Kompresja punktów na krzywych eliptycznych
|
|
|
- Amalia Żurawska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Kompresja punktów na krzywych eliptycznych Robert Dryªo IMPAN II Konferencja Naukowo Przemysªowa KBBS Zielona Góra, marzec 2015
2 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 E : y 2 = x 3 + ax + b krzywa eliptyczna dana równaniem Weierstrassa nad ciaªem F q. E(F q ) grupa punktów F q -wymiernych. element neutralny O = (0 : 1 : 0) (jedyny punkt w niesko«czono±ci na E ) element przeciwny (x, y) = (x, y), dodawanie punktów metod siecznych i stycznych
3 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Dodawanie na E : y 2 = x 3 + ax + b. Dla niezerowych punktów P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) na E, gdzie P 1 P 2, niech λ = { y2 y1 x 2 x 1, je±li P 1 P 2, 3x1 2 +a 2y 1, je±li P 1 = P 2, Suma P 1 + P 2 ma wspóªrz dne { x 3 = λ 2 x 1 x 2, y 3 = λ(x 1 x 3 ) y 1
4 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Na krzywej E : y 2 = x 3 + ax + b mamy (x, y) = (x, y), wi c tak sam wspóªrz dn x maj dokªadnie punkty P i P. Zatem, je±li jest relacj równowa»no±ci na E P Q Q = ±P, to wspóªrz dne x reprezentuj klasy abstrakcji {P, P} wgl dem.
5 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Na krzywej E : y 2 = x 3 + ax + b mamy (x, y) = (x, y), wi c tak sam wspóªrz dn x maj dokªadnie punkty P i P. Zatem, je±li jest relacj równowa»no±ci na E P Q Q = ±P, to wspóªrz dne x reprezentuj klasy abstrakcji {P, P} wgl dem. Wówczas mamy indukowane z krzywej E mno»enie na osi x przez liczby caªkowite: dla n Z [n]x = x [n]p, gdzie P = (x, y) jest punktem na E le» cym nad x. Wspóªrz dn x punktu P = (x, y) E traktujemy jako jego kompresj.
6 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Algorytm Montgomery ladder pozwala efektywnie obliczy [n]x u»ywaj c tylko wspóªrz dnych x. Wspóªrz dne x wystarcz w pewnych protokoªach; np. w protokole Diego-Hellmana: Wspólnym tajnym kluczem jest [ab]x. A A [a]x [b]x B B
7 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Algorytm Montgomery ladder w dowolnej grupie abelowej G. Input: Punkt P G i liczba caªkowita n = (n l,..., n 0 ) 2. Output: [n]p. 1. set P 1 P, P 2 [2]P, 2. for i l 1, l 2,..., 0 do 3. if n i = 1, set P 1 P 1 + P 2, P 2 [2]P 2, 4. if n i = 0, set P 2 P 1 + P 2, P 1 [2]P 1, 5. end for 6. return P 1. W ka»dym kroku powy»szego algorytmu ró»nica P 2 P 1 = P jest staªa.
8 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Algorytm Montgomerego stosujemy, aby obliczy [n]x. Niech P 1, P 2 E, P 0 = P 2 P 1 i P 4 = P 1 + P 2. Niech P i = (x i, y i ). Montgomery podaª funkcje wymierne A F q (x, y, z) i D F q (x), takie»e x 4 = A(x 0, x 1, x 2 ), [2]x 1 = D(x 1 )
9 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Algorytm Montgomerego stosujemy, aby obliczy [n]x. Niech P 1, P 2 E, P 0 = P 2 P 1 i P 4 = P 1 + P 2. Niech P i = (x i, y i ). Montgomery podaª funkcje wymierne A F q (x, y, z) i D F q (x), takie»e Algorytm Montgomery ladder x 4 = A(x 0, x 1, x 2 ), [2]x 1 = D(x 1 ) Input: x 0 := x P i liczba caªkowita n = (n l,..., n 0 ) 2. Output: [n]x set x 1 x 0, x 2 D(x 1 ), 2. for i l 1, l 2,..., 0 do 3. if n i = 1, set x 1 A(x 0, x 1, x 2 ), x 2 D(x 2 ), 4. if n i = 0, set x 2 A(x 0, x 1, x 2 ), x 1 D(x 1 ), 5. end for 6. return x 1.
10 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Krzywe Montgomerego E : by 2 = x 3 + ax 2 + x Niech P 1, P 2 E, P 0 = P 2 P 1, P 3 = P 1 + P 2. We wspóªrz dnych rzutowych P i = (x i : y i : z i ) mamy Je±li P 2 = [2]P 1, to x 4 = z 0 ( (x2 z 2 )(x 1 + z 1 ) + (x 2 + z 2 )(x 1 z 1 ) ) 2 z 4 = x 0 ( (x2 z 2 )(x 1 + z 1 ) (x 2 + z 2 )(x 1 z 1 ) ) 2 x 2 = (x 1 + z 1 ) 2 (x 1 z 1 ) 2 z 2 = 4x 1 z 1 ( (x1 z 1 ) 2 + (a + 2)x 1 z 1 ) Dodawanie i podwajanie wymagaj odpowiednio 4M + 2S i 3M + 2S operacji w F q.
11 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Krzywe Montgomerego E : by 2 = x 3 + ax 2 + x Niech P 1, P 2 E, P 0 = P 2 P 1, P 3 = P 1 + P 2. We wspóªrz dnych rzutowych P i = (x i : y i : z i ) mamy Je±li P 2 = [2]P 1, to x 4 = z 0 ( (x2 z 2 )(x 1 + z 1 ) + (x 2 + z 2 )(x 1 z 1 ) ) 2 z 4 = x 0 ( (x2 z 2 )(x 1 + z 1 ) (x 2 + z 2 )(x 1 z 1 ) ) 2 x 2 = (x 1 + z 1 ) 2 (x 1 z 1 ) 2 z 2 = 4x 1 z 1 ( (x1 z 1 ) 2 + (a + 2)x 1 z 1 ) Dodawanie i podwajanie wymagaj odpowiednio 4M + 2S i 3M + 2S operacji w F q. Dodawanie i podwajanie na dowolnej krzywej y 2 = x 2 + ax + b wymagaj 12M + 2S i 7M + 5S.
12 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Niech (G 1, +), (G 2, +), (G 3, ) b d grupami. Odwzorowanie e : G 1 G 2 G 3 jest dwuliniowe, je±li jest homomorzmem ze wzgl du na ka»d zmienn, tzn. e(p 1 + P 2, Q) = e(p 1, Q)e(P 2, Q) e(p, Q 1 + Q 2 ) = e(p, Q 1 )e(p, Q 2 ) Iloczyny dwuliniowe pozwalaj otrzyma specyczne protokoªy, m.in., krótkie podpisy i zrealizowa kryptogra opart na to»samo±ci.
13 Iloczyn dwuliniowy Tate na krzywych eliptycznych E : y 2 = x 3 + ax + b krzywa eliptyczna nad F q, r du»a liczba pierwsza r #E(F q ) E[r] = {P E(F q ) : [r]p = 0} grupa punktów r-torsyjnych na E. Istnieje iloczyn dwuliniowy Tate o warto±ciach w pewnym wi kszym ciele F q k e : E[r] E[r] F, q k gdzie ciaªo F q k = F q (µ r ) jest generowane nad F q przez grup r-tych pierwiastków z jedynki µ r = {ζ F q : ζ r = 1}. Stopie«k nazywamy stopniem zanurzeniowym E wzgl dem r. R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21
14 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Denicja Iloczynu Tate e r : E[r] E[r] F q k, e r (P, Q) = f r,p (Q) (qk 1)/r, gdzie f r,p jest funkcj wymiern na E, tak»e div(f r,p ) = r(p) r(o).
15 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Denicja Iloczynu Tate e r : E[r] E[r] F q k, e r (P, Q) = f r,p (Q) (qk 1)/r, gdzie f r,p jest funkcj wymiern na E, tak»e div(f r,p ) = r(p) r(o). Algortym Millera pozwala wyznaczy funkcj f r,p, wyznaczaj c kolejno funkcje f i,p, takie»e (dla i = r mamy f r,p ). Zachodzi zwi zek div(f i,p ) = i(p) ([i]p) (i 1)(O) f i+j = f i f j g [i]p,[j]p g [i+j]p gdzie g [i]p,[j]p jest prost ª cz c [i]p i [j]p, a g [i+j]p jest prost pionow przechodz c przez [i + j]p. St d iloczyn Tate mo»na obliczy podobnie jak w algorytmie podwajania i dodawania.
16 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Algorytm Millera Input: P, Q E[r], r = (r l,..., r 0 ) 2. Output: Iloczyn Tate e(p, Q). 1. f 1, T P 2. for i l 1, l 2,..., 0 do 3. f f 2 g T,T (Q)/g [2]T (Q) and T [2]T 4. if r i = 1 then f f g T,P (Q)/g T +P (Q) and T T + P 5. end if 6. end for 7. return f (qk 1)/r
17 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Algorytm Millera Input: P, Q E[r], r = (r l,..., r 0 ) 2. Output: Iloczyn Tate e(p, Q). 1. f 1, T P 2. for i l 1, l 2,..., 0 do 3. f f 2 g T,T (Q)/g [2]T (Q) and T [2]T 4. if r i = 1 then f f g T,P (Q)/g T +P (Q) and T T + P 5. end if 6. end for 7. return f (qk 1)/r Dla pewnych s < r mo»na równie» otrzyma iloczyn dwuliniowy przyjmuj c e s (P, Q) = f s,p (Q) (qk 1)/r. Hess, Smart i Vercauteren wprowadzili iloczyn ate e t 1 (P, Q), gdzie t = q + 1 #E(F q ) jest ±ladem krzywej E. Mamy t 2 q, wi c dla iloczynu ate p tla gªówna w powy»szym algorytmie mo»e by do dwóch razy krótsza ni» dla iloczynu Tate.
18 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Je±li znamy tylko wspóªrz dne x P, x Q punktów P, Q E[r], to jako iloczyn dwuliniowy przyjmujemy ē(x P, x Q ) = e(p, Q) + e(p, Q) 1. (nie zale»y od wyboru ±P, ±Q.) Galbraith i Lin podali pierwsz metod obliczenia ē(x P, x Q ) u»ywaj c tylko wspóªrz dnych x. Opiszemy alternatywn podej±cie oparte na krzywych eliptycznych nad pier±cieniami.
19 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Dla wspóªrz dnej x P punktu P E(F q ). rozwa»my pier±cie«r = F q [y]/(y 2 (x 2 P + ax P + b)). Niech E(R) b dzie zbiorem punktów nad R speªniej cych równanie E : y 2 = x 3 + ax + b. Wówczas E(R) jest grup izomorczn z (poniewa» R = F q F q ). E(R) = E(F q ) E(F q )
20 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Dla wspóªrz dnej x P punktu P E(F q ). rozwa»my pier±cie«r = F q [y]/(y 2 (x 2 P + ax P + b)). Niech E(R) b dzie zbiorem punktów nad R speªniej cych równanie E : y 2 = x 3 + ax + b. Wówczas E(R) jest grup izomorczn z (poniewa» R = F q F q ). E(R) = E(F q ) E(F q ) Punkt P = (x P, ȳ) E(R), gdzie ȳ oznacza klas y w R. Punkty w podgrupie generowanej przez P s postaci [i] P = (x i, y i ȳ), gdzie x i, y i F q. Wówczas punkty [i] P oraz [i]p maj takie same wspóªrz dne x.
21 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Mamy nast puj ce wzory na dodawanie i podwajanie w podgrupie < P >: dla (x i, y i y), (x j, y j y) mamy gdzie c = x 3 P + ax P + b. ( yj y x i+j = i ) 2 c x j x i xi x j, y i+j = y j y i x j x i (x i x i+j ) y i. x 2i = ( 3x 2 ) i +a 2 ( 2xi = 1 2 3xi ) +a 2 c 2xi y 2i = ( 1 c 2y i y 2y i 3x 2 i +a 2y i (x i x 2i ) y i ). Dodawanie i podwajanie wymagaj odpowiednio I + 3M + S i I + 4M + S operacji w F q.
22 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Niech x P, x Q b d wspóªrz dnymi x punktów P, Q E[r]. Iloczyn Tate ē(x P, y P ) mo»emy obliczy nast puj co. Niech R b dzie pier±cieniem R = F q k [y 1, y 2 ]/(y 2 1 (x 3 P + ax P + b), y 2 2 (x 3 Q + ax Q + b))) Niech P = (x P, ȳ 1 ) i Q = (x Q, ȳ 2 ), gdzie ȳ 1, ȳ 2 s warstwami y 1, y 2 w R. Wówczas P, Q E(R)[n].
23 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Niech x P, x Q b d wspóªrz dnymi x punktów P, Q E[r]. Iloczyn Tate ē(x P, y P ) mo»emy obliczy nast puj co. Niech R b dzie pier±cieniem R = F q k [y 1, y 2 ]/(y 2 1 (x 3 P + ax P + b), y 2 2 (x 3 Q + ax Q + b))) Niech P = (x P, ȳ 1 ) i Q = (x Q, ȳ 2 ), gdzie ȳ 1, ȳ 2 s warstwami y 1, y 2 w R. Wówczas P, Q E(R)[n]. Przenosz c algorytm Millera z ciaª na R otrzymujemy funkcje f r, P(x, y) R(x, y), które zadaj iloczyn dwuliniowy nad pier±cieniem R ē :< P > < Q > R, gdzie e([i] P, [j] Q) = f r,[i] P([j] Q) (qk 1)/r. Wówczas ē(x P, x Q ) = e( P, Q) + e( P, Q) 1 Powy»sza metoda jest najbardziej efektywna w sytuacji gdy stopie«zanurzeniowy k jest parzysty. Wówczas mo»emy wykona pot gowanie f r, P( Q) (qk 1)/r w podciele F q k/2.
24 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Krzywe eliptyczne Edwardsa E : ax 2 + y 2 = 1 + dx 2 y 2 (wprowadzone do kryptograi przez Bernsteina i Lange). Dodawanie na E dane jest wzorem ( ) x1 y 2 + y 1 x 2 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ), y 1y 2 ax 1 x dx 1 x 2 y 1 y 2 1 dx 1 x 2 y 1 y 2 Element neutralny O = (0, 1), punkt przeciwny (x, y) = ( x, y).
25 Krzywa Edwardsa ma dwa punkty osobliwe zwykªe krotno±ci 2 w niesko«czono±ci Ω 1 = R. (1 Dryªo : 0 :(IMPAN) 0) i Ω 2 = (0 : 1 Kompresja : 0). na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Krzywe eliptyczne Edwardsa E : ax 2 + y 2 = 1 + dx 2 y 2 (wprowadzone do kryptograi przez Bernsteina i Lange). Dodawanie na E dane jest wzorem ( ) x1 y 2 + y 1 x 2 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ), y 1y 2 ax 1 x dx 1 x 2 y 1 y 2 1 dx 1 x 2 y 1 y 2 Element neutralny O = (0, 1), punkt przeciwny (x, y) = ( x, y).
26 Dodawanie na krzywych Edwardsa jest ujednolicone (ten sam wzór stosujemy do podwajania punktu). Zatem krzywe Edwardsa maj naturaln odporno± przeciwko atakowi poboru mocy. Je±li d, a/d / F q, to punkty aniczne na krzywej Edwardsa tworz grup i powy»sze dziaªanie jest zupeªne (stosuj c ten wzór mo»na doda dowolne dwa punkty). R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21
27 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Dodawanie na krzywych Edwardsa jest ujednolicone (ten sam wzór stosujemy do podwajania punktu). Zatem krzywe Edwardsa maj naturaln odporno± przeciwko atakowi poboru mocy. Je±li d, a/d / F q, to punkty aniczne na krzywej Edwardsa tworz grup i powy»sze dziaªanie jest zupeªne (stosuj c ten wzór mo»na doda dowolne dwa punkty). We wspóªrz dnych rzutowych dodawanie ma posta X 3 = Z 1 Z 2 (X 1 Y 2 + Y 1 X 2 )(Z1 2 Z 2 2 dx 1X 2 Y 1 Y 2 ), Y 3 = Z 1 Z 2 (Y 1 Y 2 ax 1 X 2 )(Z1 2 Z dx 1X 2 Y 1 Y 2 ), Z 3 = (Z1 2 Z 2 2 dx 1X 2 Y 1 Y 2 )(Z1 2 Z dx 1X 2 Y 1 Y 2 ). Dodawanie na E wymaga 10M+1S+2D w ciele F q je±li jest wykonane nast puj co A = Z 1 Z 2 ; B = A 2 ; C = X 1 X 2 ; D = Y 1 Y 2 ; E = dcd; X 3 = A(B E)((X 1 + Y 1 )(X 2 + Y 2 ) C D); Y 3 = A(B + E)(D ac); Z 3 = (B E)(B + E). Bernstein i Lange wprowadzili tzw. odwrócone wspóªrz dne na krzywych Edwardsa, w których dodawanie wymaga 9M+1S+2D w F q.
28 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Krzywe eliptyczne Hessa E : x 3 + y 3 + c = dxy, gdzie c, d F q, c 0 i d 3 27c zostaªy wprowadzone do kryptograi przez Farashahi i Joye. Dodawanie i podwajanie punktów na E jest dane przez wzory Sylvestera ( ) y 2 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = 1 x 2 y2 2 x 1, x 2 1 y 2 x2 2 y 1 x 2 y 2 x 1 y 1 ( y1 (c x1 3 [2](x 1, x 2 ) = ) x 2 y 2 x 1 y 1 x1 3, x 1(c y1 3) y 1 3 x1 3 y 1 3 Elementem neutralnym jest (1 : 1 : 0), element przeciwny (x, y) = (y, x). ).
29 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Krzywe eliptyczne Hua E : ax(y 2 1) = by(x 2 1), gdzie a 2 b 2 i a, b 0, wprowadzili do kryptograi Joye, Tibouchi i Vergnaud. Dodawanie na E jest dane metod siecznych i stycznych, elementem neutralnym jest O = (0, 0), element przeciwny (x, y) = ( x, y). Joye i inni podali nast puj ce ujednolicone wzory na dadawanie ( ) (x1 + x 2 )(1 + y 1 y 2 ) (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (1 + x 1 x 2 )(1 y 1 y 2 ), (y 1 + y 2 )(1 + x 1 x 2 ). (1 x 1 x 2 )(1 + y 1 y 2 )
30 R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21 Krzywe eliptyczne Hua E : ax(y 2 1) = by(x 2 1), gdzie a 2 b 2 i a, b 0, wprowadzili do kryptograi Joye, Tibouchi i Vergnaud. Dodawanie na E jest dane metod siecznych i stycznych, elementem neutralnym jest O = (0, 0), element przeciwny (x, y) = ( x, y). Joye i inni podali nast puj ce ujednolicone wzory na dadawanie ( ) (x1 + x 2 )(1 + y 1 y 2 ) (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (1 + x 1 x 2 )(1 y 1 y 2 ), (y 1 + y 2 )(1 + x 1 x 2 ). (1 x 1 x 2 )(1 + y 1 y 2 ) Dodawanie we wspóªrz dnych rzutowych X 3 = (X 1 Z 2 + X 2 Z 1 )(Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2 ) 2 (Z 1 Z 2 X 1 X 2 ) Y 3 = (Y 1 Z 2 + Y 2 Z 1 )(X 1 X 2 + Z 1 Z 2 ) 2 (Z 1 Z 2 Y 1 Y 2 ) Z 3 = (Z1 2 Z 2 2 X 1 2 X 2 2)(Z 1 2 Z 2 2 Y 1 2 Y 2 2) Dodawanie wymaga 12 M nad F q i jest zupeªne w cyklicznych podgrupach nieparzystego rz du.
31 Dzi kuj! R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS / 21
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Algebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Współczesna kryptografia schematy bazujące na parowaniu punktów krzywej eliptycznej
Współczesna kryptografia schematy bazujące na parowaniu punktów krzywej eliptycznej Andrzej Chmielowiec Centrum Modelowania Matematycznego Sigma, andrzej.chmielowiec@cmmsigma.eu 26maja2010 Podstawy matematyczne
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Geometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Przetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Laboratorium 1 - wst p do C# Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 17 Czego mo»na oczekiwa wzgl dem programowania w C# na tych laboratoriach? Dawid Poªap Przetwarzanie
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Przeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego
Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego Wykªad habilitacyjny Andriy Panasyuk Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Uniwersytet Warszawski oraz Instytut Matematyczny PAN Wst p: Grupy symetrii
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Proste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
5 Równania ró»niczkowe cz stkowe liniowe drugiego
Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du 51 5 Równania ró»niczkowe cz stkowe liniowe drugiego rz du. 5.1 Równania ró»niczkowe cz stkowe drugiego rz du dla funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji u = u(x,
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Informacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Grupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.