Jak rozpoznać trójkąt równoboczny?

Transkrypt

1 O tym, czego nie ma na plakacie

2 To jest na plakacie Co jest na plakacie? Charles Leytem, Rysunek 3: Własność 1. Trójkąty równoboczne to proste obiekty, które łatwo scharakteryzować. Można je jednak rozpoznawać na podstawie znacznie mniej intuicyjnych własności niż równość długości boków czy miar kątów. Plakat przedstawia kilka takich możliwości opierających się na wykorzystaniu pewnej wiedzy na temat środkowych i wysokości. Omówimy Rysunek 1: Oznaczenia je teraz dokładniej. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, w którym przez AF, BG, CH oznaczymy wysokości, a przez BM i CL dwie z jego środkowych (Rysunek 1). To, że trójkąt ABC jest równoboczny, można wywnioskować z każdej z następujących własności: Własność 2. Na mocy Faktu < ) BCH = < ) ABM = 30. Stąd < ) ABC = 60, a więc środkowa BM jest jednocześnie dwusieczną kąta ABC. Zatem boki AB oraz BC są równej długości, co w po) ABC = 60 łączeniu z równością < pokazuje, że trójkąt ABC jest równoboczny. ) CBM = < ) ACH. Własność 1. CH = BM oraz < ) ABM = < ) BCH. Własność 2. CH = BM oraz < Własność 3. CH = BM oraz CL = BG. Własność 4. CH = BM oraz CL = AF. Zaczniemy od wyprowadzenia pewnego pomocniczego faktu, prawdziwego dla dowolnego trójkąta, niekoniecznie ostrokątnego. Fakt. CH = BM wtedy i tylko ) ABM = 30. wtedy, gdy < Dowód. Niech M 0 będzie rzutem prostokątnym punktu M na prostą zawierającą odcinek AB, a S środkiem odcinka BM (Rysunek 2). Odcinki M M 0 i CH są równoległe, a więc z twierdzenia Talesa mamy M M 0 = 21 CH. Ponadto S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BM M 0, a za) M SM 0 = 2 < ) ABM. W efekcie tem SM = SM 0 oraz < < ) ABM = 30 wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt SM M 0 jest równoboczny, równoważnie M M 0 = SM, czyli BM = CH. Rysunek 2: Fakt. Przejdziemy teraz do omówienia powyższych własności. Rysunek 5: Własność 3. Rysunek 4: Własność 2. Własność 3. Na podstawie Fak) ABM = < ) ACL = 30. Trójtu < kąty ABM i ACL są więc podobab 2AL ne, wobec czego AM AL = AC = 2AM. W rezultacie AM = AL, czyli AB = AC. Stąd wynika w szczególności równość BG = CH. W połączeniu z założeniami otrzymujemy więc CL = BG = CH = BM, skąd wynika, że BC = AB = AC. Zauważmy, że nie korzystaliśmy tu z tego, że trójkąt jest ostrokątny. ) ABM = < ) BCL = 30. WyWłasność 4. Na mocy Faktu < bierzmy taki punkt D, aby czworokąt ADLM był równoległobokiem. Wówczas czworokąt CM DL również jest równole) ABM = < ) BCL = < ) CLM = < ) M DA, głobokiem. Wtedy < a zatem na czworokącie ADBM można opisać okrąg. Załóżmy, że punkt S jest środkiem tego okręgu. Wtedy zachodzi < ) ASM = 2 < ) ABM = 60, a zatem trójkąt ASM jest równoboczny. Promień okręgu opisanego na czworokącie ADBM jest więc równy AM. Jego środek natomiast leży na symetralnej odcinka AB w odległości AM od punktu D. Istnieją dwa takie możliwe punkty, z których jednym jest L. W tym wypadku AL = M L = AM, a zatem AB = BC = AC. Załóżmy teraz, że środkiem okręgu opisanego na czworokącie ADBM jest L0. ) DAL = < ) ABC oraz < ) ALD = < ) BAC są ostre. Z założenia < ) ADL0 = < ) DAL0 oraz Ponieważ DL0 = AL0 i DL = DL0, to < < ) DL0 L = < ) DLL0. Kąty ADL0 i DL0 L są więc ostre. Wynika stąd, że czworokąt ADL0 L ma trzy kąty ostre i jeden prosty, co jest niemożliwe. Przy założeniu, że trójkąt ABC jest ostrokątny, z własności 4. wynika więc, że jest on równoboczny. Własność 1. Trójkąt AHC jest prostokątny, a więc okrąg na nim opisany ma średnicę AC i środek w punkcie M. Wynika ) CHM = < ) M CH = < ) CBM (Rystąd, że HM = M C, czyli < sunek 3). Na czworokącie BCM H można więc opisać okrąg, a zatem kąt BM C jest prosty jako oparty na tym samym łuku co kąt BHC. W rezultacie środkowa BM jest jednocześnie wysokością trójkąta ABC, a stąd wynika, że AB = BC. Korzy) ABM = 30, skąd < ) BAC = 60. stając z Faktu, uzyskujemy < Zatem trójkąt ABC jest równoboczny. Rysunek 6: Własność 4.

3 To jest na plakacie Własność 1. Własność 2. Własność 3. Własność 4.

4 Własność 3. CH = BM, CL = BG

5 Własność 3. CH = BM, CL = BG CH CL, BG BM

6 Własność 3. CH = BM, CL = BG CH CL, BG BM BG BM = CH CL = BG

7 Własność 3. CH = BM, CL = BG CH CL, BG BM BG BM = CH CL = BG BG = BM = CH = CL

8 Fakt CH = BM wtedy i tylko wtedy, gdy <) ABM = 30

9 Fakt CH = BM wtedy i tylko wtedy, gdy <) ABM = 30 MM = 1 2 CH sin <) ABM = 1 2 CH = BM

10 Własność 4.

11 Własność 4. Fakt

12 Własność 4. - sposób 1. (1)

13 Własność 4. - sposób 1. (1) równoległobok ADLM

14 Własność 4. - sposób 1. (1) równoległobok ADLM

15 Własność 4. - sposób 1. (1) równoległobok ADLM na czworokącie ADBM mozna opisac okrag

16 Własność 4. - sposób 1. (2) promień tego okęgu = AM

17 Własność 4. - sposób 1. (3) Możliwe środki okęgu: L : ABC - równoboczny.

18 Własność 4. - sposób 1. (3) Możliwe środki okęgu: L : ABC - równoboczny. L :

19 Własność 4. - sposób 1. (3) Możliwe środki okęgu: L : ABC - równoboczny. L : DL = DL = <) DL L < 90

20 Własność 4. - sposób 1. (3) Możliwe środki okęgu: L : ABC - równoboczny. L : DL = DL = <) DL L < 90 DL = AL = <) L DA < 90

21 Własność 4. - sposób 1. (3) Możliwe środki okęgu: L : ABC - równoboczny. L : DL = DL = <) DL L < 90 DL = AL = <) L DA < 90 <) DAL < 90

22 Własność 4. - sposób 1. (3) Możliwe środki okęgu: L : ABC - równoboczny. L : DL = DL = <) DL L < 90 DL = AL = <) L DA < 90 <) DAL < 90 <) ALL = 90

23 Własność 4. - sposób 1. (3) Możliwe środki okęgu: L : ABC - równoboczny. L : DL = DL = <) DL L < 90 DL = AL = <) L DA < 90 <) DAL < 90 <) ALL = 90 sprzeczność

24 Własność 4. Fakt

25 Własność 4. - sposób 2.

26 Własność 4. - sposób 2.

27 Własność 4. - sposób 2.

28 Własność 4. - sposób 2.

29 Własność 4. - sposób 2.

30 Własność 4. - sposób 2.

31 Własność 4. - sposób 2.

32 Własność 1.

33 Własność 1.

34 Własność 2.

35 Własność 2.

36 Własność 2. własność 4.