Symulacje komputerowe w fizyce. Ćwiczenia X S.O.C.

Transkrypt

1 Symulacje komputerowe w fizyce Ćwiczenia X S.O.C.

2 Wiele zjawisk w przyrodzie (i nie tylko w przyrodzie) charakteryzuje się rozkładem potęgowym:

3 Liczba trzęsień rocznie Trzęsienia ziemi: prawo Gutenberga- Richtera N ~ E -a Korzystając z danych o dużych trzęsieniach ziemi na całym świecie, można przedłużyć tę prostą do obszaru trzęsień o sile 7, 8 i 9 w skali Richtera. To skala logarytmiczna: trzęsienie o sile 7 wyzwala miliard razy większą energię niż to o skali 1 (które odpowiada wstrząsowi wywołanemu przez przejeżdżającego nieopodal TIRa) a jednak leżą one na jednej linii! Siła trzęsienia (proporcjonalna do log. energii) trzęsienia w obszarze New Madrid (USA) podobne zależności dla powodzi, wybuchów wulkanów, etc.

4 Miasta prawo Zipfa Miasta kanadyjskie N ~ r -a populacja (w tys.)

5 Słowa prawo Zipfa N ~ r -a

6 Dygresja prawa potęgowe są bezskalowe Bezskalowość (niezmienniczość ze względu na zmianę skali) k k f ( cx) = a( cx) = a x ~ f ( x)

7 i wiele innych przykładów rozkładów potęgowych/ układów bezskalowych......częstości występowania nazwisk, wielkości kraterów na księżycu i rozbłysków słonecznych, wielkości wojen, rozkład zamożności społeczeństwa, długości dopływów rzecznych... Prawa potęgowe są powszechne w przyrodzie! DLACZEGO?

8 Punkt krytyczny W fizyce prawa potęgowe zwykle związane są z zachowaniem układu w punkcie krytycznym (np. na progu perkolacji, w punkcie końcowym krzywej ciecz-para, w temperaturze przejścia dla modelu Isinga). ξ ~( p ) c p ν We wszystkich tych układach (równowagowych!) punkt krytyczny może być osiągnięty jedynie poprzez precyzyjne dostrojenie parametru kontrolnego (temperatura, prawdopodobienstwo...) Jednakże w niektórych układach nierównowagowych punkt krytyczny staje się atraktorem dynamiki, stabilnym względem małych zmian parametrów układu zjawisko takie nazywamy samo-organizującą się krytycznością

9 Samo-organizująca się krytyczność Złożone zachowanie układów w przyrodzie odzwierciedla skłonność struktur o dużej liczbie stopni swobody do ewolucji w kierunku pewnego stanu krytycznego", dalekiego od równowagi, w którym drobne zaburzenia mogą prowadzić do zdarzeń zwanych lawinami o różnorakiej wielkości. Osiąganie przez układ owego stanu następuje bez żadnej ingerencji z zewnątrz, jedynie na skutek dynamicznych oddziaływań pomiędzy elementami układu: stan krytyczny jest tworzony w sposób spontaniczny, przez samoorganizację. Samoorganizująca się krytyczność to jak dotąd jedyny znany mechanizm tworzenia złożoności Per Bak,

10 Model pryzmy piasku Baka Każdemu węzłowi siatki przypisana jest pewna liczba, która odpowiada nachyleniu pryzmy. To nachylenie wzrasta, w miarę jak ziarnka piasku są kładzione na pryzmie, aż wreszcie gdy nachylenie w punkcie X przekracza pewien ustalony próg następuje lawina, która przesypuje piasek z punktu X do punktów sąsiednich Dodajemy jedno ziarnko w przypadkowym miejscu: z i, j= zi, j+ 1 Redystrybucja piasku po przekroczeniu progu: if z > z then z = z 4 c i, j i, j z z = z + 1 i± 1, j i± 1, j = z + 1 i, j± 1 i, j± 1 + absorbujące warunki brzegowe (z=0) na bokach siatki

11 Lawiny rozmiar lawiny rozkład potęgowy

12 Model neurotycznych urzędników Grassbergera Wyobraźmy sobie wielki pokój, wypełniony urzędnikami siedzącymi przy ustawionych rzędami biurkach. Okna w pokoju są otwarte i usytuowane w jednej linii z biurkami. Co jakiś czas na losowo wybrane biurko jest dostarczany dokument (sprawa do rozpatrzenia). Kiedy urzędnik spostrzega, że na jego biurku są aż 4 dokumenty, przekazuje po jednym swoim kolegom z prawej, lewej, z przodu i tyłu. To może spowodować, że jeden z jego sąsiadów będzie miał cztery dokumenty do rozpatrzenia, więc przekaże je dalej. Urzędnicy z krańcowych rzędów będą zaś odpowiednie kartki wyrzucać przez okno.

13 Zadanie (I) wykonaj symulację modelu pryzmy piasku Baka zacznij od małego układu (np. 31x31), dodając ziarenka w przypadkowych miejscach początkowo pustej sitaki wykreśl liczbę ziarenek w układzie w funkcji czasu i sprawdź, kiedy jest osiągany stan stacjonarny po jego osiągnięciu rozpocznij zbieranie danych n/t wielkości lawin i narysuj N(S) liczbę lawin o wielkości S na wykresie log-log i znajdź wykładnik a w prawie potęgowym: N ~ S -a

14 Zadanie (II) Następnie, zbadaj inne warunki początkowe: zacznij od pustej siatki, zrzucaj ziarenka tylko w środku, zrób film pokazujący ewolucję układu (1 klatka 1 krok czasowy) zacznij od superkrytycznej siatki (wszędzie =7), doprowadź układ do stanu stacjonarnego, zrób film pokazujący ewolucję układu (1 klatka 1 iteracja lawin) Niektóre wzory otrzymane w ten sposób, szczególnie dla większyck układów (50x50, 100x100 czy 200x200), mogą być miłe dla oka

15 Przykład: typowy stan stacjonarny kodowanie wysokości za pomocą kolorów stan stacjonarny pryzmy o 200x200 kolumnach dla niestabilnych warunków początkowych odpowiadających z=7 wszędzie

16 Kilka wskazówek Jako że cała sieć z powinna być aktualizowana jednocześnie (nie sekwencyjnie!), to rozsądne jest zrobienie wcześniej jej kopii, aby mieć dostęp do poprzednich wartości podczas aktualizacji z2=z.copy() Rysowanie siatki i skali (tak jak w poprzednim ćwiczeniu): import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib fig=plt.figure() ax=fig.add_subplot(111) ax.set_title('height of the Sandpile') cax = ax.imshow(z, interpolation='nearest') cax.set_clim(vmin=0, vmax=8) cbar = fig.colorbar(cax, ticks=[0,3, 5, 8], orientation='vertical') filename = str('%03d' % t) + '.png' plt.savefig(filename, dpi=100) plt.clf()

17