Pojęcie przestrzeni probabilistycznej
|
|
- Sabina Kozak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia zdarzeń elementarnych, (S) rodzina zbiorów S P(Ω) (P(X) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X) spełnia warunki S. Ω S, S2. dla dowolnego ciągu A, A 2,...,A n,... zbiorów naleŝących do S A A 2... A n... S, S3. dla dowolnych zbiorów A, B S, A B S, (P) P:S <0,> jest funkcją zwaną rozkładem prawdopodobieństwa, przyporządkowującą zbiory z rodziny S liczbom rzeczywistym, spełniającą warunki; P. dla kaŝdego A Ω, P(A) 0, P2. P(Ω) =, P3. dla dowolnego ciągu A, A 2,...,A n,... zbiorów parami rozłącznych naleŝących do S P(A A 2... A n...) = P(A ) P(A 2 )... P(A n ).... Wtedy rodzinę S nazywamy ciałem przeliczalnie addytywnym zdarzeń lub σ-ciałem (czyt.: sigma ciałem), elementy S nazywamy zdarzeniami losowymi, a wartość rozkładu prawdopodobieństwa dla danego zdarzenia prawdopodobieństwem tego zdarzenia. Zdarzenia Ω,, nazywamy odpowiednio: pewnym, niemoŝliwym. JeŜeli A jest zdarzeniem losowym, to A =Ω A jest zdarzeniem losowym, nazywamy je zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A. Eksperyment (obserwację) nazywamy losowym (losową) jeśli moŝemy opisać go (ją) jako przestrzeń probabilistyczną, w której elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych interpretujemy jako rozłączne wyniki eksperymentu (obserwacji), nazywając je zdarzeniami elementarnymi, a badane podczas eksperymentu (obserwacji) dobrze określone zbiory wyników są interpretacją zdarzeń losowych i dlatego nazywane są zdarzeniami losowymi lub przypadkowymi.
2 Twierdzenie W dowolnej przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P>, dla dowolnych zdarzeń losowych A, B : ) P( ) = 0, 2) P(A ) = P(A), 3) JeŜeli A B, to P(B) P(A), 4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), 5) P(A) + P(B) P(A B), 6) JeŜeli A B, to P(A B) = P(B) P(A). Twierdzenie 2 W dowolnej przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P>, dla dowolnego stępującego ciągu zdarzeń losowych {B n } (tj. B n+ B n ), takiego Ŝe zachodzi równość P3* I = n B n = B S, lim P(B n ) = P(B), n ponadto warunki P3 i P3* są równowaŝne. Dyskretne modele przestrzeni probabilistycznych Definicja 2 Klasyczne prawdopodobieństwo Niech Ω = {ω, ω 2,, ω n }, S = P (Ω).Określmy funkcję P:S <0,> następująco: dla dowolnego zbioru A P (Ω) P(A) = A /n, gdzie A jest liczbą elementów w zbiorze A. Zachodzi wtedy Twierdzenie 3 Układ <Ω, S, P> jest przestrzenią probabilistyczną. Wartość P(A) = A /n nazywamy prawdopodobieństwem klasycznym zdarzenia losowego A, mówimy, Ŝe: prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A i liczby wszystkich zdarzeń. Opisaną w twierdzeniu przestrzeń probabilistyczną nazywa się schematem klasycznym losowania lub klasycznym schematem probabilistycznym, a przestrzeń probabilistyczną < Ω, S, P> - klasyczną przestrzenią probabilistyczną
3 Definicja 3 Schemat losowania bez zwracania i ze zwracaniem Niech będzie dany n-elementowy zbiór {a, a 2,, a n }, który nazywać będziemy populacją generalną. Dowolny k-elemntowy ciąg elementów populacji generalnej nazywać będziemy próbką o liczebności k. JeŜeli ten ciąg (próbkę) tworzymy w ten sposób, Ŝe kaŝdy element ciągu wybieramy ze zbioru powstałego z populacji generalnej przez usunięcie juŝ wcześniej wybranych elementów ciągu, to nazywamy go próbką bez zwracania. Jest ona po prostu róŝnowartościowym ciągiem. Liczba wszystkich k-wyrazowych próbek bez zwracania, zwana jest w kombinatoryce liczbą k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń (V n k ), wynosi V n k = n(n-)(n-2) (n-k+). Dla k=n, V n n = *2*...*n = n!. JeŜeli próbka powstaje w ten sposób, Ŝe kaŝdy element ciągu po wybraniu z populacji generalnej zostaje zapamiętany i zwrócony z powrotem, co oznacza, Ŝe następny element ciągu wybieramy z tego samego zbioru co poprzedni element, to taką próbkę nazywamy próbka ze zwracaniem. Liczba wszystkich k-wyrazowych próbek ze zwracaniem, zwana jest w kombinatoryce liczbą k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami (W n k ), wynosi W n k =n k. Schemat klasyczny losowania dla Ω ={wszystkie próbki bez zwracania} nazywamy schematem losowania bez zwracania. Schemat klasyczny losowania dla Ω ={wszystkie próbki ze zwracaniem} nazywamy schematem losowania ze zwracaniem. Liczba k-elementowych próbek bez zwracania róŝniących się tylko porządkiem elementów (wtedy nazywamy je permutacjami k-elementowego zbioru) wynosi k! = *2*...*k. Liczba sposobów wyboru próbek róŝniących się tylko składem (liczba kombinacji) wynosi V k k n /k! =, n k 0. n Definicja 5 Rozkład hipergeometryczny Dana jest n-elementowa populacja generalna oraz jej n -elementowy podzbiór C elementów posiadających pewną wyróŝnioną cechę. Liczba wszystkich k- elementowych kombinacji posiadających dokładnie k 0 elementów ze zbioru C wynosi n k n n k k Niech Ω = {k-elementowe kombinacje populacji generalnej}, ponadto niech dla dowolnego k, k k 0, zbiór G k kombinacji k-elementowych posiadających.
4 dokładnie k elementów zbioru C jest generatorem ciała przeliczalnie addytywnego S. Z określenia generatorów G k wynika, Ŝe są one rozłączne, a więc kaŝdy element S jest zbiorem pustym lub sumą generatorów. Aby określić rozkład prawdopodobieństwa P wystarczy zastosować schemat klasyczny prawdopodobieństwa: P(A) = A / Ω, n gdzie A S, Ω =, a dla generatorów Gk k n k n n k k P(G k ) =P n, n (k,k) = Wtedy Twierdzenie 4 Układ <Ω, S, P> jest przestrzenią probabilistyczną. n /. k Schemat Bernoulliego Przypuśćmy, Ŝe z populacji generalnej składającej się z dwóch elementów {0,} pobieramy próbkę ze zwracaniem o liczebności r. Niech Ω jest zbiorem wszystkich takich próbek, S = P (Ω), a p jest dowolną liczba z przedziału (0,). Określmy funkcję P:S <0,> następująco: () jeŝeli w próbce ω Ω jest dokładnie k jedynek, to P({ω}) = p k (-p) r-k, (2) P(A) = P({ω}) ω A (3) jeŝeli A jest zbiorem do którego naleŝą tylko próbki zawierające dokładnie k Wtedy jedynek, to P(A) = P(k,r) = r k p k (-p) r-k. Twierdzenie 5 Układ <Ω, S, P> jest przestrzenią probabilistyczną. Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie 6 JeŜeli B jest zdarzeniem losowym w klasycznej przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0, a S B = {S S: S B}. Określmy funkcję P B : S B <0,> następująco: dla S S B P B (S) = S / B. Wtedy. Układ <B,S B, P B > jest przestrzenią probabilistyczną. Gdy oznaczmy dla dowolnego A S, P B (A B) = P(A B), wtedy P(A B) = P(A B)/P(B).
5 2. Układ < Ω, S, P B >, gdzie P B (A) =P(A B)/P(B), dla dowolnego A S, jest przestrzenią probabilistyczną. Twierdzenie 7 Niech B jest zdarzeniem losowym w przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0. Oznaczmy przez S B rodzinę zbiorów {S S: S B} oraz P B (S) = P(S)/P(B).. Układ <B,S B, P B > jest przestrzenią probabilistyczną. 2. Układ < Ω, S, P B >, gdzie dla A S, P B (A) =P(A B)/P(B), jest przestrzenią probabilistyczną. Definicja 6 Niech A i B są zdarzeniami losowymi w przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0. Oznaczmy P(A B) = P(A B)/P(B). Wtedy P(A B) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B, a dla przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P B > funkcję P B określoną dla A S wzorem P B (A) =P(A B)/P(B),nazywamy warunkowym rozkładem prawdopodobieństwa. Zdarzenia niezaleŝne Definicja 7 Niech A i B są zdarzeniami losowymi w przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0 oraz P(A B) = P(A). Wtedy mówimy, Ŝe zdarzenie A niezaleŝny od zdarzenia B. Twierdzenie 8 JeŜeli zdarzenia A niezaleŝny od zdarzenia B. to P(A B) = P(A)P(B). Stąd wynika, Ŝe Twierdzenie 9 Jeśli P(A) 0 i P(B) 0, to zdarzenie A nie zaleŝy od zdarzenia B zdarzenie B nie zaleŝy od zdarzenia A. Twierdzenie 0 Jeśli P(A) 0 i P(B) 0 oraz P(A B) = P(A)P(B), to zdarzenie A nie zaleŝy od zdarzenia B.
6 Definicja 8 Jeśli zdarzenia A i B spełniają warunek P(A B) = P(A)P(B), to zdarzenia te nazywamy niezaleŝnymi. Twierdzenie Jeśli zdarzenia A i B są niezaleŝne, to P(A B) = P(A) + P(B) + P(A)P(B). Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym) Definicja 9 Zdarzenia A i, gdzie i przebiega przeliczalny zbiór, tworzą w przestrzeni probabilistycznej <Ω,, S, P> układ zupełny, gdy są parami rozłączne oraz = Ω.. U i I A i Twierdzenie 2 Niech zdarzenia A i, gdzie i przebiega przeliczalny zbiór I, tworzą w przestrzeni probabilistycznej <Ω,, S, P> układ zupełny oraz dla kaŝde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo niezerowe. Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego B P(B) = P(A i ) P(B A i ). i I Twierdzenie Bayesa Twierdzenie 3 Niech zdarzenia A i, gdzie i przebiega przeliczalny zbiór I, tworzą w przestrzeni probabilistycznej <Ω,, S, P> układ zupełny oraz dla kaŝde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo niezerowe. Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A i P(A i ) = P(A i ) P(B A i ) / P(A i ) P(B A i ). i I Prawdopodobieństwo P(B A i ) nazywamy a posteriori, a prawdopodobieństwo P(A i ) a priori. Przypomnienie niektórych definicji Definicja 0 (przestrzeni metrycznej) Układ < X, d>, gdzie X jest niepustym zbiorem, a funkcja d:x X R + {0} spełnia dla dowolnych x, y X warunki () d(x,y) 0 i d(x,y) = 0 x=y, (2) d(x,y) = d(y,x),
7 (3) d(x,y) + d(y,z) d(x,z), nazywamy przestrzenią metryczną. Dla dowolnego x 0 X oraz liczby r>0, zbiór K(x 0, r) = {x X: d(x 0, x)<x}, nazywamy kulą otwartą o środku x 0 i promieniu r. Dowolny podzbiór F X, taki Ŝe dla dowolnego x 0 A istnieje liczba r>0 spełniająca warunek K(x 0, r) A, nazywamy zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej <X,d>. Zbiory borelowskie i ciało zbiorów borelowskich Definicja (ciało zbiorów borelowskich) Niech <X,d> jest dowolnie ustaloną przestrzenią metryczną. Rodzinę B(X) zbiorów, do której naleŝą wszystkie zbiory otwarte w tej przestrzeni metrycznej, spełniającą warunki B. X B(X), B2. dla dowolnego ciągu A, A 2,...,A n,... zbiorów naleŝących do B(X) A A 2... A n... B(X), B3. dla dowolnych zbiorów A, B B(X), A B B(X), nazywamy ciałem zbiorów borelowskich. JeŜeli najmniejszą rodziną zbiorów borelowskich spełniającą warunki B-B3 oraz zawierającą rodzinę zbiorów B 0 jest B(X), to rodzinę B 0 nazywamy zbiorem generatorów B(X), a o zbiorach borelowskich mówimy, Ŝe są generowane przez generatory. Twierdzenie 4 Niech <X,d> jest przestrzenią metryczna, gdzie X= R n, d(x,y) = x y (przestrzeń ta, rozwaŝana jako n-wymiarowa przestrzeń wektorowa, zwana jest przestrzenią euklidesową), dla x,y R n. Wtedy ciało zbiorów borelowskich B(X) jest generowane, przez n-wymiarowe otwarte kostki postaci (a, ) (a 2, )... (a n, ) lub postaci (-,a ) (-,a 2 )... (-,a n ) gdzie a, a 2,..., a n R. Uwaga: B(R n ) będziemy utoŝsamiali z ciałem zbiorów borelowskich określonym na n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej Zmienne losowe n-wymiarowe Definicja 2 ( jednowymiarowej zmiennej losowej) Dowolną funkcję X:Ω R określoną dla jakiejś przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> nazywamy jednowymiarową zmienna losową, gdy x R {ω Ω:: X(ω)<x} S.
8 Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień, będzie moŝna, dla formuły Φ(X), takiej Ŝe A={ω Ω : Φ(X(ω)) } S, pisać zamiast P(A), P(ΦX)). Definicja 3 (n-wymiarowej zmiennej losowej) Dowolną funkcję X:Ω R n określoną dla jakiejś przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> nazywamy n-wymiarową zmienna losową, lub wektorem losowym, gdy istnieje taki układ (X,X 2,X n ) jednowymiarowych zmiennych losowych, Ŝe (x,x 2,,x n ) R n {ω Ω:: X(ω) = (X (ω),x 2 (ω),...,x n (ω)), X (ω)<x,..., X n (ω)<x n } S. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej i dystrybuanta zmiennej losowej Definicja 4 (rozkładu prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej) Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową. Funkcję P X : B(R) <0,> nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej, gdy dla dowolnego A B(R), {ω Ω:: X(ω) A} S oraz P X (A) = P({ω Ω:: X(ω) A}). Twierdzenie 5 Układ <R, B(R),P X > jest przestrzenią probabilistyczną. Definicja 5 (rozkładu prawdopodobieństwa n-wymiarowej zmiennej losowej) Niech funkcja X:Ω R n określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest n-wymiarową zmienna losową (wektorem losowym). Funkcję P X : B(R n ) <0,> nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa n-wymiarowej zmiennej losowej, gdy dla dowolnego A B(R n ), {ω Ω:: X(ω) A} S oraz P X (A) = P({ω Ω:: X(ω) A}).
9 Twierdzenie 6 Układ <R n, B(R n ),P X > jest przestrzenią probabilistyczną. Definicja 6 (dystrybuanty jednowymiarowej zmiennej losowej) Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową. Funkcję F X : R <0,> określoną wzorem F X (x) =P({ω Ω : X(ω) < x} ), nazywamy dystrybuantą jednowymiarowej zmiennej X. Twierdzenie 7 Dystrybuanta F X : R <0,> jednowymiarowej zmiennej X :Ω R określonej na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> następujące własności: F. Dla liczb a, b R, takich Ŝe a < b, F X (b) F X (a), F2. lim F X(x) = 0 i x lim F X (x) =, x F3. Dla dowolnej liczby a : x a x a - oznacza, Ŝe liczby x dąŝą do a po wartościach x<a ). lim F X (x) = F X (a), (lewostronna ciągłość F X, Twierdzenie 8 Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową, a funkcja P X : B(R) <0,>, gdzie B(R) jest generowane przez wszystkie przedziały otwarte postaci (-,a), jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wtedy dystrybuanta F X : R <0,> dla dowolnego x R wyraŝa się wzorem F4. F X (x) =P X ((-, x)), oraz dla liczb a, b R, takich Ŝe a < b, F5. P X (<a, b)) = F X (b) - F X (a). Twierdzenie 9 Niech funkcja F: R <0,> spełnia warunki F-F3, a B(R) jest ciałem borelowskim generowanym przez wszystkie przedziały otwarte postaci (-,a). Istnieje funkcja P: B(R) <0,>, taka, Ŝe P((-,x)) = F(x) oraz układ <R, B(R), P> jest przestrzenią probabilistyczną (zwany jest teŝ standardowym modelem przestrzeni probabilistycznej dla dystrybuanty F). Ponadto, funkcja toŝsamościowa X: R R jest zmienną losową w tej przestrzeni, taką Ŝe rozkład jej prawdopodobieństwa F X = F. Krótko: kaŝda funkcja spełniająca warunki F- F3 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej w jakiejś przestrzeni probabilistycznej.
10 Istotą stosowania metod probabilistycznych w informatyce jest takie kodowanie danych opisujących przestrzeń probabilistyczną, aby reprezentacje danych opisywały pewien standardowy model przestrzeni probabilistycznej dla dobrze zbadanej przez matematyków funkcji o własnościach dystrybuanty F-F3. Dobór tej funkcji powinien być przetestowany przez zastosowanie stosownych testów zgodności. Badane w eksperymencie losowym własności powinny być opisywane przez poprawnie zbudowane w języku analizy matematycznej formuły Φ takie, Ŝe {x R: Φ(x) } B(R) jest zdarzeniem losowym w standardowym modelu <R, B(R), P> - mówimy wtedy o prawdopodobieństwie zdarzenia, w którym formuła Φ(x) jest prawdziwa, a prawdopodobieństwo to oznaczamy: P(Φ(x)) ( w ogólności, {x R n : Φ(x) } B(R n ) jest zdarzeniem losowym w standardowym modelu <R, Zmienna B(R n ), P>). losowa dyskretna Definicja 7 Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową, a funkcja P X : B(R) <0,> jest rozkładem prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej. Zmienną losową X nazywamy dyskretną (typu skokowego), gdy istnieje przeliczalny zbiór S B(R) taki, Ŝe P X (S) = oraz x S {ω Ω:: X(ω) = x} S. Oznaczenie: f X (x) = P X ({ω Ω:: X(ω) = x}) Twierdzenie 20 Niech X :Ω R jest dyskretną zmienną losowa o rozkładzie prawdopodobieństwa P X : B(R) <0,> oraz zbiór S B(R) jest zbiorem przeliczalnym takim, Ŝe P X (S) =. Wtedy () dla kaŝdego przeliczalnego zbioru S B(R) takiego, Ŝe P X (S ) = jest S=S, (2) x S {ω Ω:: X(ω) = x} S, (3) jeŝeli A B(R) i A oraz A S, to P X (A) = f X (x), x S (4) jeŝeli A B(R), to P X (A) = P X (A S). Twierdzenie 2 JeŜeli F X : R <0,> jest dystrybuantą dyskretnej zmiennej losowej X :Ω R o rozkładzie prawdopodobieństwa P X : B(R) <0,>, określonej na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P>, oraz S 0 jest przeliczalnym zbiorem naleŝącym do B(R) takim, Ŝe P X (S 0 ) =, to dla dowolnego x R A. jeśli x S 0, to f X (x) = 0, B. F X (x) = n i= f X (y i ), dla S 0 = {y, y 2,..., y n }
11 C. F X (x) = = i f X (y i ), dla S 0 = {y, y 2,..., y n,...}. Ćwiczenie poszerzające wiedzę Korzystając z definicji przestrzeni probabilistycznej ustal następujące składniki wiedzy: warunki poprawności opisu zdarzenia elementarnego warunki poprawności opisu zdarzenia losowego komputerowa implementacja przeliczalnie addytywnego ciała zdarzeń losowych: implementacja w arkuszu kalkulacyjnym (ewentualnie w znanym studentom języku programowania) list danych jako zbiorów oraz implementacja działań na zbiorach częstość występowania zdarzenia a prawdopodobieństwo błędne rozumienie przypadkowości (losowości) - nieprzewidywalność, Paradoks Bertranda ciało zbiorów borelowskich, zmienne losowe w przestrzeniach probabilistycznych Zmienna losowa ciągła Definicja 8 (zmiennej losowej ciągłej) Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową, a funkcja F: R <0,> jej dystrybuantą. Zmienną X nazywamy ciągłą lub typu ciągłego, jeśli istnieje taka funkcja f: R R, Ŝe dla kaŝdego x jest x F(x) = f ( u) du. Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub krótko: gęstością. Twierdzenie 22 Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową typu ciągłego oraz posiada rozkład prawdopodobieństwa P X :B(R ) <0,>, a funkcja F: R <0,> jej dystrybuantą. Będziemy, dla formuły Φ(X), takiej Ŝe A={ω Ω : Φ(X(ω)) } S, pisać zamiast P(A), P(Φ(X)). Zachodzą następujące równości: (0) dla dowolnego zdarzenia losowego A S, dla obszaru całkowania X(A) B(R ) mamy P(A) = X ( A) f ( u) du,
12 () P(a X < b)= P(<a,b))= P((a,b)) =P(<a,b>) = a F(+ )=, (2) F (x) = f(x) = b P((a,b>) = F(b) F(a) = f ( u) du, uwaga: a moŝe a wynosić - oraz b moŝe wynosić +, wtedy F(- )=0, lim x 0 P(x X < x+ x)/ x, + (3) f ( u) du =, (4) dla kaŝdej liczby rzeczywistej a P(X=a) = 0. Uwaga: w celu rozróŝnienia oznaczeń funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danej zmiennej losowej X oraz funkcji gęstości tego rozkładu od oznaczeń tego typu funkcji dla innych zmiennych losowych, będziemy uŝywali oznaczeń, jak x we wzorze: F X (x) = f ( u) du. X Definicja 9 (funkcji dystrybuanty) Dowolna funkcję F: R <0,>, spełniającą następujące własności: F. Dla liczb a, b R, takich Ŝe a < b, F(b) F(a) funkcja F zwana jest wtedy niemalejącą, F2. lim F (x) = 0 i x lim F (x) =, x F3. Dla dowolnej liczby a : lim F (x) = F (a), x a nazywamy funkcją dystrybuanty. Jeśli ponadto istnieje taka funkcja f: R R +, Ŝe dla kaŝdego x jest x F(x) = f ( u) du, to tę funkcję rozkładu nazywamy bezwzględnie ciągłą. Twierdzenie 23 (o przestrzeni probabilistycznej indukowanej przez bezwzględnie ciągłą funkcję rozkładu) x Dla dowolnej bezwzględnie ciągłej funkcji rozkładu F(x) = f ( u) du oraz dowolnego ciała borelowskiego B(R ), jeśli funkcja P: B(R ) <0,>, dla dowolnego A B(R ), określona jest wzorem P(A) = A <R, B(R), P> jest przestrzenią probabilistyczną. f u) du (, to układ
13 Twierdzenie 24 Niech funkcje X:Ω R, Y:Ω R określone na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> są jednowymiarowymi zmiennymi losowymi typu ciągłego, a g:r R jest dowolną róŝnowartościową funkcją róŝniczkowalną o ciągłej pierwszej pochodnej g (x) 0, dla kaŝdego x R. JeŜeli zmienna losowa Y=g(X), to jej gęstość f Y (y) = f X (g - (y))/ g (g - (y)) dla inf g( x) < y < sup g( x), x R x R 0 w pozostałych przypadkach. Definicja 20 (kwantylu i mody) Liczbę x p spełniającą, dla funkcji rozkładu F i liczby p <0,>, równość F(x p )=p, nazywamy kwantylem rzędu p (p-kwantem) funkcji rozkładu. Dla p=/2 kwantyl nazywamy medianą funkcji rozkładu, a dla p=/4: kwartylem. Jeśli gęstość f(x) funkcji rozkładu F(x) ma lokalne maksimum w punkcie x 0, to x 0 nazywamy modą f(x).
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Bardziej szczegółowo