AERODYNAMIKA I WYKŁAD 5 ELEMENTY TEORII WARSTWY PRZYŚCIENNEJ CZĘŚĆ 2

Transkrypt

1 WYKŁAD 5 ELEMENTY TEORII WARSTWY PRZYŚCIENNEJ CZĘŚĆ

2 Podsawy modelowania przepływów urbulennych Dekompozycja Reynoldsa f f f srednia pulsacja Zakładamy, że procedura uśredniania spełnia warunek f f f 0

3 Uśrednianie Reynoldsa Przepływ niesacjonarny (wolno zmienny rend przepływu średniego) 1 T f (, x) f (, ) d T x T Czas uśredniania mały w porównaniu ze sałą czasową średniego rendu, duży w porównaniu z charakerysycznym czasem flukuacji. W przypadku przepływu saysycznie usalonego : f 1 T ( x) lim (, ) T T f x d T

4 Przemienność operacji różniczkowania i uśredniania f 1 1 ( T T x, ) (, ) (, ) (, ) k xk xk xk f d T f d x T x T f T x x 1 T 1 f (, x) f (, ) d f ( T, ) f ( T, ) T x x x T T 1 T T 1 T f (, ) d (, ) (, ) (, ) 0 f d 0 f d f T x x T x T x Wyprowadzenie uśrednionych r-nań Reynoldsa (RANS, URANS, przypadek nieściśliwy) Punk wyjścia 1 j ( jk ) p j k j k k x x x x x j 0 j

5 Dekompozycja Reynoldsa k k k, p p p Podsawiamy i sosujemy uśrednienie 1 j j ( ) ) k j j k k p p j k k j j x x x x ( ) )( ( ( ) 1 j j ) k j k j k k j j k p p j k k j j x x x x ( ) ( ) ( ( ) j j k j k p j Orzymujemy. j ( ) k j k p j k k j k j k x x x x x x j ( ) 0 0 x j j j j

6 Człon lepki możemy napisać w posaci (płyn newonowski) 1 x j x x x j xj k x x ( D S jk jk k k k k k k Zdefiniujmy wielkość (gęsość masowa energii urbulencji) k 1 j j oraz ensor Reynoldsa R rr k jk j k j j Część dewiaorowa o ensor naprężeń urbulennych T R rr k 1 jk jk 3 jk j k 3 jk Oczywiście, ślad ensora T jes równy zeru.

7 Dwa osanie składniki w prawej sronie RANS można zapisać w posaci j jk p xkxk x k x j xk ( S T k ) jk jk 3 jk S T jk co pozwala zapisać RANS nasępująco k j ( ) j j k ( p k) x x 3 x S cisnienie urbulenne k T jk

8 Hipoeza lepkości urbulennej Dla ensora naprężeń urbulennych brakuje związku konsyuywnego mamy dodakowe 6 niewiadomych pól, ale nie mamy dodakowych równań! Jes o zw. problem domknięcia. Hipoeza: ensor naprężeń urbulennych da się wyrazić analogicznie jak naprężenia molekularne T T D S ( ) D T UWAGA: Tensor prędkości D deformacji zosał obliczony dla średniego pola prędkości Posulowany związek jes maemaycznie spójny bowiem oba ensory T i D mają zerowe ślady Wielkość T - zwana lepkością urbulenną nie jes fizyczną cechą płynu ylko charakerysyką przepływu i zależna od miejsca (i na ogół również czasu). Wniosek: nadal porzebny jes sposób wyznaczenia lepkości urbulennej w oparciu o wielkości charakeryzujące przepływ średni. T

9 Turbulenna warswa przyścienna Założenia: 1. Przepływ zewnęrzny - D. Przepływ uśredniony w TWP D 3. Obowiązują założenia przyjęe przy wyprowadzaniu laminarnego r-nia Prandla. Przyjmując radycyjne oznaczenia zapiszmy uśrednione równanie pędu na kierunek x: ( u x u y u) x p x ( x u u ) y ( y u u ) z ( u ) Zakładamy, że II I, III co pozwala uprościć równanie do posaci I ( u u u) p ( u u ) x y x y y Obowiązuje również (uśrednione) r-nie ciągłości II III x u y 0

10 Wprowadzamy lepkość urbulenną u Równanie ruchu w TWP przyjmuje posać T T y u ( u u u) p [( ) u] x y x y T y W miarę zbliżania się do ściany pulsacje prędkości zanikają zaem na ścianie lepkość urbulenna znika T 0, zaem naprężenia na ścianie są równe y u w y 0. WNIOSEK: równanie całkowe von Karmana ma formalnie idenyczną posać jak dla LWP! d 1 lub [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) dx U x x U x U x x w d U C f ( H) dx U

11 Hipoeza drogi mieszania (Prandl) Rozumując przez analogię do mikroskopowego opisu ransporu pędu w eorii, Prandl zaproponował prosy model wiążący lepkość urbulenną z ruchem średnim w obszarze TWP. Załóżmy, że pewna niewielka porcja płynu przemieszcza się kolekywnie pod wpływem flukuacji składowej prędkości normalnej do ściany na odległość równą średnio l ( l ) m m zachowując swoją prędkość poziomą. Takie przemieszczenie spowoduje pojawienie się flukuacji składowej poziomej równe u u u( y lm) u( y) l y m Jeżeli założymy, że o u u l m u y u y u y l m

12 Wynika sąd, że kinemayczna lepkość urbulenna jes proporcjonalna do lokalnego gradienu prędkości średniej i kwadrau długości drogi mieszania T l m u y Ile wynosi droga mieszania w TWP? Prandl założył, że (niezby daleko od ściany) droga a rośnie proporcjonalnie do odległości od ściany, czyli lm y. Wynika sąd, że T y u y Zobaczymy za chwile, że założenie o prowadzi do wniosku o isnieniu obszaru wewnąrz TWP, gdzie profil prędkości średniej opisany jes funkcją logarymiczną.

13 Srukura TWP W najbliższym sąsiedzwie ściany, urbulencja zamiera, a naprężenia syczne wynikają wyłącznie z lepkości molekularnej. Obszar en nazywamy subwarswą laminarną (SL). W SL prędkość syczna narasa liniowo w odległością, a naprężenia syczne są prakycznie sałe i równe naprężeniom na samej ścianie u w u ( w ) y y Powyżej SL lepkość urbulenna szybko rośnie w pewnej odległości od ściany saje się porównywalna, a dalej o wiele większa niż lepkość molekularna. Zgodnie z hipoezą drogi mieszania, zapiszmy y u y Ponieważ naprężenia zmieniają się z odległością w sposób ciągły o uż nad SL musi zachodzić przybliżona równość u y w 1 y

14 Wprowadźmy wielkość (o wymiarze prędkości) V w oraz bezwymiarową odległość od ściany y yv v Zauważmy, że liniowy rozkład prędkości w wewnąrz SL możemy zapisać wzorem u( y) V yv y Całkujemy zależność orzymaną dla prędkości średniej z hipoezy drogi mieszania. Orzymany profil można zapisać wzorem u( y) V yv K ln C

15 Sałe K i C wyznaczono eksperymenalnie. Okazuje się, że dowolna TWP zawiera obszar, w kórym profil prędkości bardzo dobrze opisany powyższym wzorem i o dla uniwersalnych warości sałych K i C!. Zwykle, wzór en zapisywany jes w posaci u ( y ) 1 yv ln C V gdzie 0.41 (zw. sała Karmana) i C 5.5.

16 Subwarswa laminarna y 5 Warswa buforowa5 y Warswa logarymiczna 50 y Łącznie 15-0% grubości całek TWP, resza o zw. warswa zewnęrza.

17 Wykorzysanie logarymicznego prawa ścianki do pośredniego wyznaczania naprężeń na ścianie Bezpośredni pomiar gradienu prędkości przy samej ścianie prakycznie niewykonalny (grubość SL o ułamki procena całej TWP, może być rzędu dziesiąek mikronów). Meoda pośrednia u V 1 yu V 1 V V ln ln C U U U U U C f w V V U U U 1 C f u U 1 1 yu C f ln C f ln C f C AC ( f ) BC ( ) f

18 Profil naprężeń urbulennych i energii urbulennej w TWP (źródło: E.L. Houghon a al.: Aerodynamics for Engineering Sudens, 6h Ed., Elsevier Ld., 013)

19 Profil średniej ampliudy pulsacji prędkości w urbulennej w TWP (źródło: E.L. Houghon a al.: Aerodynamics for Engineering Sudens, 6h Ed., Elsevier Ld., 013)

20 Profil lepkości urbulennej i współczynnika inermiencji w urbulennej w TWP (źródło: E.L. Houghon a al.: Aerodynamics for Engineering Sudens, 6h Ed., Elsevier Ld., 013)

21 TWP na płaskiej płycie Chociaż prawdziwe powierzchnie nośne nie są z reguły płaskie, wyniki uzyskane dla ego przypadku są dość użyeczne, przynajmniej jako wsępne przybliżenie. Wynik 1 prawo 1/7 (Prandl). Profil prędkości w TWP na płaskiej płycie (zerowy gradien ciśnienia) opisane jes w przybliżeniu wzorem (wyprowadzenie AforES sr. 5) u U y 1/7 Uwaga: wzór en nie obowiązuje w bezpośrednim sąsiedzwie ściany (osobliwość!). Wzór en daje zupełnie sensowną dokaldność dla zakresu liczb Reynoldsa Re 10 x

22 Wynik : Naprężenia syczne i lokalny współczynnik arcia można wyliczyć ze wzorów 1/4, 7/4 w U y C f Wynik 3: Tempo wzrosu grubości TWP 1/4 w /4 U U Re Z równania von Karmana zapisanego dla TWP bez gradienu ciśnienia mamy d dx Przyjmując za prawdziwe prawo 1/7, możemy obliczyć jaką częścią grubości warswy jes grubość sray pędu, a mianowicie C f 1 1 u 1/7 1/7 (1 u ) (1 ) 0 0 U U d y y y d y 7 7

23 Zaem d 7C f dx 14 U 1/4 Przy założeniu, że w punkcie x = 0 TWP ma zerową grubość, orzymujemy lub, równoważnie ( x) U 1/5 1/5 x 4/5 ( x) /5 x Ux Re x Posługując się prawem jednej siódmej możemy obliczyć również grubość sray wydaku. Wynosi ona 0.15

24 Zauważmy, że współczynnik kszału H ~1.3 jes o wiele mniejszy niż w LWP. Osaecznie, orzymujemy zależności ( x) ( x) 0.037, x Re x Re 1/5 1/5 x x Porównanie empa przyrosu grubości LWP i TWP na płaskiej płycie (źródło: E.L. Houghon a al.: Aerodynamics for Engineering Sudens, 6h Ed., Elsevier Ld., 013)

25 Wynik 4: Lokalny i całkowiy współczynnik oporu arcia Podsawiając wzór dla grubości TWP do uzyskanej wcześniej formuły dla lokalnego współczynnika arcia orzymujemy C f Re 1/5 x Wynika sąd, że naprężenia syczne wzdłuż płyy zmieniają się zgodnie ze wzorem w U x 1/5 9/5 1/5 Całkowiy współczynnik arcia obliczamy nasępująco D L L 1 1 1/5 9/5 1/5 1 w( ) U L 0 U L 0 C x dx U x dx 1/5 1/ / L /5 1/5 L U 4 UL ReL

26 UWAGA: jes o współczynnik oporu arcia w przypadku, gdy WP jes urbulenna od samego począku! Zależność współczynnik arcia od lokalnej liczby Reynoldsa (źródło: E.L. Houghon a al.: Aerodynamics for Engineering Sudens, 6h Ed., Elsevier Ld., 013) W przypadku profili aerodynamicznych, pewna począkowa część WP jes laminarna. Jeżeli w ej części nie nasąpi oderwanie o opór arcia jes mniejszy.

27 Opór arcia przypadek warswy laminarnej mieszanego ypu Warswa przyścienna z przejściem laminarno-urbulennym na płaskiej płycie (źródło: (źródło: E.L. Houghon a al.: Aerodynamics for Engineering Sudens, 6h Ed., Elsevier Ld., 013) Hipoeyczny począek TWP: 0.383x T 4/5 T xt x T 5 (Re x) U T 1/5

28 Odległość od noska do hipoeycznego począku TWP: Grubość sray pędu w LWP w punkcie x x: x Re U x 1/ L Re x Re U U 1/ Grubość sray pędu TWP w punkcie x T x : T (Re ) 1/5 x T x W punkcie przejścia grubość sray wydaku musi być ciągłą funkcją x ( w przeciwnym razie naprężenia syczne na ścianie w ym punkcie nie byłyby dobrze określone vide r-nie Karmana z zerowym gradienem ciśnienia). Mamy zaem, czyli 4/5 1/5 x ( x ) T x Re 1/ 5 T U U U L T 5/8 Efekywna długość TWP o L x xt

29 Z równania Karmana dla WP z zerowym gradienem ciśnienia wynika, że całkowia siła arcia na odcinku [a,b] jes równa b f w [ ( ) ( )] a w U D dx U b a U Zauważmy, że zmiana grubości sray wydaku w LWP na odcinku [0, x ] jes aka sama jak w TWP na odcinku [ x x, x ], zaem w oby przypadkach opór arcia jes idenyczny! T W akim razie, opór arcia całej WP jes aki jak opór TWP na odcinku [ x x, L] Mamy. T 1/5 4/5 T U D 1 U ( L x x ) f [ ab, ]

30 Sąd, całkowiy współczynnik opory arcia o C D f 1 f 1/ (Re Re 35.5Re ) Re 5/8 4/5 L x 4/5 xt D U L U L 4/5 U L U x U x T U L Uwaga: Orzymana formuła obowiązuje oczywiście ylko gdy Re cała warswa jes LWP i obowiązuje formuła Re. W przeciwnym razie CD f.586 Re

31 ZJAWISKO PRZEJŚCIA LAMINARNO-TURBULENTNEGO W WARSTWIE PRZYŚCIENNEJ Ogólna srukura obszaru przejścia (przejście nauralne)

32 Typy przejścia 1. Przejście nauralne (niski poziom pulsacji prędkości i ciśnienia w przepływie zewnęrznym, gładkie powierzchnie).. Przejście ypu by-pass (wysoki poziom pulsacji prędkości i ciśnienia w przepływie zewnęrznym, powierzchnie z wadami powierzchniowymi (np. szorskość, pofalowanie, wady lokalne) Mechanizm pierwonego wzmocnienia małych zaburzeń 1. Modalny wykładniczy wzros ampliudy niesabilnych (liniowo) modów pola zaburzeń. Jes o główny mechanizm wzrosu zaburzeń w począkowej fazie przejścia nauralnego. [ u,, w, p](, x, y, z) Re{ [ A, A, A, A ]( y)exp[ i( x z )]} u w p, R, r i i C niesabilność, gdy 0 i

33 . Niemodalny (algebraiczny) wzros ampliudy zaburzeń wynikający z nie orogonalności modów własnych. Odgrywa kluczową rolę z pierwszej fazie przejścia ypu by-pass. San począkowy pierwone rójwymiarowe mody (sabilne liniowo!) w formie wzdłużnie zorienowanych wirków (dominuje zaburzenie w płaszczyźnie poprzecznej do głównego kierunku przepływu, czyli u jes zmniejsza niż i w ). San końcowy w momencie maksymalnego wzmocnienia pojawia się silna składowa wzdłużna, j. u, w. Składowa u podlega silnej modulacji w kierunku z (spanwise) pojawiają się sreamwise sreaks.

34 Przykład: algebraiczne wzmocnienie zaburzeń w kanale z poprzecznym pofalowaniem = 0 = 96 Wzdłużna składowa pola zaburzeń wzrosła ok razy!

35 Analiza sabilności liniowej dwuwymiarowej warswy laminarnej 1. Mod kryyczny liczba Reynoldsa (opara np. na grub. sray wydaku ) odpowiadająca sanowi sabilności neuralnej jes najmniejsza).. Obszar saeczności wnęrze pęli uworzonej przez linię neuralnej sabilności. 3. Dla dp dx 0 i Re (czyli w granicy znikającej lepkości) obie gałęzie linii neuralnej dążą asympoycznie do osi poziomej obszar niesaeczności kurczy się! Nie jes ak jeśli dp dx 0 bowiem wówczas profil prędkości w warswie ma punk przegięcia i dla dowolnie wielkich liczb Reynoldsa pozosaje ( w pewnym zakresie częsości ) niesaeczny (kryerium Fjorofa) 4. Zaburzenia mają charaker fal biegnących (fale Tollmiena-Schlichinga). W warswach samopodobnych (Falker-Skan) zakres liczb falowych odpowiadający najbardziej niesabilnym falom TS o w przybliżeniu [ ] (jednoską długości jes grubość sray wydaku), co odpowiada długości fal TS ok. 6-7 grubości 99.

36 5. Sabilność fal TS silnie zależy od gradienu ciśnienia: dodani gradien ciśnienia desabilizuje fale TS (i generalnie prowadzi do wcześniejszego przejścia), ujemny odwronie. Przykładowo: kryyczna liczba Reynoldsa dla warswy Blasiusa (płaska płya, zerowy gradien ciśnienia) o Re, cr 50. warswy Falknera-Skan z paramerem m (dodani gradien ciśnienia odpowiadający opływowi górnej powierzchni płaskiej płyki usawionej pod dodanim kąem naarcia ok sopnia) o Re, cr 130 warswy Falknera-Skan z paramerem m (ujemny gradien ciśnienia odpowiadający opływowi górnej powierzchni płaskiej płyki usawionej pod ujemnym kąem naarcia ok. 1.5 sopnia) o Re, cr 000 Przypomnienie: dla warswy Blasiusa U U x Ux Re Re x U czyli Re x 0.338Re Teoreycznie zaem, Re, x cr.

37 Fakyczne miejsce przejścia (w wariancie nauralnym) o wiele dalej (Re rzędu seek ysięcy i więcej). Wynika o m.in. z dość powolnego (w pierwszej fazie) narasania ampliudy fal T-S wzdłuż LWP. W pewnym momencie wskuek wórnej niesabilności zaburzenia sają się silnie rójwymiarowe. Dalszy proces ma charaker nagłej erupcji chaosu w przepływie (wzmocnienie zaburzeń 3D jes bardzo silne) niewielki dysans dalej mamy już warswę urbulenną. Na krókim odcinku nasępuje znaczące pogrubienie warswy grubość sray pędu w obszarze przejścia zmienia się sopniowo, ale współczynnik kszału gwałownie spada. Położenie przejścia zależy isonie od gradienu ciśnienia, jakości powierzchni oraz poziomu zaburzeń absorbowanych przez warswę z przepływu zewnęrznego (poziom urbulencji, zaburzenia akusyczne). Inżynierskie (co nie znaczy, że prymiywne!) meody określania punku przejścia polega na założeniu, że jego położenie wynika ze skumulowanego efeku wzmocnienia dwuwymiarowych fal T-S. Lokalny współczynnik wzmocnienia wynika z analizy liniowej sabilności przepływu z lokalnym profilem prędkości. Uznaje się, że przejście ma miejsce gdy skumulowane wzmocnienie najsilniej niesabilnych modów T-S przekroczy czynnik równy gdzie wykładnik N określa się na podsawie doświadczenia (również symulacji numerycznych). Jes o zw. meoda e do N-ej. We współczesnej wersji jes ona zaimplemenowana w popularnym programie XFOIL. N e,