Temat XIX. Elektrostatyka

Transkrypt

1 Temat XIX Elektrostatyka

2 Warunki konieczne do rozwoju nauki o elektryczności Metody wytwarzania elektryczności Metody przechowywania elektryczności Metody pomiarowe dla wielkości elektrycznych

3 Wytwarzanie elektryczności

4 Metody wytwarzania Najstarsza to elektryzowanie przez tarcie Materiały, które elektryzują się dodatnio to: skóra (w tym również ludzka), futro królika, szkło, kwarc, mika, ludzkie włosy, nylon, wełna. Materiały, które elektryzują się ujemnie to: ebonit, guma, teflon, krzem, winyl (PCV), polipropylen, polietylen (np. taśma klejąca typu scotch, siarka). Który ładunek jest dodatni a który ujemny jest kwestią konwencji

5 Elektrofor pozwala zgromadzić większy ładunek

6 1 - Ładujemy nieprzewodzącą płytę przez pocieranie 2 zbliżamy do naładowanej płyty płytę metalową (możemy obie płyty zetknąć) 3 Dotykamy metalowej płyty, pozwalając ładunkom przepłynąć do ziemi 4 odkładamy płytę na izolator (np. gumę)

7 4 odkładamy płytę na izolator (np. gumę) 5- wracamy do punktu 1 i powtarzamy cykl kilka razy, zwiększając ładunek na metalowej płycie.

8 Elektrofor z 1800 roku. Metalowa kulka z prawej strony służyła do odprowadzania ładunku.

9 Maszyna elektrostatyczna Pierwszym był tu Otto von Guericke, znany głównie z doświadczeń nad próżnią burmistrz Magdeburga. Jego prototyp maszyny elektrostatycznej (zbudowany około 1663 roku) składał się z kuli z siarki umocowanej na wrzecionie. Obracająca się głownia pocierała o skórę dłoni i w ten sposób zbierała ładunek elektryczny. Konstrukcja Guericka stała się inspiracją dla kolejnych ulepszonych rozwiązań. W 1768 Jesse Ramsden zastąpił kulę obracając się tarczą. Elektrofor był źródłem pomysłów na dalsze ulepszenia maszyn elektrostatycznych tzw. maszyny indukcyjne, to jest takie, które wykorzystują zjawisko indukcji elektrostatycznej.

10 Zjawisko indukcji elektrycznej

11 Maszyna elektrostatyczna

12 Wielka maszyna elektrostatyczna. Obecnie w Teylers Muzem w Harlemie, Holandia

13 Generator van der Graaffa

14 Przechowywanie ładunku elektrycznego

15 Przechowywanie Pierwszym urządzeniem do gromadzenia elektryczności była tzw. butelka lejdejska prototyp kondensatora. Zbudowali ją, w roku 1745, niezależnie od siebie Pieter van Musschenbroek z Lejdy i Ewald von Kleist z Kamienia Pomorskiego. W pierwotnej konstrukcji butelka lejdejska składała się z butelki wypełnionej częściowo wodą. Butelka zatkana była korkiem przez, który przechodził metalowy drut. Ładowanie polegało na zbliżeniu lub dotknięciu drutu naładowanym ciałem. Działanie butelki było efektywniejsze, gdy obejmowała ją ręka eksperymentatora.

16

17 Pomiar wielkości elektrycznych

18 Elektroskop Elektroskop Johna Cantona z 1745 roku

19

20 Przykłady eksperymentów

21

22 Wewnątrz naładowanej powierzchni ładunek jest równy zeru Najwięcej ładunku zbiera się w obszarach o największej krzywiźnie

23 Ważniejsze pierwsze spostrzeżenia

24 Przewodniki i izolatory W 1729 roku Stephen Gray wykazuje, że elektryczność może być przesyłana wzdłuż drutów. W kolejnych doświadczeniach zwiększał odległość na którą przesyłał ładunki (wytworzone w maszynie elektrostatycznej), aż w końcu osiągnął odległość kilkuset metrów, przeciągając drut przez rzekę Tamizę.

25 Inne W 1733 roku Charles François Du Fay wykazał, że są dwa rodzaje elektryczność (dziś mówimy o dwóch ładunkach). W latach 50-tych XVIII wieku Benjamin Franklin wprowadza teorię fluidu elektrycznego. Nadmiar tego fluidu w ciele oznacza, że ciało to naładowane jest dodatnio a niedomiar oznacza naładowanie ujemne. Franklin przeprowadza również słynne eksperymenty z naładowaniem butelki lejdejskiej elektrycznością z chmur burzowych. Czyni to przy pomocy latawca, ciągniętego na zmoczonej deszczem jedwabnej nitce, połączonej z butelką lejdejską. Franklin wykazuje w ten sposób, że elektryczność atmosferyczna jest tej samej natury co ta powstała w wyniku tarcia, oraz daje pomysł na piorunochron.

26 W 1759 roku ukazała się praca Roberta Symmera dowodząca, że są dwa różne ładunki elektryczne. W ten sposób podważony zostaje pogląd Franklina dotyczące fluidu elektrycznego. Jako ciekawostkę dodam, że Symmer używał nader skromnego wyposażenia laboratoryjnego ograniczał się do jedwabnych i wełnianych pończoch jakie wówczas nosili panowie.

27 Zasada zachowania ładunku W układzie izolowanym wielkość ładunku jest stała

28

29 Oddziaływanie ładunków elektrycznych Dwa różnoimienne ładunki przyciągają się; dwa równoimienne ładunki odpychają się

30 Pole elektryczne geometrycznie

31 Linie pola elektrycznego Wyobraźmy sobie jakiś unieruchomiony dodatni ładunek elektryczny Q. Załóżmy że ładunek ten jest idealnie sferyczny, a z przyczyn które staną się zaraz jasne nazwę go ładunkiem źródłowym. Weźmy teraz drugi ładunek dodatni q, który nazwę ładunkiem próbnym. Niech ładunek q znajduje się w pewnej odległości od ładunku Q,. Przyjmę ponadto, że odległość d między oboma ładunkami jest dużo większa od rozmiarów tych ładunków. Oba ładunki zaczną się odpychać w wyniku czego ładunek ruchomy będzie się oddalał. Ponieważ oba ładunki są małe w porównaniu z odległością między nimi i oba są sferyczno symetryczne możemy przyjąć, że ładunek q będzie się oddalał od ładunku Q po linii prostej łączącej środki tych ładunków.

32 W każdym punkcie toru ładunku q możemy narysować wektor reprezentujących siłę z jaką ładunek źródłowy Q działa na ładunek próbny q. W ten sposób w całej przestrzeni możemy zdefiniować pole wektorowe, tak jak to było w przypadku pola grawitacyjnego. Linie pola elektrycznego są zgodne z kierunkiem ruchu początkowo nieruchomego ładunku q w polu unieruchomionego ładunku Q, lub co jest wygodniejsze styczne do wektora sił pola od ładunku źródłowego działającego w danym punkcie przestrzeni

33 Linie pola dodatniego ładunku Q

34 Natężenie pola elektrycznego Jak mierzyć wartość ładunku? Przyjmę, że mały wzorcowy ładunek jest jednostkowy Przez analogię do pola grawitacyjnego, siłę działającą na nasz jednostkowy ładunek próbny nazwę natężeniem pola elektrycznego a wektor natężenia pola elektrycznego oznaczę literą E.

35 Musimy zdecydować się na jakąś miarę wielkości ładunku. Powiedzmy, że wzorcowy ładunek to taki ładunek, z którego wychodzi sto septylionów linii pola elektrycznego. Przyjmę nadto dwa mocne założenia: Po pierwsze wzorcowy ładunek próbny to mała kulka o określonym promieniu r 1, a przez to ustalonej wartości pola przekroju. Po drugie wszystkie inne ładunki mogą być co najwyżej wielokrotnością tegoż jednostkowego ładunku wzorcowego; czyli ładunek wzorcowy jest jednocześnie ładunkiem najmniejszym - wyznacza najmniejszą możliwą drobinę ładunku. Ten szczególny jednostkowy ładunek jednostkowy nazwę ładunkiem elementarnym.

36 Obok elementarnego ładunku dodatniego istnieje również elementarny ładunek ujemy rysowany na niebiesko. Tutaj mamy złożony, sferyczny ładunek ujemny, to jest taki na który składa się N ładunków elementarnych ujemnych rozłożonych na powierzchni sfery. Z duże odległości taki ładunek zachowuje się jak ładunek punktowy.

37 Zapostuluję, że w mocy jest następujące prawo: Siła działająca na ładunek elementarny q jest proporcjonalna do ilości linii pola elektrycznego przechodzących przez ten ładunek. Ogólnie liczba ta maleje jak odwrotność kwadratu odległości między dwoma sferycznymi ładunkami.

38 Widać dlaczego uzbroiłem ładunek elementarny w sto septylionów linii sił pola

39 Ważne! Linie pola mogą urywać się tylko na ładunkach W wolnej (od ładunków) przestrzeni linie sił pola elektrycznego nie mogą się ani rodzić ani ginąć.

40 Linie zorientowane

41 Przykład układ trzech ładunków

42 Prawo Gaussa Przy okazji możemy sformułować prawo Gaussa dla pola elektrycznego od ładunku źródłowego Liczba linii sił pola przecinająca dowolną powierzchnię zamkniętą, która zawiera ładunek źródłowy jest równa liczbie linii pola przecinających sferę o jednostkowym promieniu, otaczającą ten ładunek, lub gdy ładunek jest na zewnątrz powierzchni liczba ta jest równa zeru.

43 Linie wychodzące z powierzchni liczymy ze znakiem plus a wchodzące do powierzchnie ze znakiem minus

44 Gęstość linii pola Jaka jest gęstość linii pola na sferze o promieniu jeden, której środka pokrywa się ze środkiem ładunku elementarnego ρ Q = n 100 septylionów 4πr s 2 = n 100 septylionów 4π

45 Natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy (sferyczny) czyli siła jaką to pole wywiera na jednostkowy ładunek jest proporcjonalna do gęstości linii pola na jednostkowej sferze otaczającej ten ładunek i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od środka tego ładunku E ρ Q r 2

46 E ρ Q r 2 e Robimy z natężenia pola wektor, którego zwrot wskazuje kierunek działania siły elektrycznej i jest prostopadły do sfery o promieniu r w danym jej punkcie

47 Gęstość linii pola na sferze jednostkowej Q jest liczbą, którą zastąpię nowym wyrażeniem Niech Q będzie takie, że ρ Q = Q 4π E Q r 2 e Natężenie pola wyraża się wzorem E = k Q r 2 e Wprowadzę stałą k = k 2π Q = Q 4π Podstawienia E = k Q Q e = k 4π r2 r 2 e Wielkość Q nazwę ładunkiem elektrycznym

48 W układzie SI W układzie SI jednostką ładunku Q jest Kulomb [C] 1C=1A 1s 1C=6, q e 1q e =1, C Stała dielektryczna Związek stałej k i stałej dielektrycznej

49 Prawo Gaussa wyrażone przez wektory natężenia pola

50 Strumień pola elektrycznego

51

52 Prawo Gaussa

53 Pierwsze równanie Maxwella w postaci całkowej w próżni czyli prawo Gaussa

54 Prawo Coulomba

55

56 Dużo ładunków

57 Zastosowania prawa Gaussa

58 Pole naładowanej płaszczyzny

59

60 Sferyczno-symetryczny rozkład ładunku

61 Strumień pola elektrycznego przez sferę E ds E Eˆ ds E 1 ds E4 r S S S 2 Stosujemy prawo Gaussa Q 2 E 4 r E Q 2 r

62 Dla kulisto symetrycznego rozkładu ładunku pole elektryczne można obliczyć ściągając cały ładunek do środka symetrii i ustawiając w środku symetrii początek układu współrzędnych

63 Pole elektryczne wewnątrz metalowych powierzchni

64 Z prawa Gaussa wynika, że pole wewnątrz naładowanego przewodnika jest równe zeru

65

66 Potencjał wewnątrz naładowanego przewodnika jest stały Natężenie pola elektrycznego wewnątrz naładowanego przewodnika jest równe zeru

67 Klatka Faradaya

68 Dywergencja

69 Znowu prawo Gaussa

70

71 Pierwsze równanie Maxwella w postaci różniczkowej w próżni

72 Z prawa Gaussa wynika prawo Coulomba. Jeżeli siły pochodzące od punktowych ładunków (grawitacyjny, elektrycznych, innych nieznanych) są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości, to obowiązuje również prawo Gaussa. Prawo Coulomba można precyzyjnie sprawdzić wykorzystując prawo Gaussa

73 Szkic aparatury pomiarowej użytej przez Plimptona i Lawtona z 1936r Dwie sferyczne powłoki są połączone ze sobą za pomocą elektrometru E, przyrządu, który potrafi wykryć bardzo małą ilość ładunku przepływającego z jednej powłoki do drugiej. Kiedy przełącznik S jest przestawiony na lewo, bateria B ładuje zewnętrzną powlokę. Zgodnie z prawem Gaussa ładunek nie może przepłynąć przez elektrometr do wewnętrznej powłoki.

74 Plimpton i Lawton nie zarejestrowali żadnego przepływu w zakresie czułości ich elektrometru i wysunęli wniosek, że gdyby zapisać radialną zależność w prawie Coulomba 2 jako 1 r, δ byłaby mniejsza niż W bardziej współczesnych pomiarach otrzymano δ mniejszą niż

75 Potencjał pola elektrycznego

76 Obliczmy pracę wykonaną nad jednostkowym ładunkiem W A B = x B qedx = q Q x A 4π ε 0 x B x A dx x 2

77 W A B = x B qedx = q Q x A 4π ε 0 x B x A dx x 2 W A B = q Q 1 4π ε 0 x x B = xa qq 1 1 4π ε 0 x B x A W A B = q Q 1 4π ε 0 r r B = ra qq 4π ε 0 1 r B 1 r A

78 W A B = q Q 1 4π ε 0 r r B = ra qq 1 1 4π ε 0 r B r A V P = 1 4π ε 0 Q r P Potencjał pola w punkcie P W A B = q V B V A

79 1V = 1J 1Q Różnicę potencjałów między dwoma punktami nazywamy napięciem.

80 Powierzchnie ekwipotencjalne

81 Powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną Natężenie pola elektrycznego jest prostopadłe do powierzchni naładowanego przewodnika

82 Na powierzchni przewodnika gęstość ładunku jest największa w pobliżu obszarów o największej krzywiźnie

83

84 Związek między potencjałem a natężeniem pola E φ W przypadku grawitacji, przypomnienie g φ

85 Przykład #1 Cienki pierścień o promieniu R jest naładowany ładunkiem o gęstości liniowej λ. Znajdźmy zależność potencjału od odległości dla punktu na prostej przechodzącej przez środek pierścienia i do niego prostopadłej.

86 V P 2 dq Rd 2 R qr c k r z R z R z R C

87 Przykład #2 obliczyć natężenie pola wytworzonego przez naładowany jednorodnie pierścień w punkcie na osi pierścienia

88 Zauważmy, że wektor natężenia pola wytwarzanego przez każdy mały fragment pierścienia będzie miał dwie składowe: wzdłuż osi z oraz prostopadle do niej. Dwa punkty po przeciwnych stronach pierścienia dadzą natężenie, którego prostopadłe składowe się znoszą. Nasz problem jest więc jednowymiarowy.

89 E z kqc z z R 2 2 k zq c z R 2

90 Elektronowolt Działo elektronowe z lewej schemat, z prawej przykład

91 Zgodnie z zasadą zachowania energii energia kinetyczna elektronu rośnie dzięki zmianie energii potencjalnej, czyli E k = qδv. Wartość liczbowa energii elektronu, wyrażona w elektronowoltach jest równa wartości napięcia między płytkami. Przykładowo przy napięciu 5000 V elektron uzyskuje energię 5000 ev. Schematyczny model działa elektronowego jako układu dwóch równoległych płyt, z których jedna posiada otwór wylotowy, jest pokazany na rysunku

92 Jeden elektronowolt jest to energia, jaką uzyskuje bądź traci elektron, który przemieścił się w polu elektrycznym o różnicy potencjałów równej 1 woltowi 19 1eV J

93 Kondensatory

94 U = σd ε 0 = Q d S ε 0 C = Sε 0 d U = Q C

95

96 Pojemność Jednostką pojemności w układzie SI jest Farad [F]. 1F = 1C 1V = 1 A2 s 4 kg m 2

97 Jaki promień R musi mieć metalowa sfera aby po wprowadzeniu ładunku jednego kulomba jej potencjał był równy jeden wolt? Zgodnie z prawem Gaussa potencjał takiej sfery wyrazi się takim samym wzorem jak potencjał od ładunku punktowego w odległości R. V = Q 4πε 0 R Przyjmujemy teraz V=1V oraz Q=1C 1 = Q 4πε 0 R R = 1 4πε 0 = 9, m

98 C = Sε 0 d Dla kondensatora o powierzchni każdej z płyt 1m 2, i odległości między nimi 1mm pojemności wynosi 8, F, czyli 8,85nF. Pojemność kondensatora płaskiego jest mała. Przy napięciu 1V na takim kondensatorze zgromadzi się zaledwie 8,85nC ładunku elektrycznego

99 Układy kondensatorów

100 Połączenie równoległe N N N N Q = Q i = UC i = U C i C z = C i i=1 i=1 i=1 i=1

101 Połączenie szeregowe U = N i=1 U i = N i=1 Q C i = Q N i=1 1 C i 1 C z = N 1 C i i=1

102 Energia pola

103 przepompowujemy elektrony z jednej okładki na drugą. Jeżeli kondensator ma pojemność C, a w wyniku przepompowania ładunek kondensatora wynosi q, to napięcie na jego okładkach wynosi U = q C dw = Udq dw = q C dq

104 W = q=q q C dq q=0 = 1 C q=q q=0 qdq = 1 2 Q 2 C E k = 1 2 Q 2 C ale U = Q C E k = 1 2 CU2

105

106 Energia układu ładunków punktowych

107 Oszacujemy teraz, dla przykładu, energię elektrostatyczną kryształu soli kuchennej NaCl. Kryształ taki składa się z dodatnich jonów sodowych Na + i ujemnych jonów chlorkowych Cl

108 Wybierzmy jeden jon i obliczmy jego energię potencjalną jako sumę energii tegoż jonu z wszystkimi pozostałymi jonami. Energia potencjalna dla dwóch sąsiednich jonów wynosi q e 2 4πε 0 d = 15,2eV

109 Odległości między środkami jonów wynosi a=2, m energię dla jonów leżących na jednej prostej E 1 = q e 2 2 4πε = 2q 2 e 1 1 4πε

110 Szereg ten jest zbieżny do wartości ln(2) E 1 = 2q e 2 4πε 0 ln(2) Musimy teraz zająć się sąsiednimi rzędami jonów. Pierwsi sąsiedzi to jony Cl w odległości a, potem są dwa jony sodu w odległości 2a i tak dalej E 2 = q e 2 4πε Mamy cztery takie rzędy

111 Potem trzeba cierpliwie uwzględniać wkład kolejnych rzędów. Gdy to zrobimy uzyskamy wartość E = 1,747 q e 2 4πε 0 = 8,94eV Doświadczalnie znaleziona wartość energii wiązania pojedynczego jonu wynosi E=7,92 ev

112 Jony nie są sztywnymi kulami, bardziej przypominają chmury ładunku elektrycznego, które pod wpływem wzajemnych oddziaływań ulegają deformacją. Możesz sobie wyobrazić takie kule jako lekko ściśnięte baloniki. Kiedy odrywamy od siebie jony taki balonik rozpręża się a jego energia sprężystości pomaga w oderwaniu jonów. Stąd mierzymy mniejszą wartość energii wiązania niż by to wynikało z obliczeń. Dokładniejsze balonikowe modele rozkładu ładunków dają wynik na poziomie E=7,99eV.

113 I równanie Maxwella w próżni Postać całkowa Postać różniczkowa

114 Wymagania Prawo zachowania ładunku Prawo Coulomba Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Natężenie pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Przewodniki w polu elektrycznym Pojemność elektryczna Kondensatory, pojemność zastępcza Energia pola elektrycznego

115 Przykładowe zadanie O liniach pola elektrycznego można powiedzieć, że: a) biegną od ładunku ujemnego do dodatniego; b) są prostopadłe do metalowej powierzchni; c) w pustej przestrzeni wybiegają z ładunku dodatniego i przy braku innych ładunków wracają do niego; d) wskazują kierunek siły działające na mały próbny ładunek elektryczny