Wprowadzenie do pomiaru głębi obrazu za pomocą stereoskopowego układu kamer
|
|
- Józef Marciniak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Bogusław Cyganek Wprowadzenie do pomiaru głębi obrazu za pomocą stereoskopowego układu kamer an introduction to scene depth measurement with stereoscopic set of cameras Streszczenie W artykule zaprezentowano podstawy widzenia stereoskopowego zarówno w układzie wzrokowym człowieka, jak również w systemie komputerowym wyposażonym w parę kamer. Przedstawione zostały matematyczne podstawy widzenia stereoskopowego, które z wykorzystaniem dwóch przetworników wizyjnych umożliwiają ocenę nie tylko przesunięcia obiektów, ale również ich oddalenia od kamer. Zaprezentowane systemy znajdują zastosowanie również w spawalnictwie do pomiaru parametrów powierzchni jeziorka spawalniczego oraz wyznaczenia stopnia przetopu spoiny. abstract The paper presents an introduction to stereoscopic vision in the human visual system as well as in computer system equipped with the two cameras. Application of the two cameras in the vision systems allows not only measurement of objects shifts but also measurement of their distance to the cameras. Mathematical foundations of this process are also discussed. Presented systems find application in welding for measurement of parameters of the weld pool and weld penetration. Wstęp W wielu dziedzinach techniki niezbędny jest pomiar pełnej geometrii obserwowanych zjawisk i obiektów. W zależności od warunków oraz wymagań pomiar taki można wykonać za pomocą metod aktywnych, takich jak np. skaner laserowy, bądź też pasywnych, takich jak stereoskopowy układ kamer. W artykule zaprezentowano wstęp do pomiaru głębi obrazów za pomocą stereoskopowego układu kamer, począwszy od omówienia układu widzenia człowieka, aż do krótkiej charakterystyki metod komputerowych. Wykazano, że również w przypadku zastosowań spawalniczych stereoskopowy układ kamer pozwala na m.in. pomiar parametrów powierzchni jeziorka spawalniczego, co z kolei umożliwia wyznaczenie stopnia przetopu spoiny [5, 10]. Rozwój nowoczesnych technik mikroprocesorowych, jak również metod obliczeniowych, umożliwia zastosowanie komputerów do automatycznej analizy obrazów, również w systemach Dr hab. inż. Bogusław Cyganek AGH Akademia Górniczo-Hutnicza. spawalniczych [6, 7]. Artykuł rozpoczyna rozdział poświęcony układowi widzenia człowieka ze szczególnym uwzględnieniem jego zdolności postrzegania otoczenia. następnie omówiony został matematyczny model pojedynczej kamery. Zastosowanie dwóch kamer zmienia sytuację jakościowo, umożliwiając percepcję głębi obserwowanej sytuacji. Innymi słowy, wykorzystując dwie kamery, można określić usytuowanie obiektów. W artykule przedstawiono matematyczne podstawy tego procesu. następnie omówiono komputerowe metody pomiaru mapy głębi powstałej na podstawie obrazów dostarczonych ze stereoskopowego systemu kamer. Widzenie stereoskopowe układ wzrokowy człowieka Występująca u człowieka oraz większości zwierząt para oczu nie służy wyłącznie do zdublowania tego cennego receptora sygnałów wizyjnych, ale zapewnia również zdolność do postrzegania głębi obserwowanych scen postrzegania obserwowanych obrazów. Efekt ten zwany jest widzeniem stereoskopowym. 38
2 Odbiór wzrokowy sygnałów wizyjnych Promienie świetlne przenikają przez soczewkę oka na fotoczułą tkankę nazywaną siatkówką oka, na której wywołują obraz pomniejszony i obrócony [8]. Siatkówka zbudowania jest z kilku warstw komórek nerwowych: czopków oraz pręcików, jak również komórek dwubiegunowych oraz komórek zwojowych. Pręciki znajduje się w części zewnętrznej siatkówki i umożliwiają odbiór natężenia światła, czyli zapewniają widzenie monochromatyczne. Czopki z kolei są obecne w centralnej części siatkówki, najwięcej jest ich na tzw. plamce żółtej, i dzięki zawartym w nich barwnikom wrażliwym na różne długości fali umożliwiają widzenie barwne. największe zagęszczenie czopków występuje w plamce żółtej oka (łac. macula lutea). Powoduje to największą rozdzielczość widzenia właśnie w tej części oka. Siatkówka połączona jest z mózgiem nerwem wzrokowym. Istotnym elementem oka jest tzw. dołek środkowy oka (łac. fovea centralis), widoczny na rysunku 1. Jest to niewielkie zagłębienie w centrum plamki żółtej siatkówki, które znajduje się dokładnie w osi poziomej oka. U człowieka jest to ok. 3,5 mm od brzegu tarczy nerwu wzrokowego. Obraz obiektu, na którym skupiamy wzrok, jest rzutowany właśnie w to miejsce. Jest to obszar najostrzejszego widzenia, pokrywający jednak niewielki kąt widzenia (ok. dwa stopnie). Tak jak wspomniano, para oczu powoduje zmianę jakościową procesu widzenia, gdyż umożliwia detekcję głębi obserwowanej sceny. Rysunek 1 ilustruje procesu widzenia stereoskopowego u człowieka. Świat obserwowany wyłącznie jednym okiem jest płaski. Co prawda jesteśmy zdolni do postrzegania względnego położenia obiektów w przestrzeni dzięki innym zjawiskom takim jak ich wzajemne przysłanianie obiekt, który jest przysłonięty przez inny, musi znajdować się dalej od obserwatora. niemniej jednak pełnię odbioru głębi zapewnia dopiero para oczu. Podstawowym zjawiskiem, które umożliwia ocenę odległości obserwowanego obiektu, jest różnica w położeniu jego obrazu na siatkówkach obu oczu. W przypadku skupienia obydwu oczu na punkcie A, jego obraz powstaje w siatkówkach dokładnie w miejscach występowania plamki żółtej (rys. 1). W przypadku innych punktów, położenia ich obrazów powstałych na siatkówkach określamy w stosunku do umiejscowienia odpowiednich żółtych plamek. Przy tym założeniu, dwa punkty obrazowe na siatkówkach odpowiadają sobie, jeżeli są oddalone od odpowiadających im żółtych plamek o jednakową odległość. Jest to w sposób oczywisty spełnione dla punktu A. Z kolei, wyznaczając położenie punktów przestrzennych, których obrazy odpowiadają sobie, otrzymujemy obszar przestrzeni zwany horopterem. Wszystkie inne punkty przestrzenne, oprócz punktów należących do horopteru, dają na siatkówkach punkty obrazowe, które nie są wzajemnie odpowiadające. Różnicę ich położenia na siatkówkach nazywamy dysparycją siatkówkową (ang. retinal disparity) [3]. Stąd też punkty horopteru mają zawsze zerową wartość dysparycji siatkówkowej. Dysparycja siatkówkowa jest wielkością umożliwiająca ocenę odległości od otaczających punktów przestrzeni. I tak, im większa różnica położenia tych obrazów, tym bliżej znajduje się obserwowany obiekt. Z kolei obrazy obiektów będących w znacznym oddaleniu nie wykazują przesunięcia [4]. na rysunku 2 przedstawiono przykładową parę obrazów stereoskopowych otrzymaną w wyniku wykonania w tym samym momencie zdjęcia dwoma kamerami będącymi w niewielkiej odległości od siebie. Aby zaobserwować efekt głębi, należy pomiędzy obrazami umieścić kartkę papieru, która umożliwi obserwację obrazu lewego wyłącznie lewym okiem i odpowiednio obrazu prawego prawym. Po pewnym czasie wpatrywania następuje zlanie się dwóch obrazów w jeden z wyraźnie widocznymi obszarami bliższymi obserwatorowi. W dalszej części artykułu opisany jest proces wyznaczania mapy głębi obrazu za pomocą komputera. Rys. 1. Widzenie stereoskopowe u człowieka Fig. 1. Human stereoscopic vision Rys. 2. Przykład pary obrazów stereoskopowych (część Renault, InRIA C). Aby zaobserwować efekt głębi, należy ustawić pionową kartkę papieru i obserwować tak, aby oko lewe patrzyło wyłącznie na obraz lewy, a prawe na prawy Fig. 2. A pair of stereoscopic images (part of Renault, InRIA C). The depth effect observed with vertical position of paper sheet and observing the left eye image on the left and right one the right 39
3 Model kamery punktowej na rysunku 3 przedstawiono model kamery punktowej (ang. pin-hole camera). Charakterystyczne jest występowanie trzech układów współrzędnych: układu zewnętrznego oznaczonego indeksem w, układu kamery oznaczonego c oraz układu płaszczyzny obrazowej kamery π z dwoma wymiarami x-y zgodnymi z liniami skanowania obrazu, tak jak w przypadku sygnału TV. Punkt O c nazywany jest punktem ogniskowym lub centralnym kamery. Elementy płaszczyzny P kamery o całkowitych współrzędnych nazywamy pikselami obrazu. Punkt główny o = (o x, o y ) (ang. principal point) jest wynikiem rzutu punktu środkowego O c układu współrzędnych kamery na płaszczyznę π w kierunku zgodnym z osią Z c. Odległość f płaszczyzny obrazowej π od punktu O c nazywana jest długością ogniskową, natomiast oś optyczną wyznacza prosta O c O c. Fizyczne wymiary piksela określają parametry s x oraz s y. Załóżmy, że w układzie współrzędnym kamery punkty P oraz jego obraz p mają następujące współrzędne P = ( XYZ,, ) p = ( xyz,, ). Korzystając z podobieństwa trójkątów ΔO c po oraz ΔO c PO c oraz przyjmując z = f, otrzymujemy następujące zależności (1) punktu P w tych dwóch układach współrzędnych opisuje poniższe równanie [1, 2]: P = R( P -T) c (3) gdzie: R jest macierzą obrotu, natomiast t = O w O c macierzą przesunięcia pomiędzy układami współrzędnych w oraz c. Z kolei współrzędne punktu p na płaszczyźnie obrazu x u oraz y u oraz współrzędne x i y w lokalnym układzie kamery łączy zależność Po podstawieniu związków (3) i (4) do zależności (2) otrzymujemy liniowe równanie opisujące model kamery perspektywicznej z punktowym obiektywem [1, 2] gdzie x jest punktem obrazu o współrzędnych jednorodnych [x 1, x 2, x 3 ] T, X punktem przestrzeni trójwymiarowej o współrzędnych jednorodnych [X 1, X 2, X 3, X 4 ] T. Użycie współrzędnych jednorodnych powoduje zastąpienie dzielenia występującego w równaniu (2) poprzez dodanie dodatkowego składnika, gdyż związane są one następującą zależnością w x= ( x -o ) s y = ( y -o ) s x u x x u y y = MX (4) (5) x= f X, y f= Y Z Z =, z = f (2) (6) Równanie (2) opisuje model kamery perspektywicznej z obiektywem punktowym. Położenie punktu P w układzie kamery opisuje wektor P c, natomiast w układzie zewnętrznym wektor P w (rys. 3). Z kolei punkt p jest rzutem perspektywicznym, z centrum w punkcie O c, punktu P na płaszczyznę obrazową π. Wzajemną zależność współrzędnych Równanie (5) opisuje transformację z przestrzeni 3 rzutowej na płaszczyznę rzutową 2. Transformacja ta przekształca wszystkie punkty leżące na prostej w dokładnie jeden punkt-obraz x na płaszczyźnie rzutowej 2. Prosta ta jest jednoznacznie określona przez punkt centralny O c oraz punkt przestrzeni 3. Stąd też transformacja taka jest jednoznaczna w stosunku do przekształcenia prostej w punkt. Dlatego równanie (5) można przedstawić ogólnie w postaci: gdzie dodatkowy w stosunku do (5) parametr c jest współczynnikiem skalującym. Bez utraty ogólności, tam gdzie jest to jednoznaczne, przyjmuje się s = 1, a macierz M traktuje jako zdefiniowaną z dokładnością do pewnego współczynnika skalującego, efektywnie przyjmując z powrotem postać równania (5). Wprowadzenie do elementów geometrii rzutowej można znaleźć m.in. w publikacjach [1, 2]. Macierz M opisuje przekształcenie punktu przestrzeni na jego obraz dokonywane przez kamerę. Macierz tę można przedstawić w postaci iloczynu: (7) Rys. 3. Punktowy model pojedynczej kamery Fig. 3. Spot single camera model M = M i M e (8) 40
4 Rys. 5. Przykładowy system kamer przemysłowych w układzie stereoskopowym Fig. 5. Example for industrial camera in the stereoscopic configuration system Rys. 4. Model stereoskopowego układu kamer w postaci ogólnej oraz kanonicznej. Zewnętrzny punkt P zostaje zobrazowany w postaci lokalnych punktów p l0 oraz p r0. Punkty O l oraz O r wraz z punktem przestrzeni P definiują płaszczyznę epipolarną Fig. 4. Stereoscopic camera system model in the general and canonical form. External point P depicted as local points p l0 and p r0. Points O l i O r with the P point defines plane gdzie: jest macierzą parametrów wewnętrznych, natomiast (9) (10) jest macierzą parametrów zewnętrznych kamery. Są one zdefiniowane jako zbiór parametrów geometrycznych, jednoznacznie określających przekształcenie układu współrzędnych kamery w układ współrzędnych zewnętrznych, tj. za pomocą wektora translacji t oraz macierzy rotacji R. Proces znajdowania parametrów macierzy M i oraz M e nazywamy kalibracją kamery [3, 9]. Układ dwóch kamer stereoskopia na rysunku 4 przedstawiono proces obserwacji zjawiska zachodzącego w otoczeniu za pomocą dwóch kamer, czyli układu stereoskopowego. Kamery te, jednocześnie obserwując daną scenę, umożliwiają wnioskowanie o oddaleniu punktów przestrzeni. Każda z widocznych płaszczyzn π i wraz z punktem centralnym rzutowania O i tworzy kamerę z obiektywem punktowym omawianą w poprzednim rozdziale. Prosta O l O r łącząca centra rzutowania, wyznacza linię bazową. Punkty jej przecięcia z płaszczyznami kamer nazywane są punktami epipolarnymi. W szczególnym przypadku, gdy linia bazowa jest równoległa do płaszczyzn kamer, odpowiadający punkt epipolarny jest tzw. punktem w nieskończoności [3]. na rysunku 5 przedstawiono przykładowy system kamer przemysłowych w układzie stereoskopowym. Możliwe jest również zbudowanie układu stereoskopowego z wykorzystaniem jednej kamery wyposażonej w odpowiedni zestaw soczewek i luster (układ katadioptryczny) [1, 2]. Zauważmy, że punkty P oraz Q są rzutowane do jednego obrazu na płaszczyźnie kamery lewej π l0. Stąd też wyznaczenie ich oddalenia jest możliwe wyłącznie dzięki zastosowaniu drugiej kamery, oznaczonej jako π r0. Obrazy punktów P oraz Q na płaszczyźnie π r0 są różne. Widzimy też, że wraz z przybliżaniem się punktu Q do centrum kamery O l jego obraz na drugiej płaszczyźnie zbliża się do położenia punktu e r. Zauważamy również, że punkty obrazu znajdują się wyłącznie na prostych powstałych w wyniku przecięcia płaszczyzn kamer π l0 oraz π r0 z płaszczyzną określoną przez centra rzutowania O l i O r oraz rzutowany punkt przestrzeni P, zwaną płaszczyzną epipolarną. Jest to istotny rezultat, gdyż ogranicza położenie odpowiadających sobie punktów obrazu wyłącznie do linii epipolarnych. Widzimy więc, że położenie punktu przestrzeni oraz jego obrazów na płaszczyznach kamer jest ściśle określone przez geometrię epipolarną danego układu kamer. Dla wszystkich rzutowanych punktów wzajemne położenie odpowiadających sobie ich punktów obrazu określa jedna macierz zwana macierzą fundamentalną F, dla której zachodzi zależność [1 3]: (11) gdzie: p l0 oraz p r0 są punktami obrazo-wymi punktu P, odpowiednio na płaszczyźnie obrazowej kamery lewej oraz prawej, których współrzędne wyrażone są w lokalnym układzie współrzędnych związanym z odpowiednimi płaszczy-znami kamer π l0 oraz π r0. 41
5 Komputerowe obliczanie głębi obrazu Rys. 6. Kanoniczny układ stereoskopowy Fig. 6. Canonical stereoscopic configuration Jak już wspomniano, w celu znalezienia położenia punktu P należy odnaleźć jego obrazy na płaszczyznach π l0 oraz π r0. Jednak w praktyce proces ten jest trudny i często niejednoznaczny. Znaczącym ułatwieniem jest fakt, że poszukiwania odpowiadających sobie punktów można ograniczyć wyłącznie do przeszukania punktów linii epipolarnych. niemniej w przypadku dowolnego układu kamer położenie tych linii nie zawsze jest znane a priori. Sytuacja jest znacznie łatwiejsza, jeżeli płaszczyzny kamer ułożone są w ten sposób, że osie kamer są równoległe, a krawędzie płaszczyzn współliniowe, tak jak w przypadku kamer π l1 oraz π r1 (rys. 4). Tego typu układ nazywamy kanonicznym układem kamer, którego przekrój przedstawiono na rysunku 6. Może on być wynikiem wstępnego ułożenia kamer lub też kanoniczny obraz może być otrzymany z obrazu ogólnego w wyniku przeprowadzenia tzw. procesu rektyfikacji obrazów. Korzystając z właściwości podobieństwa trójkątów Δp l1 o l1 O l1 oraz ΔPXO l1, jak również Δp r1 o r1 O r1 oraz ΔPXO r1 (rys. 6), otrzymujemy następujące zależności definiujące dysparycję horyzontalną D x (p l1, p r1 ) pomiędzy parą punktów p l1 oraz p r1 Podstawy widzenia stereoskopowego zostały zarysowane w poprzednim rozdziale. W przypadku systemu komputerowego wyposażonego w dwie kamery obliczanie mapy głębi polega głównie na znalezieniu wszystkich odpowiadających sobie punktów obrazu dla nieznanych punktów przestrzeni, a następnie wyznaczeniu ich wzajemnego przesunięcia horyzontalnego D x występującego we wzorach (12) oraz (13). Jak już wspomniano, proces ten nie jest ani łatwy, ani też jednoznaczny. To znaczy, mając pewien punkt na płaszczyźnie kamery, przeważnie nie wiemy, jakiego obiektu jest on obrazem, ani też nie wiemy, gdzie znajduje się odpowiadający mu obraz z drugiej kamery. Pewnym ułatwieniem jest fakt, że obraz taki znajduje się wyłącznie na odpowiedniej linii epipolarnej, która w przypadku kanonicznego układu kamer jest zgodna z linią skanowania pikseli w kamerze. Zdarza się często, że dany punkt przestrzeni widoczny jest wyłącznie w płaszczyźnie jednej kamery, podczas gdy w drugiej nie występuje ze względu na ułożenie geometryczne lub też Rys. 7. Poszukiwanie odpowiadających sobie punktów na linii epipolarnej z wykorzystaniem wartości pikseli w pewnym obszarze U otaczającym punkt (x, y) Fig. 7. The search for corresponding points on the line using pixel values in an U area surrounding the point (x, y) bf Dx( pl1, pr1)= pr1- pl1 = xl - xr = Z (12) gdzie: punkty p l1 oraz p r1 są obrazami pewnego punktu P, p l1 oraz p r1 są ich współrzędnymi w kierunku osi x (w kierunku y są równe 0), b oznacza odległość bazową między kamerami, f jest ogniskową kamer, natomiast Z jest szukaną odległością punktu P od linii bazowej, czyli głębią sceny. Szukaną wartość Z w układzie kanonicznym obliczamy na podstawie znalezionego przesunięcia horyzontalnego D x (p l1, p r1 ) pomiędzy punktami obrazowymi p l1 oraz p r1 nieznanego punktu P, jak poniżej: Z = bf p, p ( ) D x l 1 r 1 (13) W przypadku gdy D x 0, przyjmujemy że obserwowany punkt P znajduje się w nieskończoności, czyli Z. Rys. 8. Algorytm obliczania mapy głębi z pary obrazów stereoskopowych Fig. 8. The algorithm for calculation of depth maps from a pair of stereoscopic images 42
6 przysłonięcia. Innym częstym przypadkiem jest znalezienie fałszywego dopasowania punktów obrazowych. Powstaje tutaj bardzo istotne pytanie w jaki sposób ocenić, czy obserwowane punkty na płaszczyznach kamer faktycznie są obrazami jakiegoś rzeczywistego punktu przestrzeni? Jedną z możliwości jest zastosowanie pewnej miary porównania danych dwóch punktów obrazu. Jednakże same wartości sygnału intensywności lub też koloru pojedynczego piksela mogą być niewystarczające do jednoznacznego określenia, czy punkty te są obrazami tego samego punktu przestrzeni. W celu poprawy jakości odpowiedzi można wykorzystać również wartości pikseli sąsiadujących, jak również dodatkowe parametry geometryczne obserwowanej sceny. Proces ten zilustrowano na rysunku 7. Obrazy można porównać za pomocą wielu miar. Jedną z takich miar, która jest odporna na lokalne wariancje sygnału intensywności, jest S CoVar dana poniższym wzorem wartością intensywności dla k-tego obrazu w otoczeniu U wokół punktu (x, y), d x oraz d y oznaczają wartości względnego przesunięcia (dysparycji), natomiast i, j są indeksami. na rysunku 8 przedstawiono prosty algorytm znajdowania mapy głębi na podstawie pary obrazów stereoskopowych. Dalsze informacje na temat procesu korelacji stereoskopowej zawierają liczne publikacje, np. książki [1, 2]. Z kolei, na rysunku 9 przedstawiono wyniki działania tego algorytmu dla pary pokazanej na rysunku 2, dla różnych wielkości otoczenia U we wzorze (14). Jaśniejsze miejsca na rysunku 9 oznaczają punkty znajdujące się bliżej obserwatora, ale poprawne wartości znajdują się w miejscach o silnej teksturze. (14) gdzie I k (x,y) jest wartością intensywności piksela w punkcie (x, y) k-tego obrazu, I k ( x, y) jest średnią Rys. 9. Komputerowo obliczona mapa głębi w wyniku korelacji punktów pomiędzy parą obrazów przedstawionych na rysunku 2 Fig. 9. Computer calculated depth map as the points correlation in the pair of images shown on the fig. 2 Wnioski W artykule zaprezentowane zostały podstawy widzenia stereoskopowego, zarówno w ludzkim układzie wzrokowym człowieka, jak również w komputerowym systemie wyposażonym w dwie kamery. Przedstawione zostały matematyczne modele kamery, jak również podstawy geometrii epipolarnej. Zaprezentowany został przegląd algorytmów obliczania mapy głębi, jak również wspomniane zostały wybrane aplikacje. Między innymi, stereoskopowe metody pomiaru głębi mogą być wykorzystane w spawalnictwie do monitorowania jeziorka spawalniczego celem wyznaczenia stopnia wtopienia spoiny. Literatura [1] Cyganek B.: Komputerowe przetwarzanie obrazów trójwymiarowych (in Polish) EXIT, [2] Cyganek B., Siebert J.P.: An Introduction to 3D Computer Vision Techniques and Algorithms. Wiley, [3] Hartley R.I., Zisserman A.: Multiple View Geometry in Computer Vision, 2nd edn, Cambridge University Press, [4] Howard I.P., Rogers B.J.R.: Binocular Vision and Stereopsis. Oxford University Press, [5] Kim Y. S. and Eagar T. W.: Analysis of metal transfer in gas metal arc welding. Welding Journal 1993, 72, s [6] Tadeusiewicz R.: new Trends in neurocybernetics. Computer Methods in Materials Science, Vol. 10, 2010, no. 1, s [7] Tadeusiewicz R.: Place and Role of Intelligent Systems in Computer Science. Computer Methods in Materials Science, Vol. 10, 2010, no. 4, s [8] Wandell B.A.: Foundations of Vision. Sinauer Associates Publishers Inc [9] Zhang Z.: A Flexible new Technique for Camera Calibration. Technical Report MSR-TR Microsoft Research, Microsoft Corporation, [10] Zhao C. X., Richardson I. M., Kenjeres S., Kleijn C. R., Saldi Z.: A stereo vision method for tracking particle flow on the weld pool surface. Journal of Applied Physics 105, Podziękowanie Artykuł ten powstał dzięki wsparciu finansowemu w 2012 roku projektu badawczego narodowego Centrum nauki nr DEC-2011/01/B/ST6/
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Kalibracja stereowizyjnego systemu wizyjnego z użyciem pakietu Matlab Kraków, 2011 1. System stereowizyjny Stereowizja jest działem szeroko
Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 12 AiR III
1 Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania wyłącznie do własnych, prywatnych potrzeb i może
Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych
Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych autor: Robert Drab opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter 1. Wstęp Zagadnienie generowania trójwymiarowego
Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.
Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie
Kalibracja kamery. Kalibracja kamery
Cel kalibracji Celem kalibracji jest wyznaczenie parametrów określających zaleŝności między układem podstawowym a układem związanym z kamerą, które występują łącznie z transformacją perspektywy oraz parametrów
Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..
4. Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty.. Jeśli przecinają się w dowolnym miejscu, i to pod kątem prostym,
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Rys. 1 Schemat układu obrazującego 2f-2f
Ćwiczenie 15 Obrazowanie. Celem ćwiczenia jest zbudowanie układów obrazujących w świetle monochromatycznym oraz zaobserwowanie różnic w przypadku obrazowania za pomocą różnych elementów optycznych, zwracając
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wyznaczanie dysparycji z użyciem pakietu Matlab Kraków, 2012 1. Mapa dysparycji W wizyjnych metodach odwzorowania, cyfrowa reprezentacja sceny
Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D
Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D autorzy: Michał Dajda, Łojek Grzegorz opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter I. O projekcie. 1. Celem projektu było stworzenie
Geometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Ćwiczenia nr 4. TEMATYKA: Rzutowanie
TEMATYKA: Rzutowanie Ćwiczenia nr 4 DEFINICJE: Rzut na prostą: rzutem na prostą l (zwaną rzutnią) w kierunku rzutowania k (k l) nazywamy przekształcenie płaszczyzny przyporządkowujące: a) Punktom prostej
Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu
Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do obserwatora f) w kierunku od obserwatora 1. Obrót dookoła osi
LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.
LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD
Dr inż. Jacek WARCHULSKI Dr inż. Marcin WARCHULSKI Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskowa Akademia Techniczna SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Streszczenie: W referacie przedstawiono możliwości
Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne
46 III. Przekształcenia w przestrzeni trójwymiarowej Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne Złożone obiekty trójwymiarowe można uważać,
Grafika Komputerowa Wykład 4. Synteza grafiki 3D. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/30
Wykład 4 mgr inż. 1/30 Synteza grafiki polega na stworzeniu obrazu w oparciu o jego opis. Synteza obrazu w grafice komputerowej polega na wykorzystaniu algorytmów komputerowych do uzyskania obrazu cyfrowego
Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki.
Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. 1. Równanie soczewki i zwierciadła kulistego. Z podobieństwa trójkątów ABF i LFD (patrz rysunek powyżej) wynika,
Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza
Plan wykładu Wykład 3 Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady 1. Rzutowanie prostokątne - geneza 2. Dwa sposoby wzajemnego położenia rzutni, obiektu i obserwatora, metoda europejska i amerykańska
Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli
Aerotriangulacja 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Definicja: Cel: Kameralne zagęszczenie osnowy fotogrametrycznej + wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej
f = -50 cm ma zdolność skupiającą
19. KIAKOPIA 1. Wstęp W oku miarowym wymiary struktur oka, ich wzajemne odległości, promienie krzywizn powierzchni załamujących światło oraz wartości współczynników załamania ośrodków, przez które światło
Laboratorium Optyki Falowej
Marzec 2019 Laboratorium Optyki Falowej Instrukcja do ćwiczenia pt: Filtracja optyczna Opracował: dr hab. Jan Masajada Tematyka (Zagadnienia, które należy znać przed wykonaniem ćwiczenia): 1. Obraz fourierowski
Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne
Cyfrowe przetwarzanie obrazów I Obraz jako funkcja Przekształcenia geometryczne dr. inż Robert Kazała Definicja obrazu Obraz dwuwymiarowa funkcja intensywności światła f(x,y); wartość f w przestrzennych
Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie
Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Rzutowanie w przestrzeni 3D etapy procesu rzutowania określenie rodzaju rzutu określenie
Geometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Grafika komputerowa Wykład 4 Geometria przestrzenna
Grafika komputerowa Wykład 4 Geometria przestrzenna Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1 Geometria 3D - podstawowe
Orientacja zewnętrzna pojedynczego zdjęcia
Orientacja zewnętrzna pojedynczego zdjęcia Proces opracowania fotogrametrycznego zdjęcia obejmuje: 1. Rekonstrukcję kształtu wiązki promieni rzutujących (orientacja wewnętrzna ck, x, y punktu głównego)
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
DETEKCJA PŁASZCZYZN W SCENIE TRÓJWYMIAROWEJ NA PODSTAWIE SEKWENCJI OBRAZÓW STEREOWIZYJNYCH
DETEKCJA PŁASZCZYZN W SCENIE TRÓJWYMIAROWEJ NA PODSTAWIE SEKWENCJI OBRAZÓW STEREOWIZYJNYCH Piotr Skulimowski Instytut Elektroniki Politechniki Łódzkiej ul. Wólczańska 211/215, 90-924 Łódź e-mail: piotr.skulimowski@p.lodz.pl
Krystalochemia białek 2016/2017
Zestaw zadań 4. Grupy punktowe. Składanie elementów symetrii. Translacyjne elementy symetrii grupy punktowe, składanie elementów symetrii, translacyjne elementy symetrii: osie śrubowe, płaszczyzny ślizgowe
Akwizycja obrazów. Zagadnienia wstępne
Akwizycja obrazów. Zagadnienia wstępne Wykorzystane materiały: R. Tadeusiewicz, P. Korohoda, Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Wyd. FPT, Kraków, 1997 A. Przelaskowski, Techniki Multimedialne,
A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Aby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.
2. Podstawy krystalografii Podczas naszych zajęć skupimy się przede wszystkim na strukturach krystalicznych. Kryształem nazywamy (def. strukturalna) substancję stałą zbudowaną z atomów, jonów lub cząsteczek
Π 1 O Π 3 Π Rzutowanie prostokątne Wiadomości wstępne
2. Rzutowanie prostokątne 2.1. Wiadomości wstępne Rzutowanie prostokątne jest najczęściej stosowaną metodą rzutowania w rysunku technicznym. Reguły nim rządzące zaprezentowane są na rysunkach 2.1 i 2.2.
Temat: Budowa i działanie narządu wzroku.
Temat: Budowa i działanie narządu wzroku. Oko jest narządem wzroku. Umożliwia ono rozróżnianie barw i widzenie przedmiotów znajdujących się w różnych odległościach. Oko jest umiejscowione w kostnym oczodole.
WideoSondy - Pomiary. Trzy Metody Pomiarowe w jednym urządzeniu XL G3 lub XL Go. Metoda Porównawcza. Metoda projekcji Cienia (ShadowProbe)
Trzy Metody Pomiarowe w jednym urządzeniu XL G3 lub XL Go Metoda Porównawcza Metoda projekcji Cienia (ShadowProbe) Metoda Stereo Metoda Porównawcza Metoda Cienia - ShadowProbe Metoda Stereo Metoda Porównawcza
Temat ćwiczenia: Wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej pojedynczego zdjęcia lotniczego
Uniwersytet Rolniczy w Krakowie Wydział InŜynierii Środowiska i Geodezji Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji Temat ćwiczenia: Wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej pojedynczego zdjęcia lotniczego
RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10
TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 Fotogrametria to technika pomiarowa oparta na obrazach fotograficznych. Wykorzystywana jest ona do opracowywani map oraz do różnego rodzaju zadań pomiarowych.
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Dodatek 1. C f. A x. h 1 ( 2) y h x. powrót. xyf
B Dodatek C f h A x D y E G h Z podobieństwa trójkątów ABD i DEG wynika z h x a z trójkątów DC i EG ' ' h h y ' ' to P ( ) h h h y f to ( 2) y h x y x y f ( ) i ( 2) otrzymamy to yf xy xf f f y f h f yf
Reprezentacja i analiza obszarów
Cechy kształtu Topologiczne Geometryczne spójność liczba otworów liczba Eulera szkielet obwód pole powierzchni środek ciężkości ułożenie przestrzenne momenty wyższych rzędów promienie max-min centryczność
Przekształcenia geometryczne. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej
Przekształcenia geometryczne Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Akademia Górniczo Hutnicza w Krakowie Przekształcenia elementarne w przestrzeni D Punkty p w E na płaszczyźnie
OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA
1100-1BO15, rok akademicki 2018/19 OPTYKA GEOMETRYCZNA I INSTRUMENTALNA dr hab. Rafał Kasztelanic Wykład 6 Optyka promieni 2 www.zemax.com Diafragmy Pęk promieni świetlnych, przechodzący przez układ optyczny
Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje.
Ćwiczenie 2 Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne Działanie obrazujące soczewek lub układu soczewek wygodnie
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY. Optoelektroniczne pomiary aksjograficzne stawu skroniowo-żuchwowego człowieka
dr inż. Witold MICKIEWICZ dr inż. Jerzy SAWICKI Optoelektroniczne pomiary aksjograficzne stawu skroniowo-żuchwowego człowieka Aksjografia obrazowanie ruchu osi zawiasowej żuchwy - Nowa metoda pomiarów
Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Geometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Ćwiczenie nr 1. Temat: BADANIE OSTROŚCI WIDZENIA W RÓŻNYCH WARUNKACH OŚWIETLENIOWYCH
Grupa: Elektrotechnika, sem 3., wersja z dn. 03.10.2011 Podstawy Techniki Świetlnej Laboratorium Ćwiczenie nr 1. Temat: BADANIE OSTROŚCI WIDZENIA W RÓŻNYCH WARUNKACH OŚWIETLENIOWYCH Opracowanie wykonano
RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE
RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE WPROWADZENIE Wykonywanie rysunku technicznego - zastosowanie Rysunek techniczny przedmiotu jest najczęściej podstawą jego wykonania, dlatego odwzorowywany przedmiot nie powinien
Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.
ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA
OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA Wprowadzenie W robotyce przez pojęcie manipulacji rozumiemy przemieszczanie w przestrzeni przedmiotów i narzędzi za pomocą specjalnego mechanizmu. W związku z tym pojawia
FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej. Marek Badura
Przekształcenia geometryczne w grafice komputerowej Marek Badura PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE W GRAFICE KOMPUTEROWEJ Przedstawimy podstawowe przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie R 2 (przestrzeń
Spośród licznych filtrów nieliniowych najlepszymi właściwościami odznacza się filtr medianowy prosty i skuteczny.
Filtracja nieliniowa może być bardzo skuteczną metodą polepszania jakości obrazów Filtry nieliniowe Filtr medianowy Spośród licznych filtrów nieliniowych najlepszymi właściwościami odznacza się filtr medianowy
Reprezentacja i analiza obszarów
Cechy kształtu Topologiczne Geometryczne spójność liczba otworów liczba Eulera szkielet obwód pole powierzchni środek cięŝkości ułoŝenie przestrzenne momenty wyŝszych rzędów promienie max-min centryczność
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.
Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować
Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela
Ćwiczenie O4 Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela O4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewek skupiających oraz rozpraszających z zastosowaniem o metody Bessela. O4.2.
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi
Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
2. Charakterystyki geometryczne przekroju
. CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi
Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej cienkiej soczewki skupiającej
Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej cienkiej skupiającej Wprowadzenie Soczewka ciało przezroczyste dla światła ograniczone zazwyczaj dwiema powierzchniami kulistymi lub jedną kulistą i jedną płaską 1.
Ćwiczenie 2. Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne
Ćwiczenie 2 Wyznaczanie ogniskowych soczewek cienkich oraz płaszczyzn głównych obiektywów lub układów soczewek. Aberracje. Wprowadzenie teoretyczne Podstawy Działanie obrazujące soczewek lub układu soczewek
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Fizyczne Metody Badań Materiałów 2
Fizyczne Metody Badań Materiałów 2 Dr inż. Marek Chmielewski G.G. np.p.7-8 www.mif.pg.gda.pl/homepages/bzyk Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN. Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z elementów analizy obrazów
POLITECHNIKA OPOLSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z elementów analizy obrazów Przetwarzanie obrazu: skalowanie miary i korekcja perspektywy. Opracował:
Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Kalibracja systemu wizyjnego z użyciem pakietu Matlab Kraków, 2011 1. Cel kalibracji Cel kalibracji stanowi wyznaczenie parametrów określających
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Grafika inżynierska geometria wykreślna. 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa.
Grafika inżynierska geometria wykreślna 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie,
M10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy
Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Mikroskop teoria Abbego
Zastosujmy teorię dyfrakcji do opisu sposobu powstawania obrazu w mikroskopie: Oświetlacz typu Köhlera tworzy równoległą wiązkę światła, padającą na obserwowany obiekt (płaszczyzna 0 ); Pole widzenia ograniczone
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
ZASTOSOWANIE RÓWNANIA BOUSSINESQUE A DO OKREŚLANIA NAPRĘŻEŃ W GLEBIE WYWOŁANYCH ODDZIAŁYWANIEM ZESTAWÓW MASZYN
Inżynieria Rolnicza 4(10)/008 ZASTOSOWANIE RÓWNANIA BOUSSINESQUE A DO OKREŚLANIA NAPRĘŻEŃ W GLEBIE WYWOŁANYCH ODDZIAŁYWANIEM ZESTAWÓW MASZYN Yuri Chigarev, Rafał Nowowiejski, Jan B. Dawidowski Instytut