MODELE I W ASNO CI MECHANICZNE TKANKI KOSTNEJ

Transkrypt

1 Roman Lihograj, Zofia Nabuda MODL I WASNOCI MCHANICZN TKANKI KOSTNJ Sowa kluzowe: Model tkanki kostnej, wasnoi mehanizne koi, struktura trabekularna. Wstp Skomplikowany ukad biologizny, jakim jest tkanka kostna wymusza istotne zaoenia upraszzaje i ogranizaje modele fizyzne i matematyzne j opisuje. Nie istnieje jeden podstawowy model definiujy materia kostny w sensie równania konstytutywnego, jakim na przykad jest uogólnione prawo Hooka w teorii sprystoi. Róni autorzy, w zalenoi od funkji, wymaga, moliwoi adaptayjnyh oblizeniowyh, stosuj róne modele opisu, przy zym naley zaznazy, e zazwyzaj w literaturze spotyka si podejie do koi jako do materiau sprystego o rónym stopniu anizotropii. Celem tego artykuu jest porównanie rónyh modeli opisu tkanki kostnej i zamodelowania jej struktury. Modele spryste Liniowe modele spryste s najziej uywanymi modelami w biomehanie tkanki kostnej, tzn. wykorzystuje si równanie konstytutywne w postai uogólnionego prawa Hooka: () ij ijklkl gdzie:, skadowe tensorów naprenia i odksztaenia, ij kl 79 ijkl tensor 4 rzdu stayh sprystoi. Przy zaoeniu istnienia potenjau sprystoi, determinujego symetri tensora sprystoi (Nowaki,97), w najogólniejszym przypadku iaa anizotropowego otrzymuje si 2 niezerowyh stayh materiaowyh. Badania wytrzymaoiowe i symulaje numeryzne przeprowadzone przez van Rietbergena B., Weinansa H., Huiskesa R. i Odgaarda A. (995) (Rietbergen B., Weinans H., Huiskes R., Odgaard A., 995) oraz Ulriha D., Mullera R., i Ruegseggera P. (996) (Ulrih D., Muller R., Ruegsegger P., 996) wykazay, e wystarzajym i w peni oddajym wasnoi spryste struktury koi (zarówno form

2 zbitej jak i trabekularnej) jest opis uwzgldniajy róne wasnoi w trzeh wzajemnie prostopadyh kierunkah. Zawaj wobe tego tkank kostn do iaa ortotropowego otrzymujemy nastpuj maierz: ij (2) Okrelaj stae sprystoi tkanki kostnej. Takie podejie definiuje materia ortotropowy o 2 niezerowyh stayh materiaowyh, z któryh tylko 9 jest niezalenyh, gdy: (3) 22 ; 33 ; Dla wielu form tkanki kostnej (np. koi dugie, trzon uhwy) uzasadnione jest przyjie tzw. izotropii poprzeznej, o ograniza lizb niezerowyh stayh materiaowyh do 6, z któryh tylko 5 jest niezalenyh. Przy przyjiu jako paszzyzny izotropii np. paszzyzny (-2) otrzymuje si ; ; ; oraz zaleno: ; (4) 2( )] [ 2 W najprostszym, ale i najziej stosowanym podejiu, tkank kostn traktuje si jako materia izotropowy definiowany tylko poprzez dwie stae materiaowe: modu sprystoi i sta Poissona. Naley przy tym zaznazy, e dla materiau izotropowego zsto przyjmuje si zaleno 8

3 moduu Younga od innyh wielkoi, np. od gstoi, zy prdkoi odksztaania ( / dt), w postai: zy d ( B C A d / dt) b a [ ( d/ dt) gdzie stae A, B, C, a, b,, d wyznaza si eksperymentalnie. W tabeli (Buskirk W.C. Ashman R.B., Nowin S.C., 984) zestawiono stae materiaowe otrzymane na drodze bada wytrzymaoiowyh i ultradwikowyh dla zwartej tkanki kostnej uhwy w odniesieniu do koi udowej i piszzelowej zowieka. Tab.. Stae materiaowe koi [4, 5, 6]. Rodzaj koi Ko udowa (Reily D.T., Burstein A.H. 975) Ko piszzelowa d ] Ko udowa uhwa Metoda pomiaru mehanizna mehanizna ultradwikowa ultradwikowa Modele strukturalne ko jako materia kompozytowy Wielu autorów dla tkanki kostnej tworzy modele strukturalne, tzn. rozpatruje ko jako materia kompozytowy (Katz J.L.,98, Katz J. L., 97, 8

4 Piekarski K., 97, Currey J. D. 987). W przypadku tym przyjmuje si, e ko skada si z dwóh faz: mineralnej i kolagenowej. Najprostsze podejie stosowane w mehanie kompozytów polega na wykorzystaniu do okrelenia stayh materiaowyh reguy mieszania w postai np. liniowej: =V m m +V ; V m +V = (5) gdzie: oznaza modu sprystoi koi jako kompozytu m, oraz V m, V odpowiednio moduy sprystoi oraz udziay objtoiowe fazy mineralnej i kolagenowej. Rozwiniiem tej najprostszej formuy s spotykane w literaturze (Katz,98) nieliniowe modyfikaje reguy mieszania zwizane z wymiarami lamelli tworzyh faz mineraln tzn. ih dugoi L, promieniem r, polem powierzhni poprzeznej A m gdzie: L mvm( tgh )/( L/ 2) V, (6) 2 2 R ( / m) ln, (7) A r m modu inania fazy kolagenowej; 2R odlego osi dwóh ssiednih lamelli fazy mineralnej, zy wreszie uwzgldniaje rozkad i orientaj lamelli wzgldem kierunków napre m V mvmn(os n mos nsin n) (8) 2 n gdzie:, m stae Poissona faz: kolagenowej i mineralnej; n udzia objtoiowy tyh lamelli (krystalitów) fazy mineralnej, któryh o ley pod ktem w stosunku do osi naprenia. Modele strukturalne koi spotyka si równie jako przykadowe konstrukje wielowarstwowe skadaje si z warstw materiau kolagenowego i mineralnego (Currey, 987). Zasad tworzenia takiego modelu kompozytowego przestawia ry.. 82

5 a) b) Ry. Modele strukturalne koi jako przykadowe konstrukje wielowarstwowe skadaje si z warstw materiau kolagenowego i mineralnego: a) model Voigta, b) model Reussa W biomehanie tkanki kostnej dwa podstawowe rodzaje uoenia warstw: mineralnej i kolagenowej okrela si, przez analogi do liniowyh modeli mehaniznyh w reologii, odpowiednio jako modele Voigta i Reussa. W pierwszym przypadku, jeeli ko jako konstrukja przykadowa obiona jest równolegle do warstw, to sztywno kompozytu jest sum waon sztywnoi warstw kolagenowej i mineralnyh = V + m V m (9) W przypadku normalnego w stosunku do warstw obienia koi sumowaniu podlega podatno, tzn. V V m m () We wzorah (9) oraz (), analogiznie jak zaleno (5), przez oznazono modu sprystoi koi jako kompozytu, natomiast przez m, oraz V m, V odpowiednio moduu sprystoi i udziay objtoiowe fazy mineralnej i kolagenowej. 83

6 Ko jako iao porowate W opisie koi jako materiau porowatego przyjmuje si, e jest to iao spryste z wewntrznymi pustkami. W zalenoi od ksztatu i harakteru rozkadu pustek maierz efektywnyh moduów sprystoi podlega rónemu stopniowi anizotropii. Jednorodny i przypadkowy w trzeh kierunkah rozkad pustek prowadzi do materiau izotropowego. Przypadkowy i nie ukierunkowany rozkad pustek w dwóh kierunkah narzua natomiast izotropi poprzezn. Pustki modeluje si na ogó w postai sferyznej, elipsoidalnej, dyskowej lub igowej. Przykadowo dla sferoidalnyh pustek przypadkowo rozoonyh w izotropowej matryy kostnej, odpowiednio o moduah sprystoi i inania oraz, efektywne stae sprystoi koi jako materiau kompozytowego wynosz:, () o o gdzie i stanowi udziay objtoiowe koi i pustek, a stae i zale od staej Poissona. W ostatnih latah w teorii modeli tkanek kostnyh, szzególnie dla przypadku struktury trabekularnej, rozwijane s przestrzenne modele wypenienia struktury kostnej. Przykadowe modele symuluje mikrostruktur koi trabekularnej, o rónyh efektah wypenienia, przedstawia ry. 2 i ry. 3. Ry. 2. Przestrzenne modele wypenienia struktury trabekularnej koi modele prtowe 84

7 a) model pytowy z otworami b) struktura plastra miodu ) model pytowoprtowy Ry. 3. Przestrzenne modele wypenienia struktury trabekularnej koi. Wnioski Przedstawiony w artykule przegld modeli oraz równa konstytutywnyh tkanek kostnyh dowodzi, e nie funkjonuje jeden model definiujy materia kostny jako iao odksztaalne. Najziej spotykane s modele spryste, które te znajduj najszersz reprezentaj i potwierdzenie zgodnoi stayh materiaowyh w badaniah dowiadzalnyh. Z uwagi na zo- ono wasnoi tkanki kostnej uzasadnione jest upraszzanie ih modeli ale zgodnie z zasad: model powinien by tak prosty jak to moliwe, ale nie prostszy (Cowin, 995). Streszzenie W artykule tym przedstawiono stosowane w tehnie oblizeniowej modele tkanki kostnej. Z punktu mehaniki, najistotniejsz rol w zdolnoi ukadu do przenoszenia obie peni tkanka kostna zwarta. Dlatego te, przedstawione w tej pray modele dotyz w wikszoi tkanki zwartej. Speyfizn grup modeli fizyznyh w biomehanie s, oparte na teorii funkjonalnej adaptaji, modele tzw. sprystoi adaptayjnej. Przedstawiono równie ko jako struktur porowat oraz jako materia kompozytowy w tym modelowanie istoty trabekularnej w odniesieniu do teorii homogenizayjnej. 85

8 MODLS AND MCHANICAL ABILITIS OF A BON TISSU Key words: Bone tissue model, bone mehanial abilities, trabeular meshwork. Summary In his artile, we have some models of bone tissues used in tehnology. Dense bone tissue, from the point of view of mehanis, fulfills the most important role in the system of workload transfer. Therefore, models presented in this work onern mentioned above struture. The speifi group of physial models in the field of biomehanis, are so alled models of elasti adaptation whih are based on the theory of funtional adaptation. We have got the bone desribed here as a porous struture and a omposite material. Authors also present the modeling of trabeular meshwork that refers to the theory of homogenization. Literatura. Ashman R.B., Cowin S.C., van Buskirk W.C., Rie J.C., (984), A ontinuous wave tehnique for the measurement of the elasti properties of ortial bone, Journal of Biomehanis, vol. 7, no Buskirk W.C. Ashman R.B., Nowin S.C., (984), A ontinuous wale tehnique for the measurement of the elasti properties of ortial bone, Journal of Biomehanis, vol.7, no Cowin S.C., (995), Proeed. Bone Cell and Tissue Mehanis, C.I.S.M., Udine. 4. Currey J.D., (987), Models of bone struture mehanial properties, Course on Bone Mehanis, C.I.S.M., Udine. 5. Katz J.L., (98), Composite Material Models for Cortial Bone, Trans ASM, New York. 6. Katz J.L., (97), Hard tissue as a omposite material, Journal of Biomehanis, vol.4 no Nowaki W., (97),Teoria sprystoi, PWN, Warszawa. 8. Piekarski K.,(97), Analysis of bone as a omposite material, International Journal of ngineering Siene, vol Rho J.-Y., (994), lasti properties of the human mandible, proeedings 2nd World Congress of Biomehanis, Amsterdam.. Rietbergen B., Weinans H., Huiskes R., Odgaard A., (995), A New method to determine trabeular bone elasti properties and loading using miromehanial finite-element models, Journal of Biomehanis, vol. 28, no... Ulrih D., Muller R., Ruegsegger P.,( 996), The quality of trabeular bone evaluated with miro-omputed tomography, FA and mehanial testing, proeedings th Conf. Of the uropean Soiety of Biomehanis, Leuven. 86