Symulacja układu sztywnych kul

Transkrypt

1 Symulacja układu sztywnych kul Dawid Toton 5 listopada 4 Streszczenie Opisano program symulujący układ sztywnych kul zderzających się doskonale sprężyście, wykonujących ruch postępowy. Zaprezentowany jest przykładowy otrzymany rozkład prawdopodobieństwa przebywania kul w funkcji odległości w jakiej się znadują. Za pomocą programu można też badać zależność odległości kuli od jej położenia w wybranej chwili w funkcji czasu. 1 Układ. Okresowe warunki brzegowe. Przestrzeń podzielona została na sześciany. W każdym z nich jest tyle samo kul i ich położenia są identyczne. Jeśli więc pewna kula opuszcza komórkę, to od przeciwległej ściany wlatuje jej odpowiednik. Przy takich założeniach, możemy objąć symulacją tylko jedną komórkę, otrzymując jednocześnie warunki brzegowe odpowiadające rozciąganiu się układu w nieskończoność. Brak oddziaływań poza zderzeniami umożliwia dokładne wyznaczanie trajektorii każdej cząstki, niezależnie od zachowania pozostałych. Dzięki temu w każdym kroku symulacji można postąpić w czasie od chwili poprzedniego do najbliżego zderzenia. Kule mają jednakowe masy i zróżnicowane średnice. Program umożliwia wybranie ilości kul i ich średnic. Zależności. Prędkości początkowe kul nadawane są według rozkładu Maxwella: dn v) N = ) 3/ mβ m v β e d v π 1

2 Trzy składowe prędkośći losowane są oddzielnie. Potrzebny jest więc rozkład jednej składowej v prędkości cząsteczek: dn v) mβ f v) = Ndv = mv e β 1) π Symulowane kule będą miały w przybliżeniu taki rozkład prędkości, jeśli f v) dv potraktuje się jako prawdopodobieństwo nadania prędkości składowej v każdej cząstce. Im więcej jest kul, tym otrzymany rozkład mniej odbiega od pożądanego. Chcemy nadać odpowiednio wylosowane prędkości kulom, dysponując generatorem liczb pseudolosowych o rozkładzie jednostajnym. Modelem generatora niech będzie zmienna losowa ξ : Ω [, 1), której dystrybuanta jest równa F ξ x) = x dla x [, 1]. Mamy na celu uzyskanie zmiennej losowej o gęstości rozkładu f v) z równania 1. Pokażemy, że jest nią F 1 f ξ, gdzie v F f v) = f v) dv jest dystrybuantą. Zgodnie z definicją dystrybuanty P X oznacza rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X): F F 1 f ξ = P F 1 ξ, x)) = P ξ F f, x))) f Ponieważ dystrybuanta przyjmuje wartości z przedziału [, 1], możemy napisać F f, x)) =, F f x)). Wiemy ponadto, że dla A, x) [, 1] jest P ξ A) = x. Mamy zatem: F F 1 f ξ = P ξ, F f x))) = F f x) Po każdym losowaniu otrzymujemy prędkość F 1 f ξ), która zostaje nadana jako składowa prędkości kuli. W programie funkcja odwrotna do dystrybuanty wyznaczana jest przez numeryczne całkowanie i odwrócenie przez poszukiwanie argumentu, z wykorzystaniem monotoniczności). Parametr β = 1 k B T rozkładu zależy od temperatury, którą można programowi zadać przed symulacją. Poszukiwanie zderzenia. Bok sześcianów, na które podzielona została przestrzeń, oznaczmy a. Nazwijmy sobie rodziną kuli o współrzędnych r x, r y, r z ) zbiór kul jej odpowiadających włącznie z nią): Potrzebujemy odpowiedzi na pytania: {r x + ka, r y + la, r z + ma) : k, l, m Z} Czy dwie rodziny kul zderzą się w przyszłości, zakładając że po drodze nie zmienią prędkości w innym zderzeniu? Kiedy to nastąpi? Aby móc odpowiedzieć na pierwsze pytanie: Czy i kiedy) zderzą się dane dwie kule?

3 Która para rodzin zderzy się wcześniej niż wszystkie inne? czyli to zderzenie na pewno zajdzie) Dzięki symetrii zagadnienia względem translacji, wystarczy aby rozwiązać pierwszy problem sprawdzić pary kul, w których jedną jest wyróżniona kula z pierwszej rodziny, a drugimi są poszczególne kule z drugiej. Niestety, potrzeba by zbadać nieskończenie wiele par. Konieczne jest zatem ograniczenie ich ilości. Pary kul znacznie odleglejszych od siebie od średniej drogi swobodnej w układzie, dadzą prawie zawsze tak duży czas do ich zderzenia, że kule z tej pary wezmą wcześniej udział w innym zderzeniu. Można więc je pominąć. Można nawet ograniczyć się do sprawdzenia 7 sąsiednich kul albo do tylko jednej pary najbliższej sobie. Abyśmy mogli zastosować wybrane uproszczenie, gęstość kul musi być odpowiednio duża. Poszukajmy warunku na zderzenie dwóch zadanych kul powiedzmy, kul 1 i ). Aby ono nastąpiło, w pewnej chwili t musi być spełniony warunek: r t) = σ 1 + σ ) r t) = x t) x 1 t) oznacza wektor łączący środki kul; σ 1,σ oznaczają ich średnice. Wyraźmy równanie przez znane wartości x 1, = x 1, t ), v 1, = v 1, t ) z obecnej chwili t : Oznaczmy w = v v 1. Mamy równanie kwadratowe: x + v t x 1 + v 1 t) = σ 1 + σ r + t w) σ1 + σ = t w + t r w) + ) r σ 1 + σ ) 4 ) = ) = r w) 4 w r σ 1 + σ ) 4 Jeśli nie ma rozwiązania, <, para kul nie zderzy się. W przeciwnym wypadku możemy obliczyć czas zderzenia: t = r w w Wybraliśmy mniejsze rozwiązanie, bo większe z nich odpowiada stykaniu się kul od odleglejszej strony, co nie odpowiada sytuacji zderzenia się kul nadlatujących z zadanych położeń x 1, x. 3

4 Odpowiedź na ostatnie z postawionych tu pytań wymaga przeprowadzenia jakiegoś przeszukiwania wśród czasów przewidywanych zderzeń. To znalezione zderzenie z pewnością nastąpi. Z jednej z rodzin, które mają wziąść udział w zderzeniu wybierzemy reprezentanta, tak aby obydwie zderzające się kule znajdowały się obok siebie. Umożliwi to prawidłowe obliczenie wektora łączącego środki zderzających się kul. Krok czasowy w symulacji do chwili t znalezionego zderzenia. Bez okresowych warunków brzegowych, aktualizacja położeń byłaby następująca t chwila poprzedniego zderzenia): x t) = x t ) + t t ) v 3) My jednak potrzebujemy przechowywać współrzędne reprezentanta rodziny znajdującego się aktualnie w wyróżnionym sześcianie. Każdą składową położenia musimy poprawić następująco: x x = x a 4) a Współrzędne wszystkich kul mają być tak sprowadzone do sześcianu symulacji. jest doskonale sprężyste. O prędkościach kul po zderzeniu decy- Zderzenie dują: zachowanie lub rozpraszanie energii γ energii początkowej ulega rozproszeniu podczas jednego zderzenia), zachowanie pędu, ograniczenie oddziaływania między kulami do kierunku wektora r łączącego środki kul, prostopadłego do ich powierzchni, wymaganie, by w chwili po zderzeniu kule oddalały się od siebie. Mamy zatem równania v 1, v prędkości kul przed zderzeniem; u 1, u prędkości po zderzeniu): v 1 + v ) 1 γ) = u 1 + u 5) v 1 + v = u 1 + u 6) u 1 v 1 ) r = 7) Oznaczmy ˆr = r r. Równania 6 i 7 spełniają rozwiązania postaci: v 1 = u 1 v 1 = α ˆr ˆr v ) ˆr ˆr v 1 )) v = u v = α ˆr ˆr v 1 ) ˆr ˆr v )) 8) Podstawimy je do równania 5: v 1 + v ) 1 γ) = v 1 + v + v 1 v 1 + v v + v 1 + v 4

5 v 1 v 1 + v v + v 1 + v + γ v 1 + v ) = 9) v 1 ˆrα ˆr v ˆr v 1 )+ v ˆrα ˆr v 1 ˆr v )+α ˆr v 1 ) + ˆr v ) ) +γ v 1 + v ) = 1) α ˆr v 1 ) + ˆr v ) ) α ˆr v 1 ) + ˆr v ) ) + γ v 1 + v ) = 11) Oznaczmy: γ ) v 1 + v c = 1) ˆr v 1 ) ) + ˆr v ) Równanie 11 możemy zapisać: α α + c = Jego rozwiązania: α = 1± 1 4c. Jeśli zmiany prędkości byłyby małe, środki kul po zderzeniu zbliżały by się do siebie. Wybieramy więc rozwiązanie α = c W przypadku sprężystych zderzeń γ = ) otrzymujemy α = 1. Równania 8 można przekształcić do optymalniejszej postaci bez pierwiastkowania podczas obliczania r ): v i = α r r r v j) r v i )) gdzie i, j) = 1, ) lub, 1). Podobnie jest z równaniem 1: 3 Algorytm. γ v 1 + v c = ) r r v 1 ) + r v ) ) Użyte struktury. Niech n oznacza ilość kul w układzie. Program używa następujących obiektów: tablice v i, x i wektorów prędkości i położeń, tablica X i nie redukowanych wg wzoru 4) do wyróżnionego sześcianu wektorów położeń. Aktualizowane są tylko według równania 3. Położenia X i odnoszą się stale do tego samego reprezentanta rodziny, pozwalają więc na śledzenie wybranej kuli. 5

6 K j n kopców 1 użytych, by szybko znajdować najmniejszy czas zderzenia). Każdy element zawiera: czas t ij przewidywanego zderzenia kul i, j oraz numer i jednej z tych kul numer drugiej jest równy numerowi kopca). Każdy kopiec K j jest uporządkowany tak, że na szczycie znaduje się element z najmniejszym t ij. I ij macierz indeksów elementów w kopcach przechowujących wartości t ij. Potrzebna jest, by nie musieć przeszukiwać kopców w celu znalezienia elementu odpowiadającego parze kul i, j. Znajdowanie najbliższego zderzenia. Na początku symulacji kopce zostają wypełnione właściwymi czasami do zderzeń dla każdej pary kul. Później najmniejszy element t ij jest znajdowany przez wybranie najmniejszego spośród elementów minimalnych w K i, i = 1,,..., n czas n). O waściwy porządek w kopcach dbamy podczas modyfikowania czasów i w rzeczywistości to będzie dla komputera bardziej pracochłonne). Kiedy wiemy już, które kule się zderzą: zmieniamy ich położenia odpowiednio do chwili zderzenia obliczamy zderzenie zmieniamy prędkości dwóch kul poprawiamy współrzędne wszystkich kul, by znajdowały się w sześcianie symulacji W tym momencie n spośród przechowywanych czasów może już nie być prawidłowe. Aktualizacja czasów. Niech w zderzeniu biorą udział kule i-ta i j-ta. Postępowanie jest następujące: obliczamy nowe czasy zderzeń t kj dla k=1..n, zapisując je w kolejnych elementach K j burząc strukturę kopca, poprawiając I kj ; czas n), zapisujemy nowe czasy zderzeń t jk = t kj ) dla k=1..n, zmieniając odpowiedni element K k czas log n na aktualizację jednego kopca; łącznie n log n). odbudowujemy kopiec K j czas n log n), jednocześnie poprawiając indeksy w j-tym wierszu I, 1 Kopiec jest drzewem binarnym tak uporządkowanym, że każdy element ma wszystkich przodków od niego mniejszych na rys. przykładowy kopiec)

7 obliczamy nowe czasy zderzeń t ki dla k=1..n, zapisując je w kolejnych elementach K i czas n), zapisujemy nowe czasy zderzeń t ik = t ki ) dla k=1..n, zmieniając odpowiedni element K k czas n log n). odbudowujemy kopiec K i czas n log n), jednocześnie poprawiając indeksy w i-tym wierszu I, 4 Wyniki. Rozkład prawdopodobieństwa odległości między parami. Jedną z wielkości opisujących strukturę układu jest rozkład prawdopodobieństwa przebywania dwóch wybranych kul w danej odległości. Program zlicza podczas symulacji ilość par kul znajdujących się w poszczególnych przedziałach odległości. Zmierzone w ten sposób prawopodobieństwa dzielone są przez odpowiedni rozkład dla gazu doskonałego, z zaniedbaniem stałego czynnika. Wynik prezentowany jest w postaci wykresu w którym skala na osi względnej gęstości prawdopodobieństwa jest dobrana tylko tak, aby zmieścił się cały wykres). Dla dużych gęstości otrzymujemy charakterystyczną zależność. Odległość od wyróżnionego położenia w funkcji czasu. Za pomocą programu można zbadać zależność xt) xt) odległości kuli w chwili t od jej położenia w chwili t w funkcji czasu. Najpierw zostaje wybrana kula przez wskazanie jej na ekranie). W chwili ropoczęcia rejestrowania, zapamiętywane jest położenie X = X t ) wybranej kuli. Co zadany okres czasu upływającego w symulowanym układzie obliczana i zapamiętywana jest odległość X t) X wraz z aktualną wartością symulowanego czasu. Postać zależności. Podzielmy czas na odcinki t. Na potrzeby tego wyprowadzenia zamieńmy ruch kuli w każdej współrzędnej x i, tak by w okresach t kula pokonywała odległość x zmieniając współrzędną na x i + x lub x i x z równym prawdopodobieństwem. Współrzędna kuli wyrażona jako liczba vt całkowita ma rozkład Bernoulliego. Ilość kroków wynosi x, gdzie t jest czasem x obserwacji. Wariancja zmiennej x wynosi σb = vt 1 x 4 Ostatni czynnik pochodzi od tego, że prawdopodobieństwa przejść w prawo i w lewo wynoszą 1. Przechodząc do granicy otzymujemy rozkład Gaussa o odchyleniu któremu nadamy wymiar odległości): σ = σ B x = 1 vt x Dokładniej przy każdym zderzeniu kul, które następuje po upłynięciu kolejnej wielokrotności zadanego okresu. 7

8 Łączymy trzy niezależne rozkłady prawdopodobieństwa takie jak właśnie otrzymany) powstaje rozkład wektora. Gęstość prawdopodobieństwa osiągnięcia współrzędnej x jest równa: f x) = 1 πσ ) 3 e x σ Przechodząc do współrzędnych sferycznych otrzymujemy prawdopodobieństwo, że odległość środka kuli od początku układu mieści się w przedziale H: P x H) = 4π Obliczmy oczekiwaną odległość: H 1 πσ ) 3 r e r σ dr r = 4π + r ) 3 ) 3 1 r e r 1 σ 4 vt x σ dr = 4π πσ πσ = 8π Jeśli ograniczymy ruch kuli do płaszczyzny, otrzymamy inny promień: + ) r d = π r re r σ dr = σ u d e u du = σ e au) du πσ da = a=1 = σ d da ) 1 4 πa = σ 8 π = 1 vt xd = r 16 π 4 xd x W obydwu rozważanych przypadkach otrzymaliśmy zależność: Literatura xt) xt ) t t ) [1] M. P. Allen, J. D. Tildesley, Computer simulation of liquids. 8