1. Błąd średni pomiaru. Leica DISTO

Transkrypt

1 Aaliza dokładości poiarów Charakterystyką dokładości istruetów poiarowych jest błąd średi poiaru. Wykoywae poiary bezpośredie w tereie pośrediczą zwykle w wyzaczaiu pewych wielkości ie poddających się wprost poiarowi, a przykład pole powierzchi działki jest wyzaczae a podstawie poiaru długości boków działki. Błędy średie poiarów pośredich, p. pola powierzchi działki, są obliczae a podstawie prawa przeoszeia błędów przypadkowych. Cele plaowaia dokładości poiarów jest dobór istruetów poiarowych dla zapewieia wyagaej dokładości wyzaczaych wielkości. Błąd średi poiaru Poiar jest czyością ającą a celu wyzaczeie wartości daej wielkości fizyczej. Poiar oże być bezpośredi lub pośredi. W poiarze bezpośredi dokouje się porówaia wartości ierzoej wielkości fizyczej z wartością wzorcową, a przykład jedego etra. W poiarze pośredi ierzy się ie wielkości fizycze związae zaą zależością fukcyją z wielkością ierzoą. Przykładai poiarów bezpośredich są poiary długości budyku, jak rówież odległości iędzy ściaai, posadzką a sufite za poocą podręczych dalierzy laserowych Rys.. 4,507 ± DISTO x = 4,006 ± Leica DISTO Podczas poiaru za poocą dalierzy laserowych czerwoy proień światła laserowego ułatwia lokalizację celu z dokładością plaki laserowej, której średica dla odległości 0, 50 i 00 wyosi odpowiedio 6; 30 i 60. Czas trwaia poiaru wyosi 3 sekudy. Dalierz jest wyposażoy w tarczę celowiczą ustawiaą a arożikach budyków, w przypadku poiaru długości ścia zewętrzych. Tarcza ta poprawia rówież waruki poiaru do ieregularych powierzchi lub powierzchi o ały współczyiku odbicia, a także w przypadku poiaru w poieszczeiach zadyioych, zapyloych lub zagloych. W paięci wewętrzej dalierza oża rejestrować trzy róże wyiary, p. długość, szerokość i wysokość poieszczeia, co uożliwia obliczeie i wykazaie a ekraie dalierza powierzchi i kubatury. Z doświadczeia wiadoo, że wyik poiaru pewej wielkości p. odległości x za poocą dalierza DISTO (rys...,.) przyjuje wartość z przedziału a < x < b którego wielkość zależy od dokładości użytego przyrządu poiarowego.

2 Ex - wartość oczekiwaa wyiku poiaru x := x := 4.00 x := DISTO a v = x Ex - błąd poiaru b x := x x 4 x x 3 x - wyik poiaru := 4 = Ev - błąd średi poiaru := 0.00 Rys.. Odchyleie wyiku poiaru x od wartości oczekiwaej v = x Ex azywae błęde poiaru, a charakter przypadkowy, zieia się w czasie wykoywaia poiarów zarówo co do wielkości jak i zaku. Przy założeiu średiej arytetyczej jako wartości oczekiwaej wyiku poiaru: x i i = x sr := x sr = błędy poszczególych poiarów v := x x sr wyoszą: v = 0.00 v = v = v = Odchyleie stadardowe, azywae błęde średi poiaru = Ev jest obliczae a podstawie wartości oczekiwaej suy kwadratów (iezależych Ev i v j = 0 i jedakowej dokładości Ev i = i =, i, j =,,...) błędów poiarów EΣ(x i x śr ) = ΣE(x i x śr +Ex Ex) = ΣE[v i (v +...+v )/] = ( ), skąd: ( v i ) i = 0 := 0 = Jeżeli 0 = = 0.00 to wartość średia i jej błąd: śr =E(x śr Ex śr ) = /, sr := sr = 0.00 są poprawe, to zaczy wyiki poiarów są zgode. Poiary, których odchyłki v przekraczają co do bezwzględej wartości - lub 3-krotie ich błąd średi: v = E(x x śr ) : v := sr v = są uzawae za odstające: W poday przykładzie brak poiarów odstających, wszystkie poiary spełiają kryteriu v v =

3 są uzawae za odstające: W poday przykładzie brak poiarów odstających, wszystkie poiary spełiają kryteriu v v = W przypadku wystąpieia poiarów odstających paraetry rozrzutu xsr, 0 są obliczae iteracyjie, odrzucając a każdy kroku poiary odstające. W każdy kroku iteracji oże się zieiać zestaw usuwaych poiarów odstających, poiar raz usuięty oże wrócić do zbioru, a podstawie którego oblicza się paraetry rozrzutu. Postępowaie iteracyje kotyuuje się do oetu, gdy paraetry rozrzutu otrzyywae w kolejych iteracjach przestaą się różić zacząco, co ozacza, że zbiory w kolejych iteracjach zawierają te sae, lub prawie te sae poiary.. Rozkład oraly W przypadku dużej liczby poiarów p. := 0 wyików poiarów odległości za poocą dalierza DISTO, o błędzie średi poiaru := 0.00, pogrupowaych w 5 -ciu przedziałach o szerokości x := 0.00 i środkach X: x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := x := 4.00 x := x := x := x := x := 4.00 x := x := x := x := X := X := X := X := X := otrzyuje się: wartość średią i jej błąd średi: x i i = x sr := x sr = sr := sr = gęstości wyików poiarów w poszczególych przedziałach: p =/0; p =5/0; p 3 =5/0; p 4 =5/0; p 5 =/0; histogra gęstości wyików poiarów (rys...) w postaci prostokątów p wziesioych ad osią x o wysokościach F := - dobraych tak, aby pola x prostokątów były rówe gęstościo poiarów w poszczególych przedziałach: F =50; F =5; F 3 =75; F 4 =00; F 5 =50; krzywą Gaussa ałożoą a histogra gęstości, azywaą fukcją gęstości wyików poiaru (rys...): := π e ( ) 99.5 ( + ).0 f x sr f x sr x x sr = - wartość w pukcie ekstrealy x sr = - wartość w puktach przegięcia x sr ±

4 Poiary, histogra i krzywa Gaussa -α = 68% α / α / Pola obszarów (prawdopodobieństwa wystąpieia wyiku poiaru p =-α) ograiczoych krzywą Gaussa, w przedziałach pojedyczego x śr ±, podwójego x śr ± i potrójego x śr ± 3 błędu średiego poiaru : x sr + x sr x sr + x sr x sr + 3 x sr 3 = 0.68 = 0.95 = Rys.. x sr = Fukcja gęstości a tę własość, że i większa jest jej wartość, ty większe jest prawdopodobieństwo wystąpieia wyiku poiaru z iewielkiego otoczeia puktu x ± x i odpowiadającego tej wartości f(x). Największe prawodpodobieństwo wystąpieia wyiku poiaru jest w otoczeiu wartości średiej x sr (rys. 4..). Gęstość poiarów p w wybray przedziale (a, b) jest rówa polu powierzchi iędzy osią x i krzywą Gaussa f(x), ograiczoej odciętyi a i b. Pole to jest azywae prawdopodobieństwe wystąpieia wyiku poiaru w przedziale (a, b). Prawdopodobieństwo wystąpieia poiaru w przedziale ± wyosi. Prawdopodobieństwo wystąpieia poiaru w określoy przedziale a < x < b azywae jest pozioe ufości p = α, gdzie α jest współczyikie istotości. Prawdopodobieństwa wystąpieia poiaru w przedziałach pojedyczego x śr ±, podwójego x śr ± i potrójego x śr ± 3 błędu średiego wyoszą 0.683, i (rys...). W przypadku zgodości histograu wyików poiaru z krzywą Gaussa (rys...): wyiki ają rozkład oraly x ~ N(Ex, ), stadaryzoway błąd v/ a rozkład oraly zerojedykowy v ~ N(0, ), sua kwadratów Σ(v i /) 0 ( )/ a rozkład chi-kwadrat o liczbie stopi swobody rówej wartości oczekiwaej E( 0 ( )/ ) = : 0 ( )/ ~ χ - (rys..). W ty przypadku, alteratywą deteriistyczego testu zgodości poiarów 0 v := x x sr ( v i ) i = 0 := 0 = = 0.00 jest test statystyczy 0 ( ) χ, α v = a zaday pozioie ufości, zwykle -α = 0.95 (rys..,.3):

5 0 ( ) = 5.7 qchisq ( 0.95, ) = 30. f ( χ ) -α = 0.95 α = 0.05 χ 0 ( ) = 5.7 χ, α= 30, p := 0.68, pozio ufości (p = -α) Rys.. 0 ( ) qchisq( p, ) ( ) χ, α p p=-alfa Rys..3 W przypadku pozytywego wyiku testu odchyłki wyików poiaru od wartości średiej a ogół zawierają się wewątrz potrójego przedziału ich błędu średiego v 3 v: v := sr v = ax( v) = v = v = i( v) =