WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa dwuwymiarowa i korelacja

Transkrypt

1 WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa dwuwymiarowa i korelacja

2 Zmienna losowa dwuwymiarowa Definiujemy ją tak samo, jak zmienną losową jednowymiarową, z tym że poszczególnym zdarzeniom elementarnym danego doświadczenia przyporządkowuje się nie jedną, lecz dwie liczby rzeczywiste.

3 Dwuwymiarowa zmienna losowa skokowa Przyjmuje skończoną, bądź przeliczalną liczbę wartości Każda wartość ma prawdopodobieństwo odpowiednio p ij Zachodzi przy tym warunek i j p ij =1

4 Kowariancja Informuje o kierunku zależności interpretacja tylko znaku c xy > 0 przy x, c xy < 0 przy x, c xy = 1 n 1 i j(x i y y x)(y j y) n ij

5 Korelacja Współczynnik korelacji liniowej Pearsona info jak silna jest liniowa zależność między X a Y w badanej próbie r = c xy, r < 1,1 > S x S(y) Znak r zależy od znaku c xy, zatem interpretuje się r <- im bliżej 1, tym silniejsza korelacja S 2 x = 1 n 1 i(x i x) 2 n i

6 Badania istotności współczynnika korelacji liniowej Pearsona Czy liniowa zależność między X a Y występuje w populacji H 0 : ρ = 0 (nie ma zależności); H 1 : ρ 0 r t = n 2 1 r 2 ( ; t α,n 2 > < t α,n 2 ; + ) Wartość testu należy do przedziału = odrzucamy H 0

7 Niezależność zmiennych (X,Y ) jest niezależną zmienną losową typu skokowego Test niezależności χ 2 H 0 : p ij = p i. p.j (brak zależności pomiędzy X i Y) H 1 :p ij p i. p.j (X i Y są zależne) χ 2 = i j (n ij n ij ) 2 n ij n ij - liczebności empiryczne n ij - liczebności teoretyczne Wartość testu zależy od obszaru krytycznego.

8 Współczynnik zbieżności V-Crammera Info o sile zależności V = χ 2 n(m 1), m = min(k, l) V < 0,1 > - im bliżej 1, tym większa zależność (niekoniecznie liniowa!) Porównanie wartości r i V

9 Współczynnik korelacji rang Spearmana Na ile zgodne są preferencje Porównywanie rankingów na ile są zgodne wg różnych kryteriów r d = 1 6 d2 n n 2 1, r d < 1, 1 > -1 absolutnie niezgodne (lustrzane odbicie) 1 absolutnie zgodne

10 Zadania

11 Zad. 1 (E. Słotwińska-Rosłanowska) Dla 100 losowo wybranych rodzin zanotowano liczbę dzieci w rodzinie na utrzymaniu (X) oraz czas poświęcony przez kobietę w tym gospodarstwie na czynności związane z utrzymaniem domu (Y w godzinach): a) Oceń, która ze zmiennych jest zmienną zależną, a która niezależną b) Wyznacz średni czas poświęcony na gospodarstwo domowe przez kobiety

12 Zad. 1 (c.d.) c) Wyznacz średnią liczbę dzieci w gospodarstwie d) Wyznacz średni czas na gospodarstwo domowe z 0 liczbą dzieci i 2 dzieci e) Czy można uznać, że wraz ze wzrostem liczby dzieci rośnie czas poświęcony na utrzymanie domu f) Czy w badanej próbie istnieje liniowa zależność pomiędzy czasem na gosp. dom. a liczbą dzieci? g) Czy zależność taka występuje dla ogółu gospodarki?

13 Zad. 1 (c.d.) Czas (h) Liczba dzieci a) Zmienna zależna: czas (Y); zmienna niezależna: liczba dzieci (X) b) y = = Odp: Średnio na utrzymani domu w tym domu poświęcano 9h. c) x = d) y x=0 = y x=2 = = 0,9 = 7,75 = 10,7

14 Zad. 1 (c.d.) e) c xy = n 1 i j(x i x)(y j y) n ij = [ 0 0, , ,9 (5

15 Zad. 1 (c.d.) f) S 2 y = [

16 Zad. 1 (c.d.) g) t = 0, ,06 1 0,22 ; t 0,05;98 > < t 0,05;98 ; + ( ; 1,98 > < 1,98; + ) Odp: W populacji zależność występuje.

17 7.11 Dla 15 losowo wybranych studentów ustalono liczbę egzaminów w sesji zimowej (X) i liczbę wizyt w kinie (Y) w styczniu br. Obliczono m.in.: S x = 0,99; x = 4,4. Zbadać, czy prawdą jest, że im cięższa sesja przed studentami, tym rzadziej pozwalają sobie na wyjście do kina. Przyjąć poziom istotności 0,1. jakie założenie dotyczące rozkładu obu zmiennych należy przyjąć?

18 rozwiązanie S x = 0,99; n = 15; x = 4,4; α = 0,1 Liczba egzaminów (X) Liczba wizyt w kinie (Y) Pytanie: c xy < 0, weryfikacja hipotezy, czy dla populacji jest zależność Czego brakuje do obliczeń: y, S y, r, t

19 7.11 rozwiązanie y = = 0,8; S 2 y = [(2

20 rozwiązanie r = 0,7 0,99 0,77 = 0,91 t = 0,91 1 ( 0,91) = 7,91 t 0,1;13 = 1,771 ( ; 1,771 > <

21 7.16 Dokonano pomiaru siły zależności między trzema zmiennymi dotyczącymi 49 firm. x wysokość kosztów poniesionych przez firmę ( w mln USD) y wysokość miesięcznych zysków uzyskanych przez firmę ( w mln USD) z poziom skłonności do ryzyka właściciela firmy (niski, średni, wysoki) Które układy miar ( współczynnika V Crammera i współczynnika korelacji) budzą zastrzeżenia i jakiego typu: a) r xy = - 0,4 V xy = - 0,5 b) r xy = 0 V xy = 1,2 c) r xy = 0,9 V xy =0,7

22 rozwiązanie a) r xy = - 0,4 V xy = - 0,5 V < 0,1 > b) r xy = 0 V xy = 1,2 V < 0,1 >, r=0 cechy liniowo nieskorelowane c) r xy = 0,9 V xy = 0,7 r > V Wartość r zawiera się w V

23 7.17 W pewnej klasie gimnazjalnej liczącej 17 uczniów na wzór programu PISA pilotowanego przed OECD przeprowadzono badanie umiejętności 15-latków. Testowano a)czytanie ze zrozumieniem, b)rozwiązywanie zadań matematycznych, c)rozwiązywanie problemów i rozumowanie w naukach przyrodniczych. Oto ranking uczniów w zakresie dwóch pierwszych umiejętności: Uczeń A B C D E F G H I J K L M N O P R Test mat Czytanie Czy w badanej grupie 15-latków umiejętność rozwiązywania zadań matematycznych oraz czytania ze zrozumieniem są ze sobą powiązane? Ocenić siłę skorelowania badanych zmiennych.

24 7.17-rozwiązanie d 2 i d i d i 2 = 138 r d = =1 0, ,83 = = Odp: Wartość współczynnika korelacji rang wynosi w przybliżeniu 0,83, więc umiejętność rozwiązywania testów matematycznych i szybkiego czytania są ze sobą dość silnie powiązane.

25 Dziękujemy za uwagę! Anna Bylina Aleksandra Petrykiewicz