Laboratorium Technik Obrazowania

Transkrypt

1 Laboratorium Techni Obrazowania Krzyszto Kacpersi Zała Fizyi Meycznej, Centrum Onoloii - Instytut im. Marii Słoowsiej-Curie

2 Dysretyzacja problem liniowy Problem: H Zmierzone Macierz Rozła projecje ane systemu atywności niewiaoma Uła równań liniowych i h i prawopoobieństwo etecji otonu z vosela i obietu w piselu etetora N i =,2,,D h i i Rozmiary obietów: : ~ 00x00x00 : ~ 00x00x00 H: ~ 0 6 x0 6

3 Metoy statystyczne Problem estymacji: H Próba statystyczna wetor losowy Macierz systemu ana stała Parametry moelu zmienna szuana Znaleźć wetor parametrów ˆ - estymator, tóry najlepiej pasuje o zmierzonej próby losowej Metoy ryteria wyznaczania estymatorów: Metoa momentów Metoa najmniejszych waratów ˆ : ˆ N h i ar min i D ˆ i E[ N ] i h i i 2 FBP, ART WLS Metoa najwięszej wiaryoności maximum lielihoo ML ˆ ar max P ; MLEM

4 Pożąane cechy estymatorów: Metoy statystyczne nieobciążoność zoność ˆ E[ˆ] ^ eetywność eˆ var ˆ max var ˆ e Twierzenie nierówność Cramera-Rao: Wariancja owolneo estymatora nieobciążoneo var ˆ i ln P, E i i I var ˆ i 2 max e i ˆ spełnia nierówność: Estymator masymalnej wiaryoności jest estymatorem nieobciążonym, zonym, o masymalnej eetywności I inormacja Fishera

5 Statystya rozpaów promieniotwórczych Śrenia liczba zliczeń w piselu etetora: Rozła Poissona prawopoobieństwa zliczeń : i Funcja wiaryoności : ˆ ar max P ; MLEM

6 Metoa ML-EM Ja obliczyć estymator masymalnej wiaryoności? Alorytm EM expectation maximisation: Dempster, Lair, Rubin 977 Estymacja na postawie nieompletnych anych statystycznych ro E: s i liczba otonów wyemitowanych z vosela i zarejestrowanych w piselu etetora ane ompletne Oblicz wartość oczeiwaną uncji wiaryoności: ro M: Kolejną estymację wybierz jao: ˆ n ar max E[ Można poazać, że alorytm EM zwięsza uncję wiaryoności w ażym rou, tzn. P ; ˆ P ; ˆ n n N i s i E[ i ln P s; s ; ˆ n ] s ; ˆ E[ s ] h i ln P s; n ] i i

7 Metoa ML-EM Rozwiązanie - wzór iteracyjny: n n D h D h N j h j n j Nowa estymacja obrazu Poprzenia estymacja obrazu Norma Zmierzona projecja Estymowana projecja Śrenia ważona po wszystich projecjach

8 Reonstrucja iteracyjna ML-EM Obraz początowy n-ta estymacja Projecje estymacji Projecja nie Zbieżność? Projecja wsteczna Porównanie N j h j n j ta Obraz zreonstruowany Zmierzone projecje

9 Reonstrucja iteracyjna ML-EM Iteracje: Funcja wiaryoności: Pr ; ˆ n E[ D ] Pr D! ; ˆ exp E[ n ] lo[pr ] -.0E E E E[ ] N i h i n ˆ i -2.5E+06 iteracja

10 Metoa ML-EM - właściwości D N j n j j D n n h h h

11 MLEM vs FBP analityczne Filtrowana projecja wsteczna FBP oparta na transormacji Fouriera liniowa szyba załaa uproszczony moel izyczny arteaty prążowe przy małej liczbie zliczeń statystyczne iteracyjne Metoa ML-EM uwzlęnia statystyczny charater zmierzonych anych pozwala uwzlęnić ołany moel izyczny znacznie lepsza jaość obrazu mniejszy szum nieliniowa Wolna; wymaa użej mocy obliczeniowej

12 MLEM vs FBP FBP MLEM FBP + iltr MLEM + iltr 30 min 9 iter. 25 iter. 5 min

13 Reularyzacja obrazów Surowe metoy reonstrucji zarówno analityczne ja i statystyczne ają zwyle obraz wysoce zaszumiomy. Potrzebne są metoy reucji szumu, zwyle osztem możliwie niewielieo poorszenia zolności rozzielczej ostrości obrazu. Filtrowanie w ziezinie współrzęnych obrazu lub częstotliwości przestrzennych - w ziezinie częstotliwości przestrzennych - w ziezinie współrzęnych obrazu splot z uncją jąrem iltującą - post-iteracyjne - śróiteracyjne Wyonanie niewieliej liczby iteracji Reonstrucja statystyczna MAP maximum a posteriori

14 Filtrowanie W ziezinie współrzęnych obrazu W ziezinie częstotliwości FFT. FFT -

15 Filtrowanie Post-reonstrucyjne: D N j n j j D n n h h h Mięzy-iteracyjne: D N j n j j D n n h h h inal inal w n w

16 Tylo ilrt rampowy FBP - reularyzacja x,y 2 0 F, Namierny szum P Filrt Butterwortha, c =0.25 N Filrt olnoprzepustowy Butterworth: Shepp-Loan x,y W 2 c 2 W sinc rect c 2 0 F W P, c W 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Ramp Butterworth Shepp-Loan

17 Reularyzacja - reonstrucja MAP Maximum a Posteriori ar max ˆ P P P P P P P D N j n j j D n n U h h h exp U Z P j i j i ij w V U, 2 x x V Funcja osztu Gibbsa: Alorytm MAP: MAP: ML: ; ar max ˆ P } lo ar max{lo ˆ P P

18 Przyspieszanie alorytmów iteracyjnych Alorytm OSEM Orere Subsets Expectation Maximisation ML-EM OSEM RBI - EM RAMLA P zmierzonych projecji zielimy na K pozbiorów zwyle równej wielości, rozłącznych Pozbiory powinny być zrównoważone być reprezentatywną próbą pełneo zbioru projecji Obliczając estymację obrazu w n-tej iteracji używamy tylo projecji z -teo pozbioru szybość zbieżności jest prawie ientyczna ja przy wyorzystaniu pełneo zbioru projecji n przyspieszenie liczba pozbiorów projecji ip n h i ip h i N j h i ij,2,..., K j

19 Przyspieszanie alorytmów iteracyjnych Alorytm OSEM Orere Subsets Expectation Maximisation ML-EM OSEM Problemy: Bra warancji zbieżności; możliwe cyle perioyczne Możliwe zerowanie voseli w obszarach o b. małej liczbie zliczeń Problemy przy niezrównoważonych pozbiorach n ip n h i ip h i N j h i ij,2,..., K j

20 Eety izyczne wpływające na obrazowanie Osłabienie promieniowania y Rozproszenia s Funcja opowiezi olimatora/etetora * * x iealny Osłabienie + rozmycie olimatora + rozproszenia

21 Eety izyczne wpływające na obrazowanie Osłabienie promieniowania Rozproszenia Funcja opowiezi olimatora/etetora FBP ieał y s * * x iealny rozmycie olimatora Osłabienie + rozmycie olimatora

22 Oziaływanie promienoiwania w tanach 40 ev

23 Osłabienie promienoiwania w tanach 40 ev 0,9 5 ev 0,8 0,7 N/N0 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, [cm]

24 Osłabienie promienoiwania w tanach 0, PET SPECT N/N0 0,0 0,00 40 ev 5 ev 0,000 [cm]

25 Korecja osłabienia PET Osłabienie promieniowania : s y 5 ev l Zmierzone projecje: x p, s exp x', y' l' x, y exp x', y' l' x, y l l 5 ev Czynni orecji zmierzony np. w CT

26 Korecja osłabienia - SPECT Zmierzone projecje: p, s exp x ', y' l' x, y l l s y l x Reonstrucja Zreonstruowany obraz: Korecja osłabienia nietrywialna ˆ x, y [ p, s, x, y] x, y -Mapa współczynniów osłabienia znana Do nieawna nie był znany wzór na owrotną transormatę Raona z osłabieniem Noviov 2000 Sompliowany wzór Silne wzmacnianie szumów!

27 Korecja osłabienia metoa Chana Metoa przybliżona post-reonstrucyjna x, y -Mapa współczynniów osłabienia znana y l x Korecja rzęu zero: Korecja rzęu n: Oblicz projecję n- Oblicz błą - n- aa Zreonstruuj obraz błęu n = n- + TF Rec - n-

28 Korecja otonów rozproszonych Metoa TEW Triple Enery Winow S scatter S H S 2 L

29 Reonstrucja iteracyjna moelowanie eetów izycznych H h i prawopoobieństwo etecji otonu z vosela i obietu w piselu etetora i Wszystie eety izyczne można uwzlęnić w macierzy systemu H Attenuation correction AC Scatter correction Collimator resolution moellin Collimator-etector response moellin Resolution recovery

30 Reonstrucja iteracyjna moelowanie eetów izycznych H Jaość reonstucji Czas obliczeń Liczba elementów moelu

31 Implementacja alorytmów iteracyjnych Obliczanie projecji i Ray tracin Oparte na obrotach obrazu Obliczenie macierzy systemu precompute + Fast iterations Lare RAM require Slow isc access compute on the ly + Less RAM require iterations Slow iterations

32 Ocena jaości obrazów Problem złożony lasyiacja estymacja Parametry ilościowe: Optymalnie: Miary jaości onoszące się o onretneo problemu liniczneo Zolność rozzielcza ontrast Poziom szumu: Wariancja; współczynni zmienności Śreni błą waratowy Wimo mocy; SNR Analiza ROC Receiver Operatin Characteristics Obserwatorzy numeryczni Obserwator anałowy Hotellina Metoy statystyczne są nieliniowe Parametry ilościowe zależą o obrazu

33 Ocena jaości obrazów Otworzenie synału Zolność rozzielcza: Oryinał y max atywność 2 y max FWHM x Reonstrucja Szeroość połówowa FWHM Full With at Hal Maximum Dla uncji Gaussa: FWHM 2.35

34 Ocena jaości obrazów Otworzenie synału Kontrast: tło C NL NB NB NL śrenia amplitua w obszarze obietu uza, eetu obiet NB śrenia amplitua w obszarze tła Współczynni otworzenia ontrastu: Contrast recovery coeicient CRC C C rec or

35 Ocena jaości obrazów Poziom szumu: Śrenie ochylenie stanarowe: la pojeynczeo vosela M j j M 2 Po zespole statystycznym M opiach obrazu różniących się realizacją szumu Współczynni zmienności: Coeicient o Variation COV Śreni COV na wybranym obszarze: COV L COV NL

36 Ocena jaości obrazów Poziom szumu Przybliżenie: Dla obszaru o jenoronej atywności śrenie ochylenie stanarowe i wartość śrenią możemy liczyć po obszarze na jenym obrazie, zamiast po M opiach obrazu zespole statystycznym Śrenie ochylenie stanarowe: Współczynni zmienności: Coeicient o Variation

37 Ocena jaości obrazów synał + szum: Śreni błą waratowy: il rec i i MSE or 2 il i or 2 Stosune synału o szumu SNR, Stosune ontrastu o szumu CNR:

38 ontrast/crc Kompromis: rozzielczość - szum; rzywe ontrast-szum Goo system Ba system poziom szumu

39 Krzywe ontrast-szum

40 Krzywe ontrast-szum HR 30 min. HR 0 min. HS9 30 min. HS9 0 min.

41 Metooloia ROC Ocena jaości obrazu oparta na ryterium suteczności ianostycznej, onosząca się o onretneo problemu liniczneo Obiet Metoa Metoa 2 Złoty stanar Klasyiacja Obraz normalny Patoloia Analiza ROC Receiver Operatin Characteristics

42 Metooloia ROC Obiet Metoa Metoa 2 l l 2 l >l c Pró ecyzyjny Obraz normalny Patoloia

43 Metooloia ROC Możliwe wynii: TP true positive TN true neative FP alse positive FN alse neative

44 Metooloia ROC Możliwe wynii: TP true positive TN true neative FP alse positive FN alse neative Krzywe ROC Receiver Operatin Characteristics Miara jaości metoy: AUC area uner curve

45 Nowe technoloie sprzętowe w meycynie nulearnej