Laboratorium Technik Obrazowania
|
|
- Helena Cichoń
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Laboratorium Technik Obrazowania Krzyszto Kacperski Zakład Fizyki Medycznej, Centrum Onkologii - Instytut im. Marii Skłodowskiej-Curie
2 Gamma kamera
3 Funkcja odpowiedzi na źródło punktowe d T D Zdolność rozdzielcza: FWHM 2,35 r Detektor idealny W dobrym przybliżeniu: d 2 gdzie: 2 2 r PSF ( r, d) exp 2 2 d 0 d Detektor rzeczywisty D T 0 własna zdolność rozdzielcza detektora
4 Funkcja odpowiedzi na źródło punktowe 1,5 cm 9 cm 20 cm 72 cm Detektor jak najbliżej pacjenta!
5 Kolimator penetracja
6 Lokalizacja punktu oddziaływania kamera Angera Rejestracja punktu oddziaływania (kamera analogowa): X x x x L Własna zdolność rozdzielcza detektora (intrinsic resolution): 3-5 mm
7 Lokalizacja punktu oddziaływania Rejestracja punktu oddziaływania (kamera cyrowa): ADC ADC ADC Szybki algorytm lokalizacji (FPGA) ADC
8 Jednorodność pola
9 Kontrola jakości jednorodność pola Tablice korekcji
10 Kontrola jakości jednorodność pola Parametry ilościowe: Integral uniormity: Dierential uniormity: IU Max Max pixel pixel Min Min pixel pixel *100% DU Max różnica między sąsiednimi pixelami *100% Max pixel Powinno być: IU < 5%
11 Kontrola jakości jednorodność pola
12 Kontrola jakości jednorodność pola Do korekcji
13 Gamma kamera szybkość zliczeń Typowa dawka 99m Tc: 500 MBq Z tego w polu widzenia kamery: Absorbcja/ rozpraszanie w pacjencie Czułość kolimatora Wydajność detekcji scyntylatora + elektronika x 3 1 x 10 1 x x 0.6 = MBq 17 MBq 3 kbq (kcps) 2 kbq (kcps)
14 Gamma kamera szybkość zliczeń Pojedyncze zliczenie czas martwy: ms czasowa zdolność rozdzielcza: t 5 10 ns Rejestrowana szybkość zliczeń: C R = C 0 (1 τc 0 )
15 Pozytonowa Tomograia Emisyjna (PET)
16 Pozytonowa Tomograia Emisyjna (PET) 511 kev Rejestracja par otonów anihilacyjnych 511 kev w koincydencji czasowej (Lines o Response) 511 kev Projekcje (Sinogram) Rekonstrukcja Kolimacja elektroniczna Nie trzeba kolimatora mechanicznego! Czułość 5 10 % Brak części ruchomych w skanerze Obraz 3D rozkładu aktywności (r,t)
17 Radioizotopy PET nuclide 11 C 13 N 15 O T 1/ min 9.97 min 122 sec + energy (MeV) decay probability % alternative decay mode - - EC 0.1% other emissions (MeV) F 64 Cu 110 min 12.7 hr EC 3.3% EC 44% % 68 Ga 68.3 min EC 11% % 82 Rb 124 I 1.27 min 4.18 day EC 5% EC 77% % % % % %
18 Radioizotopy PET nuclide + E + max range + mean range max MeV in water (mm) in water (mm) 11 C N O F Ga Rb I 2.13 c Generatory izotopów PET
19 Skaner PET
20 Skaner PET
21 Skaner PET PET "Block" Detector Scyntylator PMTs mm C A B Images courtesy o CTI Histogram
22 Scyntylatory dla PET Desirable properties NaI BGO LSO Lu 2 SiO 5 GSO GdSiO 5 LaBr 3 Good stopping power: 50 high eective Z (density g/cc) (3.67) High light output relative to NaI (%) 73 (7.13) 65 (7.35) 58 (6.71) 47 (5.3) Wavelength (~400 nm) Fast light decay (ns) / / High energy 511 kev (%)
23 PET zdolność rozdzielcza Czynniki ograniczające: skończony rozmiar detektorów; paralaksa niewspółliniowość otonów anihilacji skończony zasięg pozytonów
24 PET zdolność rozdzielcza Niewspółliniowość otonów anihilacji Jest skutkiem niezerowego pędu anihilującej pary e + e - (głównie elektronu) 511 kev 180 ± kev
25 PET zdolność rozdzielcza Niewspółliniowość otonów anihilacji Rozkład kątowy par otonów anihilacyjnych jest w przybliżeniu gaussowski 180 ± 0,25 FWHM Rozmycie wynikające z niewspółliniowości w centrum pola widzenia jest w przybliżeniu dane wzorem sin(0,25 ) R x D D= 80 cm D= 12 cm R 180 = 0.26 mm R 180 = 1.8 mm
26 PET zdolność rozdzielcza Zasięg pozytonu 511 kev positron range 511 kev
27 PET zdolność rozdzielcza Zasięg pozytonu Rozkład wykładniczy; zasięg zależy od maksymalnej energii pozytronu luorine-18 (0.64 MeV) carbon-11 (0.97 MeV) 1 mm nitrogen-13 (1.19 MeV) oxygen-15 (1.72 MeV)
28 PET zdolność rozdzielcza detector 2-5 mm ~ 0,2 mm positron range colinearity FWHM total 2 = FWHM det 2 + FWHM range 2 + FWHM ~ 2 mm FWHM total = 3-6 mm
29 Time o Flight (TOF) PET D r t 2r c c = 30 cm/ns Czasowa zdolność rozdzielcza: 500 ps lokalizacja 8 cm próby z BaF 2 w latach 80-tych obecnie LSO ~600 ps główna zaleta: redukcja szumu szczególnie istotne dla otyłych pacjentów r 1 c t 2 Redukcja SNR: ~ 2D/ct Czasowa zdolność rozdzielcza 500 ps 5x Redukcja Wariancji!
30 Tomograia SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) Detektor projekcje pacjent zrekonstruowany obraz Rekonstrukcja tomograiczna
31 Scyntygraia planarna 99m Tc- MDP (metylenodwuosonian)
32 Scyntygraia planarna a tomograia SPECT
33 Metody rekonstrukcji tomograicznej obrazów analityczne Filtrowana projekcja wsteczna (FBP) dyskretne algebraiczne statystyczne iteracyjne Metoda ML-EM, OSEM oparta na transormacji Fouriera liniowa szybka zakłada uproszczony model izyczny arteakty prążkowe przy małej liczbie zliczeń pozwala uwzględnić dokładny model izyczny znacznie lepsza jakość obrazu nieliniowa Wolna; wymaga dużej mocy obliczeniowej
34 Rekonstrukcja analityczna Projekcje (transormacja Radona): s y l p(,s) p (, s) ( x, y) dl ( l cos, l sin) dl (x,y) x (x,y) p(,s) Założenia: Funkcje określone w R n Brak osłabienia promieniowania Brak szumu Idealny kolimator
35 Rekonstrukcja analityczna - sinogram s y (x 0,y 0 ) l x s x 0 sin y0 cos Asin( ) A 2 2 x 0 y0 arctan y 0 x0 s
36 Sinogram s
37 Metoda iltrowanej projekcji wstecznej (FBP) s s y l F 1 n s y (x,y) p(,s) x l F -1 [ n s P(, n s )] F 1-1 n s P(, n s ) iltr n s P(, n s ) rec (x,y) x (x,y) projekcja wsteczna, sumowanie 2 0 F 1 1 n n, ) P( d
38 Metody rekonstrukcji tomograicznej obrazów analityczne Filtrowana projekcja wsteczna (FBP) algebraiczne dyskretne statystyczne iteracyjne
39 Dyskretyzacja problem liniowy Problem: g d g H Zmierzone Macierz Rozkład projekcje (dane) systemu aktywności (niewiadoma) Układ równań liniowych i g d h id prawdopodobieństwo detekcji otonu z voksela i obiektu w pikselu d detektora N i1 d = 1,2,,D h di i Rozmiary obiektów: g: ~ 100x100x100 : ~ 100x100x100 H: ~ 10 6 x10 6
40 Problem liniowy metody algebraiczne g H g d N i1 h di i d = 1,2,,D Metody wprost szukanie macierzy H -1 niepraktyczne ze względu na rozmiar problemu Metody iteracyjne Metoda Kaczmarza/ART (algebraic reconstruction technique) rzuty ortogonalne na hiperpłaszczyzny ( n1) k ( n) k h dk g d N i1 N i1 h h di 2 di ( n) i
41 Metody algebraiczne Metody iteracyjne oparte na koncepcji POCS (projections onto convex sets) rzutów na zbiory wypukłe MART (multiplicative algebraic reconstruction technique) N i n i di i n k n k h g 1 ) ( ) ( 1) ( SIRT (simultaneous iterative reconstruction technique) D d N i di N i n i di i dk n k n k h h g h t ) ( ) ( 1) ( t parametr relaksacji
42 Metody algebraiczne g d N i1 h di i d = 1,2,,D Problemy: Rozwiązanie niejednoznaczne (nieskończenie wiele rozwiązań) lub (najczęściej) brak ścisłych rozwiązań: układ niekonsystentny (sprzeczny) z powodu szumu statystycznego Zależność od początkowej estymacji (0)
43 Metody statystyczne Problem estymacji: g H Próba statystyczna (wektor losowy) Macierz systemu (dana stała) Parametry modelu (zmienna szukana) Znaleźć wektor parametrów ˆ - estymator, który najlepiej pasuje do zmierzonej próby losowej g Metody (kryteria) wyznaczania estymatorów: Metoda momentów Metoda najmniejszych kwadratów ˆ : ˆ g d N h i1 arg min di D d 1 ˆ i g E[ g d d N ] i1 h di i 2 Metoda największej wiarygodności (maximum likelihood ML) ˆ arg max P( g; )
44 Metody statystyczne Problem estymacji: g H Próba statystyczna (wektor losowy) Macierz systemu (dana stała) Parametry modelu (zmienna szukana) Znaleźć wektor parametrów ˆ - estymator, który najlepiej pasuje do zmierzonej próby losowej g Metody (kryteria) wyznaczania estymatorów: Metoda momentów Metoda najmniejszych kwadratów ˆ : ˆ g d N h i1 arg min di D d 1 ˆ i g E[ g d d N ] i1 h di i 2 FBP, ART WLS Metoda największej wiarygodności (maximum likelihood ML) ˆ arg max P( g; ) MLEM
45 Pożądane cechy estymatorów: Metody statystyczne nieobciążoność zgodność ˆ E[ˆ] g d ^ g eektywność e(ˆ) var( ˆ max var( ˆ) e ) 1 Twierdzenie (nierówność) Cramera-Rao: Wariancja dowolnego estymatora nieobciążonego var( ˆ ) i 1 ln P( g, E i i ) 1 I( var( ˆ i ) 2 max e i ˆ spełnia nierówność: Estymator maksymalnej wiarygodności jest estymatorem nieobciążonym, zgodnym, o maksymalnej eektywności ) I() inormacja Fishera
46 Statystyka rozpadów promieniotwórczych g d Średnia liczba zliczeń w pikselu d detektora: N g d = h di i i=1 Rozkład Poissona prawdopodobieństwa zliczeń : i Funkcja wiarygodności : Pr(g; ) = = Pr(g d ; g d ) = g d g d exp ( g d ) g d! D d=1 N i=1 D d=1 h di i g d g d exp ( gd ) g d! g d exp ( g d! N i=1 hdi i ) ˆ arg max P( g; ) MLEM
47 Metoda ML-EM Jak obliczyć estymator maksymalnej wiarygodności? Algorytm EM (expectation maximisation): (Dempster, Laird, Rubin 1977) Estymacja na podstawie niekompletnych danych statystycznych krok E: s di liczba otonów wyemitowanych z voksela i zarejestrowanych w pikselu d detektora dane kompletne Oblicz wartość oczekiwaną unkcji wiarygodności: krok M: Kolejną estymację wybierz jako: ˆ ( n1) arg max E[ Można pokazać, że algorytm EM zwiększa unkcję wiarygodności w każdym kroku, tzn. P( g; ˆ ) P( g; ˆ ( n1) ( n) N g i s di E[ i1 ln( P( s; ) s g; ˆ ( n) ) ] s g; ˆ E[ s ] h di ln( P( s; ) ( n) ] di i
48 Metoda ML-EM Zastosowanie do statystyki zliczeń w tomograii emisyjnej: Model Poissona rozkładu zliczeń: N g d s di i1 E[ s ] h di di i Pr( s; ) N D N D sdi di Pr( sdi; ) i1 d 1 i1 d 1 sdi! E[ s ] exp( E[ s di ]) krok E: Oblicz wartość oczekiwaną unkcji wiarygodności: E[ ln( P( s; ) s g; ˆ ( n) ] krok M: Kolejną estymację wybierz jako: ˆ ( n1) arg max E[ s g; ˆ ln( P( s; ) ( n) ]
49 Metoda ML-EM Rozwiązanie - wzór iteracyjny: ( n1) ( n) 1 k k D d 1 h dk D d 1 h dk N j1 h g dj d ( n) j Nowa estymacja obrazu Poprzednia estymacja obrazu 1 Norma Zmierzona projekcja Estymowana projekcja Średnia ważona po wszystkich projekcjach
50 Rekonstrukcja iteracyjna ML-EM Obraz początkowy n-ta estymacja Projekcje estymacji Projekcja nie Zbieżność? Projekcja wsteczna Porównanie N j1 h g dj d ( n) j tak Obraz zrekonstruowany Zmierzone projekcje
51 Rekonstrukcja iteracyjna ML-EM Iteracje: Funkcja wiarygodności: Pr( g; ˆ ( n) ) E[ g D ] d 1 Pr( g D gd d d 1 gd! d ; ˆ exp( E[ g ( n) d ]) ) log[pr(g )] -1.0E E E E[ g d ] N i1 h di n ˆ ( ) i -2.5E+06 iteracja
52 MLEM vs FBP analityczne Filtrowana projekcja wsteczna (FBP) oparta na transormacji Fouriera liniowa szybka zakłada uproszczony model izyczny arteakty prążkowe przy małej liczbie zliczeń statystyczne (iteracyjne) Metoda ML-EM uwzględnia statystyczny charakter zmierzonych danych pozwala uwzględnić dokładny model izyczny znacznie lepsza jakość obrazu mniejszy szum nieliniowa Wolna; wymaga dużej mocy obliczeniowej
53 MLEM vs FBP FBP MLEM FBP + iltr MLEM + iltr 30 min 9 iter. 25 iter. 5 min
Tomografia emisyjna pojedynczych fotonów (SPECT) w medycynie nuklearnej: technika skanowania i rekonstrukcji obrazu.
Tomografia emisyjna pojedynczych fotonów (SPECT) w medycynie nuklearnej: technika skanowania i rekonstrukcji obrazu. Ćwiczenie dla studentów Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej Opracował: Dr inż.
Bardziej szczegółowoTECHNIKI MEDYCYNY NUKLEARNEJ. TOMOGRAFIA PET Wykład 12
TECHNIKI MEDYCYNY NUKLEARNEJ TOMOGRAFIA PET Wykład 12 Positron Emission Tomography PET Emisyjna Tomografia Pozytonowa Umożliwia rekonstrukcję tomograficzną przestrz rozkładu aktywności izotopu poprzez
Bardziej szczegółowoTechniki Jądrowe w Diagnostyce i Terapii Medycznej
Techniki Jądrowe w Diagnostyce i Terapii Medycznej Wykład 4, 10 kwietnia 2018 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Obrazowanie w medycynie
Bardziej szczegółowoTomografia emisyjna pojedynczych fotonów (SPECT) w medycynie nuklearnej: technika skanowania i rekonstrukcji obrazu.
Tomografia emisyjna pojedynczych fotonów (SPECT) w medycynie nuklearnej: technika skanowania i rekonstrukcji obrazu. Ćwiczenie dla studentów Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej Opracował: Dr inż.
Bardziej szczegółowoSprzęt stosowany w pozytonowej tomografii emisyjnej
Sprzęt stosowany w pozytonowej tomografii emisyjnej Skaner PET-CT stanowi połączony w jedno urządzenie zespół dwóch tomografów, tomografu rentgenowskiego oraz tomografu PET. W artykule przedstawiono opis
Bardziej szczegółowoWyznaczanie profilu wiązki promieniowania używanego do cechowania tomografu PET
18 Wyznaczanie profilu wiązki promieniowania używanego do cechowania tomografu PET Ines Moskal Studentka, Instytut Fizyki UJ Na Uniwersytecie Jagiellońskim prowadzone są badania dotyczące usprawnienia
Bardziej szczegółowoLaboratorium Technik Obrazowania
Laboratorium Technik Obrazowania Krzysztof Kacperski Zakład Fizyki Medycznej, Centrum Onkologii - Instytut im. Marii Skłodowskiej-Curie Plan zajęć 1. Wykład wstępny ( ~ 10-12 h) - obrazowanie radioizotopowe,
Bardziej szczegółowoFIZYKA III MEL Fizyka jądrowa i cząstek elementarnych
FIZYKA III MEL Fizyka jądrowa i cząstek elementarnych Wykład 11 Zastosowania fizyki jądrowej w medycynie Medycyna nuklearna Medycyna nuklearna - dział medycyny zajmujący się bezpiecznym zastosowaniem izotopów
Bardziej szczegółowoCharakterystyka detektorów i kolimatorów dla gamma kamer SPECT w medycynie nuklearnej
Charakterystyka detektorów i kolimatorów dla gamma kamer SPECT w medycynie nuklearnej Characteristic of detectors and collimators for SPECT gamma cameras in nuclear medicine ŁUKASZ KAMIL GRACZYKOWSKI Praca
Bardziej szczegółowoLaboratorium Technik Obrazowania
Laboratorium Technik Obrazowania Krzysztof Kacperski Zakład Fizyki Medycznej, Centrum Onkologii - Instytut im. Marii Skłodowskiej-Curie Nowe technologie w Medycynie Nuklearnej Gamma kamera Nowe fotodetektory
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoPomiar energii wiązania deuteronu. Celem ćwiczenia jest wyznaczenie energii wiązania deuteronu
J1 Pomiar energii wiązania deuteronu Celem ćwiczenia jest wyznaczenie energii wiązania deuteronu Przygotowanie: 1) Model deuteronu. Własności deuteronu jako źródło informacji o siłach jądrowych [4] ) Oddziaływanie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoγ6 Liniowy Model Pozytonowego Tomografu Emisyjnego
γ6 Liniowy Model Pozytonowego Tomografu Emisyjnego Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zaprezentowanie zasady działania pozytonowego tomografu emisyjnego. W doświadczeniu użyjemy detektory scyntylacyjne
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Bardziej szczegółowoJ-PET. modułowy detektor szerokiego zastosowania,
J-PET modułowy detektor szerokiego zastosowania, czyli jak w Polsce łączyć badania podstawowe i stosowane Eryk Czerwiński w imieniu grupy J-PET 11 V 2017 Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski Plan 1. Klasyczny
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA STOSOWANA Nazwa w języku angielskim APPLIED STATISTICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
WYDZIAŁ GEOINŻYNIERII, GÓRNICTWA I GEOLOGII KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Statystyka matematyczna Nazwa w języku angielskim: Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Górnictwo
Bardziej szczegółowoPET. Positron Emission Tomography. Tomograf PET. Wytwórnia radiofarmaceutyków linia technologiczna. Wytwórnia radiofarmaceutyków centrum sterowania
PET Positron Emission Tomography Technika PET zastępuje obecnie starszą i gorszą technikę SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography). PET oferuje znacznie lepszą rozdzielczość przestrzenną niż
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoUogolnione modele liniowe
Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoBadania możliwości jednoczesnego dokonywania pomiarów za pomocą tomografu Jagiellonian-PET oraz tomografu komputerowego.
Uniwersytet Jagielloński Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Badania możliwości jednoczesnego dokonywania pomiarów za pomocą tomografu Jagiellonian-PET oraz tomografu komputerowego. Praca
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoWyznaczanie bezwzględnej aktywności źródła 60 Co. Tomasz Winiarski
Wyznaczanie bezwzględnej aktywności źródła 60 Co metoda koincydencyjna. Tomasz Winiarski 24 kwietnia 2001 WSTEP TEORETYCZNY Rozpad promieniotwórczy i czas połowicznego zaniku. Rozpad promieniotwórczy polega
Bardziej szczegółowoScyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna
Scyntygrafia, Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu, Pozytonowa Tomografia Emisyjna Scyntygrafia, Komputerowa Tomografia Emisyjna Pojedynczego Fotonu (ang. Single Photon Emmision Computed Tomograpy,
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów, przedziały ufności etc
Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 7.04.09 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 08/09 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna Metoda
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoEstymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu
Estymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu M. Wojtyś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Wisła, 7 grudnia 2009 Wstęp Próba losowa z rozkładu prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów, przedziały ufności etc
Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:
Bardziej szczegółowoInstytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2
Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoTechniki Jądrowe w Diagnostyce i Terapii Medycznej
Techniki Jądrowe w Diagnostyce i Terapii Medycznej Wykład 3-12 marca 2019 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Oddziaływanie z materią
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 5 - Identyfikacja Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska Warszawa, 2015 Koncepcje estymacji modelu Standardowe drogi poszukiwania modeli parametrycznych M1: Analityczne określenie
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoModele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1
Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1 Konrad Miziński, nr albumu 233703 1 maja 2015 Zadanie 1 Parametr λ wyestymowano jako średnia z próby: λ = X n = 3.73 Otrzymany w
Bardziej szczegółowoOpis wykonanych badań naukowych oraz uzyskanych wyników
Opis wykonanych badań naukowych oraz uzyskanych wyników 1. Analiza danych (krok 2 = uwzględnienie epistazy w modelu): detekcja QTL przy wykorzystaniu modeli dwuwymiarowych z uwzględnieniem różnych modeli
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na
Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony zbiór jednostek, które
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoBadanie schematu rozpadu jodu 128 J
J8A Badanie schematu rozpadu jodu 128 J Celem doświadczenie jest wyznaczenie schematu rozpadu jodu 128 J Wiadomości ogólne 1. Oddziaływanie kwantów γ z materią (1,3) a/ efekt fotoelektryczny b/ efekt Comptona
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoKontrola jakości gamma kamery z użyciem fantomu Jaszczaka
Kontrola jakości gamma kamery z użyciem fantomu Jaszczaka Beata Brzozowska, Zygmunt Szefliński 4 lipca 2015 Streszczenie Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi testami kontroli jakości gamma
Bardziej szczegółowoBadanie własności kolimatorów gamma kamery przy wykorzystaniu źródeł: Co-57, Ba-133 i Cs-137
Badanie własności kolimatorów gamma kamery przy wykorzystaniu źródeł: Co-57, Ba-133 i Cs-137 Urszula Kaźmierczak, Zygmunt Szefliński Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami obsługi gamma kamery
Bardziej szczegółowo3. Zależność energii kwantów γ od kąta rozproszenia w zjawisku Comptona
3. Zależność energii kwantów γ od kąta rozproszenia w zjawisku Comptona I. Przedmiotem zadania zjawisko Comptona. II. Celem zadania jest doświadczalne sprawdzenie zależności energii kwantów γ od kąta rozproszenia
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. BADANIE CHARAKTERYSTYK SOND PROMIENIOWANIA γ
ĆWICZENIE 2 BADANIE CHARAKTERYSTYK SOND PROMIENIOWANIA γ CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest wyznaczenie następujących charakterystyk sond promieniowania γ: wydajności detektora w funkcji odległości detektora
Bardziej szczegółowoPL B1. UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI, Kraków, PL BUP 05/15. PAWEŁ MOSKAL, Czułówek, PL WUP 03/18. rzecz. pat.
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 228457 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 405181 (51) Int.Cl. A61B 5/055 (2006.01) G01R 33/48 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)
Bardziej szczegółowoPracownia Jądrowa. dr Urszula Majewska. Spektrometria scyntylacyjna promieniowania γ.
Ćwiczenie nr 1 Spektrometria scyntylacyjna promieniowania γ. 3. Oddziaływanie promieniowania γ z materią: Z elektronami: zjawisko fotoelektryczne, rozpraszanie Rayleigha, zjawisko Comptona, rozpraszanie
Bardziej szczegółowoSPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.
Bardziej szczegółowoIX. TOMOGRAFIA EMISYJNA FOTONÓW I POZYTONÓW
IX. TOMOGRAFIA EMISYJNA FOTONÓW I POZYTONÓW 9.1 Wstęp Badając pacjenta chcielibyśmy otrzymać trójwymiarowe obrazy jego narządów. Droga do tych obrazów prowadzi od otrzymania jedno- i dwuwymiarowych projekcji
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoPróba własności i parametry
Próba własności i parametry Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.
Bardziej szczegółowoMed-fizykadla nie-fizyków. mgr inż. Anna Kozłowska Zakład Dydaktyki Fizyki UMK
Med-fizykadla nie-fizyków mgr inż. Anna Kozłowska Zakład Dydaktyki Fizyki UMK 1 Plan prezentacji Pozytonowa tomografia emisyjna (PET) Tomografia komputerowa (CT) Scyntygrafia Radioterapia 2 Pozytonowa
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoIX. TOMOGRAFIA EMISYJNA FOTONÓW I POZYTONÓW
IX. TOMOGRAFIA EMISYJNA FOTONÓW I POZYTONÓW 9.1 Wstęp Badając pacjenta chcielibyśmy otrzymać trójwymiarowe obrazy jego narządów. Droga do tych obrazów prowadzi od otrzymania jedno- i dwuwymiarowych projekcji
Bardziej szczegółowoIM-8 Zaawansowane materiały i nanotechnologia - Pracownia Badań Materiałów I 1. Badanie absorpcji promieniowania gamma w materiałach
IM-8 Zaawansowane materiały i nanotechnologia - Pracownia Badań Materiałów I 1 IM-8 Badanie absorpcji promieniowania gamma w materiałach I. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pomiar współczynników absorpcji
Bardziej szczegółowoOptyka kwantowa wprowadzenie. Początki modelu fotonowego Detekcja pojedynczych fotonów Podstawowe zagadnienia optyki kwantowej
Optyka kwantowa wprowadzenie Początki modelu fotonowego Detekcja pojedynczych fotonów Podstawowe zagadnienia optyki kwantowej Krótka (pre-)historia fotonu (1900-1923) Własności światła i jego oddziaływania
Bardziej szczegółowoStatystyka, Ekonometria
Statystyka, Ekonometria Wykład dla Geodezji i Kartografii 11 kwietnia 2011 () Statystyka, Ekonometria 11 kwietnia 2011 1 / 31 LITERATURA J. Hozer, S.Kokot, W. Kuźmiński metody analizy statystycznej w wycenie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika rozpraszania zwrotnego. promieniowania β.
Wyznaczanie współczynnika rozpraszania otnego. Zagadnienia promieniowania β. 1. Promieniotwórczość β.. Oddziaływanie cząstek β z materią (w tym rozproszenie otne w wyniku zderzeń sprężystych). 3. Znajomość
Bardziej szczegółowoOddziaływanie Promieniowania Jonizującego z Materią
Oddziaływanie Promieniowania Jonizującego z Materią Plan Ogólne własności detektora Czułość Rozdzielczość energetyczna Funkcja odpowiedzi Wydajność i czas martwy Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i
Bardziej szczegółowoLaboratorium Technik Obrazowania
Laboratorium Techni Obrazowania Krzyszto Kacpersi Zała Fizyi Meycznej, Centrum Onoloii - Instytut im. Marii Słoowsiej-Curie Dysretyzacja problem liniowy Problem: H Zmierzone Macierz Rozła projecje ane
Bardziej szczegółowoSYMULACJA GAMMA KAMERY MATERIAŁ DLA STUDENTÓW. Szacowanie pochłoniętej energii promieniowania jonizującego
SYMULACJA GAMMA KAMERY MATERIAŁ DLA STUDENTÓW Szacowanie pochłoniętej energii promieniowania jonizującego W celu analizy narażenia na promieniowanie osoby, której podano radiofarmaceutyk, posłużymy się
Bardziej szczegółowoOPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Metody opracowania obserwacji 2 Kod modułu 04-A-MOO-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów
Bardziej szczegółowoANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU
ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowo