MODELOWANIE MIKROGEOMETRII POWIERZCHNI POLEROWANEJ STOPU MAGNEZU

Transkrypt

1 MODELOWANIE MIKROGEOMETRII POWIERZCHNI POLEROWANEJ STOPU MAGNEZU Andrzj GOŁĄBCZAK 1, Andrzj KONSTANTYNOWICZ 1, Marcin GOŁĄBCZAK 1. CELE MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO POWIERZCHNI Istnij wil sposobów podjścia do modlowania matmatyczngo struktury gomtrycznj powirzchni obrabianych mchaniczni. Zalżą on przd wszystkim od clów stawianych przd modlm, którymi są np.: ocna jakościowa i ilościowa struktury gomtrycznj powirzchni ukształtowanych w procsach tchnologicznych, możliwość opisu zjawisk powirzchniowych zachodzących w tych procsach, ocna zakrsu i skali ich występowania, prognozowani wyników ilościowych na podstawi zadanych paramtrów wjściowych procsu obróbki [1, 5 7]. W artykul zaproponowano modl matmatyczny mający spłnić następując zadania: odzwircidlać w sposób ilościowy aspkty tchnologiczn powirzchni stopów lkkich polrowanych do najwyższj klasy chropowatości, w tym paramtry statystyczn: R v, R p, R t, R a, R q, R skw, R kurt oraz morfologię powirzchni, włączni z możliwością odtworznia jj charaktrystycznj tkstury; umożliwiać prcyzyjn modlowani stopnia rozwinięcia powirzchni, bz zasadniczgo wpływania na paramtry statystyczn oraz wnikliwą ocnę mchanizmów procsu abrazji powirzchni w mikro- i nanoskali; umożliwiać idntyfikację paramtrów, wynikającą z posiadanj aparatury badawczj (pomiar D i 3D), stosowanych mtod odwzorowania powirzchni, np. profilomtr lub mikroskop AFM; umożliwiać wryfikację doświadczalną przwidywań ilościowych. 1 Politchnika Łódzka, Katdra Tchnologii Maszyn, ul. Stfanowskigo 1/15, Łódź Politchnika Łódzka, Instytut Obrabiark i TBM, ul. Stfanowskigo 1/15, Łódź 79

2 . ZAŁOŻENIA I PROCEDURY DO MODELOWANIA POWIERZCHNI ZŁOŻONEJ Koniczność odzwircidlnia (wygnrowania) przz modl konkrtnj powirzchni, a ni tylko ujęcia wskaźników statystycznych, przy pozostawiniu jdnoczśni bardzo dużgo stopnia swobody co do konkrtngo kształtu, skłania do wyboru gnralngo sposobu jakim jst użyci rozmaitości ciągłj, nikoniczni różniczkowalnj, utworzonj z lmntów będących rozmaitościami różniczkowalnymi (gładkimi) [8]. Używany jst równiż trmin powirzchnia złożona, który jdnakż ma nico szrsz znaczni niż to, któr okrśla powirzchnię proponowaną w tj pracy. Rolę lmntu wiodącgo, okrślającgo własności lokaln rozmaitości ciągłj, z którgo zbudowana jst modlowana powirzchnia, spłnia stożk rgularny, o wirzchołku lżącym nad środkim symtrii podstawy i podstawi liptycznj (w szczgólności kołowj) z względu na swoj własności topologicz (rys. 9): jgo powirzchnia jst rozmaitością różniczkowalną (z wyjątkim wirzchołka) [8], jst bryłą prostokrślną [3], na którj można utworzyć dwi rodziny linii ortogonalnych, co pozwala jdnoznaczni rozłożyć procs powirzchniowy na lmnty składow, posiada możliwość dformacji bz zmiany objętości, co pozwala modlować nizalżni od sibi paramtry statystyczn powirzchni, jj rozwinięci i masową wydajność abrazji. Ta ostatnia własność wynika z bardzo ważnj cchy brył krślonych pękim prostych (równiż wilościanów). Objętość takij bryły okrślona zalżnością: V = 1 S B h (1) 3 ni zalży od kształtu powirzchni stanowiącj podstawę takij bryły, ni zalży od tgo, czy wirzchołk znajduj się nad środkim ciężkości podstawy (bryła ni musi być rgularna), a nawt, czy jst położony nad podstawą co jakościowo ilustruj rys

3 Rys. 1. Stożki rgularn, o wirzchołku lżącym prostopadl nad środkim symtrii podstawy, dformowalnj od koła do lipsy o dowolnj mimośrodowości, z założnim stałgo pola podstawy Zapis symboliczny dfiniujący opisany modl, objmuj zarówno obikty składając się na powirzchnię wraz z opisującymi j paramtrami, jak i sposób oprowania nimi i ma postać: {( P : L, X, Y, N, N ),{ C : θ, ( h : h, h ),, α, }, [ U : O, F, F N ]} S =, () x y gdzi: P - (pojdynczy obikt) podstawa płaska gnrowanj powirzchni, L - umowny poziom zrowy modlowanj powirzchni, X, Y - wymiary liniow, N x, N y - rozmiary siatki dyskrtnj punktów gnracji powirzchni; m C - {zbiór obiktów} stożków o paramtrach: θ - kąt rozwarcia stożka (aprtura), h - wysokość stożka, która moż być zadana jdnoznaczni, lub być gnrowana wdług rozkładu logarytmonorma-lngo o paramtrach: - kscntryczność (mimośrodowość) podstawy stożka, α - kąt obrotu podstawy stożka względm współrzędnych podstawy powirzchni, v x y c U - [sposób ułożnia] układ stożków na powirzchni: 81

4 O - orintacja położnia stożków, dodatnia (stożki utworzon na powirzchni) lub ujmna (stożki zagłębion w powirzchnię) od umowngo poziomu L, F x, F y - rozkład prawdopodobiństwa położnia współrzędnj na powirzchni, N c - liczba stożków. Stożki, z których utworzona jst powirzchnia modlowana, mają jdnakową rozwartość. Ni jst to sztuczn ograniczni możliwości modlu, al wyraz, potwirdzongo ksprymntalni (rys. 9) przjawu jdnorodności przstrznnj paramtrów procsu tchnologiczngo polrowania na modlowanj powirzchni. Stożki t można dformować, czyli od podstawy kołowj przchodzić do liptycznj. Przy założniu stałości pola powirzchni podstawy, stożki t zachowają równiż stałą objętość, przy znaczącj różnicy w polu powirzchni bocznj. Ma to znaczni przy nizalżnym modlowaniu rozwinięcia powirzchni i jj paramtrów statystycznych oraz dla ocny kształtowanj mikrogomtrii powirzchni przy zadanych warunkach jj tworznia z stożków. Stożki położon są na powirzchni w taki sposób, ż w znacznj mirz przkrywają się (rys. ). Wzajmn przcinani się pobocznic S L stożków na tworzonj powirzchni zawsz gnruj lini przcięć w postaci hiprbol o wilkości i nachylniu pod kątm zalżnym od wzajmnj wysokości przcinających się stożków. Równiż pomiar profilomtrm powirzchni utworzonj z stożków, daj linię profilu składającą się z odcinków hiprbol (np. rys. 7 i rys. 10). Sposób wzajmngo przkrywania się stożków, czyli sposób tworznia z stożków modlowanj powirzchni, okrślony jst rgułą: dla stożków dodatnich nadbudowanych na powirzchni okrślanj jako umowny poziom odnisinia (rys. ), dla dango punktu P(x i, y i ) siatki powirzchni przyjmuj się wartość najwyżj położonj powirzchni bocznj stożka, który przkrywa się z innymi w tym węźl: ( ) P( xi, yi ) = MAX k N L + S( xck, yck, xi, yi ) (3) c dla stożków ujmnych zagłębionych od powirzchni okrślanj jako umowny poziom odnisinia, dla dango punktu siatki powirzchni przyjmuj się wartość najniżj położonj powirzchni bocznj stożka, który przkrywa się z innymi w tym węźl: ( ) ( x, y ) MIN L S( x, y, x y ) P c, i i = k N Ck Ck i i (4) 8

5 Rys.. Koljn tapy tworznia powirzchni poprzz przkrywając się stożki, ulokowan na umownj płaszczyźni odnisinia. Wygląd z cntrum gnrowango obszaru dla koljno: 50, 100, 00 i 400 stożków Z rysunku wynika, ż przy 00 nałożonych stożkach znacząco zmnijszyły się obszary nipokryt, a jdn z nowych stożków przykrył uprzdnio wygnrowan stożki o mnijszj wysokości. Przy 400 stożkach powirzchnia została utworzona całkowici, a zgrupowania pobliskich, niwilkich stożków zaczęły tworzyć charaktrystyczn, spłaszczon, lkko pofalowan obszary (rys. 6. i rys. 9). Równani stożka liptyczngo, o wysokości prostopadłj do podstawy ma postać [3]: ( x x ) ( y y ) ( z h) X C C + = 0 (5) r r h Y gdzi: x C, y C, współrzędn środka stożka, r X, r Y promini, h wysokość. Równani okrślając rgularny stożk liptyczny dowolni obrócony wokół wysokości jako osi, zapisan jst w tzw. pirwszj formi kanonicznj: h z = h r A ( x x ) + B ( y y ) + C ( x x )( y y ) C (6) C C C 83

6 ( α ) cos A = + sin 1 sin ( α ) B = + cos 1 C = cos ( α ) ( α ) ( α ) sin( α ) (7) Taki zapis pozwala na bardzo fktywn oblicznia, pozwalając uniknąć obliczania funkcji trygonomtrycznych wwnątrz funkcji krślącj stożk, a zatm, przy posiadanych możliwościach obliczniowych, fktywn gnrowani różnych powirzchni, niraz złożonych z dużj liczby stożków. Współczynnik rozwinięcia powirzchni Ru jst stosunkim pola powirzchni bocznj do pola powirzchni podstawy stożka i dla stożka rgularngo o podstawi liptycznj ma postać: Ru = π 1+ r h 1 E r 1+ 1 h gdzi: E( ) - zupłna całka liptyczna drugigo rodzaju, ni mająca postaci analitycznj [9]. Kody wszystkich obliczń zapisan zostały w języku Visual Basic będących uzupłninim arkusza kalkulacyjngo Excl firmy Microsoft, w którym zostały wykonan oblicznia i wykrsy. 3. OBLICZANIE POLA POWIERZCHNI Z DANYCH DYSKRETNYCH Wszlki oblicznia związan z rozwinięcim powirzchni, zarówno w modlu matmatycznym jak i dla danych doświadczalnych, wymagają rozwiązania zadania oblicznia pól powirzchni, których analityczna postać jst ni znana. Znan są natomiast wartości wysokości ponad umowny poziom, okrślon w węzłach siatki prostokątnj, w szczgólności kwadratowj. Siatka taka daj naturalny podział płaszczyzny umownj podstawy na prostokąty (kwadraty), a powirzchni na prostokąty (kwadraty) krzywoliniow, któr są w ogólności niplanarn. Podjścim szroko stosowanym w grafic komputrowj i mtodach MES (Mtody Elmntów Skończonych), jst podział powirzchni na trójkąty, z dfinicji planarn, których pol powirzchni jst połową wartości iloczynu wktorowgo tworzących j wktorów []. (8) 84

7 Rys. 3. Schmat do obliczania pola powirzchni danj w dyskrtnych węzłach mtodą triangulacji Korzystając z przytoczonj rguły, dla siatki kwadratowj (rys. 3), jżli, powirzchni opisują równania: X = Y = ( Z Z ) + ( Z Z ) + S = (9) A n+ 1, n+ 1 n, n+ 1 n, n+ 1 n, n ( Z Z ) + ( Z Z ) + S = (10) B n+ 1, n n, n n+ 1, n+ 1 n+ 1, n Stąd współczynnik rozwinięcia powirzchni dla lmntarngo dltoidu (kaflka) wynosi: Ru D 1 S = D = ( ( Zn+ 1, n+ 1 Zn, n+ 1) + ( Zn, n+ 1 Zn, n ) + + ( Zn+ 1, n Zn, n ) + ( Zn+ 1, n+ 1 Zn+ 1, n ) + ) Kidy współrzędn z wszystkich punktów są równ, czyli dla powirzchni płaskij, powirzchnia kaflka wynosi, a współczynnik rozwinięcia powirzchni Ru wynosi 1, więc wzory (10) i (11) są formalni poprawn. Tak szczgółow podjści do obliczania współczynnika rozwinięcia powirzchni, zarówno w modlu jak i uzyskanj ksprymntalni, ma swoj uzasadnini w tym, ż dla powirzchni modlowj ogóln rozwinięci powirzchni jst taki samo jak dla pojdynczgo stożka, z względu na prostokrślność stożka. (11) 85

8 4. IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELU Przdstawiony w artykul przykład gnracji powirzchni modlowj został wykonany dla powirzchni zdfiniowanj w oparciu o sić działań przdstawioną na rys. 4, wykonanych dla rzczywistj powirzchni przdstawionj na rys. 9. Rys. 4. Zasady idntyfikacji paramtrów modlu z ksprymntalnj powirzchni badanj mikroskopm AFM i siatka działań do gnracji powirzchni modlowj Tabla 1. Paramtry modlowanj powirzchni i rozkładu stożków Modlld surfac limits µm Ara µm Modlld surfac dimnsions Nominal lattic Total X MIN X MAX Y MIN Y MAX X Y Strip δx 0.00 δy 0.00 Nods Total surfac of cons' gnration Tils 500 Til Diagonal x y Ara Auxillary 067 Paramtry w tab. 1 wybrano tak, aby można było otrzymaną powirzchnię porównać z powirzchniami otrzymanymi ksprymntalni, bz skalowania, co mogłoby znikształcić zarówno paramtry statystyczn jak i współczynnik rozwinięcia. Stożki na rys. 5 wygnrowano w nico większym polu (tab. 1), objmującym pwin margins dla uniknięcia fktów brzgowych na obsrwowanym polu, powodujących zmnijszni się wartości śrdnij powirzchni na brzgu. Przyjęto zatm margins, który jst równy prominiowi podstawowgo stożka kołowgo. Rozpiętość krzyżyków na rys. 5 jst proporcjonalna do promini stożków na umownj płaszczyźni, a pol 86

9 jasnobłękitn jst obrysm umownj płaszczyzny gnracji powirzchni. Przykład wygnrowanj powirzchni przdstawiono na rys. 6, dla którj punktm wyjścia był stożk kołowy o zadanj aprturz, przkształcony w stożk liptyczny lżący poziomo. Paramtry pojdynczgo stożka do gnracji powirzchni przdstawiono w tab.. Tabla. Paramtry pojdynczgo stożka do gnracji powirzchni z rys. 6 Rgular (right) con paramtrs Bas r µm nm Bas ara µm Aprtur (opning angl) Man µm nm Latral ara µm h/r Hight h Varianc 8 µm nm Log-Normal Rugosity 1.5 angl θ Dviation µm 8.58 nm distribution rad Shapd con paramtrs Eccntricity Bas axs a µm nm Latral ara Volum (for qual bas ara) b µm nm Dirction α rad A Rugosity µm µm 3 Dirctional (clockwis) 9 B Proportions b/a cofficints C /4 19/5 459/604 Y 3.5 [µm] Surfac sprad of cons X [µm] 3.5 Rys. 5. Rozkład środków stożków, wygnrowany losowym rozkładm równomirnym dla osi X i Y Do badań wykonano próbki o śrdnicy 0 mm i grubości mm z stopu magnzu AZ31, pozyskango z firmy TECHNO-COAT Obrflachntchnik GmbH, Zittau, Nimcy. Procs szlifowania i polrowania próbk z stopu magnzu ralizowano na dwutarczowj szlifirko-polrc Phonix Bta produkcji firmy Wirtz Buhlr. Objmował on szlifowani na krążkach ścirnych SiC P600 i SiC P100, dwutapow polrowani w zawisini diamntowj Buhlr Mtadi 3 µm (I tap) i zawisini Al O 3 Buhlr Mastrprp 0,05 µm (II tap) [5]. Podstawowym wymaganim tgo procsu tchnolo-giczngo było przygotowani próbk o możliwi małj chropowatości powirzchni oraz usunięci z ich warstwy wirzchnij (WW) produktów zaniczyszczających. 87

10 Rys. 6. Powirzchnia wygnrowana wg danych z tab. 1 i tab. oraz rozkładu środków stożków (rys. 5) Z [µm] Roughnss profil along choosd lin X [µm] 3.0 Z [µm] Roughnss profil along choosd lin X [µm] 3.0 Z [µm] Roughnss profil along choosd lin X [µm] 3.0 Rys. 7. Przykładow lini profilów chropowatości powirzchni wygnrowanj na rys. 6 Tabla 3. Paramtry statystyczn i współczynnik rozwinięcia powirzchni wygnrowanj na rys. 6 R P R V R T µ R a R q Shap Pak R skw R kurt Ru Roughnss hight histogram Histogram class Baring curv Rys. 8. Histogram chropowatości i krzywa nośności powirzchni z rys. 6 88

11 Rys. 9. Wizualizacja powirzchni polrowango stopu magnzu, zbadanj mikroskopm AFM Z [µm] Roughnss profil along choosd lin X [µm] 3.0 Z [µm] Roughnss profil along choosd lin X [µm] 3.0 Z [µm] Roughnss profil along choosd lin X [µm] 3.0 Rys. 10. Przykładow, wybran lini profilów chropowatości powirzchni pokazanj na rys. 9 Tabla 4. Paramtry statystyczn i współczynnik rozwinięcia powirzchni pokazanj na rys. 9 R p R v R t R a R q Shap Pak R sk R ku Ru Roughnss hight histogram Histogram class Baring curv Rys. 11. Histogram chropowatości i krzywa nośności dla powirzchni z rys. 9 89

12 Podstawą do ocny nanostruktury WW próbk z stopu magnzu AZ31 były profilogramy powirzchni w układzi przstrznnym 3D, któr uzyskano przy użyciu mikroskopu sił atomowych (AFM) typu VEECO Multimod 5, firmy VEECO, USA. Wykonano profilogramy polrowanj powirzchni stopu magnzu, którą podzilono siatką na pola pomiarow. Każd pol pomiarow zawirało 51 x 51 = 6144 punktów pomiarowych. Z względu na możliwości wizualizacji w arkuszu Excl, jdnorazow pol obsrwacji mało rozmiary 151 x 151 = 801 punktów pomiarowych, dla których wykonano oblicznia na modlu matmatycznym. WNIOSKI Przprowadzon badania mikrostruktury gomtrycznj powirzchni polrowango stopu magnzu AZ31 i badania numryczn przdstawiongo modlu potwirdziły jgo bardzo dobrą przydatność w modlowaniu powirzchni o zadanym stopniu rozwinięcia. Rozbiżności dla przykładowych powirzchni (rys. 6 i rys. 9) były niwilki i wyniosły 0,0073, co przy dobrj zgodności pozostałych paramtrów statystycznych i gomtrycznych (tab. 3 i tab. 4), nalży uznać za zadowalając. Największ rozbiżności wystąpiły natomiast w modlowaniu rozkładu (histogramu) wysokości chropowatości (rys. 8 i rys. 11). Szroki możliwości opracowango modlu, widoczn w liczbi jgo stopni swobody, uzasadniają rozwijani tj koncpcji modlowania struktury gomtrycznj powirzchni oraz ksprymntalną wryfikację modlu w innych procsach obróbki ubytkowj. LITERATURA [1] ADAMCZAK S., Pomiary gomtryczn powirzchni. Warszawa, WNT, 007. [] ANTONIEWICZ J., Tablic funkcji dla inżynirów. Warszawa, PWN, [3] BORSUK K., Gomtria analityczna wilowymiarowa., Warszawa, PWN, [4] GOŁĄBCZAK M., Polrowani stopów magnzu. W: Wydawnictwo Uczlnian Politchniki Koszalińskij, Koszalin, 009, [5] GRIFFITHS B., Manufacturing Surfac Tchnology. London, Pnton Prss, 001. [6] GRZESIK W., Wpływ obróbki skwncyjnj na topografię powirzchni stali utwardzonj. W: Mchanik, nr 5-6, 014, [7] OCZOŚ K., LUBIMOW V., Struktura gomtryczna powirzchni. Rzszów, Oficyna Wydawnicza Politchniki Rzszowskij, 003. [8] SCHWARTZ L., Kurs analizy matmatycznj. Warszawa, PWN, [9] WHITEHOUSE D. J., Handbook of Surfac Mtrology. Institut of Physics, Bristol,