Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
|
|
- Roman Rybak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
2 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
3 Wybór relacji konsekwencji Wzorując na logice rachunku zdań, chcemy definiować pojęcie Formuła modalna φ jest logiczną kosekwencją zbioru Φ modalnych hipotez" Na pierwszy rzut oka, problem wygląda na dość oczywisty. Np. to zachodzi wówczas, gdy φ jest prawdziwa w każdym modelu dla zbioru Φ. Ale są dwa zasadnicze problemy: Po pierwsze, nie jest oczywiste którego z trzech modeli należy użyć. Z postaci trzech wprowadzonych relacji nie mamy wskazania, która z nich jest lepsza od innych. Po drugie, na razie nie wiadomo która formuła modalna może być formułą bazową (aksjomatem), a która nie. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
4 Trzy relacje konsekwencji Przypomnijmy, że rozróżnialiśmy trzy typy relacji spełnialności t.j. punktową, wartościowaniową, i strukturalną (oznaczenie: p, v i u). Definicja relacja konsekwencji semantycznej Niech k {u, v, p} będzie typem spełnialności. Dla każdego zbioru formuł Ψ i formuły φ, relacja Φ = k φ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy każda k-struktura, która jest modelem dla Ψ jest również modelem dla φ. Relację tę nazywamy relacją konsekwencji logicznej lub relacją konsekwencji semantycznej. Twierdzenie zależność typów konsekwencji Dla każdego zbioru formuł Ψ i każdej formuły φ zachodzi: Φ = p φ Φ = v φ Φ = u φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
5 Dowód zależności typów konsekwencji Załóżmy, że Φ = p φ oraz, że v-struktura (K, val) jest modelem dla Φ. Pokażemy, że (K, val) jest również modelem dla φ. Jeżeli wybierzemy dowolny stan s w strukturze K to z założenia (K, val, s) jest modelem punktowym dla Φ, a zatem także dla φ. Ale ponieważ wybieraliśmy dowolny stan s, to poprzednie zdanie jest prawdziwe dla wszystkich stanów w K. To zaś oznacza, że dla każdego stanu s mamy spełnialność punktową φ, co jest równoważne (z definicji), spełnialności φ dla (K, val). Dowód implikacji Φ = v φ Φ = u φ jest całkowicie analogiczny. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
6 Zależności typów konsekwencji Na ogół tych implikacji nie można odwrócić. Na przykład: φ = v φ zachodzi dla każej formuły φ ale dla dowolnej zmiennej p można bez trudu pokazać model punktowy p, p, w którym φ = p φ nie musi zachodzić. Pokażemy lemat, który określa pewne własności relacji konsekwencji semantycznej. Własności te stanowią podstawowe aksjomaty w w systemach dowodzenia. Lemat Następujące implikacje są prawdziwe dla każdego zbioru formuł Ψ i dla dowolnych formuł θ, φ: (P) φ Ψ Ψ = v φ Ψ = (MP) v } θ φ Ψ = v θ (N) Ψ = v φ Ψ = v φ Ψ = v φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
7 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
8 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
9 Standardowy (formalny) system modalny S Zbiór aksjomatów standardowego systemu modalnego S składa się z: 1 Wszystkich tautologii rachunku zdań (bez operatorów modalnych). 2 Tautologii typu (K) dla logiki modalnej, gdzie: (K) (φ θ) ( φ θ). 3 Wszystkich formuł otrzymanych z wyżej wymienionych tautologii przez podstawienie zmiennych formułami. Trzeci z warunków powyżej stanowi, że zbiór aksjomatów jest zamknięty ze względu na podstawienia. W kolejnych systemach, zbiór S będzie wzbogacany o kolejne formuły ze zbioru formuł {D, T, B, 4, 5...} zdefiniowanych na poprzednim wykładzie. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
10 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
11 Reguły wnioskowania dla S System dowodzenia dla logiki modalnej posiada dwie reguły wnioskowania. Pierwszą jest poznany już modus ponens (MP - reguła odrywania) zaś drugą reguła wymuszania (N jak Necessitation), która włacza we wnioskowania operator(y) modalne. Reguły wnioskowania 1 Modus ponens: 2 Reguła wymuszania: (MP ) (N) θ θ θ θ φ φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
12 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
13 Wywód w systemie S Niech S będzie systemem określonym przez zbiór aksjomatów S, Φ będzie dowolnym zbiorem formuł modalnych (zbiorem hipotez): Wywodem w systemie S ze zbioru Φ nazywamy każdy ciąg formuł φ 0, φ 1,..., φ n taki, że dla każdej formuły φ i z ciągu (0 i n), zachodzi co najmniej jedno z: (hyp) φ i Φ (aks) φ i jest aksjomatem (φ i S) (mp) Istnieją formuły φ j, φ k występujące wcześniej w tym ciągu (tzn. j, k < i) takie, że (n) Istnieje indeks s < i taki, że φ k = (φ j φ i ) φ i = φ s Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
14 Konsekwencja formalna (syntaktyczna) w S Formuła φ jest S-konsekwencją zbioru Φ (tzn. konsekwencją w systemie S), co oznaczamy Φ S φ, wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje w systemie S wywód z Φ, na końcu którego otrzymujemy φ. Dla lepszego pokazania na czym polega dedukcja w systemie modalnym, na nastepnych slajdach przedstawiamy przykład. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
15 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
16 Przykład - własnosci S Lemat - wymuszanie (konieczność) implikacji Dla dowolnych formuł modalnych φ, θ mamy S φ θ S φ θ Dowód: Podstawmy α = φ θ. Kolejne kroki w wywodzie są następujące: 1 α = φ θ (hipoteza) 2 (α) (reguła N) 3 (α) ( φ θ) (aksjomat K) 4 φ θ (Modus ponens) Czyli jest to wywód o długości 4 w systemie S. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
17 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
18 Alternatywne systemy monomodalne Do systemu standartowego, oprócz aksjomatów typu K, możemy dołączyć jeszcze formuły typu D, T, B, 4 lub 5. System standartowy oznaczamy zwykle przez K, gdyż zawiera tylko formuły typu K. Systemy KD, KB, KT, K4, K5 są rozszerzeniami systemu K o aksjomaty typu D, T, B, 4 lub 5, odpowiednio. Analogicznie możemy rozszerzyć te systemy do np. KD4, KD5,... W ten sposób, możemy teoretycznie otrzymać 2 5 = 32 różne kombinacje. Ale, jak się później okaże, wśród nich jest tylko 15 istotnie różnych systemów dowodzenia. Będziemy w dalszych rozważaniach używać oznaczenia: S4 = KT4 S5 = KT5 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
19 Relatywna moc systemu formalnego Wprowadzamy pojęcie (relatywnej) mocy systemu. Mówimy, że system S 1 jest nie mocniejszy niż system S 2, i oznaczamy to przez S 1 S 2, jeśli φ ( S1 φ S2 φ) Dwa systemy S 1, S 2 są równoważne jeśli S 1 S 2 i S 2 S 1. Mamy następujące fakty: Dwa systemy S 1, S 2 są równoważne jeśli S 1 S 2 i S 2 S 1. Przy zachowaniu uprzedniej notacji zachodzi: Lemat - D jest słabsze od T Formuły D są słabsze niż T, tzn. czyli KD4 S4 i KD5 S5 KD KT Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
20 Relatywna moc systemu formalnego Dowód lematu D jest słabsze od T Musimy wskazać wywód dla D w którym wykorzystamy T. Przyjmiemy następujące oznaczenia pomocnicze: α = φ β = φ γ = α = φ Wtedy wywód dla D = β γ to: α φ (T) (α φ) (φ α) (Tautologia) φ γ (Modus ponens) β φ (T) (β φ) ((φ γ) (β γ)) (Tautologia) ((φ γ) (β γ)) (MP) β γ (MP) Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
21 Zależności między systemami formalnymi Fakty pomocnicze 1 KDB5 S5 2 K4 KB5 KDB4 KDB5 3 K5 KB5 KT5 KTB4 4 KT KDB4 - aby to pokazać, trzeba użyć wszystkich 3 poprzednich. Twierdzenie Dowód: S5 = KT5 KTB4 (Fakt 3) KDB4 (Fakt 4) KDB5 (Fakt 2) S5 (Fakt 1) S5 = KDB4 = KDB5 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
22 Zawieranie się sytemów fomalnych Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
23 Plan wykładu 1 Relacje konsekwencji sematycznej 2 Podstawowy system dowodzenia Aksjomaty Reguły wnioskowania Standardowy system formalny ( S dedukcja) Przykład 3 Inne modalne systemy formalne 4 Poprawność systemu dowodzenia Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
24 Relacje konsekwencji Na poprzednich slajdach definiowaliśmy 3 relację konsekwencji semantycznej = k dla k = u, v, p. Wprowadziliśmy pojęcie logicznej prawdziwości formuł modalnych jako: Definicja konsekwencji semantycznej Niech S będzie standardowym systemem o zbiorze aksjomatów S. Niech k {u, v, p} będzie typem spełnialności. Dla każdego zbioru formuł Φ i formuły φ, relacja Φ = k S φ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy każda k-struktura, która jest modelem dla S i dla Φ, jest również modelem dla φ UWAGA: W zasadzie relacja = k S może być zastąpiona przez =k, gdyż Φ = k S φ Φ S =k φ ale dalej używamy także parametryzowanej wersji = k S, gdyż w pewnych sytuacjach możemy potrzebować wskazać w jakim systemie jesteśmy. Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
25 Relacje konsekwencji Dotąd wprowadziliśmy dla każdego systemu formalnego S cztery relacje konsekwencji, w tym relację syntaktycznej konsekwencji: i trzy relacje semantycznej konsekwencji: S Próbujemy odpowiadać na pytanie: = p S, = v S, = u S Jak te relacje mają się do siebie? Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
26 Związki relacji konsekwencji Z twierdzenia o związkach relacji konsekwencji semantycznej (przez postawienie Ψ = Φ S) mamy Φ = p S φ Φ =v S φ Φ =u S φ Możemy stosunkowo łatwo pokazać twierdzenie o poprawności systemu dowodzenia: Poprawność modalnego systemu dowodzenia Dla każdego systemu formalnego S (zadanego zbiorem aksjomatów S), zbioru hipotez Φ i formuły φ mamy zależność: Φ S φ Φ = v S φ Dowód: Indukcja względem długości wywodu dla Φ S φ. Główne kroki indukcyjne dowodzi się za pomocą wcześniej wprowadzonego lematu o prawdziwości reguł wnioskowania (P,MP,N). Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
27 Pożytki z poprawności Twierdzenie o poprawności możemy wykorzystać do pokazania, że dwa formalne systemy są istotnie różne. Na przykład, wiemy, że KD KT. Aby pokazać, że te systemy są różne, wystarczy znaleźć formułę φ taką, że: KT φ i nie prawda, że KD φ Z Twierdzenia o poprawności wynika, że drugi warunek jest spełniony jeśli pokażemy, że nieprawda, że = v KD φ Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana / 27
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoLOGIKA STOSOWANA Wykład monograficzny Semestr letni, 2016/2017
LOGIKA STOSOWANA Wykład monograficzny Semestr letni, 2016/2017 Nguyen Hung Son, Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Warszawa, ul.banacha 2 szczuka@mimuw.edu.pl 2 Spis treści 1 Rachunek zdań 5 1.1 Język
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowo3. Wykład 3: Dowody indukcyjne, strategie dowodowe Dowody indukcyjne. Dotychczas zobaczyliśmy w jaki sposób można specyfikować definicje
3. Wykład 3: Dowody indukcyjne, strategie dowodowe. 3.1. Dowody indukcyjne. Dotychczas zobaczyliśmy w jaki sposób można specyfikować definicje indukcyjne kategorii syntaktycznych lub osądów, czy też w
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 1. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 1 Marcin Szczuka Instytut Matematyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 28 Plan wykładu 1
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoJęzyk rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoSystem hilbertowski. Plan wykładu. hilbertowskiego. Definicja systemu hilbertowskiego. Podstawowe twierdzenie systemu. Podstawowe twierdzenie systemu
Plan wykładu System hilbertowski Wykład 2 Definicja Definicja systemu Reguły y pochodne Twierdzenia dla innych operatorów Porównanie z systemem gentzenowskim Definicja systemu System H jest systemem dowodzenia
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoWykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoBisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoLOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ
LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 18 grudnia 2013 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Wnioskowanie 18 grudnia 2013 1 / 12 Zarys 1 Wnioskowanie Definicja Schemat wnioskowania
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań
Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy
Bardziej szczegółowoJacek Czekaj. Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji
UNIWERSYTET ŚLĄSKI W KATOWICACH WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII Jacek Czekaj Rodziny równoważne z bazodanową rodziną relacji Praca magisterska napisana pod kierunkiem dra Przemysława Koprowskiego KATOWICE
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte Część 1 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 36 Plan
Bardziej szczegółowoLogika stosowana. Ćwiczenia Programowanie w logice i PROLOG. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski
Logika stosowana Ćwiczenia Programowanie w logice i PROLOG Marcin Szczuka Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Wykład monograficzny w semestrze letnim 2018/2019 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika stosowana
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoLogika stosowana. Ćwiczenia Wnioskowanie przez abdukcję. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Logika stosowana Ćwiczenia Wnioskowanie przez abdukcję Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2013/2014 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika stosowana
Bardziej szczegółowoUwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Bardziej szczegółowoTrzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoLogiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk
Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoLogika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki rok akademicki 2007/2008 Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne 1 Język aletycznych modalnych
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowo