Matematyka dyskretna
|
|
- Ludwik Popławski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 Matematyka dyskretna
3
4 Andrzej Szepietowski Matematyka dyskretna Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk 2018
5 Recenzja prof. dr hab. Marek Zaionc Redakcja wydawnicza Dorota Zgaińska Projekt okładki i stron tytułowych Gabriela Gic-Grusza Skład i łamanie Marcin Babnis Wydanie drugie poprawione c Copyright by Uniwersytet Gdański Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ISBN Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ul. Armii Krajowej 119/121, Sopot tel./fax , tel wydawnictwo@ug.edu.pl Księgarnia internetowa:
6 Spis treści Przedmowa 13 1 Podstawowe pojęcia, oznaczenia Sumy Iloczyny Zbiory Różnica symetryczna zbiorów Iloczyn kartezjański Rodzina zbiorów Grafy (nieskierowane) Drzewa Drzewa ukorzenione Grafy skierowane Słowa Zaokrąglenia Przedrostki Notacja asymptotyczna Wielomiany Dzielenie wielomianów Schemat Horna Pierwiastki wielomianu Zadania Arytmetyka System dziesiętny System dwójkowy Zwiększanie liczby o jeden Porównywanie liczb Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym Zamiana systemu Długość liczby Duże liczby Ułamki System szesnastkowy Reprezentacja liczb w komputerze Integer Real
7 6 Spis treści 2.12 Wyrażenia arytmetyczne w języku Pascal Poszukiwania binarne (binary search) Poszukiwanie pierwiastka Zadania Problemy Uzupełnieniowy zapis liczb ujemnych Liczby w postaci ósemkowej i szesnastkowej w języku C Sumy potęg dwójki Waga Kombinatoryka Zasada podwójnego zliczania Ciągi Funkcje Ciągi bez powtórzeń Permutacje Podzbiory Podzbiory k-elementowe Dwumian Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada sumy Zasada włączania i wyłączania Przestawienia Generowanie obiektów kombinatorycznych Generowanie podzbiorów Generowanie k-elementowych podzbiorów Generowanie permutacji Zadania Problemy Najkrótsze drogi Rozmieszczanie przedmiotów w pudełkach Wybór n przedmiotów k rozróżnialnych typów Kombinacje z powtórzeniami Permutacje z powtórzeniami Podziały uporządkowane Permutacje bez punktów stałych Liczba surjekcji Twierdzenie Ramseya Twierdzenie Halla o różnych reprezentantach Rachunek prawdopodobieństwa Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenia Dalsze przykłady przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, rozkład jednostajny Własności prawdopodobieństwa
8 Spis treści Prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzenia niezależne Prawdopodobieństwo całkowite Schemat dwumianowy (Bernoulliego) Rzut symetryczną monetą Kolorowanie wierzchołków grafu Trzykrotny rzut niesymetryczną monetą Ogólny schemat n-krotny rzut niesymetryczną monetą Zmienna losowa Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Dalsze przykłady zmiennych losowych Rozkład jednopunktowy Rozkład zero-jedynkowy Łączny rozkład prawdopodobieństwa Gęstość łącznego rozkładu Niezależność zmiennych losowych Własność niezależnych zmiennych losowych Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Wartość oczekiwana, średnia Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana rozkładu jednopunktowego Wartość oczekiwana rozkładu zero-jedynkowego Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego Wartość oczekiwana liczby różnokolorowych krawędzi Własności wartości oczekiwanej, cd Nierówność Markowa Wariancja Wariancja rozkładu jednopunktowego Wariancja rozkładu zero-jedynkowego Wariancja rozkładu dwumianowego Wariancja liczby różnokolorowych krawędzi Nierówność Czebyszewa Krańce rozkładu dwumianowego Problem dnia urodzin Algorytmy probabilistyczne Algorytm z jednostronnym błędem Algorytm sprawdzający mnożenie wielomianów Algorytmy z błędem obustronnym Algorytm kolorowania wierzchołków grafu Zadania Problemy Niezależność zmiennych losowych
9 8 Spis treści 5 Funkcje boolowskie Algebra Boole a Algebra podzbiorów Alternatywa wykluczająca, xor Wyrażenia boolowskie Wyrażenia boolowskie w języku Pascal Funkcje boolowskie Funkcje boolowskie jednej zmiennej Funkcje boolowskie dwóch zmiennych Alternatywa i koniunkcja n zmiennych Funkcja progowa Postacie normalne funkcji boolowskich Wielowartościowe funkcje boolowskie Sieci boolowskie Sieć dla alternatywy kilku zmiennych Sumator Operacje boolowskie na wektorach Reprezentacja zbioru Operacje na wektorach w języku Pascal Operacje na wektorach w języku C Flagi Reprezentacja ustawienia bierek w grze w szachy Szyfrowanie w systemie one-pad Funkcja parzystości (parity) Odciski, zabezpieczanie danych Zadania Problemy Gra w kamienie Tożsamości w algebrze podzbiorów Sieci funkcji progowych i sortujących Wspólne losowanie bitów Teoria liczb Dzielenie całkowitoliczbowe Podzielność liczb Relacja kongruencji Klasy abstrakcji Pierścień Z m PierścieńZ PierścieńZ Największy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa Rozszerzony algorytm Euklidesa Liczby pierwsze i względnie pierwsze Rozkład liczb na czynniki pierwsze Elementy odwracalne Funkcja liniowa
10 Spis treści Szyfry liniowe Chińskie twierdzenie o resztach Obliczenia na dużych liczbach Szybkie potęgowanie Pierwiastki kwadratowe Funkcja Eulera Małe twierdzenie Fermata Szyfry RSA Testy pierwszości Test naiwny Test Fermata Test Millera-Rabina Losowanie liczb pierwszych Zadania Problemy Największy wspólny dzielnik Najmniejsza wspólna wielokrotność Liczby względnie pierwsze Liczby pierwsze Chińskie twierdzenie o resztach System szyfrowania one-pad Przestrzeń liniowa Uogólnienie małego twierdzenia Fermata Algorytm Euklidesa dla wielomianów Wspólne losowanie liczby, gra w marynarza Stosy, kolejki i drzewa Listy Stosy i kolejki Implementacja stosu Implementacja kolejki Drzewa ukorzenione Drzewa binarne Drzewa wyrażeń arytmetycznych Przeszukiwanie drzew binarnych Przeszukiwanie drzewa w głąb Przeszukiwanie drzewa wszerz Drzewa decyzyjne Drzewo gry Algorytm waluacji drzewa gry Zadania Problemy Szukanie fałszywej monety
11 10 Spis treści 8 Rekurencja Wieże Hanoi Drzewo rekursji Algorytm Euklidesa, wersja rekurencyjna Rekurencyjne algorytmy przeszukiwania drzew Drzewa poszukiwań binarnych Funkcje rekurencyjne Funkcja (ciąg) Fibonacciego Algorytm sortowania przez scalanie Rozwiązywanie równań i nierówności rekurencyjnych Metoda podstawiania Metoda iteracyjna Metoda rekurencji uniwersalnej Funkcje tworzące Zadania Problemy Wieże Hanoi Grafy (nieskierowane) Izomorfizm grafów Drogi i cykle Drzewa Przeszukiwanie grafów w głąb Algorytm przeszukiwania grafu wszerz Liczenie składowych spójności Drzewa spinające Fundamentalny zbiór cykli Minimalne drzewo spinające Cykle i drogi Eulera Drogi i cykle Hamiltona Kolorowanie grafów Kolorowanie z nawrotami Kolorowanie grafu dwoma kolorami Heurystyki kolorowania grafów Hiperkostka Rozgłaszanie wiadomości Zbieranie informacji Plotkowanie Zadania Problemy Drzewa spinające Skojarzenia Minimalne drzewo spinające Cykle Eulera
12 Spis treści Grafy skierowane Podstawowe definicje Najkrótsze drogi w grafie II etap Algorytm Forda-Bellmana Dodatnie długości, algorytm Dijkstry Najkrótsza droga w grafach acyklicznych Zadania Problemy Spójność Cykl Eulera w grafie skierowanym Ciąg de Bruijna Bibliografia 247 Skorowidz 248
13
14 Przedmowa Jest to kolejne, poprawione, wydanie podręcznika z matematyki dyskretnej. Jest on przeznaczony dla studentów pierwszego roku kierunku informatyki i zawiera materiał rocznego wykładu z matematyki dyskretnej, prowadzonego przeze mnie na Uniwersytecie Gdańskim. Sądzę, że zawarty materiał może być pomocny także dla studentów innych kierunków. Głównym celem wykładu jest przygotowanie słuchaczy do dalszego studiowania informatyki, a w szczególności do nauki projektowania algorytmów. Podręcznik zawiera podstawowe wiadomości z tak zwanej matematyki dyskretnej, czyli z arytmetyki, kombinatoryki, funkcji logicznych i teorii liczb. Zawiera także wiele przykładów algorytmów oraz zadań algorytmicznych do samodzielnego rozwiązania. Nie wymaga się od czytelnika specjalnego przygotowania, poza znajomością matematyki na poziomie szkoły średniej. Gdańsk, 10 września 2018 Andrzej Szepietowski
15
16 Rozdział 1 Podstawowe pojęcia, oznaczenia 1.1 Sumy Mając dany skończony ciąg liczb a 1,a 2,..., a k, sumę jego elementów zapisujemy jako Niezbyt formalnie możemy to zapisać k a i. k a i = a 1 +a 2 + +a k. Jako przykład zastosujmy symbol sumy do zapisu wzoru na sumę ciagu arytmetycznego k i = k = oraz wzoru na sumę ciagu geometrycznego k i=0 (k +1)k 2 x i = 1+x+x 2 + +x k = xk+1 1 x 1 (wzór (1.2) jest słuszny dla każdego x 1). Będziemy też używać zapisu typu a i = a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6. 1 i 6 (1.1) (1.2) W tym przypadku zbiór indeksów określony jest za pomocą warunku pod znakiem sumy. Warunek określający indeksy, po których należy sumować, może być bardziej skomplikowany, na przykład a i = a 2 +a 4 +a 6. 1 i 6 i parzyste
17 16 Rozdział 1. Podstawowe pojęcia, oznaczenia Stosować będziemy także zapis a i, i I oznaczający sumę tych elementów a i, których indeksy należą do skończonego zbioru indeksów I. Na przykład jeżeli I = {1,3,5,7}, to a i = a 1 +a 3 +a 5 +a 7. i I Możemy też sumować ciągi, których elementy zależą od dwóch indeksów, 1 i 3 2 j 3 a ij = 1 i 32 j 3 a ij = a 12 +a 13 +a 22 +a 23 +a 32 +a 33. Korzystając ze znanych własności działań arytmetycznych oraz z indukcji matematycznej, łatwo można udowodnić następujące wzory 1 i n 1 i m 1 i m a 1 i n a i = (a i +b i ) = a i a i 2 1 i n 1 i n 1 j n = 1 i m b j a a i, (1.3) a i + 1 i n = 1 i m 1 j n a 2 i + 1 i<j m b i, (1.4) a i b j, (1.5) 2a i a j. (1.6) 1.2 Iloczyny Aby zapisać iloczyn elementów ciągu a 1,a 2,..., a k, stosujemy zapis k a i. Znów niezbyt formalnie możemy to zapisać jako k a i = a 1 a 2... a k.
18 1.3. Zbiory Zbiory oznacza zbiór pusty, który nie zawiera żadnych elementów. N oznacza zbiór liczb naturalnych, N = {0, 1, 2, 3,...}. Z oznacza zbiór liczb całkowitych. Q oznacza zbiór liczb wymiernych. R oznacza zbiór liczb rzeczywistych. a A oznacza, że elementanależy do zbiorua,a / A że elementanie należy do zbioru A. Najprostszy sposób zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego elementów w nawiasach klamrowych. Na przykład zbiór {1,2,3} zawiera elementy 1, 2, 3. Inny sposób definiowania zbioru polega na podaniu własności, którą spełniają elementy zbioru. Na przykład {x x N,3 < x < 7} oznacza zbiór liczb naturalnych większych od 3 i mniejszych od 7. A oznacza moc zbiorua, czyli liczbę jego elementów, {3,6,9} = 3, = 0. A B oznacza sumę zbiorów, czyli zbiór zawierający elementy, które należą do A lub do B, A B = {x : x A lub x B}. Zatem sumaa B zawiera wszystkie elementy zbioruaiwszystkie elementy zbiorub. A B oznacza iloczyn lub przekrój zbiorów, czyli zbiór zawierający elementy, które należą do obu zbiorów naraz, A B = {x : x A ix B}. A B oznacza różnicę zbiorów, czyli zbiór zawierający elementy, które należą doa i nie należą dob, A B = {x : x A i x / B}. Przykład 1.1 DlaA = {1,2,4} i B = {1,4,6} mamy A B = {1,2,4,6}, A B = {1,4}, A B = {2}. A B oznacza, że zbiórazawiera się w zbiorzeb, to znaczy wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B, {2,1} {1,2,3}. Dwa zbiory są równe, jeżeli zawierają te same elementy, lub inaczeja = B wtedy i tylko wtedy, gdy A B ib A, {1,4,2,3} = {4,1,3,2}. Jak widać, kolejność elementów w zapisie zbioru nie ma znaczenia. I tak na przykład {1,2} = {2,1}. Taki zbiór dwuelementowy nazywamy para nieuporzadkowan a. W poniższym lemacie zebrano podstawowe własności operacji sumy oraz iloczynu zbiorów. Lemat 1.2 A B = B A (przemienność sumy).
19 18 Rozdział 1. Podstawowe pojęcia, oznaczenia A B = B A (przemienność iloczynu). A (B C) = (A B) C (A B) C = A (B C) (A B) C = A C B C (łaczność sumy). (łaczność iloczynu). (rozdzielność sumy względem iloczynu). (A B) C = (A C) (B C) (rozdzielność iloczynu względem sumy). A = A, A =, A A = A, A A = A. Dowód. Udowodnimy tylko rozdzielność sumy względem iloczynu. W tym celu pokażemy dwa zawierania:(a B) C A C B C oraza C B C (A B) C. Aby udowodnić zawieranie(a B) C A C B C, weźmy dowolny element x (A B) C; wtedy x A B oraz x C, a to oznacza, że x należy do C i do jednego ze zbiorów A lub B (lub do obu), czyli należy do A C lub do B C, a więc x A C B C. Pokazaliśmy więc, że dowolny element z (A B) C należy do A C B C. Aby udowodnić zawieraniea C B C (A B) C, weźmy dowolny element x A C B C; wtedy x A C lub x B C, a to oznacza, że x należy do C i do jednego ze zbiorów A lub B (lub do obu), czyli należy do A B oraz do C, a więc x (A B) C. Pokazaliśmy więc, że dowolny element z A C B C należy do (A B) C. 1.4 Różnica symetryczna zbiorów A B oznacza różnicę symetryczna zbiorów, która zawiera elementy należące tylko do jednego z dwóch zbiorów A B = (A B) (B A). Przykład 1.3 {1,2,4} {1,4,6} = {2,6}. W poniższym lemacie zebrano podstawowe własności różnicy symetrycznej zbiorów. Lemat 1.4 A B = B A (przemienność). (A B) C = A (B C) (A B) C = A C B C (łaczność). (rozdzielność względem iloczynu). A = A, A A =. Jeżeli A B =, toa = B. Dowód. Udowodnimy, tylko dwie tożsamości, dowód pozostałych pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie. Aby pokazać, że różnica symetryczna jest łączna, wystarczy zauważyć, że zbiór A (B C) lub(a B) C zawiera te elementy, które należą do nieparzystej liczby zbiorów, czyli te, które należą tylko doa,b lubc, plus te, które należą do przekroju A B C.
20 1.5. Iloczyn kartezjański 19 Udowodnimy teraz ostatnią implikację. Jeżeli A B =, to A = A = A (A B) = (A A) B = B = B. Twierdzenie 1.5 Różnica symetryczna n zbiorów A 1 A 2... A n zawiera elementy, które należa do nieparzystej liczby spośród zbiorówa 1, A 2,...,A n. Dowód przez indukcję ze względu na n. Twierdzenie jest oczywiste dla n = 1 lub n = 2. Załóżmy teraz, że jest ono prawdziwe dlanirozpatrzmy A 1... A n A n+1 = (A 1... A n ) A n+1. Zbiór ten zawiera te elementy, które należą do (A 1... A n ) i nie należą do A n+1, oraz te, które nie należą do (A 1... A n ) i należą do A n+1. W pierwszym przypadku są to elementy, które nie należą do A n+1 i na mocy założenia indukcyjnego należą do jakiejś nieparzystej liczby zbiorów spośród A 1,...,A n. W drugim przypadku są to elementy, które należą do A n+1, a także do pewnej parzystej liczby zbiorów spośród A 1,...,A n. Razem mamy wszystkie elementy należące do nieparzystej liczby zbiorów spośróda 1,...,A n Iloczyn kartezjański Para uporzadkowana jest to dwuelementowy ciąg (x,y). Mamy (x,y) = (u,v) wtedy i tylko wtedy, gdy x = u orazy = v. Dopuszczalne jest także x = y. A B oznacza iloczyn kartezjański zbiorów A i B. Jest to zbiór wszystkich uporządkowanych par (a,b), w których a A i b B. Inaczej A B = {(a,b) a A, b B}. Przykład 1.6 DlaA = {1,3,5} i B = {3,4} mamy A B = {(1,3),(1,4),(3,3),(3,4),(5,3),(5,4)}. Można łatwo wykazać, że A B = A B. Podobnie można tworzyć iloczyn większej liczby składników. A B C = {(a,b,c) a A, b B c C}. Elementy iloczynu kartezjańskiego będziemy też nazywać wektorami.a 2 oznaczaa A, podobnie A 3 = A A A i ogólnie A n = {(a 1,...,a n ) i a i A}.
21 20 Rozdział 1. Podstawowe pojęcia, oznaczenia 1.6 Rodzina zbiorów Czasami będziemy mieli do czynienia ze zbiorem, którego elementami są zbiory. Przez P(A) lub 2 A oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A. Przykład 1.7 Dla A = {a, b} P(A) = {,{a},{b},{a,b}}. Zbiór zbiorów nazywamy czasami rodziną zbiorów. Na przykład A = {A 1,A 2,A 3,A 4 } jest rodziną zawierającą cztery zbiorya 1,A 2,A 3 ia 4 ; są to elementy zbiorua. Możemy też zapisać A = {A i 1 i 4}. Zbiory z rodziny możemy sumować. Suma zawiera te elementy, które należą do któregoś ze zbiorów A 1, A 2,...,A k, czyli Inaczej możemy to zapisać Będziemy też używać zapisu k A i k A i = {x i 1 i k x A i }. k A i = A 1 A 2... A k. i I na oznaczenie sumy wszystkich zbiorów A i, których indeksy należą do zbioru I. Zachodzi wtedy A i = {x i I x A i }. i I Zbiór indeksów sumowania może być określony za pomocą warunku A i = A 2 A 3 A 4 A 5. 1<i<6 Lemat 1.8 Dla sumy zbiorów zachodzi prawo rozdzielności sumy względem przekroju C i I A i A i = i I(C A i ). Dowód. Weźmy dowolny element x C i I A i. Wtedy x należy do C i do któregoś ze zbiorówa i, czyli dla jakiegośi I,xnależy doc A i, a to znaczy, żex i I (C A i ). Weźmy z kolei dowolny element x i I (C A i). Wtedy x należy do C A i dla jakiegoś i I, czyli x należy do C i do sumy i I A i, czyli należy do przekroju C i I A i.
22 1.7. Grafy (nieskierowane) 21 Możemy też brać przekroje zbiorów z rodziny. Przekrój zawiera te elementy, które należą do wszystkich zbiorów A 1, A 2,...,A k, czyli Inaczej możemy to zapisać Będziemy też używać zapisu k A i k A i = {x i 1 i k x A i }. k A i = A 1 A 2... A k. i I na oznaczenie przekroju wszystkich zbiorów A i, których indeksy należą do zbioru I. Zachodzi wtedy A i = {x i I x A i }. i I Zbiór indeksów przekroju może być określony za pomocą warunku A i = A 2 A 3 A 4 A 5. 1<i<6 Przykład 1.9 Weźmy rodzinę złożona z trzech zbiorów, A 1 = {4,6,8}, A 2 = {4,5,6}, A 3 = {4,5,8,9}, 3 A i = {4,5,6,8,9}, A i 3 A i = {4}. Przykład 1.10 Niech I = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} będzie zbiorem indeksów. Dla każdego i I określamy zbiór A i = {x N 1 x i}. Mamy A i = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A i = {1}, i I 1<i<7 A i = {1,2,3,4,5,6}, 1.7 Grafy (nieskierowane) i I 1<i<7 A i = {1,2}. Definicja 1.11 Graf (nieskierowany) G = (V,E) jest to para składaj aca się ze skończonego zbioru wierzchołków V oraz ze zbioru krawędzi E, gdzie krawędzie to pary wierzchołków, E {{u,v} u,v V, u v}.
23 22 Rozdział 1. Podstawowe pojęcia, oznaczenia O krawędzi e = {u,v} mówimy, że łączy wierzchołki u iv, a o wierzchołkach u iv że są końcami krawędzi e. Wierzchołki połączone krawędzią nazywamy sąsiednimi. Stopień wierzchołka v, oznaczany przez d(v), jest to liczba krawędzi wychodzących z v. Rysunek 1.1: Przykład grafu a b c d e f g Przykład 1.12 Rysunek 1.1 przedstawia grafg = (V,E) ze zbiorem wierzchołkówv = {a,b,c,d,e,f,g} i zbiorem krawędzi E = {{a,b},{a,d},{a,e},{a,g},{b,c},{c,g},{c,f},{d,f},{e,f},{f,g}}. Stopień wierzchołków a i f wynosi 4, wierzchołki c i g sa stopnia 3, wierzchołki b, d i e stopnia 2. Graf H = (V H,E H ) nazywamy podgrafem grafu G = (V G,E G ), jeżeli V H V G oraz E H E G. Przykład 1.13 Drzewo przedstawione na rysunku 1.3 jest podgrafem grafu z rysunku 1.1. Graf pełny o n wierzchołkach, oznaczany przez K n, jest to graf z n wierzchołkami, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Droga lub ścieżka w grafie G = (V G,E G ) jest to ciąg wierzchołków v 0,v 1,...,v k, taki że dla każdego i, 1 i k, wierzchołki v i 1, v i są połączone krawędzią, czyli {v i 1,v i } E G. O drodze v 0,v 1,...,v k mówimy, że łączy wierzchołki v 0 i v k. Mówimy także, że wierzchołek v k jest osiągalny z wierzchołka v 0. Droga jest zamknięta, jeżeli v 0 = v k. Droga jest prosta, jeżeli wszystkie występujące w niej wierzchołki są różne. Drogę v 0,v 1,...,v k nazywamy cyklem, jeżeli v 0 = v k, k 3 oraz wszystkie wierzchołki v 1,...,v k są różne. Przykład 1.14 W grafie z rysunku 1.1 ciag e, a, d, a, b, c, g jest droga, a ciag a, e, f, d,a jest cyklem. Ciag a,e,f,d,a,b,c,g,a jest droga zamknięta, ale nie jest cyklem. GrafGjest spójny, jeżeli dla każdych dwóch wierzchołkówu,v V G istnieje ścieżka łącząca u iv.
24
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Andrzej Szepietowski Matematyka dyskretna Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk 2018 Recenzja prof. dr hab. Marek Zaionc Redakcja wydawnicza Dorota Zgaińska Projekt okładki i
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowo0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3.
(Aktualizacja z dnia 3 kwietnia 2013) MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2012/2013) Zadania do omówienia na zajęciach w dniach 21 i 28 kwietnia 2013 ZESTAW NR 3/7 (przykłady zadań z rozwiązaniami)
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Matematyka dyskretna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: MATEMATYKA DYSKRETNA Discrete mathematics Forma studiów: Stacjonarne Poziom kwalifikacji: Kod przedmiotu: A_06 Rok: I obowiązkowy w ramach treści
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do algorytmów / Thomas H. Cormen [et al.]. - wyd. 7. Warszawa, Spis treści. Wprowadzenie 2
Wprowadzenie do algorytmów / Thomas H. Cormen [et al.]. - wyd. 7. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa XIII Część I Podstawy Wprowadzenie 2 1. Rola algorytmów w obliczeniach 4 1.1. Algorytmy 4 1.2. Algorytmy
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa. Wprowadzenie 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?... XIII 0.2 Podstawowa literatura... XIV
Spis treści Przedmowa XI Wprowadzenie XIII 0.1 Czym jest matematyka dyskretna?............... XIII 0.2 Podstawowa literatura...................... XIV 1 Rekurencja 1 1.1 Wieże Hanoi...........................
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, 19.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające;
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym
Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, 7.06.2005 1 Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA) Niech E K (x) oznacza szyfrowanie wiadomości x kluczem K (E od encrypt, D K (x)
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowoLogika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Bardziej szczegółowoPoziom wymagań K P K R K R. 2. Permutacje definicja permutacji definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego K K K P D
Plan wynikowy klasa 3g - Jolanta Pająk Matematyka 3. dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym rok szkolny 2015/2016 Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk Warszawa, ul. Newelska 6, tel.
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk 01-447 Warszawa, ul. Newelska 6, tel. 22 3486544 Wydział Informatyki Kierunek studiów Profil Stopień studiów Forma
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... 9
Spis treści Przedmowa... 9 1. Algorytmy podstawowe... 13 1.1. Uwagi wstępne... 13 1.2. Dzielenie liczb całkowitych... 13 1.3. Algorytm Euklidesa... 20 1.4. Najmniejsza wspólna wielokrotność... 23 1.5.
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowoUczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym
Plan wynikowy lasa III Technikum ekonomiczne. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoDział Rozdział Liczba h
MATEMATYKA ZR Ramowy rozkład materiału w kolejnych tomach podręczników 1. Działania na liczbach Tom I część 1 1.1. Ćwiczenia w działaniach na ułamkach 1.. Obliczenia procentowe 1.3. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy informatyki Mathematical Foundations of Computational Sciences. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyczne podstawy informatyki Mathematical Foundations of Computational Sciences
Bardziej szczegółowoE-I-0002-s3. Matematyka dyskretna. Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu E-I-0002-s3 Nazwa modułu Matematyka dyskretna Nazwa modułu w języku angielskim Discrete
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony
Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania
Bardziej szczegółowoZałącznik KARTA PRZEDMIOTU. KARTA PRZEDMIOTU Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010
1/1 Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010 Kierunek: INFORMATYKA Specjalność: PRZEDMIOT OBOWIĄZKOWY DLA WSZYSTKICH STUDENTÓW. Tryb studiów: NIESTACJONARNE PIERWSZEGO STOPNIA
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowo2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego
Wymagania dla kl. 3 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.
MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin licencjacki
Zagadnienia na egzamin licencjacki Kierunek: matematyka, specjalność: nauczanie matematyki i informatyki w zakresie zajęć komputerowych Zaleca się, by egzamin dyplomowy składał się z co najmniej trzech
Bardziej szczegółowoElementy rachunku zdań i algebry zbiorów
Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.1. Zdania Przez α, β będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoPROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ
PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowo