciej zbieżna. Ciekawsze są jednak wyniki obserwacji wyceny opcji typu amerykańskiego, czy na instrument wypłacający dywidendę w sposób nieciągły. W tym przypadku nie mamy bowiem możliwości obliczeń metodą Blacka-Scholesa ponieważ nie istnieją wzory analityczne i pozostają tylko aproksymacje metodami numerycznymi. Przykład 4.3 Waniliowa opcja sprzedaży typu amerykańskiego, na instrument nie wypłacającydywidendy,oparametrach:k = 100,S 0 = 98,r = 8%,T h = 152dni, T r =152dni,σ=20%. Wycenę opcji z przykładu 4.3 przedstawia rysunek 4.3. W tym przykładzie zbieżność ceny opcji jest bardzo szybka, także różnica względna między metodami dwumianową i dwumianową( 1 2 )jestrzędu0.01%. Opcja o identycznych parametrach może być jednak handlowana na rynku pozagiełdowym, gdzie czas handlu opcji i przepływów pieniężnych nie pokrywa się. Najczęściej

35 4.1. CENA OPCJI Cena europejskiej opcji kupna Roznica Roznica Roznica Rysunek 4.2: Binarna, europejska opcja kupna z przykładu 4.2. Na lewym górnym wykresie cenyopcji( BS, dwumianowa( 1 2 ), dwumianowa),naprawymgórnymróżnicecenopcjidla metodydwumianowejidwumianowej( 1 2 ).Nadolepolewejróżnicawartościopcjidlametody dwumianowejibs,poprawejróżnicecenopcjidlabsimetodydwumianowej( 1 2 ).Dlaróżnicy wartości mamy błąd bezwzględny, błąd względny rozliczenie następuje do 2 dni roboczych po zakończeniu obrotem opcji. W takim przypadkuprzywycenieopcjizmianieulegnieparametrt r.następnyprzykładmazazadanie pokazać czy ma to ważny wpływ na zmianę zbieżności wyceny opcji. Przykład 4.4 Waniliowa opcja sprzedaży typu amerykańskiego, na instrument nie wypłacającydywidendy,oparametrach:k = 100,S 0 = 98,r = 8%,T h = 152dni, T r =157dni,σ=20%. Rysunek 4.3 pokazuje zbieżność wyceny opcji z przykładu 4.4, a także różnice w wycenie metodamidwumianowąidwumianową( 1 2 ).Łatwowidaćztegowykresu,żestosowanie wobliczeniachdwóchróżnychczasówt h it r niemaistotnegowpływunazbieżnośćw metodach dwumianowych. Także różnice zarówno względna jak i bezwzględna zachowują swoją strukturę w obu metodach. Kolejny przykład ilustruje wycenę opcji na instrument wypłacający dywidendę o określonej z góry wartości w ściśle określonym czasie. Przykład 4.5 Waniliowa opcja sprzedaży, typu amerykańskiego na instrument wypłacającydywidendęd=5,zaτ=10dni,natomiastpozostałeparametrymająnastępujące

36 36 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Cena amerykanskiej opcji sprzedazy Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica Roznica x x Rysunek 4.3: Waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży. Na górnych wykresach z przykładu 4.3, natomiast na dolnych z przykładu 4.4. Dla obu przypadków mamy: po lewej wycena opcji odpowiedniometodami dwumianowa( 1 2 ), dwumianowa,poprawejnatomiastróżnice bezwzględna i względna między tymi metodami. wartościk=100,s 0 =98,r=8%,T h =100dni,T r =103dni,σ=20%. Wykres wyceny tej opcji znajduje się na rysunku 4.4. Zbieżność wyceny tego typu opcji(z przykładu 4.5) jest mniej regularna niż dla opcji na instrumenty wypłacające dywidendę w sposób ciągły. Im czas wypłaty dywidendy τ jest bliższy terminowi wykonania opcji tym zbieżność wyceny opcji jest mniej regularna. Ilustruje to rysunek 4.4 na którym pokazana jest wycena opcji z przykładu 4.6 Przykład 4.6 Waniliowa opcja sprzedaży, typu amerykańskiego na instrument wypłacającydywidendęd=5,zaτ=90dni,natomiastpozostałeparametrymająnastępujące wartościk=100,s 0 =98,r=8%,T h =100dni,T r =103dni,σ=20%. Eksperymenty te prowadzą do następującego wniosku: aby dokładnie wyceniać opcje na instrumenty wypłacające dywidendę o stałej wysokości w ex-dividend date niezbędne jest użycie metody dwumianowej dla dużej liczby kroków n. Kiedy n jest rzędu wyniki obliczeń są już bardzo dokładne dla obu metod. Np. różnica względna między metodamidwumianowąicranka-nicolsonawprzykładzie4.6dlan=1500im=1500

37 4.1. CENA OPCJI 37 Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica x x Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica Rysunek 4.4: Waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży ze stałą dywidendą. Na górnych wykresach z przykładu 4.5, natomiast na dolnych z przykładu 4.6. Na wykresach po lewej wycena opcjiodpowiedniometodami dwumianowa( 1 2 ), dwumianowa,poprawejnatomiastróżnice bezwzględna i względna między tymi metodami. wynosi0.0237%,natomiastdlametodydwumianowej( 1 2 )icranka-nicolsona0.0234%. Podobnie wygląda przypadek wyceny opcji na instrument wypłacający dywidendę d w dniu τ(ex-dividend date), a dywidenda stanowi pewien procent wartości instrumentu w tym dniu. Przykład takiej opcji zaprezentowany jest na rysunku 4.5. Przykład 4.7 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwysokościδ=4%zaτ=45dni.pozostałeparametry:k=30,s 0 =33,r=9%, T h =120dni,T r =123dni,σ=15%. Różnica względna między wartościami opcji z przykładu 4.7 obliczonymi za pomocą obu metod dwumianowych jest bardzo mała, rzędu 0.01%, ale jednocześnie zbieżność jest nieregularna choć można zauważyć, że okresowa. Wszystkie przeprowadzone doświadczenia pokazują dużą dokładność metod dwumianowych, choć opcje binarne są wolniej zbieżne od waniliowych. Dlatego w przypadku opcji binarnych konieczne jest używanie w symulacjach dużej liczby kroków. Ponieważ obliczeniepojedynczejwartościopcjidlan=1500nietrwadłużejniż1sekundę, 1 uzy- 1 EksperymentyprzeprowadzonezostałynakomputerzezprocesoremAthlonXP1800XP+.

38 38 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE x 10 4 Cena europejskiej opcji kupna Roznica x 10 4 Cena opcji sprzedazy Roznica Rysunek 4.5: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę z przykładu 4.7, na dole waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.8. Po lewej na górzemetodyodpowiednio: dwumianowa( 1 2 ), dwumianowa,nadolepolewej: jawna, BS. Po prawej na górze i na dole różnice: bezwzględna i względna między metodami z wykresów po lewej. skanie satysfakcjonujących wyników nie jest trudne. Przy znajdowaniu wartości opcji nie maznaczeniaczystosujemymetodędwumianowączydwumianową( 1 2 ),różnicewzględne wyceny opcji w tych metodach dla odpowiednio dużych n są znikome, rzędu 0.001%. Inaczej wygląda sytuacja dla oceny wrażliwości opcji, ale o tym będzie mowa w następnym podrozdziale. Metodę dwumianową można więc uznać za metodę dokładną do wyceny opcji na instrumenty wypłacające dywidendę w sposób nie tylko ciągły oraz opcji amerykańskich Schemat różnicowy jawny Wycena opcji za pomocą schematu różnicowego jawnego nie jest możliwa w każdym przypadku, ponieważ metoda ta nie zawsze jest zbieżna. Nie jest to jednak duży problem, ponieważ posłużyła ona do wyprowadzenia metody Cranka-Nicolsona, która jest zbieżna zawsze.wynikaztegożenienależystosowaćmetodyjawnejdowycenyopcji,alew rozdziale tym pokazanych będzie kilka przykładów zastosowania tej metody.

39 4.1. CENA OPCJI 39 1 x x Cena opcji sprzedazy Roznica Cena opcji sprzedazy Roznica Rysunek 4.6: Na górnych wykresach waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.9, na dolnych powiększenie wykresów z góry. Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio metodami jawną, BS, po prawej natomiast różnice bezwzględna i względna między tymi metodami. Przykład 4.8 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=4.8,s 0 =4.75,r=7%,T h =98dni,T r =98dni, σ=18%,m=300. W przykładzie 4.8 liczba skoków na osi wartości instrumentu podstawowego jest stała i wynosi m = 300, badanie dotyczy natomiast zbieżności ceny opcji ze względu na liczbę skokównaosiczasuczylizewzględunaparametrn.zbieżnośćcenyjestbardzoszybkai zarazem bardzo regularna(rysunek 4.5), czym różni się od zbieżności ceny w metodach dwumianowych. Widać jednak, że ze wzrostem parametru n różnice między zastosowanymi metodami zwiększają się(podobna sytuacja została dokładnie opisana i wyjaśniona w przykładzie 4.25). Należy w tym przypadku zwrócić uwagę na skalę na osi wartości ceny opcji, która pokazuje jak ten wzrost jest niewielki. Następny przykład 4.9 pokazuje że przy innym podziale osi w ogóle nie będzie zbieżności. Przykład 4.9 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=4.8,s 0 =4.75,r=7%,T h =98dni,T r =98dni, σ=18%,m=500.

40 40 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE 0.1 Cena opcji kupna Roznica Liczba skokow m Liczba skokow m Cena opcji kupna Roznica Liczba skokow m Liczba skokow m Rysunek 4.7: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły z przykładu 4.10, na dole binarna, europejska opcja kupna, z dywidendą ciągłą z przykładu Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio metodami jawną, BS, po prawej natomiast różnice bezwzględna i względna. Wszystkie wykresy w powiększeniu. W tym przypadku cena opcji dla każdego n obliczona metodą jawną jest rozbieżna, co obrazuje wykres na rysunku 4.6. Jest tak już dla najprostszego przypadku, czyli opcji na instrument nie wypłacający dywidendy, o wykonaniu europejskim. Oczywiście dla bardziej skomplikowanych przypadków sytuacja ta nie ulega zmianie co pokazują następne przykłady. Przykład 4.10 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwsposóbciągłyowysokościd=6%.pozostałeparametry:k=700,s 0 =685, r=5%,t h =250dni,T r =250dni,σ=10%,n=500. W przykładzie 4.10 zbieżność ceny opcji badana jest ze względu na zmianę parametru m (wykres 4.7), czyli zmianę podziału na osi wartości instrumentu podstawowego. Parametr npozostajewtymprzypadkustałyiwynosin=500.dlaparametrum<350wtym przykładziecenaopcjijestzbieżna,alejużdlam>350cenajestrozbieżna.ztegopowodu wykresynarysunku4.7sąwpowiększeniu.domomentu,gdymetodajestzbieżnawtym przykładzie błąd względny nie przekracza 1% nawet dla stosunkowo małych parametrów nim.

41 4.1. CENA OPCJI 41 Cena opcji sprzedazy Roznica x Cena amerykanskiej opcji kupna Cena opcji kupna Rysunek 4.8: Na górze waniliowa, europejska opcja sprzedaży z ciągłą dywidendą z przykładu Na wykresie po lewej wycena metodami jawną, BS, po prawej różnice bezwzględna i względna. Na lewym dolnym wykresie waniliowa, amerykańska opcja kupna z dywidendą stałą z przykładu 4.13, na prawym dolnym waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą stałą z przykładu Przykład 4.11 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę wsposóbciągłyowysokościd=6%.pozostałeparametry:k=700,s 0 =685,X=700, r=5%,t h =250dni,T r =250dni,σ=10%,n=500. Przykład 4.11 różni się od przykładu 4.10 tym, że badamy zbieżność opcji binarnej, co widać po zbieżności ceny(rysunek 4.7). Aby uzyskać satysfakcjonujące wyniki zbieżności wmetodziejawnejdlaopcjibinarnychliczbakrokównimmusibyćduża.niestety niezawszejesttomożliwe.zbieżnośćmetodyjawnejjestnajlepsza,gdyn m.dla małychnimmetodamożebyćtakżezbieżnadlan<m,alewówczasmamybardzo małą dokładność wyceny. Kolejny przykład 4.12 pokazuje że dla n m metoda jawna jest zbieżna. Przykład 4.12 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwsposóbciągłyowysokościd=8%.pozostałeparametry:k=65,s 0 =68, r=10%,t h =180dni,T r =180dni,σ=10%,m=300.

42 42 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Zbieżność ceny opcji w przykładzie 4.12 jest bardzo szybka i regularna(rysunek 4.8). Równieżprzykład4.10pokazuje,żedlan mmetodajawnajestzbieżna.domomentu gdywprzykładzietymm nmetodajestzbieżna,natomiastgdym zbliżasię don metoda przestaje być zbieżna. Przykład 4.13 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęstałąwwysokościd=8zaτ=107dni.pozostałeparametry:k=65,s 0 =68, r=10%,t h =180dni,T r =190dni,σ=10%,m=300. Przykład 4.14 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęstałąwwysokościd=8zaτ=107dni.pozostałeparametry:k=65,s 0 =68, r=10%,t h =180dni,T r =190dni,σ=10%,m=300. Przykłady 4.13 i 4.14 pokazują że ceny opcji amerykańskich zbiegają wolniej i mniej regularnie od cen opcji europejskich(rysunek 4.8). Wszystkie powyższe przykłady pokazują, że ceny opcji obliczane za pomocą schematu różnicowego jawnego zbiegają dobrze, ale nie w każdym przypadku. Metoda ta nie zawsze jest zbieżna, najlepiej stosować ją dla dużych podziałów osi czasu i osi wartości instrumentu podstawowego. Jednocześnie należy jednak zachowywać proporcję między n i m, tak aby w symulacjach używać n m. Lepiej jednak używać innych metod różnicowych, by mieć pewność że cena opcji jest dokładna Schemat różnicowy ukryty Schemat różnicowy ukryty, w przeciwieństwie do schematu różnicowego jawnego jest zawsze zbieżny, ale symulacja trwa nieco dłużej. Przy obliczaniu pojedynczej ceny opcji jest to różnica niezauważalna, ma jednak znaczenie przy badaniu zbieżności gdy przeprowadza się symulacje dla kilkuset wartości parametrów n i m. W rozdziale tym zaprezentowane zostały przykłady wyceny opcji metodą ukrytą. Przykład 4.15 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=325,s 0 =334,r=11%,T h =111dni,T r =111dni, σ=13%,m=300. Przykład 4.16 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwsposóbciągłyowysokościd=15%.pozostałeparametry:k=325,s 0 =334, r=11%,t h =111dni,T r =111dni,σ=13%,m=300. W przykładzie 4.16 badana jest zbieżność ceny opcji o takich samych parametrach jak w przykładzie 4.15(oba przykłady na rysunku 4.9), tylko na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły. Ceny obu rodzajów opcji w metodzie ukrytej zbiegają bardzo szybkojużdlastosunkowomałejliczbyskokównim,gdziedodatkowomjestdużo mniejsze od n. Związane jest to jedynie z dużym czasem potrzebnym do wykonania symulacji. Dla obliczenia pojedynczej wartości opcji nie ma to znaczenia, gdyż proces ten trwa ułamek sekundy. Zbieżność cen obu opcji jest monotoniczna i regularna. Kolejne dwa przykłady pokazują opcje na instrument wypłacający dywidendę w określonym dniu (rysunek 4.10).

43 4.1. CENA OPCJI 43 x 10 3 Cena opcji kupna Roznica Cena europejskiej opcji kupna Roznica x Rysunek 4.9: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.15, na dole waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą z przykładu Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio metodami ukrytą, BS, po prawej natomiast różnice bezwzględna i względna między tymi metodami.. Przykład 4.17 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd=15zaτ=107dni.pozostałeparametry:k=325,s 0 =334, r=11%,t h =111dni,T r =111dni,σ=13%,m=300. Przykład 4.18 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościδ=15%zaτ=107dni.pozostałeparametry:k=325,s 0 =334, r=11%,t h =111dni,T r =111dni,σ=13%,m=300. W przykładzie 4.17 opcja jest taka sama jak w przykładzie 4.16 tylko, że na instrument wypłacającydywidendęowartościd=15.zbieżnośćcenwobuprzypadkachjestszybkai regularna. Natomiast przykład 4.18 jest taki sam jak 4.17 ale dywidenda stanowi pewien procent ceny instrumentu podstawowego. W tych przypadkach nie można oczywiście porównać wyceny z ceną Blacka-Scholesa, gdyż nie istnieją wzory na takie opcje. Mimo to można łatwo zauważyć regularność zbieżności, a także małe zmiany wartości ceny dla coraz większego podziału na osi czasu i wartości instrumentu podstawowego.

44 44 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Cena europejskiej opcji kupna Cena europejskiej opcji kupna Cena amerykanskiej opcji kupna Cena amerykanskiej opcji sprzedazy Liczba skokow m Liczba skokow m Rysunek 4.10: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą stałą z przykładu 4.17, po prawej waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą procentową z przykładu Na dole po lewej waniliowa, amerykańska opcja kupna z dywidendą procentową z przykładu 4.19, po prawej amerykańska opcja sprzedaży z dywidendą procentową z przykładu Metoda ukryta.. W przykładach mamy m stałe, natomiast parametrem jest n. W przykładach4.19i4.20-narysunku4.10-jestodwrotnie(njeststałe).pokazujetozbieżność metody ukrytej dla dowolnego doboru podziału osi. Choć zbieżność ta jest tym lepsza im nimsąwiększe. Przykład 4.19 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościδ=3%zaτ=40dni.pozostałeparametry:k=35,s 0 =38, r=5%,t h =56dni,T r =59dni,σ=17%,n=300. Przykład 4.20 Binarna opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościδ=3%zaτ=40dni.pozostałeparametry:k=35,s 0 =38, X=1,r=5%,T h =56dni,T r =59dni,σ=17%,n=300. Przykłady 4.19 i 4.20 pokazują również, że opcje z wykonaniem typu amerykańskiego a także opcje binarne w metodzie ukrytej zbiegają bardzo nieregularnie i niemonotonicznie.

45 4.1. CENA OPCJI 45 Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica Rysunek 4.11: Binarna, europejska opcja sprzedaży. Na górze z przykładu 4.21, na dole z przykładu Na wykresach po lewej wycena opcji metodą ukrytą, BS. Po prawej różnice względne.. Trzy kolejne przykłady pokażą czy wielkość wypłaty w opcji binarnej ma wpływ na zbieżność ceny opcji. Przykład 4.21 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k =40,S 0 =38,X =40,r=9%,T h =90dni, T r =92dni,σ=20%,m=300. Przykład 4.22 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k =40,S 0 =38,X =45,r=9%,T h =90dni, T r =92dni,σ=20%,m=300. Przykład 4.23 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k =40,S 0 =38,X =35,r=9%,T h =90dni, T r =92dni,σ=20%,m=300. Przykłady różnią się jedynie wielkością wypłaty opcji binarnej, tzn. X jest równyodpowiednio40-tylesamococenawykonaniak,45-więcejniżcenawykonania

46 46 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica Rysunek 4.12: Binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu Po lewej wycena opcji metodą ukrytą, BS, po prawej różnice względne.. oraz35-mniejniżcenawykonania.rysunki4.11i4.12pokazujązbieżnośćcenopcji w tych przykładach oraz różnice względne. Okazuje się, że wysokość wypłaty w opcji binarnej nie wpływa na błędy względne i dla opcji na dany instrument podstawowy niezależnie od wielkości wypłaty X są one zawsze takie same(dla danych parametrów n im). Wszystkie przykłady pokazują dużą dokładność cen opcji obliczonych metodą ukrytą. Bardzo ważne jest jednak stosowanie w symulacjach dużych wartości parametrów podziału osi czasu(ilość skoków n) oraz osi wartości instrumentu podstawowego(ilość skoków m). Jest to szczególnie ważne dla opcji binarnych i opcji z wykonaniem typu amerykańskiego, których zbieżność jest nieco wolniejsza i bardziej nieregularna MetodaCranka-Nicolsona Metoda Cranka-Nicolsona jest średnią z schematu różnicowego jawnego i ukrytego. Jej zaletą jest to, że podobnie jak metoda ukryta jest zbieżna zawsze dla dowolnych parametrów n i m. Podobnie jak dla poprzednich metod w rozdziale tym zaprezentowane zostaną przykłady pokazujące zachowanie cen dla różnych typów opcji. Przykład 4.24 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd = 2%.Pozostałeparametry:K = 10,S 0 = 10,r = 9%, T h =85dni,T r =85dni,σ=30%,m=300. Przykład 4.25 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd = 2%.Pozostałeparametry:K = 10,S 0 = 10,r = 9%, T h =85dni,T r =85dni,σ=30%,m=500. Przykłady 4.24 i 4.25(oba na rysunku 4.13) pokazują szybkość zbieżności ceny opcji wypłacającej dywidendę w sposób ciągły. Wprawdzie różnice względne rosną(choć jest to wzrost niewielki) wraz ze wzrostem parametru n, dla ustalonego m, ale widać, że jeżeli zwiększamy oba parametry to różnica ta zmniejsza się bardzo szybko(w przykładzie 4.25

47 4.1. CENA OPCJI 47 Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica x x 10 3 Cena europejskiej opcji sprzedazy Roznica Rysunek 4.13: Waniliowa, europejska opcja sprzedaży z dywidendą ciągłą. Na górze z przykładu 4.24, na dolnych wykresach Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio metodami CN, BS, po prawej natomiast różnice bezwzględna i względna między tymi metodami.. mjesto200większeniżwprzykładzie4.24)dlaustalonegon(nawetmałego).widać, że zwiększając parametr m uzyskujemy znaczną poprawę dokładności. Kolejny przykład pokazuje zbieżność ceny dla opcji binarnej nie wypłacającej dywidendy. Przykład 4.26 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=56,s 0 =55,r=11%,T h =50dni,T r =50dni, σ=24%,m=300. W przykładzie 4.26(rysunek 4.14) widać, że dla stosunkowo małych wartości parametrów podziału siatki- m równe jedynie 300- różnica względna ceny opcji obliczona metodą Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa jest wyraźna. Nie jest ona jednak stała, choć zmiany są tak niewielkie, że na rysunku niezauważalne. Dowodzi to, że dla opcji binarnych zawsze należy stosować dużą liczbę skoków m i n. W kolejnym przykładzie 4.27, także na rysunku 4.14 wyceniana jest taka sama opcja co w przykładzie 4.26, ale podział jest zagęszczony na osi cen instrumentu podstawowego. Przykład 4.27 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=56,s 0 =55,r=11%,T h =50dni,T r =50dni,

48 48 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Cena opcji sprzedazy Roznica Cena opcji sprzedazy Roznica Rysunek 4.14: Binarna, europejska opcja sprzedaży. Na górze z przykładu 4.26, na dolnych wykresach Przykłady 4.26 i 4.27 różnią się wielkością parametru m. Na wykresach po lewej wycena opcji odpowiednio metodami CN, BS, po prawej natomiast różnice bezwzględna i względna między metodami z wykresów po lewej.. σ=24%,m=550. Widać bardzo wyraźną poprawę zbieżności cen dla większego parametru m. Podobnie jak w przykładzie 4.26, także tutaj różnice cen między porównywanymi metodami są na tyle niewielkie, że nie są widoczne na wykresie. Są one rzędu 0.001% dla różnic względnych. Różnice bezwzględne natomiast zmniejszyły się z blisko 0.7 do około 0.2. Jest to znacząca poprawa dla stosunkowo niewielkiej zmiany parametrów podziału siatki. W powyższych przykładach mieliśmy możliwość porównania wyników z metodą Blacka-Scholesa, w przykładzie 4.28 wyceniana jest opcja wypłacająca dywidendę o określonej wartości w ściśle wyznaczonym dniu. Przykład 4.28 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd=4zaτ=12dni.pozostałeparametry:k=69,s 0 =66, r=6%,t h =75dni,T r =78dni,σ=13%,m=300. Wykres opcji z przykładu 4.28 znajduje się na rysunku Bardzo minimalne zmiany wartości ceny dla n przebiegającego od 150 do 500 świadczą o szybkiej zbieżności metody

49 4.1. CENA OPCJI 49 Roznica Cena opcji sprzedazy Cena opcji kupna Cena opcji kupna Rysunek 4.15: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja sprzedaży ze stałą dywidendą z przykładu 4.28, po prawej binarna, europejska opcja sprzedaży z dywidendą stałą z przykładu Na dolnym wykresie po lewej binarna, amerykańska opcja kupna ze stałą dywidendą z przykładu 4.30, po prawej waniliowa, amerykańska kupna z dywidendą stałą z przykładu Wycena opcji metodą CN.. Cranka-Nicolsona. W odróżnieniu od wcześniej badanych metod w tej metodzie zbieżność dla opcji binarnej(przykład rysunek 4.15) jest porównywalna do zbieżności opcji waniliowej, co jest jedną z największych zalet metody Cranka-Nicolsona. Przykład 4.29 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd=4zaτ=12dni.pozostałeparametry:k=69,s 0 =66,X=4, r=6%,t h =75dni,T r =78dni,σ=13%,m=300. Niestety w najgorszym przypadku, czyli dla opcji binarnej, typu amerykańskiego, wypłacającej dywidendę w ex-dividend date zbieżność nie jest już tak dokładna. Z tego typu przypadkiem mamy do czynienia w przykładzie 4.30, którego ilustracja znajduje się na rysunku Przykład 4.30 Binarna opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd=8zaτ =55dni.Pozostałeparametry:K =44,S 0 =41, X=10,r=7,5%,T h =80dni,T r =83dni,σ=14%,m=300.

50 50 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE I choć zbieżność ceny opcji w tym przykładzie jest dużo mniej regularna i wolniejsza niż dla wcześniejszych przykładów w metodzie Cranka-Nicolsona, to i tak jest dużo lepsza niż dla metod dwumianowych, ukrytej czy jawnej, która dodatkowo nie zawsze jest zbieżna. W przykładzie 4.31 na rysunku 4.15 pokazana jest wycena opcji podobnej jak w 4.30, tyle że waniliowej. Przykład 4.31 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd=8zaτ=55dni.pozostałeparametry:k=44,s 0 =41, r=7,5%,t h =80dni,T r =83dni,σ=14%,m=300. Zbieżność ceny takiej opcji jest równie nieregularna jak w przypadku opcji binarnej, ale dużo szybsza. Należy zwrócić uwagę na zastosowane powiększenie w przykładach 4.30 i 4.31 na rysunku Opcja z przykładu 4.31 jest w większym powiększeniu, dlatego wydaje się zbiegać wolniej, ale w rzeczywistości jest odwrotnie Porównanie Dotychczasowe przykłady pokazywały sposób i szybkość zbieżności cen opcji dla każdej z wcześniej przedstawionych metod z osobna. Kilka kolejnych przykładów pokaże równoczesną wycenę opcji każdą metodą(z wyłączeniem, w niektórych przypadkach, metody jawnej z powodu braku zbieżności) i wszystkie te wyceny znajdą się na jednym wykresie. Przykłady 4.32 i 4.33, których wykresy znajdują się na rysunku 4.16, dotyczą opcji europejskiej na instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły, więc można go wycenić i porównać także z metodą Blacka-Scholesa. Różnią się one jedynie liczbą dni rozliczeniowych w których opcja jest ważna. Przykład 4.32 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęd=10%wsposóbciągły.pozostałeparametry:k=123,s 0 =125,r=10%, T h =62dni,T r =62dni,σ=20%,m=300. Przykład 4.33 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęd=10%wsposóbciągły.pozostałeparametry:k=123,s 0 =125,r=10%, T h =62dni,T r =67dni,σ=20%,m=300. W obu przypadkach zbieżność ceny we wszystkich badanych metodach jest szybka, a różnica między czasem handlu opcji i czasem przepływów pieniężnych ma niewielki wpływ na zbieżność(w przykładzie 4.33 różnica ta wynosi aż 5 dni). Najmniejszy na metodę dwumianową, należy jednak zwrócić uwagę na stosunkowo małe wartości parametrów podziału siatki wyceny n i m przyjętych w przykładach w przypadku metod różnicowych, co znacząco zaburza ich dokładność. Metody ukryta, Cranka-Nicolsona, a także w tym przypadku metoda jawna zbiegają regularnie. Cena opcji obliczona metodą Cranka- Nicolsona zawsze znajduje się w przedziale pomiędzy ceną obliczoną w obu metodach różnicowych, oczywiście wtedy, kiedy zbieżna jest metoda jawna. Metoda dwumianowa choć zbiega niemonotonicznie, to dla dużych wartości parametru n jest ona bardzo dokładna. Kolejny przykład(4.34- na rysunku 4.16) pokazuje różnice między wyceną w poszczególnych metodach dla opcji binarnej o takich samych pozostałych parametrach jak w dwóch poprzednich przykładach.

51 4.1. CENA OPCJI 51 Cena opcji kupna Cena opcji kupna Cena opcji kupna Cena opcji kupna Rysunek 4.16: Na górze waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą po lewej z przykładu 4.32, po prawej z przykładu Na dolnych wykresach binarna, europejska opcja kupnazdywidendąciągłąpolewejzprzykładu4.34,poprawejopcjazprzykładu4.34w powiększeniu. Na wszystkich wykresach kolory oznaczają wycenę odpowiednio metodami: CN, ukrytą, jawną, dwumianową, BS.. Przykład 4.34 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę d=10%wsposóbciągły.pozostałeparametry:k=123,s 0 =125,X=50,r=10%, T h =62dni,T r =67dni,σ=20%,m=300. W przypadku opcji binarnych metoda dwumianowa jest najmniej regularna, natomiast metody różnicowe dają bardzo zbliżone wyniki i zbiegają w sposób monotoniczny. Dla parametrów podziału rzędu 1500, względna różnica wartości opcji dla metody Blacka- Scholesa i metody Cranka-Nicolsona jest mała i w przykładzie 4.34 wynosi 0.796%, natomiast różnica bezwzględna Przykład 4.35 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=47,s 0 =45,r=12%,T h =36dni,T r =36dni, σ=10%,m=400. Wykres ilustrujący zbieżność ceny opcji z przykładu 4.35 znajduje się na rysunku Podobnie jak w poprzednich przykładach w metodzie dwumianowej mamy zbieżność

52 52 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Cena opcji kupna Cena opcji sprzedazy Rysunek 4.17: Po lewej waniliowa, amerykańska opcja kupna z przykładu 4.35, po prawej waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę stałą z przykładu Na wszystkich wykresach kolory oznaczają wycenę odpowiednio metodami: CN, ukrytą, jawną, dwumianową, BS.. niemonotoniczną, natomiast metody różnicowe zbiegają monotonicznie. Różnice między wszystkimi metodami są wprawdzie widoczne, ale dla odpowiednio dużych parametrów n i m różnice względne są rzędu 0.01%. W ostatnim przykładzie wyceny opcji(przykład 4.36), do którego wykres znajduje się na rysunku 4.17, pokazana została zbieżność opcji na instrument podstawowy wypłacający dywidendę o określonej z góry kwocie. Przykład 4.36 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd=4zaτ =15dni.Pozostałeparametry:K =23,S 0 =25, r=10%,t h =66dni,T r =67dni,σ=15%,m=400. Widać na rysunku 4.17, że zbieżność ceny opcji amerykańskiej(przykład 4.35) i ceny opcji europejskiej na instrument wypłacający dywidendę(przykład 4.36) ma bardzo podobny charakter. W przykładzie 4.36 różnice cen pomiędzy metodami są niewielkie(w tym przypadku metoda jawna jest rozbieżna, z tego powodu nie została uwzględniona na wykresie).nawykresiemamyzbieżnośćdlam=400oraznprzebiegającegood300do 500,dlaparametrówn=1500orazm=1500różnicawzględnamiędzymetodąCranka- Nicolsona i dwumianową wynosi %, natomiast między metodą Cranka-Nicolsona i metodą ukrytą %. Wynika z tego, że dla odpowiednio dużych parametrów podziału siatki w przypadku metod różnicowych i odpowiednio dużego drzewka w metodzie dwumianowej wszystkie metody dają bardzo zbliżone wyniki. Przeprowadzone w rozdziale doświadczenia wyceny różnych opcji na różne instrumenty podstawowe pokazują zbieżność ceny w różnych metodach numerycznych. Podstawowy wniosek: aby cena opcji obliczona dowolną metodą numeryczną była bliska ceny rzeczywistej metoda musi być użyta dla możliwie największych wartości parametrów podziałusiatkiidrzewkadwumianowego.wynikisąbardzodokładnejużdlanimrównych Najszybciej zbiegają opcje waniliowe, z wykonaniem typu europejskiego. Nieco gorzej wygląda sytuacja dla opcji binarnych. Nie tylko zbiegają wolno ale także niemonotonicznie, patrz przykład Dla opcji amerykańskich sytuacja wygląda podobnie

53 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI Wartosc greckich wskaznikow Rysunek 4.18: Waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.37 dla metody dwumianowej na górze po lewej, po prawej dla metody Cranka-Nicolsona. Na dole po lewej dla metody ukrytej, natomiast na dole po prawej waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.38 dla metody jawnej. Na wszystkich wykresach kolory oznaczają sposób obliczania odpowiednio: z definicji, z siatki, BS.. jak dla opcji binarnych, jednak zbieżność jest nieco lepsza. Cena opcji na instrument wypłacający dywidendę zbiega wolniej od ceny opcji na instrument nie wypłacający dywidendy. Im wyższa dywidenda tym cena opcji zbiega wolniej. Różnica czasów: handlu opcji i przepływów pieniężnych ma niewielki wpływ na zbieżność i dokładność wyceny (przykłady 4.3, 4.4). Wszystkie metody numeryczne przedstawione w pracy dla dużych wartości parametrów podziału n i m są metodami dokładnymi. Jednak kiedy wyceniamy opcje dla małej wartości tych parametrów najdokładniejsza jest metoda dwumianowa, natomiast dla dużych wartości najlepiej stosować metodę Cranka-Nicolsona. 4.2 Greckiewskaźniki Podobnie jak przy wycenie opcji, tak przy badaniu ich wrażliwości na zmiany poszczególnych parametrów, największy wpływ na wyniki ma wartość parametrów n i m. Im pa-

54 54 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Rysunek 4.19: Na górze po lewej binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.39, po prawej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z przykładu Na dole po lewej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z przykładu 4.41, po prawej waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą z przykładu Na wszystkich wykresach metody odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. rametry te są większe tym obliczone greckie wskaźniki są dokładniejsze. Metoda jawna, tak jak przy wycenie, nie zawsze jest zbieżna. Pierwsze pytanie jakie nasuwa się przy obliczaniu greckich wskaźników to czy obliczać je z definicji, czy korzystać wprost z siatki wyceny?obietemetodyzostałyopisanewp.3.2.6i Delta Przykłady 4.37 i 4.38, do których ilustracje znajdują się na rysunku 4.18, pokazują różnice między wskaźnikiem obliczonym za pomocą metod numerycznych z definicji i z drzewka lub siatki cen. Przykład 4.37 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=100,s 0 =103,r=24%,T h =152dni,T r =152dni, σ=15%,m=300.

55 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI 55 Przykład 4.38 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=50,s 0 =52,r=10%,T h =50dni,T r =50dni, σ=20%,m=300. Delta opcji z przykładu 4.37 została obliczona metodami dwumianową, ukrytą i Cranka- Nicolsona. Ponieważ dla tego rodzaju opcji z wykorzystanymi wartościami parametrów n i m dla metoda jawna jest rozbieżna została ona zaprezentowana w przykładzie Widać, że dla każdej metody wskaźnik obliczony z siatki bądź drzewka jest dużo bardziej dokładny. Z tego powodu w kolejnych symulacjach delta będzie obliczana z siatki lub drzewka. Przykład 4.39(rysunek 4.19) pokazuje zbieżność delty dla opcji binarnej nie wypłacającej dywidendy. Przykład 4.39 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k =35,S 0 =36,X =2,r=11%,T h =63dni, T r =63dni,σ=25%,m=300. Podobnie jak przy wycenie dla opcji binarnych metoda dwumianowa jest bardzo nieregularna, ale tak samo jak metody różnicowe daje dokładne wyniki. Oczywiście wraz ze wzrostem parametrów podziału zbieżność jest coraz szybsza. Podobna sytuacja ma miejsce dla opcji z wykonaniem typu amerykańskiego, zaprezentowanej w przykładzie 4.40 na rysunku Przykład 4.40 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacającydywidendy.pozostałeparametry:k = 35,S 0 = 34,r = 11%,T h = 55dni, T r =55dni,σ=30%,m=300. W tym przypadku nie można porównać ceny opcji z metodą Blacka-Scholesa, ponieważ jest to opcja z wykonaniem typu amerykańskiego. Wszystkie zastosowane metody, z jawną włącznie, dają bardzo zbliżone wyniki. Wartość dla metody Cranka-Nicolsona jest zawsze z przedziału między wartością z metody jawnej i ukrytej, taka sama sytuacja miała także miejsce przy wycenie. Przykład 4.41 pokazuje czy różnica między czasem handlu instrumentu i przepływów pieniężnych ma niekorzystny wpływ na zbieżność delty. Przykład 4.41 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacającydywidendy.pozostałeparametry:k = 35,S 0 = 34,r = 11%,T h = 55dni, T r =58dni,σ=30%,m=300. Przykład 4.41, do którego wykres znajduje się na rysunku 4.19, od przykładu 4.40 różni sięjedyniewartościąparametrut r,awięcliczbądnimiędzyprzepływamipieniężnymi. Widać, że różnica ta wpływa na wyniki symulacji, ale w niewielkim stopniu, a dla dużych n i m różnice te są bardzo małe. Dotychczasowe przykłady pokazywały zbieżność delty dla opcji na instrument nie wypłacający dywidendy. W przykładzie 4.42 mamy instrument wypłacający dywidendę w sposób ciągły. Przykład 4.42 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęwsposóbciągływwysokościd=3%.pozostałeparametry:k=12,s 0 =12, r=12%,t h =70dni,T r =70dni,σ=14%,m=500. Zbieżnośćdeltydlategotypuopcjijestbardzoszybka.Jużdlam=500in=700różnice bezwzględne między poszczególnymi wartościami otrzymanymi za pomocą różnych metod są mniejsze od 0,0002. Przypadek dywidendy wypłacanej w ex-dividend date obrazują dwa kolejne przykłady, do których wykresy znajdują się na rysunku 4.20.

56 56 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Rysunek 4.20: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja sprzedaży na instrument wypłacający dywidendę procentową z przykładu 4.43 dla metody dwumianowej, po prawej dla dwumianowej( 1 2 ).Nadoleanalogiczniedlaopcjizprzykładu4.44.Nawykresachmetodyodpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. Przykład 4.43 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęprocentowąδ=4%zaτ=15dni.pozostałeparametry:k=74,s 0 =72, r=8%,t h =36dni,T r =36dni,σ=18%,m=300. Przykład 4.44 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęstałąd=4zaτ=15dni.pozostałeparametry:k=74,s 0 =72,r=8%, T h =36dni,T r =36dni,σ=18%,m=300. Oba przykłady obrazują, że także dla opcji na instrument płacący dywidendę w określonym dniu i określonej wysokości, wskaźnik delta jest szybko zbieżny. Np. w przykładzie 4.43 różnica względna między wynikami uzyskanymi za pomocą metody dwumianowej i Cranka-Nicolsona wynosi zaledwie około 0.007% dla n = m = Dla dywidendy stałej (w przykładzie 4.44) zbieżność jest nieco wolniejsza, a wartości dla różnych metod różnią się bardziej niż dla dywidendy procentowej, ale wysokość dywidendy stałej w powyższych przykładach jest relatywnie większa. Porównanie wartości dla metody dwumianowej i dwumianowej( 1 2 ),pokazujeżeniemaistotnychróżnicmiędzytymimetodami.

57 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI Rysunek 4.21: Waniliowa europejska opcja sprzedaży z dywidendą ciągłą z przykładu Na górze po lewej metoda dwumianowa, po prawej Cranka-Nicolsona. Na dole po lewej metoda ukryta, po prawej jawna. Metody odpowiednio: z siatki, z definicji, BS Gamma Pierwszy przykład(na rysunku 4.21 i 4.22) dla wskaźnika gamma porównuje, który sposób jego wyznaczania- z definicji, czy siatki lub drzewka- jest bardziej precyzyjny. Przykład 4.45 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęciągłąd=5%.pozostałeparametry:k=100,s 0 =103,r=12%,T h =48dni, T r =49dni,σ=15%,m=300. Podobnie jak delta, także wskaźnik Γ obliczony za pomocą definicji jest mniej dokładny. Wtymprzypadkumożnapowiedzieć,żeniejestzbieżny.Jesttozwiązaneztym,żedo obliczeń gammy stosujemy wartości delty obliczone z definicji. Ponieważ delta obliczona z definicji jest mniej dokładna, to gdy wykorzystujemy ją do obliczeń Γ błędy kumulują się i ostateczny wynik znacząco odbiega od rzeczywistości! Można w takim przypadku zmieniać wielkość przyrostu argumentu przy symulacjach z definicji. Jednak i w takim przypadku Γ z siatki jest zdecydowanie dokładniejsza(rysunek 4.22). Z tego powodu dla Γ symulacje przeprowadzać należy jedynie z siatki lub drzewka dwumianowego. Kolejny przykład(4.46) pokazuje dokładność zbieżności gammy dla opcji binarnej.

58 58 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE x Rysunek 4.22: Na górze waniliowa, europejska opcja sprzedaży z dywidendą ciągłą z przykładu Po lewej dwumianowa, po prawej CN. Odpowiednio: z siatki, z definicji, BS. Na dole po lewej binarna, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą z przykładu 4.46, po prawej waniliowa, europejska opcja kupna ze stałą dywidendą z przykładu Odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. Przykład 4.46 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendę ciągłąd=6%.pozostałeparametry:k=46,s 0 =46,X=1,r=10%,T h =45dni, T r =45dni,σ=19%,m=300. W tym przypadku widać(rysunek 4.22), że metoda dwumianowa jest bardzo nieregularna, jej wahania są znaczne. Dla nieparzystych wartości parametru n daje jednak bardzo dokładne wyniki. Dla gammy obliczonej za pomocą metod różnicowych w przypadku opcji binarnych nie osiąga się tak zadowalających rezultatów, np. dla wartości parametrów podziału siatki równych 1500 różnica względna między metodą Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa wynosi aż %. Przykład 4.47 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęstałąd=8zaτ=50dni.pozostałeparametry:k=74,s 0 =73,r=10%, T h =88dni,T r =88dni,σ=12%,m=300.

59 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI Rysunek 4.23: Waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży po lewej z przykładu 4.48, po prawej z przykładu Metody odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. W przykładzie 4.47 do którego ilustracja znajduje się na rysunku 4.22 mamy opcję na instrument z dywidendą stałą. Metody różnicowe dają bardzo zbliżone wyniki, natomiast metoda dwumianowa nieco odstaje, ale kiedy weźmiemy pod uwagę różnice bezwzględne to są one niewielkie. W przykładzie tym różnica między metodą dwumianową i ukrytą dla nimrównych1500wynosiokoło0.005.wprzykładach4.48i4.49gammawyznaczana jest dla opcji amerykańskiej, patrz rys Przykład 4.48 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacającydywidendy.pozostałeparametry:k = 96,S 0 = 98,r = 10%,T h = 93dni, T r =93dni,σ=12%,m=300. Przykład 4.49 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacającydywidendy.pozostałeparametry:k = 96,S 0 = 98,r = 10%,T h = 93dni, T r =99dni,σ=12%,m=300. W obu przypadkach każda z metod daje podobne wyniki. W przykładzie 4.49 różnica międzyt h it r wynosiaż5dni,aleniewpływatoznacząconazmianęzachowaniasię zbieżności Γ. Metoda dwumianowa pozostaje nieregularna, natomiast metody różnicowe zbiegają monotonicznie Theta Podobniejakdlawskaźników iγ,takżewskaźnikθmożebyćobliczonyzarównoz definicji, jak i z siatki lub drzewka. Przykład 4.50, zilustrowany na rysunku 4.24, pozwoli porównać, czy i w tym przypadku zbieżność z definicji jest wolniejsza. Przykład 4.50 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=201,s 0 =199,r=6%,T h =31dni,T r =31dni, σ=30%,m=300.

60 60 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Rysunek 4.24: Na górze waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu Po lewej metoda dwumianowa, po prawej CN. Odpowiednio: z siatki, z definicji, BS. Na dole po lewej binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.51, po prawej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z dywidendą stałą z przykładu Metody odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. Ponieważ dla metody dwumianowej oraz Cranka-Nicolsona widać, że Θ dużo szybciej zbiega z siatki i drzewka, wykresy dla metod jawnej i ukrytej nie zostały zamieszczone. Efektysąjednakdokładnietakiesame.Dlakażdejmetodygreckiewskaźniki,ΓiΘ zdecydowanie szybciej zbiegają, gdy są obliczane z siatki lub drzewka niż z definicji. Dodatkowo czas trwania symulacji dla definicji jest dłuższy. Dlatego w kolejnych przykładach stosowana jest tylko metoda z siatki i drzewka dwumianowego. W przykładzie 4.51(na rysunku 4.24) badana jest zbieżność dla opcji binarnej. Przykład 4.51 Binarna opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=150,x=2,s 0 =148,r=14%,T h =70dni, T r =70dni,σ=15%,m=300. W tym przypadku, niestety wartość Θ zbiega bardzo powoli. Metoda dwumianowa jest niemonotoniczna, i ma bardzo duże wahania. Np. dla n = 1499 różnica względna między metodą Blacka-Scholesa i metodą dwumianową wynosi jedynie 0.456%, ale już dla

61 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI 61 n = 1500 równa jest 4.225%. Metody różnicowe dają zadowalające rezultaty dla dużych parametrównim,gdysąonerównenp.1500toróżnicawzględnamiędzymetodącranka- Nicolsona i Blacka-Scholesa wynosi 1.348%. Przykład 4.52, zilustrowany na rysunku 4.24, przedstawia zbieżność Θ dla opcji amerykańskiej. Przykład 4.52 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęwwysokościd=10zaτ=10dni.pozostałeparametry:k=65,s 0 =61, r=14%,t h =20dni,T r =22dni,σ=30%,m=300. Dla opcji amerykańskiej, dodatkowo na instrument wypłacający dywidendę o stałej wysokości, różnice(szczególnie bezwzględne) w wyznaczaniu wartości Θ w różnych metodach są znaczne dla stosunkowo niewielkich parametrów podziału, ale gdy są one odpowiednio duże różnice względne nie przekraczają 1%, co jest bardzo dobrym wynikiem. Przykład 4.53 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacającydywidendy.pozostałeparametry:k = 65,S 0 = 61,r = 14%,T h = 20dni, T r =22dni,σ=30%,m=300. W przykładzie 4.53 wyniki zbieżności wskaźnika Θ są jeszcze dokładniejsze niż w przykładzie 4.52, co widać na rysunku Wpływa na to brak wypłaty dywidendy przez instrument podstawowy. W tym przypadku metoda dwumianowa zbiega podobnie jak wcześniej niemonotonicznie w przeciwieństwie do pozostałych metod. Dla n = 1500 i m = 1500 różnica względna między metodami Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa wynosi zaledwie %, co pokazuje jak duży wpływ na dokładność wyznaczenia tego greckiego wskaźnika ma wypłata dywidendy. Przykład 4.54 Binarna opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęd=10zaτ=30dni.pozostałeparametry:k=65,s 0 =61,X=1,r=14%, T h =50dni,T r =52dni,σ=15%,m=300. Wykres do przykładu 4.54 znajduje się na rysunku Na podstawie tego przykładu widać, że Θ dla binarnej opcji z wykonaniem typu amerykańskiego, na instrument wypłacający dywidendę procentową(dla dywidendy stałej jest podobnie) zbiega powoli i różnice w wyznaczonej wartości za pomocą różnych metod są duże. W przykładach 4.55 i 4.56 wskaźnik theta wyznaczany jest dla bardzo podobnych opcji, ale w drugim przypadku zmienność cen instrumentu podstawowego jest cztery razy większa. Przykład 4.55 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęδ =10%zaτ =80dni.Pozostałeparametry:K =12,S 0 =12,r =6%, T h =365dni,T r =365dni,σ=10%,m=300. Przykład 4.56 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęδ =10%zaτ =80dni.Pozostałeparametry:K =12,S 0 =12,r =6%, T h =365dni,T r =365dni,σ=40%,m=300. Dla małej zmienności cen σ = 10% wyznaczona wartość Θ za pomocą metod różnicowych i dwumianowej jest bardzo podobnej wysokości, kiedy jednak następuje wzrost zmienności zwiększa się różnica wartości wskaźnika dla różnych metod- rysunek Widać stąd, że ten czynnik ma istotny wpływ na ocenę wrażliwości opcji. Dla mniejszych wartości parametru σ oszacowania są znacznie dokładniejsze.

62 62 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Rysunek 4.25: Na górze po lewej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z przykładu 4.53, po prawej binarna, amerykańska opcja kupna ze stałą dywidendą z przykładu Na dole waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę procentową. Po lewej z przykładu 4.55, po prawej z przykładu Odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa Vega Wskaźnik vega(v), w przeciwieństwie do trzech wcześniej opisanych greckich wskaźników, nie może zostać wyznaczony z siatki cen czy drzewka dwumianowego. Aby go obliczyć należy zastosować definicję. W przykładzie 4.57 pokazana została jego zbieżność w przypadku opcji europejskiej nie wypłacającej dywidendy. Przykład 4.57 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=5,s 0 =5,r=7%,T h =50dni,T r =50dni, σ=20%,m=300. Wykres do przykładu(rysunek 4.26) pokazuje, że dla opcji europejskiej, waniliowej i na instrument nie wypłacający dywidendy wskaźnik V zbiega szybko nawet z definicji. W przypadku jednak opcji binarnej(pozostałe parametry opcji bez zmian, w porównaniu do poprzedniego przykładu) z przykładu 4.58 na rysunku 4.26 widać, że zbieżność ta jest już znacznie słabsza. Szczególnie metoda dwumianowa jest bardzo nieregularna.

63 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI Rysunek 4.26: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja kupna z przykładu 4.57, po prawej (i na dole po lewej w powiększeniu) binarna, europejska opcja kupna z przykładu Na dole po prawej waniliowa, europejska opcja kupna na instrument wypłacający dywidendę stałą, z przykładu Odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. Przykład 4.58 Binarna opcja kupna, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=5,s 0 =5,X=0.1,r=7%,T h =50dni,T r =50dni, σ=20%,m=300. Powiększenie wykresu z tego przykładu dowodzi dokładność wyznaczenia wskaźnika za pomocą metod różnicowych, które dają bardzo zbliżone wyniki. W dwóch poprzednich przykładach opcja wystawiona była na instrument nie wypłacający dywidendy, w przykładzie 4.59, na rysunku 4.26, instrument wypłaca dywidendę stałą. Przykład 4.59 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęstałąwwysokościd=1zaτ=40dni.pozostałeparametry:k=5,s 0 =5, r=7%,t h =50dni,T r =50dni,σ=20%,m=300. Dla takiej opcji metoda dwumianowa także zbiega bardzo nieregularnie, ale daje podobne wyniki jak pozostałe metody. Zupełnie inaczej jest w przypadku opcji z przykładu 4.60, patrz rys

64 64 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Rysunek 4.27: Na górze po lewej waniliowa, amerykańska opcja kupna z dywidendą stałą z przykładu4.60.nagórzepoprawej(zprzykładu4.61)inadole(polewejzprzykładu4.62, po prawej 4.63) waniliowa, europejska opcja kupna z dywidendą ciągłą. Metody odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. Przykład 4.60 Waniliowa opcja kupna, amerykańska, na instrument wypłacający dywidendęstałąwwysokościd=1zaτ=40dni.pozostałeparametry:k=5,s 0 =5, r=7%,t h =50dni,T r =50dni,σ=20%,m=300. Dla opcji amerykańskiej z powyższego przykładu metoda dwumianowa jak zawsze zbiega nieregularnie, ale dodatkowo także każda z metod różnicowych zachowuje się w identyczny sposób. Taka sytuacja prowadzi do pogorszenia zbieżności, znacznie ją spowalnia, chociaż wprzykładzietymrozrzutwartościwskaźnikavniejestduży.przyn=500im=300 różnice są rzędu W przykładach 4.61 i 4.62 pokazane jest porównanie zbieżności V dla opcji, w których cena wykonania jest taka sama jak bieżąca cena instrumentu podstawowego i gdy jest między nimi różnica. Przykład 4.61 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęciągłąd=5%.pozostałeparametry:k=16,s 0 =18,r=8%,T h =20dni, T r =26dni,σ=27%,m=300.

65 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI 65 Przykład 4.62 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęciągłąd=5%.pozostałeparametry:k=16,s 0 =16,r=8%,T h =20dni, T r =26dni,σ=27%,m=300. Ilustracje do dwóch powyższych przykładów znajdują się na rysunku Różnica zbieżnościjestbardzowyraźna.wdrugimprzypadkukiedyk=s 0 zbieżnośćjestlepsza, metoda dwumianowa jest bardziej regularna. W przypadku metody Cranka-Nicolsona dlan=m=1500różnicazmetodąblacka-scholesawynosi0.979dlaprzykładu4.61i dlaprzykładu4.62,awięctakżedlaK=S 0 zbieżnośćjestlepsza.przykład4.63 na rysunku 4.27 jest taki jak dwa poprzednie, tylko tym razem bieżąca cena instrumentu podstawowego jest niższa od ceny wykonania. Przykład 4.63 Waniliowa opcja kupna, europejska, na instrument wypłacający dywidendęciągłąd=5%.pozostałeparametry:k=16,s 0 =14,r=8%,T h =20dni, T r =26dni,σ=27%,m=300. Okazuje się, że tak samo jak w przykładzie 4.61 zbieżność jest wolniejsza. Wynika z tego, że grecki wskaźnik V jest szybciej zbieżny w przypadku opcji, których cena wykonania równa jest bieżącej cenie instrumentu podstawowego Rho Grecki wskaźnik rho(ρ), podobnie jak V nie może być obliczony z siatki, ani drzewka. Pozostaje w takim przypadku jedynie uzyskać jego wartość stosując definicję. Przykład 4.64 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument nie wypłacający dywidendy.pozostałeparametry:k=325,s 0 =320,r=14%,T h =157dni,T r = 157dni,σ=15%,m=300. W przypadku opcji waniliowej, nie wypłacającej dywidendy, jak w przykładzie 4.64(na rysunku 4.28), zbieżność ρ jest szybka dla każdej metody. Różnice względne między metodą Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa przy użytych wartościach parametrów podziału siatki wynoszą około 0.05%. Przypadek opcji amerykańskiej zaprezentowany został w przykładzie 4.65, na rysunku Przykład 4.65 Waniliowa opcja sprzedaży, amerykańska, na instrument nie wypłacającydywidendy.pozostałeparametry:k=325,s 0 =320,r=14%,T h =157dni, T r =157dni,σ=15%,m=300. Dla opcji amerykańskiej z powyższego przykładu zbieżność jest wolniejsza niż dla identycznej opcji z wykonaniem typu europejskiego z przykładu Różnica względna wartości ρ wyznaczonej za pomocą metody dwumianowej i Cranka-Nicolsona wynosi blisko 1.9%,dlatakichsamychparametrównim,cowprzykładzie4.64.Dwakolejneprzykłady pokazują zachowanie się rho dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w określonym dniu trwania opcji. Przykład 4.66 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęprocentowąδ=8%zaτ=80dni.pozostałeparametry:k=14,s 0 =13, r=10%,t h =112dni,T r =112dni,σ=18%,m=300.

66 66 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Rysunek 4.28: Na górze po lewej waniliowa, europejska opcja sprzedaży z przykładu 4.64, po prawej waniliowa, amerykańska opcja sprzedaży z przykładu Na dole waniliowa, europejska opcja sprzedaży na instrument wypłacający dywidendę. Po lewej procentową z przykładu 4.66, po prawej stałą z przykładu Metody odpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. Przykład 4.67 Waniliowa opcja sprzedaży, europejska, na instrument wypłacający dywidendęstałąwwysokościd=1.04zaτ =80dni.Pozostałeparametry:K =14, S 0 =13,r=10%,T h =112dni,T r =112dni,σ=18%,m=300. W przykładzie 4.66 dywidenda jest procentowa, natomiast w przykładzie 4.67 stała. Wykresy w obu przypadkach znajdują się na rysunku Zbieżność ρ nie różni się znacząco dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w określonym dniu i określonej wysokości, tylko metoda dwumianowa w pierwszym przypadku jest bardziej regularna. W przykładzie 4.68, do którego ilustracja znajduje się na rysunku na rysunku 4.29, wskaźnik obliczany jest dla opcji binarnej. Przykład 4.68 Binarna opcja sprzedaży, z wykonaniem typu europejskiego, na instrumentniewypłacającydywidendy.pozostałeparametry:k=100,s 0 =101,X=1, r=6.5%,t h =79dni,T r =80dni,σ=20%,m=300.

67 4.2. GRECKIE WSKAŹNIKI Rysunek 4.29: Binarna, europejska opcja sprzedaży z przykładu Po lewej zastosowana zostałametodadwumianowa,poprawejmetodadwumianowa( 1 2 ).Metodyodpowiednio: ukryta, jawna, CN, dwumianowa, BS.. Dla opcji binarnej bardzo nieregularna jest zbieżność ρ dla metody dwumianowej. Bardzo dobrze obrazuje to porównanie różnic między metodą dwumianową i Blacka- Scholesadlan=1499in=1500.Wpierwszymprzypadkuróżnicatawynosi1.2%, podczas gdy w drugim już tylko 0.45%. Nie świadczy to jednak o lepszej zbieżności dla parzystej liczby kroków n(patrz przykład dla wskaźnika V). Dla różnych opcji zbieżność ta może mieć inny charakter. W przypadku metod różnicowych aby uzyskać dobre wyniki konieczne jest użycie dużych wartości dla parametrów n i m. Kiedy są one równe 1500 różnica względna pomiędzy wartościami rho w metodzie Cranka-Nicolsona i Blacka-Scholesa dla powyższego przykładu wynosi zaledwie 0.84%. Na rysunku 4.29, na górze po prawej, znajduje się wykres pokazujący zbieżność ρ dla opcji z przykładu 4.68, tylkozamiastmetodydwumianowejużytazostałametodadwumianowa( 1 2 ).Dlametody dwumianowej ze stałym prawdopodobieństwem przejścia na drzewku wyniki zbieżności wskaźnika ρ dla opcji binarnej są fatalne Podsumowanie Wszystkie przykłady dotyczące greckich wskaźników pokazują, że także ocena wrażliwości wycenianej opcji jest możliwa. Dla niektórych typów opcji, bądź na bardziej skomplikowane instrumenty podstawowe, ocena ta jest mniej dokładna, tzn. greckie wskaźniki zbiegają wolniej. Wskaźniki, Γ oraz Θ należy obliczać wprost z siatki cen opcji, ponieważ kiedy użyjemy definicji by znaleźć ich wartość, dokładność jest znacznie mniejsza. Dla pozostałych wskaźników V i ρ, nie ma możliwości wyznaczenia ich wysokości z siatki lub drzewka dwumianowego i w tej sytuacji pozostaje znaleźć ich wartość jedynie z definicji. Do wyznaczania wskaźników Θ i Γ należy używać metod różnicowych lub dwumianowej.wtychprzypadkachmetodadwumianowa( 1 2 )jestbardzoniedokładna,podobnie jak dla pozostałych wskaźników dla opcji binarnej(patrz przykład 4.68). Podobnie jak przy wycenie opcji, także przy ocenie jej wrażliwości metody jawna, ukryta i Cranka- Nicolsona zawsze dają bardzo zbliżone wyniki. Wartość wskaźnika uzyskana metodą

68 68 ROZDZIAŁ 4. WYCENA OPCJI W PRAKTYCE Cranka-Nicolsona jest zawsze pomiędzy wartościami uzyskanymi za pomocą pozostałych dwóch metod różnicowych, oczywiście w przypadku kiedy metoda jawna jest zbieżna (przykład 4.59). Jeżeli metoda jawna jest rozbieżna w przypadku wyceny opcji, to także przy wyznaczaniu wartości wskaźników jest rozbieżna. Zbieżność metod różnicowych jest monotoniczna,inaczejniżmetodydwumianowej,czydwumianowej( 1 2 ),którezawszezbiegają nieregularnie. Dla wskaźników Γ i V zbieżność metody dwumianowej jest inna niż w pozostałych przypadkach. Dla niektórych wartości parametrów n ich wartości są bardzo bliskie rzeczywistości, w innych znacznie od niej odbiegają, patrz przykład Dlatego do obliczania wartości tych wskaźników należy używać metod różnicowych lub jeśli to możliwe metody Blacka-Scholesa. Ocena wrażliwości opcji z wykonaniem typu amerykańskiego jest nieco trudniejsza, niż dla opcji z wykonaniem europejskim(patrz przykład 4.65). W pierwszym przypadku wymagane są znacznie większe wartości parametrów podziału siatki i drzewka(n i m). Podobnie jest dla opcji na instrument wypłacający dywidendę w ex-dividend date.

69 Rozdział 5 Zakończenie W pracy opisanych zostało pięć metod numerycznych, za pomocą których można wyceniać opcje na różne instrumenty podstawowe, np. akcje, walutę czy kontrakty futures. Każdą z tych metod można również wykorzystać do badania wrażliwości wycenianych opcji. Wielką zaletą metod różnicowych(ukrytej, jawnej i Cranka-Nicolsona) oraz metody dwumianowej jest możliwość wyceny i oceny wrażliwości opcji amerykańskich oraz opcji na instrument podstawowy wypłacający dywidendę(np. dywidenda przysługująca posiadaczowi akcji) podczas ważności opcji w jednym, wcześniej ustalonym terminie. Wykorzystane w pracy przedstawienie metody Cranka-Nicolsona opracowane zostało na podstawie Options, futures and other derivatives J. Hulla[6]. Znajduje się tam jednak niepoprawne wyprowadzenie metody. Prowadzi ono do błędnego algorytmu. Błąd Hulla polega na tym, że w momencie porównywania metody jawnej i ukrytej przyrównuje on wartości opcji nie zwracając uwagi na czas w którym opcja osiąga określoną wartość. Zatem zamiast równania postaci: f i,j +a i f i 1,j +b i f i,j +c i f i+1,j =f i,j+1 +a if i 1,j+1 +b if i,j+1 +c if i+1,j+1, otrzymuje równanie postaci: f i,j+1 +f i,j =a i f i 1,j +b i f i,j +c i f i+1,j +a if i 1,j+1 +b if i,j+1 +c if i+1,j+1, czego konsekwencją jest zły algorytm metody Cranka-Nicolsona. Prowadzi on do fałszywych wyników, w efekcie otrzymane ceny nie są zbieżne do cen uzyskiwanych za pomocą wzorów typu Blacka-Scholesa. Dla wszystkich przedstawionych metod różnicowych wycenę opcji dla instrumentów wypłacających dywidendę procentową lub stałą opracowałem w oparciu o wyprowadzenie wyceny opcji na takie instrumenty dla metody dwumianowej[6]. Metody opisane w pracy zostały zilustrowane przy pomocy 68 przykładów. Pozwala to na dokładne prześledzenie ich zalet i wad. Pokazują one możliwość wyceny opcji z wykonaniem typu amerykańskiego i na instrumenty wypłacające dywidendę. Jednocześnie widać, że aby dokładność wyceny tych opcji była zadowalająca, to bardzo istotnym jest stosowanie w symulacjach odpowiednio dużych wartości parametrów podziału siatki lub drzewka dwumianowego. Najlepiej by wartości n i m były większe od Podobne problemy napotkać można przy wycenie opcji binarnych. Także w tym przypadku jedynym rozwiązaniem jest użycie odpowiednio dużych podziałów siatki cen opcji lub drzewka cen opcji dla metod dwumianowych. 69

70 70 ROZDZIAŁ 5. ZAKOŃCZENIE Kłopoty z wyceną wyżej przytoczonych opcji przekładają się oczywiście także na ocenę ich wrażliwości. Wyjście z tej sytuacji jest dokładnie takie samo. Przy obliczaniu greckich wskaźników nie należy stosować jednak metody dwumianowej ze stałym prawdopodobieństwemprzejściap= 1 2,ponieważbardzoczęstowynikiotrzymanezajejpomocą nie są zbieżne, natomiast w przypadku kiedy są zbieżne, to wyniki są bardzo zbliżone do uzyskanych za pomocą metody dwumianowej. Opisane w pracy metody numeryczne, wraz z załączonym na płycie CD narzędziem Numerical Option Pricer, pozwalają w praktyce wyceniać opcje. Dodatkowo Toolbox NOP w Matlabie pozwala badać zbieżność cen opcji oraz greckich wskaźników. Dokładny opiszawartościpłytycdznajdujesięwdodatkachaib.

71 Dodatek A Numerical Option Pricer(NOP) Do pracy dołączona jest płyta CD, na której znajduje się narzędzie Numerical Option Pricer(NOP). NOP został napisany w środowisku Java. Aby go uruchomić niezbędne jest zainstalowanie na komputerze programu Java w wersji lub wyższej. Samo uruchomienie polega na podwójnym kliknięciu na plik NOP.jar. Rysunek A.1 przedstawia widok po uruchomieniu aplikacji. Rysunek A.1: NOP bezpośrednio po uruchomieniu.. 71

72 72 DODATEK A. NUMERICAL OPTION PRICER(NOP) Rysunek A.2: NOP- po lewej wybór metody do porównania, po prawej obliczenia.. NOP umożliwia obliczenie wartości dowolnej opcji opisanej w pracy za pomocą metod numerycznych:blacka-scholesa,dwumianowej,dwumianowej( 1 2 ),schematuróżnicowego jawnego, schematu różnicowego ukrytego oraz Cranka-Nicolsona. Za pomocą NOP można także obliczyć greckie wskaźniki dla opcji, a więc zbadać jej wrażliwość. Dane parametryzujące opcję wpisywane są w aktywnych polach tekstowych. Liczba pól ulega zmianie zależnie od wybranej metody lub rodzaju opcji. Dla liczb w postaci ułamka dziesiętnego stosuje się zapis z kropką np Po prawej stronie wybieramy czy opcja ma być typu amerykańskiego, czy europejskiego, waniliowa, czy binarna, w końcu kupna, czy sprzedaży. Jeśli instrument podstawowy na jaki opcja jest wystawiona wypłaca dywidendę, to wybieramy w jaki sposób dywidenda jest płatna: ciągły, procentowa w określonym dniu albo stała w określonym dniu. Jeżeli instrument podstawowy nie wypłaca dywidendy w polu tekstowym przy parametrze d należy wpisać 0. Nie ma wówczas znaczenia jaka dywidenda została wybrana. Dla metody dwumianowej mamy dwa sposoby konstrukcjidrzewkadwumianowego.dlastałegoprawdopodobieństwaprzejściap= 1 2 wybraćnależyconst=0.5wpoluprobability(jesttometodadwumianowa( 1 2 )),dla opcji Different mamy zwykłą metodę dwumianową. W górnej części aplikacji wybieramy metodę, którą opcja będzie obliczana. Istnieje także możliwość porównania dwóch dowolnych metod. W takim przypadku w polu Compare with należy ustawić metodę, z którą porównywane będą obliczenia wykonane dla metody podstawowej. Poza ceną opcji dla obu metod pojawią się również dwa pola porównująceróżnicewzględne 1 (wprocentach)ibezwzględnemiędzywybranymimetodami. Ilustruje to rysunek A.2. W dolnej części programu znajdują się przyciski funkcyjne. Przycisk Start uruchamia 1 Zawszeróżnicacenuzyskanazapomocąporównywanychmetodjestdzielonaprzezwartośćopcji uzyskanej za pomocą metody z pola Compare with.

73 73 Rysunek A.3: NOP- na górze drzewko cen akcji, na dole greckie wskaźniki.. program, efektem jest obliczenie ceny opcji dla wybranej metody lub dwóch metod oraz wyświetlenie pól porównań błędów. Przycisk Tree(lub Grid dla schematów różnicowych i metody Cranka-Nicolsona, dla metody Blacka-Scholesa opcja ta jest niedostępna) wyświetla dodatkowe okno z drzewkiem dwumianowym dla wybranej opcji. Istnieje możliwość podglądu rozłożenia cen instrumentu podstawowego na drzewku- przycisk StockTree (lub StockGrid jeżeli wcześniej wybrany został przycisk Grid). Pomarańczowym kolorem wyróżnione są momenty optymalnego wykonania opcji typu amerykańskiego. Efekty działania tego przycisku ilustruje rysunek A.3. Przycisk Greeks powoduje otwarcie dodatkowego okna z obliczonymi wartościami greckich wskaźników dla wybranej opcji. Jeżeli została wybrana metoda porównawcza(w polu Compare with), wówczas także greckie wskaźniki obliczone za pomocą obu metod zostaną porównane, patrz rys. A.3. Przycisk Help otwiera okno pomocy, w którym dokładnie zostały opisane wszystkie pola i elementy wyboru w programie NOP. Pomoc dostępna jest w języku polskim i angielskim. Przycisk About zawiera informacje o autorze programu, natomiast przycisk Exit służy do zakończenia pracy z NOP.