Witam Państwa na wykładzie dotyczącym narzędzi obliczeniowych fizyki!

Transkrypt

1 Witam Państwa na wykładzie dotyczącym narzędzi obliczeniowych fizyki! Nazywam się Jacek Golak Pracuję w Zespole Zakładów Fizyki Jądrowej Instytutu Fizyki UJ i jestem kierownikiem Zakładu Teorii Układów Jądrowych. Moja dziedzina to zdecydowanie teoretyczna fizyka jądrowa Numer pokoju: B jacek.golak@uj.edu.pl strona WWW: Wśród wielu codziennie używanych przez fizyków programów i środowisk programistycznych Mathematica firmy Wolfram staje się coraz bardziej popularna.

2 2 NOF_.nb Czym jest Mathematica? Strona producenta - firmy Wolfram: Przedstawiciel firmy Wolfram w Polsce - firma Gambit:

3 NOF_.nb 3 "Program Mathematica firmy Wolfram Research, Inc. to wszechstronne środowisko realizacji obliczeń matematycznych, składu dokumentu technicznego i tworzenia aplikacji. Mathematica to między innymi obliczenia symboliczne, szybkie obliczenia numeryczne, dowolna dokładność obliczeń, wygodny interfejs użytkownika, wieloplatformowość, możliwość równoległych obliczeń, bogate możliwości wizualizacji 2D i 3D oraz język programowania Wolfram Language"

4 4 NOF_.nb Jak zdobyć licencję Wybrana literatura LITERATURA DO WYKŁADU I ĆWICZEŃ (0) Ponieważ wykład będzie w dużej mierze oparty o program Mathematica, więc polecam wykłady prowadzone wcześniej na naszym wydziale Na stronie mają się znaleźć odnośniki do wykładów i ćwiczeń prowadzonych przy pomocy programu Mathematica na naszym Wydziale () Ponadto wskazany jest dowolny podręcznik wprowadzający w tajniki tego programu. Na przykład sam podręcznik tego produktu: (a) Stephen Wolfram, The Mathematica Book, Wolfram Media, wiele wydań (b) zestaw poradników (c) bardzo wiele materiału w internecie, skrypty do wykładów, porady dla początkujących itp. (2) Klasyczny podręcznik do programowania (ogólnie rozumianego): Donald E. Knuth, The art of computer programming, Addison-Wesley, bardzo wiele wydań (3) Jak programować w (ANSI) C pokazują m.in. trzy klasyczne pozycje (a) Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie, Język ANSI C. Programowanie (tłumaczenie z angielskiego), Helion, 200, wydanie II

5 NOF_.nb 5 (b) K. N. King, C Programming (A Modern Approach), 2nd Edition, W. N. Norton, 2008 (c) S. Oualline, Jezyk C. Programowanie (tłumaczenie z angielskiego), Helion, 2003 (4) Jak to się robi w nowszym Fortranie można nauczyć się, korzystając ze skryptu umieszczonego na stronie instytutowej: Krzysztof Rościszewski i Romuald Wit Nauka Fortranu F90/95 przez przykłady dla początkujących, Skrypt internetowy (wersja z 3 III 2008) (5) Poleciłbym, zwłaszcza mając na uwadze tzw. "projekty zaliczeniowe", kilka innych pozycji, które pokazują, jak wykorzystać komputer w fizyce: (a) D. M. Bourg, Fizyka dla programistów gier, Helion, (b) M. Motyka, Symulacje komputerowe w fizyce, Helion, (c) Tao Pang, Metody obliczeniowe w fizyce: fizyka i komputery, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 200. (d) W. Kinzel, G. Reents, Physics by Computer: Programming Physical Problems Using Mathematica and C, Springer-Verlag, New York, 997. (e) G. Baumann, Mathematica in Theoretical Physics: Selected Examples from Classical Mechanics to Fractals, TELOS, The Electronic Library of Science, Springer-Verlag, New York, 992. (f) A. Romano, R. Lancellotta, A. Marasco, Continuum Mechanics using Mathematica, Birkhaeuser, Boston, (g) Stephen Lynch, Dynamical Systems with Applications using Mathematica, Birkhaeuser, Boston, (h) Nino Boccara, Essentials of Mathematica with Applications

6 6 NOF_.nb to Mathematics and Physics, Springer, (i) Patrick T. Tam, A Physicist's Guide to Mathematica, Academic Press, 997. (j) M.L. Abell, J.P. Braselton, Differential Equations with Mathematica, Elsevier, (6) Wspaniałym źródłem przykładów, jest "WOLFRAM DEMONSTRATIONS PROJECT", gdzie pokazane są zastosowania środowiska Mathematica w bardzo wielu dziedzinach wiedzy. Dla nas najważniejsze są te dotyczące fizyki. Kalkulator (* wyrazenie jest liczone po nacisnieciu Shift+Enter *) * ^ sina sina a a Cos Sin * 4 * 9^ Sqrt[2] co sinus pierwiastek kwa Cos Sin / (* tu pojawi sie potegowanie ^ oraz znane funkcje matematyczne *)

7 NOF_.nb 7 N Cos Sin * 4 * 9^ Sqrt[2], 00 co sinus pierwiastek kwadratowy ^ N[%] przybliżenie numeryczne ^ N przybliżenie 789 numeryczne (* Mamy do dyspozycji stale matematyczne *) Pi (* liczba pi *) pi π N[ Pi, 200] (* jesli chcemy poznac wartosc pi numeryczna pi z niemal dowolna dokladnoscia *) E (* podstawa logarytmu naturalnego *) liczba Eulera e N[ E, 200] (* wartosc numeryczna e z bardzo duza dokladnoscia *) liczba Eulera ! (* silnia *)

8 8 NOF_.nb Factorial[00] (* to samo w innym zapisie *) silnia (* Mathematica podaje DOKLADNY WYNIK, jesli to tylko mozliwe *) Sin Pi 6 si pi 2 Cos Pi 4 co pi 2 Tan[4] (* tangens *) tangens Tan[4] N[%] przybliżenie numeryczne a = Sqrt Sqrt 3 0 ^5 pierwiastek kwad pierwiastek kwadratowy Sin Pi 8 si pi Csc π 8 (* przypisalismy zmiennej a pewną wartość i możemy to wykorzystać w dalszych obliczeniach *) b = 3 * a * a^ Csc π Csc π 8 6 (* Ile to wlasciwie wynosi? *) N[b] przybliżenie numeryczne N[b, 40] (* Mathematica moze podac bardzo dokładna wartosc numeryczna! *) przybliżenie numeryczne Pamiętajmy: mała kropka, duża różnica!

9 NOF_.nb 9 Sin[2] sinus Sin[2] Sin[2.] sinus Sin[2, 5] (* kolor czerwony oznacza nieprawidłową komendę! *) sinus Sin: Sin called with 2 arguments; argument is expected. Sin[2, 5] Podstawowa zasada: nazwy komend programu Mathematica (N, Plot,...) oraz wbudowanych funkcji (sinus, cosinus, tangens, cotangens,...) zaczynają się od dużych liter; ich argument (lub argumenty) są zawarte w nawiasach KWADRATOWYCH! Mathematica zna różne funkcje specjalne i pozwala nimi swobodnie operować. BARDZO WAZNE DLA FIZYKA! Gamma[5] funkcja Gamma 24 Gamma 7 3 funkcja Gamma Gamma 7 3 N Gamma 7 funkcja Gamm FullSimplify Gamma[n] n -!, uprość pełniej funkcja Gamma True BesselJ[, 3] funkcja J Bessela BesselJ[, 3] N[ BesselJ[, 3]] funkcja J Bessela LegendreP[2, x] funkcja P Legendre'a Element[n, należy do Integers] && n > 0 zbiór liczb całkowitych x x x x x x 2

10 0 NOF_.nb LegendreP[2, 8, x] funkcja P Legendre'a x x x 4 8 SphericalHarmonicY[2, - 0, theta, phi] harmoniczna funkcja sferyczna Y e-0 i phi π Cos[theta] 2 Sin[theta] 0 Uwaga na nazwy funkcji, które składają się z kilku słów (arcus sinus, arcus tangens, arcus tangens hiperboliczny,...) ArcSin 2 arcus sinus π 6?? Arc* System` ArcCos ArcCoth ArcCurvature ArcSech ArcSinh ArcCosh ArcCsc ArcLength ArcSin ArcTan ArcCot ArcCsch ArcSec ArcSinDistribution ArcTanh ArcTan[] arcus tangens π 4 ArcTanh arcus tangens hiperboliczny ArcTanh Dlatego najlepiej jest używać nazw zmiennych i nazw funkcji pisanych małymi literami. Nie radzę próbować instrukcji typu: C=23.7; D=3*Pi; E=-; I=5;

11 NOF_.nb Rysowanie wykresów 2D Plot[ Sin[x] + Cos[4 * x], {x, 0, 2 * Pi}] wyk sinus cosinus pi Plot - x^2, {x, -3, 3} wykres Plot[{x^3, Cos[x^4]}, {x, -2, 2}] wykres cosinus

12 2 NOF_.nb Plot x 00, BesselJ[0, x], {x, 5, 25} wykres funkcja J Bessela Plot3D[x^2 - y^2, {x, 0, 2}, {y, -, 4}] wykres trójwymiarowy Listy (* uporzadkwany zbior elementow, w zasadzie dowolnych *) {, 2, 3, x, Sin[p], {y, z}, "napis"} sinus {, 2, 3, x, Sin[p], {y, z}, napis} (* zmienna ma wartosc, ktora jest lista *) dziwnalista = {, x, Sin[beta], {p, q}, {, 2, z}} sinus {, x, Sin[beta], {p, q}, {, 2, z}}

13 NOF_.nb 3 dziwnalista[[]] (* pierwszy element listy; koniecznie podwojne nawiasy! *) (* to samo inaczej *) Part[dziwnalista, ] część dziwnalista[[2]] x dziwnalista[[4]] (* ten element sam jest lista... *) {p, q} dziwnalista[[4]][[]] (*... i mozna zapytac, jaki jest jego pierwszy element *) p (* lista, ktorej elementami sa wykresy *) { Plot[ Sqrt[x], {x, 0, 2}], Plot[ Sin[5 * x], {x, 0, wyk pierwiastek kwadratowy wyk sinus Pi}], pi Plot[x^2, {x, -2, 2}]} wykres , , Niektóre komendy z definicji dają listy Table[n^3, {n,, 7}] tabela {, 8, 27, 64, 25, 26, 343} (* teraz dostaniemy liste rysunkow *) Table[ Plot[x^n, {x, -2, 2}], {n, 3, 5, }] tabela wykres , (* prosta lista kolejnych liczb naturalnych od do 0 *) Range[0] zakres {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} (* lista liczb naturalnych od 2 do 0 *) 5 0 5,

14 4 NOF_.nb Range[2, 0] zakres {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} (* lista liczb naturalnych od 2 do 0, ale z krokiem 5 *) Range[2, 0, 5] zakres {2, 7}? Range Range[i max ] generates the list {, 2,, i max }. Range[i min, i max ] generates the list {i min,, i max }. Range[i min, i max, di] uses step di.?? Range Range[i max ] generates the list {, 2,, i max }. Range[i min, i max ] generates the list {i min,, i max }. Range[i min, i max, di] uses step di. Attributes[Range] = Listable, Protected CharacterRange["A", "Z"] zakres znaków {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z} CharacterRange["α", "ω"] zakres znaków {α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ρ, ς, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω} Z listami można robić różne rzeczy. Na razie tylko kilka prostych przykładów dla list z liczbami : l = {2, 4,, 7, -3, 8, 95, -34, 0} {2, 4,, 7, -3, 8, 95, -34, 0} l2 = Sort[l] sortuj {-34, -3, 0,, 2, 4, 8, 7, 95} l3 = Reverse[l2] odwróć kolejność {95, 7, 8, 4, 2,, 0, -3, -34} Length[l3] długość 9 Total[l] oblicz sumę 90

15 NOF_.nb 5 Mean[l] średnia arytmetyczna 0 Max[l] maksimum 95 Min[l] minimum -34 (* Bardzo wazne: mozna zadzialac funkcja na CALA LISTE! *) l^2 {4, 6,, 289, 9, 64, 9025, 56, 0} Sin[l] sinus {Sin[2], Sin[4], Sin[], Sin[7], -Sin[3], Sin[8], Sin[95], -Sin[34], 0} N[ Cos[l]] cosinus { , , , , , , , ,.} (* Rozwiazania rownan wystepuja w postaci list! Odpowiednia skladnia pozwala na wyluskanie wyniku *) sol = Solve[x^2 4, x] rozwiąż równanie {{x -2}, {x 2}} sol[[]] {x -2} sol[[2]] {x 2} FullForm[sol] pełna forma List[List[Rule[x, - 2]], List[Rule[x, 2]]] (* Jak wydostac wartosc -2, by uzyc ja na przyklad w dalszych rachunkach? *) sol[[]][[]][[2]] -2 (* tego mozna juz uzywac jak zwyklej artosci liczbowej i przypisac ja zmiennej *) x = sol[[]][[]][[2]] -2

16 6 NOF_.nb x2 = sol[[2]][[]][[2]] 2 (* Inny sposob wykorzystuje ogolny zapis PODSTAWIENIA *) x2 = x /. sol[[]] -2 x22 = x /. sol[[2]] 2 =, czy ==, czy może ===? q = 90; (* jeden znak "=" przypisanie zmiennej wartosci *) 2 Sin Pi 6 (* dwa znaki "=" sprawdzenie rownosci liczb lub wyrazen *) si pi True Solve[x ^2 + 3 * x + 6 0, x] (* dwa znaki "=" konieczne przy rownaniach *) rozwiąż równanie x i 5, x -3 + i 5 2 x = Tan[c]; tangens y = Sin[c] Cos[c]; sinus cosinus x === y (* sprawdzenie identycznosci wyrazen *) True Uzyskiwanie pomocy Wiele komend posiada opcje, niekiedy bardzo wiele opcji

17 NOF_.nb 7 Plot[ Sqrt[x], {x, 0, 3}, wyk pierwiastek kwadratowy y AxesLabel {"x", "y"}, oznaczenia osi PlotStyle styl grafiki Green] zielony Options[ Plot] opcje wykres x AlignmentPoint Center, AspectRatio, Axes True, GoldenRatio AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle {}, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle {}, ClippingStyle None, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog {}, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, Filling None, FillingStyle Automatic, FormatType TraditionalForm, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle {}, FrameTicks Automatic, FrameTicksStyle {}, GridLines None, GridLinesStyle {}, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, ImageSizeRaw Automatic, LabelStyle {}, MaxRecursion Automatic, Mesh None, MeshFunctions {# &}, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotLabels None, PlotLegends None, PlotPoints Automatic, PlotRange {Full, Automatic}, PlotRangeClipping True, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PlotTheme $PlotTheme, PreserveImageOptions Automatic, Prolog {}, RegionFunction True &, RotateLabel True, ScalingFunctions None, TargetUnits Automatic, Ticks Automatic, TicksStyle {}, WorkingPrecision MachinePrecision? N N[expr] gives the numerical value of expr. N[expr, n] attempts to give a result with n-digit precision. (* krotka informacja *)? Plot Plot[ f, {x, x min, x max }] generates a plot of f as a function of x from x min to x max. Plot[{ f, f 2, }, {x, x min, x max }] plots several functions f i. Plot[{, w[ f i ], }, ] plots f i with features defined by the symbolic wrapper w. Plot[, {x} reg] takes the variable x to be in the geometric region reg. (* bardziej rozbudowana *)

18 8 NOF_.nb?? Plot Plot[ f, {x, x min, x max }] generates a plot of f as a function of x from x min to x max. Plot[{ f, f 2, }, {x, x min, x max }] plots several functions f i. Plot[{, w[ f i ], }, ] plots f i with features defined by the symbolic wrapper w. Plot[, {x} reg] takes the variable x to be in the geometric region reg. Attributes[Plot] = {HoldAll, Protected, ReadProtected} Options[Plot] = AlignmentPoint Center, AspectRatio, Axes True, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle {}, Background None, BaselinePosition Automatic, BaseStyle {}, ClippingStyle None, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, ContentSelectable Automatic, CoordinatesToolOptions Automatic, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog {}, Evaluated Automatic, EvaluationMonitor None, Exclusions Automatic, ExclusionsStyle None, Filling None, FillingStyle Automatic, FormatType TraditionalForm, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle {}, FrameTicks Automatic, FrameTicksStyle {}, GridLines None, GridLinesStyle {}, ImageMargins 0., ImagePadding All, ImageSize Automatic, ImageSizeRaw Automatic, LabelStyle {}, MaxRecursion Automatic, Mesh None, MeshFunctions {# &}, MeshShading None, MeshStyle Automatic, Method Automatic, PerformanceGoal $PerformanceGoal, PlotLabel None, PlotLabels None, PlotLegends None, PlotPoints Automatic, PlotRange Full, Automatic, PlotRangeClipping True, PlotRangePadding Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, PlotTheme $PlotTheme, PreserveImageOptions Automatic, Prolog {}, RegionFunction (True &), RotateLabel True, ScalingFunctions None, TargetUnits Automatic, Ticks Automatic, TicksStyle {}, WorkingPrecision MachinePrecision (* pomoc na temat wszystkich funkcji lub polecen zaczynajacych sie od? Plot* Plot *) wykres System` Plot PlotLabel PlotPoints PlotRegion Plot3D PlotLabels PlotRange PlotStyle Plot3Matrix PlotLayout PlotRangeClipping PlotTheme PlotRangeClipPlanes- PlotDivision PlotLegends Style PlotJoined PlotMarkers PlotRangePadding Nasze własne funkcje Puszczamy wodze fantazji i definiujemy NOWĄ funkcję f[x_] := Tan[ Sin[ Cos[x]]] (* to nie jest jedyny sposob, ale na razie wystarczy; ta si cosinus wiecej informacji o tzw. natychmiastowej i opoznionej defincji funkcji mozna znalezc na mojej stronie w notebooku natychmiastowa_i_opozniona_definicja_funkcji.nb *)

19 NOF_.nb 9 Plot[f[x], {x, 0, Pi}] wykres pi f[] Tan[Sin[Cos[]]] N[f[], 20] przybliżenie numeryczne (* Jeszcze jeden wazny przyklad: funkcje mozna zdefiniowac KAWALKAMI *) w[x_] := Piecewise[{{x^2, x < 0}, {x, x >= 0}}] (* uwaga na skladnie *) funkcja odcinkowa Plot[w[x], {x, -2, 2}] wykres w[0] 0

20 20 NOF_.nb Operator % v = 24 * 5 / 6! 6 w = % + (* % zastepuje ostatni uzyskany wynik niekoniecznie musi to byc ten z poprzedniej komorki! *) 67 6 t = %% * 6 (* %% teraz przedostatnio uzyskany wynik *) t2 = %%% * 6 (* wynik z komorki numer 62 *) t3 = %62 * 6 {6 Null} Nadawanie wartości zmiennym i ich odwoływanie W jednej komórce można podać wiele komend a = 23 a2 = 3 a3 = Jeśli nie chcemy outputu (na przykład przy instrukcjach przypisania), wtedy dajemy średniki b = 23; b2 = 3; b3 = 7; b4 = -9.0; b5 = 76; b6 = 0; Clear[b ] ; (* wartosc b stanie sie z powrotem nieokreslona *) wyczyść

21 NOF_.nb 2 b b b2 =.; (* to dziala tak samo. UWAGA na zmiane koloru nazwy b2 z czarnej na niebieski *) Clear[b3, b4, b5] (* to wyczysci trzy zmienne naraz *) wyczyść (* ponizsza instrukcja wyczysci WSZYSTKIE PRZYPISANE WARTOSCI i DEFINICJE *) ClearAll["Global`*"] wyczyść wszystko a a f f Inne s = 385 Sum[n^2, {n,, 0}] sumowanie (* latwo uzyc opcji s2 = Sum[n^5, {n,, 0}] sumowanie Insert wstaw Input from above i potem zmienic, by uzyskac... *) wejście (* podobnie mozna wykorzystac output z poprzedniej komorki *) Sum[ii^3, {ii,, n}] sumowanie 4 n2 + n 2 g[n_] := 4 n2 + n 2 (* uzylem opcji (* Insert Picture From file *) wstaw Insert Output from above *) wstaw ;

22 22 NOF_.nb Blur, 5 zmniejsz ostrość Jak unikać podstawowych błędów () Nawiasy ( ) są używane wyłącznie dla zaznaczenia kolejności operacji. Nie należy używać { } oraz [ ] w wyrażeniach matematycznych! (2) Polecenia programu Mathematica oraz wbudowane funkcje mają nazwy zaczynające się z dużej litery! (3) Nawiasy kwadratowe są używane dla argumentów poleceń i funkcji! (4) Nawiasy { } są używane wyłącznie w listach! (5) Przy definiowaniu własnych funkcji (na razie) trzymać się wzoru: f[x_]:= x^5 (6) Równania (i porównywania) wymagają dwóch znaków == Należy zwracać uwagę na kolory! Kolor czerwony oznacza zwykle błędną składnię! Kolor niebieski zmiennej oznacza, że nie nadano jej żadnej wartości, co może mieć wpływ na dalsze wykorzystanie tej zmiennej!