Sławomir Brzezowski WSTĘP DO MECHANIKI KWANTOWEJ

Transkrypt

1 Sławomi Bzezowski WSTĘP DO MECHANIKI KWANTOWEJ Instytut Fizyki Uniwesytetu Jagiellońskiego KRAKÓW 6

2 I N S T Y T U T F I Z Y K I UNIWERSYTETU JAGIELLOŃSKIEGO SŁAWOMIR BRZEZOWSKI WSTĘP DO MECHANIKI KWANTOWEJ N A K Ł A D E M I N S T Y T U T U F I Z Y K I U N I W E R S Y T E T U J A G I E L L O Ń S K I E G O

3 RECENZENT Kacpe Zalewski REDAKTOR Sławomi Bzezowski Wydanie III, popawione i uzupełnione

4 Panu pofesoowi Kacpowi Zalewskiemu dziękuję za dokładne pzeczytanie ękopisu tej ksiąŝki i wskazanie szeegu usteek Dziękuję teŝ doktoowi Andzejowi Buzyńskiemu i pofesoowi Tomaszowi Dohnalikowi za ich cenne uwagi, a takŝe studentom za wskazanie wielu błędów liteowych (i nie tylko)

5 S p i s t e ś c i Wstęp 7 Rozdział : Fale de Boglie a 9 Rozdział : Równanie Schödingea 3 Rozdział 3: Notacja Diaca 35 Rozdział 4: Pzestzeń Hilbeta 43 Rozdział 5: Repezentacje połoŝeń i pędów 49 Rozdział 6: Moment pędu 63 Rozdział 7: Ruch w polu o symetii sfeycznej; Atom wodou 77 Rozdział 8: Spin elektonu 97 Rozdział 9: Watości śednie opeatoów 3 Rozdział : Atomy wieloelektonowe 7 Rozdział : Składanie momentów pędu 5 Rozdział : Zasada nieokeśloności 37 Rozdział 3: Ewolucja wektoa stanu 43 Rozdział 4: Stany niezwiązane ozpaszanie 55 Rozdział 5: Oboty i tanslacje 83 Rozdział 6: Symetie całki uchu degeneacja 93 Rozdział 7: Zabuzenia niezaleŝne od czasu 99 Rozdział 8: Hamiltonian zaleŝny od czasu 9 Skoowidz: 3

6

7 wstęp Fizyki uczymy się od uodzenia Bawiąc się gzechotką, czy ucząc chodzenia, musimy postępować zgodnie z jej pawami, chociaŝ świadomości istnienia tych paw nabywamy dopieo w szkole, gdzie zdobyta w codziennym obcowaniu z otoczeniem intuicja fizyczna zostaje upoządkowana i ujęta w fomie systematycznego wykładu Kłopot z mechaniką kwantową polega na tym, Ŝe pawa nią ządzące zupełnie nie pzystają do wspomnianej wyŝej intuicji śyjemy i zdobywamy nasze doświadczenie w świecie, gdzie natualną jednostką długości jest powiedzmy met Patząc nocą w niebo obcujemy z odległościami niewspółmienie większymi ale juŝ samo to doświadczenie pozwala nam jednak od biedy wyobazić sobie Wszechświat Nie ma jednak doświadczenia, któe dawałoby nam bezpośedni kontakt zmysłowy z odległościami zędu m (czyli poównywalnymi z ozmiaami atomów) Z pzyczyn, któych nie znamy, świat oglądany z takiej pespektywy okazuje się być jakościowo inny, niŝ ten, któy widzimy na co dzień I chodzi nie tylko o to, Ŝe pawa fizyki w tym świecie są inne: sam pzedmiot tych paw jest inny samo pojęcie mateii ma zupełnie inny sens w świecie makoskospowym a inny, gdy zejdziemy do poziomu cząstki elementanej To jest najzupełniej inny świat Zachodzi więc pytanie, w jaki sposób my, makoskopowe istoty, moŝemy ten świat opisać, skoo cały (pawie cały) stwozony pzez nas apaat pojęciowy odnoszący się do fizyki klasycznej staje się bezuŝyteczny Aby na nie odpowiedzieć, musimy najpiew uświadomić sobie, czym zajmuje się fizyka W jednej ze swoich ksiąŝek pan Stanisław Lem dał poglądowy wykład na temat elacji, jaka zachodzi między fizyką i matematyką Pzyównał matematyka do kawca, któy pefekcyjnie szyje ozmaite ubania, o óŝnej liczbie ękawów i nogawek Pacę swoją na pozó wykonuje dla samej tylko satysfakcji, a nikomu niepotzebne ubania gomadzi w szafie Ta szafa to oczywiście czysta matematyka, któa obejmuje wszelkie teoie matematyczne, jakich się doobiliśmy Do tej szafy zagląda fizyk poszukujący "ubania" pasującego na jakiegoś stwoka, czyli na wycinek zeczywistego świata, któy fizykowi udało się zbadać i opisać Fizyk zajmuje się więc dopasowywaniem właściwych kawałków matematyki do Stanisław Lem: "Summa technologiae", ozdział V

8 8 fagmentów zeczywistego świata, pzy czym doświadczalnicy zajmują się aczej polowaniem na owe egzotyczne stwozenia a teoetycy znajdują satysfakcję w pzeszukiwaniu tej szafy i kozystaniu z jej zasobów Bezpośedni kontakt zmysłowy, jaki mamy ze światem makoskopowym, nie skłania do analizy związku matematyki z pzyodą W świetle codziennego doświadczenia, klasyczne pawa fizyki wydają się "oczywiste", czyli w tym wypadku wymyślony pzez Lema potwoek, "jaki jest, kaŝdy widzi" Właściwie dopieo mechanika kwantowa pozwala mam uświadomić sobie doniosłość matematyki w badaniu pzyody Jaki jest atom tego nikt nie widzi Potwoka nie widać Udało się tylko znaleźć ubanie (mechanikę kwantową właśnie), któe wkładamy na niewidzialnego potwoka i w któym ten ostatni wydaje się czuć wcale nieźle, chociaŝ mamy niejasne waŝenie, Ŝe niektóe elementy tego ubania być moŝe są niepotzebne (stała faza wektoa stanu) Nie umiemy ich jednak na azie usunąć tak, aby eszta dobze potwokowi słuŝyła Mamy więc kawałek matematyki, któy zadowalająco pzystaje do mikoświata i któym umiemy się posługiwać, wyliczając i pzewidując ezultaty doświadczeń fizycznych, chociaŝ pawdziwa natua tego mikoświata (nasza intuicja pawdopodobnie bez Ŝadnych podstaw domaga się istnienia takiej "natuy") pozostaje dla nas zakyta, albo w ogóle nie da się okeślić Nie ma więc innej ady czeka nas w zasadzie wykład pewnego fagmentu matematyki, pod któy Pzyoda zdecydowała się podłoŝyć teść fizyczną

9 FALE de BROGLIE'a Fizycy teoetycy na ogół nie lubią ekspeymentować Znacznie badziej od Ŝmudnego egulowania pzyządów wolą opowiadania o doświadczeniach Opowiedzmy więc sobie o pewnym doświadczeniu, któe moglibyśmy wykonać, ale na szczęście nie musimy Wynik tego doświadczenia zapiea dech i od azu sygnalizuje, Ŝe w naszym makoskopowym pojmowaniu świata ukyte są podstawowe błędy pojęciowe Weźmy (w wyobaźni) jakikolwiek kyształ i skieujmy na niego wiązkę elektonów o ustalonym pędzie Za kyształem ustawmy ekan pokyty czymś, co zasygnalizuje i zaznaczy udezenia elektonów (np kliszę) Elektony oddziałują z atomami kyształu, ozpaszają się na nich, i na kliszy wokół centalnej plamy powstałej w miejscu, gdzie tafiają elektony nieozposzone (większość elektonów wiązki), pojawiają się punkty po udezeniach pojedynczych ozposzonych elektonów JeŜeli poczekamy odpowiednio długo, tak, aby tych punktów zebało się więcej, to zauwaŝymy, Ŝe z poszczególnych punktów zaczyna się wyłaniać stuktua pzypominająca obaz intefeencyjny w niektóe ejony kliszy elektony udezają częściej, niŝ w inne Ekspeyment ten będzie nieco pzypominał znane ze szkoły doświadczenie z intefeencją światła pzepuszczonego pzez siatkę dyfakcyjną Tzeba by je tylko jakoś zmodyfikować tak, aby ozpaszanie następowało na punktach egulanie ozmieszczonych w pzestzeni tójwymiaowej (zwykła siatka dyfakcyjna jest w tym sensie jednowymiaowa) W naszym ekspeymencie zauwaŝymy, Ŝe im mniejsza będzie "stała siatki" (moŝemy wyobazić sobie nieistniejący w zeczywistości kyształ o egulowanej odległości atomów), tym badziej ozsuną się na ekanie elementy stuktuy, któą zaobsewowaliśmy zupełnie tak, jak w optycznym doświadczeniu z siatką dyfakcyjną: im bliŝej siebie są szczeliny, tym badziej ozsunięte są pąŝki na ekanie (Wato w tym miejscu pzypomnieć sobie, dlaczego tak się dzieje dla naszych celów wystaczy "siatka" złoŝona z dwóch szczelin) Nasz ekspeyment z elektonami odewał się nieco od zeczywistości (kyształ z egulowaną odległością atomów) Idąc za ciosem wyobaźmy sobie jeszcze, Ŝe na dodze wiązki elektonów zamiast kyształu stoi pzesłona z dwoma szczelinami, czyli tak, jak w szkolnym doświadczeniu, tylko zamiast światła jest wiązka elektonów Na ekanie powstaną pąŝki złoŝone z kopek śladów po udezeniach elektonów Nie pozostaje nam nic innego, jak pogodzić się z myślą, Ŝe stumień padających elektonów zachowuje się jak fala płaska A teaz, uwaga! Zmniejszamy gęstość stumienia elektonów Coaz dłuŝej musimy zbieać punkty na kliszy, aby zobaczyć pąŝki W końcu powtazamy do-

10 Fale de Boglie a świadczenie ze stumieniem elektonów tak słabym, Ŝe elektony lecą pojedynczo, jeden na jakiś czas Powstaje dokładnie taki sam obaz intefeencyjny!! Do tej chwili mogliśmy sobie wyobaŝać, Ŝe elektony pzelatujące pzez jedną ze szczelin "jakoś" współpacują z elektonami, któe wpadły do dugiej szczeliny, co w sumie daje obaz intefeencyjny na ekanie Ale jak zozumieć pzypadek, gdy elektony lecą pojedynczo? JeŜeli wyobazić sobie elekton pzelatujący pzez jedną ze szczelin, to dugą szczelinę wypada wyobazić sobie jako pustą (mogło by jej w ogóle w danej chwili nie być!) Musimy więc pozucić wyobaŝenie cząstki elementanej jako "małego obiektu obaczonego masą, ładunkiem itd" a w kaŝdym azie musimy pogodzić się z faktem, Ŝe są takie sytuacje fizyczne, jak wyŝej opisana, w któych to wyobaŝenie całkowicie zawodzi Wóćmy do naszego ekspeymentu Analizując obaz na ekanie dowiadujemy się, Ŝe stumieniowi elektonów o ustalonym pędzie wypada pzypisać (pzed ozpaszaczem) falę płaską o powiezchniach stałej fazy postopadłych do kieunku pędu elektonów, zwaną falą de Boglie a Nie wiemy co tu "faluje" i pawdopodobnie pytanie o nośnik tej fali jest pozbawione sensu Na tym etapie mamy podstawy do podejzeń, Ŝe w pzestzeni tójwymiaowej okeślona jest funkcja poło- Ŝenia (i czego nie sposób wykluczyć czasu), któej watość w danym punkcie x i w danej chwili t (dokładniej moduł tej watości) odpowiedzialna jest za gęstość pawdopodobieństwa znalezienia cząstki, do opisu któej falę tę powołano Okazuje się, Ŝe moduł watości funkcji falowej podniesiony do kwadatu, jest ówny tej gęstości pawdopodobieństwa Otzymany na ekanie obaz pąŝków (czy układ plamek, jeŝeli uŝywamy kyształu) obazuje pzekój pzez funkcję falową (jak się okaŝe, zaleŝność funkcji falowej od czasu jest w ozwaŝanym pzypadku takiej natuy, Ŝe nie powoduje to zmieniania się w czasie pzestzennego ozkładu pawdopodobieństwa dlatego właśnie mogliśmy kliszę naświetlać długo i czekać na ujawnienie się stacjonanego ozkładu pawdopodobieństwa) Funkcja falowa, któą musimy tu powołać do Ŝycia, jest zespolona Nawet zwykłą falę (falę akustyczną na pzykład) da się opisać funkcją zespoloną, chociaŝ w takim pzypadku wystaczy funkcja zeczywista Mechanika kwantowa wymaga jednak jak się okazuje sięgnięcia do funkcji zespolonych Dla fali płaskiej napiszemy więc Ψ ( x t) Ψ e i ( k x, = t ) ω Pzypomnijmy, Ŝe wekto falowy k i paamet ω wiąŝą się odpowiednio z długością fali λ i częstością ν "dgań" w ustalonym punkcie pzestzeni wzoami Louis de Boglie, 94

11 k = π λ, ω = πν Analizując wyniki wspomnianych wyŝej szkolnych doświadczeń dowiedzieliśmy się, Ŝe o ozkładzie intefeencyjnych maksimów i minimów decyduje układ szczelin (tu stuktua kyształu) i długość fali padającej Dowiedzieliśmy się wtedy teŝ, Ŝe pędkość fazowa v f fali nie ma związku z tym ozkładem Skoo więc jak pamiętamy v f wyznaczy częstości kołowej ω = ω, to doświadczenie z elektonami, o któym mówimy, nie k Wóćmy do wektoa falowego k, któego watość bezwzględną k właśnie zmiezyliśmy Powtazając doświadczenie z uŝyciem wiązek elektonów o óŝnych znanych pędach p zoientujemy się, Ŝe zachodzi związek p = hk, gdzie h =, J sec Symbolem h oznaczono podzieloną pzez π stałą Plancka h = 6, J sec Pozostała do wyznaczenia watość częstości kołowej ω MoŜemy tu pzywołać inne doświadczenie, polegające na wybijaniu elektonów z powłok atomowych pzez fotony tzw efekt fotoelektyczny Wyniki zgodne z tym doświadczeniem uzyskuje się, jeŝeli bilans enegii, w któym uwzględniamy enegię fotonu, enegię potzebną na wywanie elektonu z atomu i enegię wybitego elektonu, pzepowadzony jest pzy załoŝeniu, Ŝe foton odpowiadający częstości ν niesie enegię E = hν (Opisując efekt fotoelektyczny wykonujemy kok w pewnym sensie pzeciwny do tego, któy wyŝej wykonaliśmy w stosunku do elektonu Obiekt, o któym byliśmy wcześniej pzekonani, Ŝe jest falą, jawi się w tym doświadczeniu jako cząstka foton właśnie) Spóbujmy pzenieść odnoszący się do fotonu związek E = hν na funkcję falową elektonu na tym etapie nic opócz intuicji nie uzasadnia takiego koku Mamy więc falę: Ψ ( x, t) i ( p x Et) = Ψ eh odpowiadającą swobodnym elektonom o pędzie p i enegii E

12 Fale de Boglie a ZADANIE Obliczyć, jakiego zędu są odległości atomów w kysztale, na pzykład w kysztale NaCl Jony są tam ozmieszczone w siatce sześciennej i występują w jej naoŝach na pzemian Jaka powinna być pędkość elektonów, aby długość fali płaskiej odpowiadająca stumieniowi elektonów była tego samego zędu, co odległości atomów w kysztale? Gęstość NaCl:, 7 g / cm 3 Masy atomowe: sodu: 3 chlou: 35 Masa elektonu wynosi 9, 3 kg Liczba Avogado wynosi N = 6, 3 mol Rozwiązując zadanie dowiemy się, Ŝe elektony, któe tu opisujemy, są nieelatywistyczne Pzy okazji: intuicja podpowiada, Ŝe pędkość elektonów opisanych falą płaską powinna być ówna pędkości fazowej tej fali Posty achunek pokaŝe, Ŝe w tym miejscu intuicja nas zawodzi

13 RÓWNANIE SCHRÖDINGERA Cząstka swobodna nie jest ciekawym obiektem fizycznym Chcielibyśmy umieć wypisywać funkcje falowe podobne do tej opisanej w popzednim ozdziale, ale odpowiadające elektonom innym, niŝ swobodne, np "kąŝącym po obitach" w atomie (konieczność uŝycia cudzysłowu stanie się jasna niŝej) Oczekujemy, Ŝe nazędzie słuŝące do obliczania takich funkcji będzie miało postać ównania, któego kształt będzie zaleŝał od waunków fizycznych, w któych cząstka opisana poszukiwaną funkcją falową ma pzebywać, czyli od zadanego pola sił Wcześniejsza dyskusja pozwoliła się zoientować, Ŝe funkcja falowa jest waŝnym pojęciem ekspeyment z ozpaszaniem elektonów sugeuje, Ŝe to nie cząstki, ale kyjąca się za nimi w cieniu funkcja falowa jest tym obiektem, któy podlega dynamice, a cząstkom pozostaje tylko być tej funkcji posłusznymi Spodziewamy się więc, Ŝe ównanie, któe ma odpowiadać za dynamikę funkcji falowej, i któego właśnie szukamy, powinno być fomułą tej angi, co zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej Dysponujemy na azie tylko jednym szczególnym ozwiązaniem tego (nieznanego na azie) ównania i to na dodatek tej jego najpostszej wesji, któa odpowiada pzypadkowi cząstki swobodnej Jak zwykle, kiedy ze szczegółu póbujemy odtwozyć całość, jest wiele moŝliwości Moglibyśmy na pzykład napisać zwykłe ównanie falowe: + + Ψ Ψ = x y z v t spełniane wszak pzez funkcję Ψ(, ) x t Ψ e i ( k x t ) =, ω, gdzie v = ω k jest jak wiemy pędkością fazową fali Równanie takie zasługuje na miano ównania podstawowego wtedy, gdy opisuje uch fal w danym ośodku Pędkość popagacji fal jest wtedy ustalona, związana z własnościami ośodka i wbudowana na stałe do ównania Jak się jednak pzekonaliśmy, w naszym pzypadku jest inaczej: nie ma Ŝadnego nośnika fali (Ŝadnego ośodka) a pędkość fali zaleŝy od pędkości elektonu (po z uwagą na końcu ostatniego zadania), czyli nie wynika z jakichś ustalonych waunków zewnętznych Wniosek: ównanie falowe nie nadaje się na fundamentalne ównanie wyznaczające dynamikę funkcji falowej nieelatywistycznego elektonu Ciągle mówimy o elektonach Jest to uwaunkowane histoycznie Mechanika kwantowa powstała bowiem dla opisu zachowania się elektonów w atomach W

14 4 Równanie Schödingea NaleŜy więc szukać dalej Musimy napisać ównanie, któe będzie uniwesalne, waŝne dla wszelkich elektonów swobodnych, niezaleŝnie od ich pędu MoŜe to być ównanie będące zapisem uniwesalnego związku między pędem i enegią nieelatywistycznej cząstki swobodnej = E Równanie to łatwo napisać m i x y z p m,,, t ( h) + + Ψ( x t) = ih Ψ( x t) czyli h Ψ = m t ( x, t) ih Ψ( x, t) Ostatni wzó jest właśnie szukanym ównaniem Jest to zupełnie fundamentalne dla mechaniki kwantowej ównanie Schödingea (tu mamy oczywiście jego wesję obowiązującą dla cząstek swobodnych) Wato zwócić uwagę na widoczny tu związek między składowymi pędu i odpowiednimi opeatoami działającymi na funkcję falową (opeatoami pędu): p ih(,, ) ih x y z Związek ten jest niepzypadkowy: w mechanice kwantowej jak się okaŝe wielkościom fizycznym odpowiadają opeatoy, a zauwaŝona wyŝej piewsza z tych elacji (jak i wszystkie inne, któe poznamy dalej) jest uniwesalna, czyli nie oganicza się do pzypadku cząstki swobodnej Do naszej kolekcji opeatoów, któą właśnie zaczęliśmy gomadzić, moŝemy jeszcze dołączyć opeato enegii kinetycznej, któego uŝyliśmy pzed chwilą: h h + + m x y z m Intuicja podpowiada w tym miejscu podobne pzypoządkowanie dla enegii: E ih t Jednak w tadycyjnym podejściu do mechaniki kwantowej status czasu jest inny, niŝ status zmiennych pzestzennych: połoŝenie jest wielkością fizyczną (ma swój opeato, a jakŝe), podczas gdy czas jest tylko paametem ewoluzeczywistości jednak nieelatywistyczna mechanika kwantowa opisuje dynamikę funkcji falowych wszelkich cząstek stabilnych (tj nie ozpadających się na inne cząstki)

15 5 cji Jest to pzyczyna, dla któej nazywanie opeacji ih t opeatoem enegii jest niewłaściwe Do zagadnienia ewolucji czasowej wócimy w dalszej części wykładu Zwóćmy uwagę na to, Ŝe ównanie Schödingea (podobnie, jak ównanie falowe) jest jednoodne, co ma skutek taki, Ŝe nie wyznacza ono amplitudy funkcji falowej Ψ oaz co waŝniejsze suma óŝnych ozwiązań tego ównania teŝ jest jego ozwiązaniem: supepozycja kilku "fal" Ψ( x, t) c Ψ ( x, t) =, i z któych kaŝda spełnia ównanie Schödingea i i h Ψi = m t ( x, t) ih Ψ ( x, t) i i, teŝ jest ozwiązaniem ównania Schödingea, co moŝna łatwo pokazać kozystając z liniowości opeatoów występujących w ównaniu Równanie Schödingea dla cząstki swobodnej odgadliśmy jako zapis związku między pędem i enegią odniesiony do funkcji falowej Daje to wskazówkę, jak postąpić w pzypadku, gdy cząstka nie jest swobodna, tylko pousza się w polu sił o potencjale V ( x ) Związek między pędem i enegią ma wtedy znaną postać + ( ) p m V x = E, a więc spóbujmy tak: h + V x Ψ x t = i Ψ m t ( ) (, ) h ( x, t) Jest to ogólna postać ównania Schödingea Jego ozwiązaniami są funkcje falowe odpowiadające nieelatywistycznym cząstkom pzebywającym w polu sił opisanym potencjałem V ( x ) Od fal de'boglie'a do ównania Schödingea doszliśmy w ciągu kilku godzin wykładu W zeczywistości doga do tego ównania była badziej pokętna od tej, któą zapezentowaliśmy i zajęła fizykom wiele lat Powiększanie naszej wiedzy (w dziedzinie, któa nas tu inteesuje) odbywa się w zasadzie "z opaską na oczach" i śledzenie kolejnych etapów tej pacy jest być moŝe pasjonujące dla histoyka nauki ale niekoniecznie ciekawe dla kogoś, kto dziś chce się dowiedzieć, na jakich zasadach funkcjonuje Pzyoda Z tego właśnie powodu opowiedzieliśmy tu nieco zmyśloną histoię sfomułowania ównania Schödingea, któa mogłaby jednak właśnie tak wyglądać, gdyby jego odkywcy mieli nieco więcej szczęścia Równanie Schödingea pawidłowo opisuje uch cząstki w polu zewnętznym, na pzykład uch elektonu w polu jąda atomowego a dokładniej pawidłowo pzewiduje kształt funkcji falowej W mechanice kwantowej musimy się bowiem poŝegnać z wizeunkiem cząstki podąŝającej wzdłuŝ tajektoii, któy to

16 6 Równanie Schödingea uch wyliczamy z zasad dynamiki: tego w mechanice kwantowej nie ma potafimy tylko wyliczyć funkcję falową, któej moduł ządzi pzestzennym ozkładem pawdopodobieństwa (znalezienia cząstki) W ównaniu Schödingea (i w innych pokewnych ównaniach, któe poznamy później) ukyta jest jeszcze jedna niesłychanie waŝna infomacja o mikoświecie: okaŝe się mianowicie, Ŝe z samej konstukcji tego świata wyniknie, iŝ wielkości fizyczne na ogół nie mogą pzyjmować dowolnych watości, jak to jest w świecie makoskopowym Dozwolone są tylko pewne watości, inne są niedozwolone (niemoŝliwe do zealizowania w układach fizycznych) Na pzykład ównanie Schödingea wypowiada się na temat dopuszczalnych watości enegii, jakie układ moŝe posiadać PoniŜej ozwiąŝemy ównanie Schödingea dla kilku potencjałów V ( x ) i pokaŝemy, w jaki sposób ównanie wymusza wybó okeślonych watości enegii (w Ŝagonie: widma enegii) Zanim jednak zajmiemy się konketnymi polami sił, wykonamy kilka uniwesalnych koków w kieunku ozwiązania ównania Schödingea, stosowanych dla kaŝdego potencjału V ( x ) Równanie Schödingea jest ównaniem óŝniczkowym cząstkowym dla funkcji czteech zmiennych Ψ( x t), Nie znając kształtu potencjału V ( x ), nie temat zaleŝności ozwiązań ( ) moŝemy podać jego ozwiązania moŝemy jednak juŝ teaz powiedzieć coś na Ψ x, t od czasu Udaje się to zobić wtedy, gdy potencjał V nie zaleŝy od czasu, co wyŝej załoŝyliśmy pisząc ( ), V x a nie V ( x t) Okazuje się mianowicie, Ŝe w takiej sytuacji ównanie Schödingea "nie po- Ψ x, t w postaci testuje", jeŝeli zapoponujemy ozwiązanie ( ) Ψ, = ψ ϕ ( x t) ( x) ( t) Spóbujmy bowiem podstawić: h + m V ( x) ψ ( x) ϕ( t) = ih [ ( x) ( t) ] t ψ ϕ Po banalnym pzekształceniu mamy ( ) ( ) ( ) ψ ( h ψ h x) + V x x m = i ϕ( t) t ϕ t Pzypomnijmy, Ŝe wyaŝenie ψ ( x) ϕ( t ) jest kandydatem na ozwiązanie ównania Oznacza to, Ŝe po jego podstawieniu do tego ównania powinniśmy otzymać toŝsamość, czyli fomułę pawdziwą dla kaŝdego x i kaŝdego t ZauwaŜmy, Ŝe dzięki niezaleŝności potencjału od czasu, obydwie stony powyŝszego

17 7 wzou zaleŝą od innych zmiennych JeŜeli więc ma to być toŝsamość, to obydwie stony muszą być stałe (lewa niezaleŝna od x, pawa niezaleŝna od t ) Łatwo to zozumieć ustalając na pzykład watość zmiennej t Pawa stona jest wtedy pewną liczbą E MoŜemy teaz dowolnie zmieniać wekto x : lewa stona musi być ciągle ówna E Do podobnego wniosku dla stony pawej dojdziemy ustalając x Cała opeacja zakończy się więc powodzeniem, jeŝeli zdołamy ozwiązać dwa ównania h +V ( x) ψ ( x) E ψ ( x) m = oaz ih ( ) ϕ( t) t ϕ t = E, czyli h + V ( x ) ψ ( x ) = Eψ ( x ) oaz ih ( t) E ( t) m t ϕ ϕ Dugie z tych ównań moŝemy ozwiązać od azu: ϕ( t) = = ϕ e i Et h, gdzie ϕ jest dowolną stałą zespoloną Piewsze ównanie staje się okeślone i moŝe być ozwiązane dopieo po wybaniu potencjału V ( x ) Nosi ono nazwę ównania Schödingea niezaleŝnego od czasu Pzedstawioną tu poceduę, tzw sepaację zmiennych (tu: zmiennej czasowej od zmiennych pzestzennych), spotkamy jeszcze w dalszej części wykładu Równanie pzestzenne ma postać ównania własnego: opeato liniowy h + V ( x) (opeato enegii) działa na obiekt ψ ( x ) (funkcję własną m opeatoa enegii), co ma być ównowaŝne pomnoŝeniu tego obiektu pzez liczbę E (watość własną enegii) Z podobnymi zagadnieniami spotkaliśmy się juŝ na zajęciach z algeby Obiektami były tam wektoy, na któe działały opeatoy liniowe Pokewieństwo między tamtymi zagadnieniami a ównaniem własnym opeatoa działającego na funkcję okaŝe się głębsze, niŝ na to w tej chwili wygląda: cała mechanika kwantowa pełna jest ównań własnych a funkcji ψ ( x ) pzypiszemy w pzyszłości wekto (Równanie czasowe teŝ jest w zasadzie ównaniem własnym opeacji ih t, jednak z powodów, któe juŝ częściowo omawialiśmy, nie będziemy tego podkeślać Teaz jest tochę za wcześnie na to, aby pzyczyna tej "dyskyminacji" mogła być pzystępnie wyjaśniona) O inne pzykłady ównania własnego otaliśmy się juŝ, gdy mówiliśmy o opeatoze pędu i fali płaskiej Funkcjami własnymi tójki opeatoów odpowiadających składowym pędu ih są fale płaskie:

18 8 Równanie Schödingea i ih e p x h = pe i p x h (mamy tu oczywiście tzy ównania, dla kaŝdej składowej osobne) Podobnie jest dla wszystkich innych wielkości fizycznych: w fomalizmie mechaniki kwantowej odpowiadają im opeatoy liniowe (o pewnych dodatkowych własnościach, o któych będzie jeszcze mowa) a funkcje falowe, będące funkcjami własnymi tych opeatoów do okeślonych watości własnych, słuŝą do opisu stanów fizycznych, w któych wspomniane wyŝej wielkości fizyczne mają okeślone watości (w sensie wyników pomiau tych wielkości fizycznych) ówne tym watościom własnym To nieco pzydługie zdanie jest badzo waŝne w dalszym ciągu wykładu znajdziemy wiele pzykładów, któe tę egułę zilustują, a takŝe dowiemy się, na jakiej zasadzie wielkość fizyczna moŝe n i e m i e ć okeślonej watości w stanie fizycznym (takiej sytuacji w fizyce klasycznej nie spotykamy) Wóćmy do ozwiązywania ównania Schödingea Zaczniemy od najpostszych pzykładów PRZYKŁAD Zedukujmy świat do jednego wymiau pzestzennego W tym świecie na cząstkę niech działa pole sił o potencjale opisanym funkcją ( ) V x dla x, = U dla x >, gdzie U > Jaki jest kształt tego pola sił 3? ZałóŜmy, Ŝe na osi x, gdzieś daleko w kieunku ujemnym tej osi, umieszczono geneato cząstek podukujący cząstki lecące w kieunku dodatnim osi x Jakie ozwiązanie odpowiedniego ównania Schödingea zostanie zealizowane w tych waunkach? Pole sił jest osobliwe: cząstka jest swobodna wszędzie, za wyjątkiem punktu x =, gdzie działa skieowana w lewo nieskończenie wielka siła, tak, aby paca pzy pzeniesieniu cząstki pzez ten punkt wynosiła U lub U Wybany pzez Pzyjęliśmy metodę wykładu daleką od systematyczności Dowiadujemy się o szczegółach a zmiezamy do syntezy wydaje się, Ŝe taki sposób poznawania zeczywistości daje więcej satysfakcji, niŝ uczenie się ogólnych, abstakcyjnych eguł, z któych dopieo wypowadzamy wnioski dotyczące szczegółów 3 W tym i następnych pzykładach pzywołamy potencjały opisane funkcjami osobliwymi (np nieciągłymi) Wbew oczekiwaniom pozwala to jednak na łatwe ozwiązywanie odpowiedniego ównania óŝniczkowego dlatego od takich właśnie pzykładów zaczynamy

19 9 nas model nosi nazwę postokątnego pogu potencjału i moŝna go na pzykład kojazyć z opisem waunków panujących pzy pokonywaniu pzez cząstkę ganicy dwóch óŝnych ośodków (paca wyjścia) Z uwagi na osobliwość funkcji potencjału, podzielimy oś x na dwie części i dla kaŝdej z nich wypiszemy ównanie Schödingea (Oczywiście w badziej ealistycznym pzykładzie naleŝałoby ozwaŝyć potencjał opisany funkcją ciągłą Nie byłoby wówczas podstaw do dzielenia osi x na fagmenty i naleŝałoby ozwiązać odpowiednie ównanie óŝniczkowe obowiązujące na całej osi x) Dla współzędnych ujemnych mamy więc ównanie h d ( ) = ( ) ψ x Eψ x, m dx dla współzędnych dodatnich zaś h d + ( ) = ( ) U ψ x Eψ x m dx RozwiąŜemy najpiew obydwa ównania niezaleŝnie od siebie (w odpowiednich obszaach) a na końcu staniemy pzed zadaniem "zszycia" tych ozwiązań w punkcie x = tak, aby złoŝone z dwóch części ozwiązanie mogło słuŝyć do opisu cząstek pzechodzących z jednego obszau do dugiego Ogólne ozwiązanie ównania w obszaze piewszym ma postać: ( x) = A e + B e ψ I I ikx I ikx, gdzie k = me h co moŝna taktować jako supepozycję fal "płaskich" biegnących w pzeciwnych kieunkach (nasze ozwiązanie jest ogólne i na azie nie uwzględnia takich uwaunkowań, jak obecność źódła cząstek gdzieś daleko na ujemnej półosi x a takŝe nie widzi baiey oganiczającej tę półoś od stony pawej) W obszaze dugim otzymamy ( ) ik ' x ψ II II x = A e + B e II ik ' x, gdzie k' = m( E U ) h Występujące w tych ozwiązaniach amplitudy są na azie dowolne Na tym etapie oientujemy się, Ŝe istotne znaczenie ma watość enegii E RozwaŜmy wszystkie moŝliwości Enegia ujemna ZauwaŜmy na maginesie, Ŝe enegia ujemna nie mogłaby tu być zealizowana, gdybyśmy stosowali opis klasyczny W podejściu kwantowym pzypadek,

20 Równanie Schödingea ten ównieŝ jest wykluczony, co na azie pzyjmiemy na wiaę i wócimy do tego pod koniec ozwiązania Enegia dodatnia Tu tzeba jak się okaŝe ozwaŝyć dwa pzypadki: <, > a E U b E U W pzypadku "a" (pzy któym zatzymamy się teaz na dłuŝej) mamy ψ ( ) II κx κx x = AII e + BIIe, gdzie κ = m( U E), h czyli tak, jak gdyby pęd k' cząstki na pawo od pogu był uojony ZauwaŜmy, Ŝe w opisie klasycznym w pzypadku "a" cząstka nie mogłaby w ogóle wejść do obszau II, bo miałaby za małą enegię i nie pokonałaby pogu w punkcie x = W opisie kwantowym funkcja ψ II jest óŝna od zea, chociaŝ jej wyŝej pzyjęta postać wymaga jeszcze pewnych zabiegów Składnik popocjonalny do amplitudy A II jest funkcją malejącą ze wzostem zmiennej x i to malejącą tym szybciej, im badziej wysokość pogu U góuje nad watością enegii całkowitej E, czyli w im większym stopniu obsza dugi jest niedostępny klasycznie Dugi składnik ośnie jednak nieoganiczenie ze wzostem x i musi być odzucony pzez połoŝenie B II = Pokusa, aby połoŝyć takŝe A II = i w ten sposób odtwozyć zgodną z intuicją sytuację, w któej cząstkom zabania się wejścia do obszau dugiego, nie moŝe być zaspokojona, o czym się zaaz pzekonamy Mamy więc w obszaze dugim: ψ ( x) = II A e II κx i stoimy pzed zadaniem połączenia obydwu ozwiązań w punkcie x = W tym celu zaŝądamy, aby w punkcie x = poszukiwane ozwiązanie było ciągłe i miało ciągłą piewszą pochodną Zamiast szukać agumentów uzasadniających to Ŝądanie najlepiej byłoby pzywołać opisany jakąś analityczną funkcją potencjał o kształcie zbliŝonym do ozwaŝanego i steowanym paametem w taki sposób, aby w ganicy, dla pewnej watości tego paametu, pzechodził w potencjał "postokątny" Dla takiego analitycznego potencjału naleŝałoby ozwiązać ównanie Schödingea (juŝ bez sztucznego dzielenia osi x na obszay) a następnie podglądnąć, jak zachowują się ozwiązania w punkcie x =, gdy wspomniany wyŝej paamet zmieza do ganicznej watości RozwaŜyliśmy co pawda potencjał nieciągły właśnie po to, aby uniknąć kłopotów z ozwiązywaniem ównania óŝniczkowego, ale dyskutując poblem ciągłości ozwiązań musimy na chwilę odwołać się do wygładzonej funkcji V ( x ) Równanie óŝniczkowe zawiea dugą pochodną funkcji falowej Z ównania wynika, Ŝe pochodna ta powinna być wszędzie, a w szczególności w punkcie

21 x =, skończona, bo inne składniki ównania są tam skończone 4 Oznacza to, Ŝe piewsza pochodna powinna być w tym punkcie ciągła Z kolei agument za ciągłością samej funkcji falowej jest następujący: piewsza pochodna jak juŝ wcześniej napisaliśmy wiąŝe się w mechanice kwantowej z pędem W opisywanym układzie fizycznym pęd nieskończony nie ma powodu wystąpić, czyli oczekujemy, Ŝe funkcja falowa będzie ciągła Mamy więc: ψ ( ) = A + B = A = ψ ( ) I I I II II ( ) ik( A B ) A '( ) ψ ' = = κ = ψ I I I II II Otzymaliśmy układ dwóch ównań liniowych jednoodnych na tzy nieznane zespolone amplitudy Zanim pzystąpimy do jego ozwiązywania zauwaŝmy, Ŝe amplituda A I jest odpowiedzialna za falę wybiegającą z geneatoa cząstek i dlatego jej wielkość nie moŝe być wyznaczona pzez ównanie Schödingea Status tej amplitudy jest więc inny, niŝ pozostałych zmiennych, co zaznaczymy pisząc A zamiast A I Wypisany wyŝej układ ównań pzechodzi w ten sposób w układ ównań niejednoodnych na dwie juŝ tylko niewiadome amplitudy B I i A II : BI AII = A, κ B + i A = A k I II, któego ozwiązanie jest następujące: B A k i κ I = k + iκ, A A k II = k + i W obszaze piewszym mamy więc nałoŝone na siebie (czyli intefeujące) dwie fale: jedną biegnącą od geneatoa w kieunku pogu, dugą odbitą od pogu i zmiezającą w pzeciwnym kieunku W obszaze dugim ozwiązanie nie pzypomina fali: jest to funkcja szybko malejąca, gdy posuwamy się "w głąb" pogu Efekt, któemu ta funkcja odpowiada, jest czysto kwantowy: fizyka klasyczna zabania cząstkom o enegii takiej, jaką tu ozwaŝamy, pzechodzenia do obszau dugiego; mechanika kwantowa dopuszcza taką moŝliwość cząstka moŝe wyłamać się z pawa zachowania enegii bioąc enegię jak gdyby "na kedyt", pzy 4 W punkcie x = duga pochodna jest nieokeślona (bo potencjał zmienia się w tym punkcie skokowo) więc nie wiadomo, czy jest ona tam skończona Aby się o tym upewnić wystaczy jednak odwołać się do opisanego wyŝej pzejścia ganicznego, któe zagwaantuje, Ŝe potencjał w punkcie x = będzie okeślony i co waŝniejsze skończony κ

22 Równanie Schödingea czym im większy byłby ten "kedyt", tym mniejsze pawdopodobieństwo takiego zdazenia (jak to widać?) W naszym ozwiązaniu tkwi jeszcze jedna cecha specyficzna dla mechaniki kwantowej Okazuje się (łatwo to spawdzić), Ŝe gęstość pawdopodobieństwa znalezienia cząstki w obszaze piewszym zaleŝy od połoŝenia! Jest to całkowicie spzeczne z intuicyjną wizją stumienia cząstek płynącego w kieunku pogu i stumienia cząstek odbitych zmiezających w stonę pzeciwną Intuicja jest tu dodatkowo wspieana faktem, Ŝe amplitudy fal biegnących w pawo i w lewo są jednakowe ( BI = A ), co nie dziwi, jeśli się myśli klasycznie: pawdopodobieństwo spotkania cząstki w obszaze dugim jest stałe w czasie i wobec tego stumień cząstek padających na póg powinien być taki sam, jak stumień cząstek odbitych Rzeczywistość kwantowa jest jednak zupełnie inna: obydwie fale intefeują ze sobą w taki sposób, Ŝe są takie punkty w obszaze piewszym, gdzie w ogóle nie spotkamy cząstek! ZADANIE Znaleźć te punkty ZADANIE Jakie konsekwencje pociągałoby załoŝenie, Ŝe funkcja falowa wynosi zeo w dugim obszaze? ZADANIE RozwaŜyć samodzielnie pzypadek "b", to znaczy sytuację, w któej cząstka opisywana klasycznie moŝe wejść do obszau dugiego Znaleźć funkcję falową Ile jest amplitud do wyliczenia? Co zobić z amplitudą fali płaskiej pouszającej się w lewo w obszaze dugim (po z amplitudą B III z pzykładu dugiego)? Wóćmy teaz do pzypadku enegii ujemnej i ozwiąŝmy następujące zadanie: ZADANIE Spawdzić, Ŝe załoŝenie ujemnej enegii uniemoŝliwia znalezienie zadowalającego ozwiązania omawianego ównania Schödingea PRZYKŁAD RozwiąŜemy podobne zadanie dla następującego potencjału (tzw baiey potencjału):

23 3 ( ) V x dla x, = U dla < x < a, gdzie U >, dla x a Enegię ujemną wykluczamy z tych samych powodów, co w popzednim pzykładzie Dla enegii dodatnich znowu tzeba ozwaŝyć dwa pzypadki: <, > a E U b E U Zaczniemy od pzypadku "a" Postępując podobnie, jak popzednio, wypisujemy ozwiązania dla wszystkich tzech obszaów: ψ I ikx ( x) = Ae + B e ψ ( ) II I ikx κx κx x = AII e + BIIe ( x) = A e + B e ψ III III ikx III, gdzie k = me h, gdzie κ = m( U E), h ikx Zanim zszyjemy te ozwiązania w punktach x = i x = a zauwaŝmy, Ŝe nie mamy teaz podstaw do napisania B II = (dlaczego?) Za to w obszaze tze- ikx cim nie będzie fali BIIIe Wynika to z tego, Ŝe w obszaze tym spotkamy tylko to, co pzejdzie pzez baieę nie będzie więc tam cząstek pouszających się w kieunku malejącej współzędnej x Rozwiązanie w obszaze tzecim ma więc postać ( x) ikx ψ III A III e = Waunki szycia na ganicach obszaów nazucają ównania: A + BI = AII + BII, ik( A B ) = κ ( B A ), I II II κa κa ika + II = III, κa κa II II = III A e B e A e II κ ( B e A e ) ika e ika,

24 4 Równanie Schödingea Taktując amplitudę fali padającej jako zadaną, otzymujemy niejednoodny układ czteech ównań na cztey niewiadome B I, A II, B II i A III Rozwiązanie tego układu jest następujące: κ k + sinhκa k κ BI = A, κ k sinhκa i coshκa k κ A B II II = = κa k e i κ A, κ k sinhκa i coshκa k κ κa k e i + κ A, κ k sinhκa i coshκa k κ A III = A e ika i κ k sinhκa i coshκa k κ ZADANIE Pokazać, Ŝe Moduł funkcji falowej w obszaze dugim maleje ze wzostem zmiennej x (pomimo tego, Ŝe B II ) Zachodzi związek: B + A = A I III Jest to konsekwencja tzw ównania ciągłości, któe poznamy w jednym z następnych ozdziałów Wynik ten moŝemy jednak juŝ teaz zintepetować następująco: stumień cząstek nadlatujących z geneatoa ozdziela się na stumień

25 5 cząstek odbitych od baiey i pzechodzących pzez baieę Bilans musi się zgadzać 3 W pzypadku, gdy U, amplitudy poszczególnych składników ozwiązania zachowują się następująco: BI A, A II, B II, A III Spawdzić to i zintepetować ten wynik Pzypadek E > U powadzi do ozwiązania oscylującego we wszystkich tzech pzedziałach (Dlaczego fala w obszaze dugim jest w tym pzypadku dłuŝsza od fal w obszaach piewszym i tzecim?) W obydwu powyŝszych pzykładach wystąpiły cząstki nadlatujące z "nieskończoności" i odlatujące do nieskończoności RozwaŜymy teaz pzykład stanu związanego, tj takiego, w któym cząstka, będąc pod wpływem sił wciągających ją do pewnego obszau, będzie pozostawać w tym obszaze Tójwymiaowym pzykładem takiej sytuacji fizycznej jest elekton uwięziony w polu jąda atomowego Nasz pzykład będzie jednowymiaowy: pewien odcinek osi x oganiczymy z dwóch ston pogami potencjału PRZYKŁAD 3 W jednowymiaowym świecie cząstka pousza się w polu sił opisanym potencjałem ( ) V x U dla x < a i dla x > a, gdzie U >, a > = dla a < x < a (tzw studnia potencjału) Podobnie, jak w popzednich pzykładach, ównanie Schödingea odzuca enegie ujemne (spawdzić!) Enegie dodatnie znowu podzielimy na pzypadki E < U oaz E > U Dugi pzypadek nie będzie nas na azie inteesował jest on badzo podobny do tych ozwaŝanych wcześniej i odpowiada cząstkom nadlatującym z nieskończoności i ozpaszającym się na studni potencjału podobnie, jak wyŝej ozpaszały się na baieze Pzypadek E < U stwaza jednak zupełnie nową sytuację Nie ma juŝ teaz cząstek nadbiegających z jakiegoś geneatoa Mamy cząstkę uwięzioną w studni potencjału (jamie potencjału) Klasyczne podejście do tego układu mechanicznego pzewiduje oczywiście, Ŝe cząstka będzie odbijać się spęŝyście w punktach a

26 6 Równanie Schödingea oaz + a, czyli zaopatzona w dowolną enegię mniejszą od U, będzie oscylować (nie hamonicznie!) między tymi punktami Podejście kwantowe adykalnie zmienia ten obaz Wzoując się na popzednich pzykładach moŝemy bowiem napisać ozwiązanie odpowiedniego ównania óŝniczkowego w postaci: ψ ( ) I κx κx x = AI e + BIe ψ II II II ψ III, gdzie κ = m( U E), h ( x) = A cos kx + B sin kx, gdzie k = me h ( ) κx κx x = AIII e + BIIIe (W obszaze dugim pzyjęliśmy nieco inny zapis, niŝ pzedtem, ale łatwo pokazać, Ŝe jest on ównowaŝny fomule popzednio uŝywanej pod waunkiem odpowiedniego pzedefiniowania amplitud) Z pzyczyn, któe juŝ znamy, kładziemy AI = BIII =, zaś waunki szycia dostaczą następujących ównań dla pozostałych amplitud: κa B e = A cos ka B sin ka, I II κa κb e = k( A sin ka + B cos ka), I II κa A e = A cos ka + B sin ka, III II κa κa e = k( A sin ka B cos ka) III II II II II II Otzymaliśmy tym azem jednoodny układ ównań, co jak się zaaz oka- Ŝe ma istotne konsekwencje fizyczne JeŜeli bowiem szukamy ozwiązań óŝnych od zea, to musimy zadbać o spełnienie waunku znikania wyznacznika podstawowego tego układu (wato obliczyć): czyli [( κ ) κ ] κa e k sin ka + kcos ka =, κ k + κkctg ka = ZauwaŜmy, Ŝe jedynym wolnym paametem w tym ównaniu jest enegia E Jest to więc ównanie, któe dopuszcza tylko pewne watości enegii jako zadowalające fizycznie; dla innych watości ównanie Schödingea nie będzie miało niezeowych ozwiązań! Taktując powyŝszy waunek jako ównanie kwadatowe, stwiedzimy, Ŝe ctg( ) Watości ene- będzie ono spełnione, gdyκ = ktg( ka) lub gdy κ = k ka,

27 7 gii E, bane z pzedziału < E < U, spełniające któekolwiek z tych ównań, są jedynymi dopuszczalnymi watościami enegii z tego pzedziału Pzypomnijmy ównanie, któe tu ozwiązujemy, i w któym figuuje liczba E : h + V ( x ) ψ ( x ) = Eψ ( x ) m Podobnie, jak w pzykładzie piewszym, dowodzi się, Ŝe ównanie to nie ma ozwiązań dla E < i moŝe mieć ozwiązania (jeszcze ich nie wypisaliśmy) dla niektóych watości E z pzedziału < E < U Pzypadkiem E > U zajmiemy się niŝej ZauwaŜmy, Ŝe powyŝsze ównanie jest ównaniem własnym opeatoa enegii a dopuszczalne watości enegii to komplet jego watości własnych Wóćmy do achunków PowyŜsze dwa tygonometyczne ównania na watości enegii ozwiązuje się numeycznie albo gaficznie Opis ozwiązania gaficznego znaleźć moŝna w zbioze zadań Flügge i Maschall'a pt "Metody achunkowe teoii kwantów" (zadanie 4) Wynika z niego, Ŝe istnieje zawsze co najmniej jedna dopuszczalna watość enegii a liczba tych dopuszczalnych watości wzasta waz ze wzostem "głębokości" studni U i jej długości a Pozostaje nam znaleźć ozwiązania ównania Schödingea dla dopuszczalnych watości enegii JeŜeli enegia jest tak dobana, Ŝe wyznacznik podstawowy układu ównań znika, to otzymamy niezeowe ozwiązania w postaci A II κa ( k ka κ ka) = B e I cos + sin, k κa ( ka k ka) B B e II = I κ cos sin, k κ AIII = BI coska + sin ka, k co pzy spełnieniu waunku κ = ktg( ka κa A B e II = I cos ka B II =, A = B, III I, ) powadzi do a w pzypadku, gdy spełniony jest waunek κ = kctg( ka A II =, ) daje

28 8 Równanie Schödingea κa B B e II = I sin ka A = B III I, Wyliczone amplitudy powadzą odpowiednio do następujących funkcji falowych: w piewszym pzypadku w dugim pzypadku κx ψ ( x) = B e, I I κa ψ II ( x) = B e I cos kx cos ka κx ψ ( x) = B e, III κx ψ ( x) = B e, I I I κa ψ II ( x) = B e I sin kx sin ka κx ψ ( x) = B e III I,, + Otzymane ozwiązania są zaleŝne od jednej stałej (w naszym zapisie od B I ), pzy czym wybó tej właśnie amplitudy do oli stałej nomalizującej całe ozwiązanie jest pzypadkowy Dobieając odpowiednio stałą B I moŝemy uzyskać dowolną watość całkowitego pawdopodobieństwa znalezienia cząstki gdziekolwiek na osi x: ψ ( x ) ψ ( x) dx Wypisana całka powinna więc wynosić Nadawanie stałej B I odpowiedniej watości nazywamy nomalizacją a uzyskaną w ten sposób funkcję unomowaną funkcją falową ZADANIE Znaleźć moduł liczby B I dla funkcji falowej opisującej jedną cząstkę ZauwaŜmy, Ŝe mamy tu piewszy pzypadek funkcji falowej, dla któej pocedua nomalizacji moŝe być pzepowadzona Takie funkcje falowe nazwiemy funkcjami nomowalnymi MoŜna pokazać, Ŝe nomowalność funkcji falowej idzie zawsze w paze z punktowym widmem enegii (a takie właśnie występuje w ozwaŝanym tu pzedziale enegii < E < U ) i z uwięzieniem cząstki Jako ćwiczenie wato spawdzić, Ŝe dla enegii E > U mamy widmo ciągłe (wszystkie enegie E > U są dopuszczalne fizycznie), funkcja falowa pzestaje być nomowalna, poniewaŝ odpowiednia całka jest nieskończona, a cząstka moŝe odlecieć do

29 9 nieskończoności Jaka byłaby wtedy funkcja falowa, gdybyśmy "na siłę" póbowali ją unomować do jedności? ZADANIE RozwaŜyć studnię z ostatniego pzykładu dla pzypadku U = Wskazówka: ZauwaŜmy, Ŝe pogi potencjału stanowiące bzegi studni stają się tu całkowicie "niepzemakalne" dla cząstek, czyli Ŝe w obszaach piewszym i tzecim funkcja falowa wynosi zeo a piewsza pochodna jest nieciągła na bzegach studni Znaleźć watości własne enegii (tu da się to zobić analitycznie) Spawdzić, jak odległości poziomów enegii zaleŝą od szeokości studni ZADANIE Rozwiązać ównanie Schödingea dla potencjału pzedstawionego na wykesie (na lewo od punktu x = potencjał jest nieskończony) Godna polecenia jest badzo pouczająca dyskusja tego zadania zawata w zbioze zadań z mechaniki kwantowej Flügge-Maschall'a (zadanie uwaga na błędy dukaskie we wzoze 7) Poponujemy ozwiązywać je w następującej konwencji: Ψ I = Asin kx, κ ( x a) ( x a) Ψ II = B e + B e κ ik ( x b) ik ( x b) Ψ III = Ce + e, poniewaŝ falą padającą jest tu fala pzesuwająca się w lewo w obszaze III, PRZYKŁAD 4 Jednowymiaowy oscylato hamoniczny RozwaŜmy potencjał oscylatoa V ( x) Schödingea ma postać: = kx Odpowiednie ównanie

30 3 Równanie Schödingea h d + m dx kx ψ ( x) = Eψ ( x) Opieając się na popzednich pzykładach moŝemy pzewidzieć, Ŝe widmo watości własnych enegii będzie w całości dodatnie i wyłącznie punktowe, bo dla wszystkich, nawet dla dowolnie duŝych enegii, cząstka jest tu uwięziona w studni potencjału ZauwaŜmy teŝ, Ŝe jest to piewszy pzykład z potencjałem zadanym analityczną funkcją nie będziemy więc dzielić osi x na obszay Na wstępie poddamy nasze ównanie pewnym zabiegom, któe uposzczą jego zapis: pzejdziemy do współzędnej bezwymiaowej ξ = αx (gdzie α jest na azie nieznaną stałą o wymiaze odwotności meta) i ukyjemy liczne inne stałe obecne w ównaniu Skoo teaz postać: d dx h α d k + = ξ α ξ ψ ξ m d α czyli oznaczając ψ otzymujemy ( ξ) ξ u( ξ) α d u mk me + 4 u = u dξ h α ξ ξ h α d = α, to ównanie Schödingea pzyjmie d ξ ( ) ( ξ) Stałą α wybieamy w postaci α = ( ξ) d u + ξ u( ξ) = λu( ξ ), dξ gdzie w bezwymiaowej stałej λ = E h m k ψ ξ α E, mk 4 h (wato spawdzić wymia) i ukyta jest watość własna enegii Dla wielkich watości ξ powyŝsze ównanie pzybiea postać ( ξ ) d u dξ + ξ u ( ξ ) = ξ ± a jego ozwązanie łatwo odgadnąć: u ( ξ ) = e

31 3 Rozwiązanie z plusem w wykładniku powadziłoby do nienomowalnej funkcji falowej i naleŝy je odzucić Dlatego poszukujemy dokładnego ozwiązania w postaci s u( ξ ) = ξ H ( ξ ) e ξ, gdzie H( ξ ) jest nieznanym wielomianem a s - nieznanym, nieujemnym (niekoniecznie całkowitym) wykładnikiem Podstawiając do ównania otzymujemy d dξ d ξ + dξ Wielomian ( ) [ ] = s ( λ ) ξ H ( ξ ) H ξ = a + a ξ + a ξ + (na tym etapie nie pzesądzamy o tym, jakiego stopnia ma to być wielomian) podstawiamy do ównania i kozystamy z tego, Ŝe ównanie winno pzejść w toŝsamość: k = a k + s k+ s ( k + s + ) ξ a [ ( k + s) + λ] ξ ( k + s + ) k+ k k = Wynika stąd, Ŝe dla k =,,, zachodzi związek ekuencyjny a k + = a k k + λ ( k + )( k + ) a i ( s + ) s a takŝe, Ŝe s( s ) = a = Zacznijmy analizę od tych ostatnich dwóch związków Gdyby s nie było liczbą całkowitą, to dla ich spełnienia musiałoby zachodzić a = a =, co waz z fomułą ekuencyjną dawałoby od azu znikającą funkcję falową, czyli pustą studnię potencjału Watości paametu s, któe pozwoliłyby na to, aby współczynniki a i a nie znikały ównocześnie, są s =, s = i s = Pzypadek s = musimy odzucić w z pzyczyn fizycznych (funkcja falowa byłaby osobliwa w punkcie x = ) Pzypadek s = zaaz ozwaŝymy Pzypadek s = nie dopowadzi do nowych ozwiązań, bo wyaŝenie ξ H ( ξ ) = ξh ( ξ ) byłoby wielomia- s nem, tak jak H ( ξ ) Kladziemy więc s = ZauwaŜmy, Ŝe powyŝsza fomuła ekuencyjna pozwala wyliczyć osobno wszystkie współczynniki a k o wskaźniku pazystym, jeŝeli tylko znany jest współczynnik a (a ten jest dowolny) i osobno wszystkie współczynniki "niepazyste"

32 3 Równanie Schödingea jeŝeli znany jest a (teŝ dowolny) Na pozó znaleźliśmy juŝ ozwiązanie: wybieamy dowolnie a i a, eszty współczynników dostaczy wzó ekuencyjny Okazuje się jednak, Ŝe uzyskane w ten sposób funkcje będą się badzo "źle" zachowywać w nieskończoności (po eksponenty osnące nieoganiczenie, któe spotkaliśmy w niektóych popzednich pzykładach) Na azie nie wiemy, jak wysokiego stopnia winien być wielomian H( ξ ) Widać, Ŝe dla duŝych watości paametu k stosunek kolejnych pazystych lub ak+ kolejnych niepazystych współczynników zachowuje się jak Mate- a k matycy dowodzą, Ŝe nieskończony szeeg potęgowy o takich własnościach musi epezentować funkcję zachowującą się w nieskończoności jak ξ k ξ n e, gdzie n jest pewną skończoną liczbą natualną Takie zachowanie funkcji H( ξ ) byłoby nie do pzyjęcia (nienomowalność funkcji falowej) Z tej sytuacji jest jednak wyjście ZauwaŜmy, Ŝe licznik ułamkowego współczynnika we wzoze ekuencyjnym ośnie ze wzostem k Gdyby watość tego współczynnika osiągała zeo dla pewnej watości k, to wszystkie następne współczynniki o tej samej "pazystości" byłyby ówne zeo Gdyby na pzykład dla k = 5 zachodziło k + λ =, to automatycznie mielibyśmy a = a = a = = Równocześnie jednak mielibyśmy na pewno óŝne od 7 9 zea wszystkie współczynniki "pazyste" (dlaczego?), jeŝeli nie zadbamy o to, aby je wszystkie wyzeować kładąc a = W omawianym pzykładzie funkcja H( ξ ) będzie więc niepazystym wielomianem stopnia piątego i jej asymptotyczne zachowanie będzie bez zazutu (dlaczego?) Podobnie, gdy szeeg uywa się na jakimś wyazie pazystym, tzeba wyazy niepazyste wyzeować "ęcznie", kładąc a = JeŜeli watość paametu λ jest taka, Ŝe nie uywa się Ŝaden z ciągów (ani "pazysty" ani "niepazysty"), to zgodnie z tym, co było powiedziane wyŝej funkcja falowa ma niedopuszczalne zachowanie asymptotyczne i nie moŝe odpowiadać Ŝadnej sytuacji fizycznej Jakie więc są te szczególne watości λ? Ze wzou ekuencyjnego wynika, Ŝe powinno zachodzić λ = n + dla jakiejś natualnej watości n Sięgając do definicji paametu λ, pzekonujemy się, Ŝe właśnie uzyskaliśmy waunek kwantujący enegię: E n k = n + n c m = + h hω ; n =,,, (ω c jest częstością klasycznego oscylatoa) Odpowiadające tym watościom enegii funkcje falowe mają postać

33 33 ( αx) Ψ n x N n H n x e, ( ) = ( α ) a wielomiany H n ( ξ ) spełniające ównanie H '' ξ H ' + nh = n n n noszą nazwę wielomianów Hemite a Dla enegii innych, niŝ wymienione wyŝej szczególne watości, funkcja falowa zmieza do nieskończoności dla osnących watości x i nie moŝe odpowiadać obiektowi fizycznemu ZauwaŜmy, Ŝe nasze pzewidywania co do chaakteu widma oscylatoa, znalazły potwiedzenie Wato zwócić uwagę, Ŝe ównanie Schödingea nie pzewiduje istnienia funkcji falowej odpowiadającej cząstce spoczywającej na śodku studni potencjału: stan podstawowy (tak okeśla się w mechanice kwantowej stan o najniŝszej dopuszczalnej enegii) odpowiada enegii E = hω c óŝnej od zea! WiąŜe się to z tzw zasadą nieoznaczoności, o któej będzie mowa w dalszej części wykładu ZADANIE ψ n x mogą być wybane jako zeczywiste Dzięki temu moŝna spoządzić ich wykesy Poszę to zobić dla piewszych kilku poziomów enegetycznych Wato teŝ wykeślić kwadaty tych funkcji, co da ozeznanie w ozkładzie gęstości pawdopodobieństwa, i poównać wynik z pzewidywaniami klasycznego modelu mechanicznego (Kto nie ma moŝliwości pacy na komputeze, niech naszkicuje wykesy piewszych kilku funkcji Rysunki do poównania moŝna znaleźć w podęczniku Schiff'a 5 ) Jak wynika z powyŝszych ozwaŝań, funkcje falowe oscylatoa ( ) PowyŜsze pzykłady mogą stanowić ilustację dla kilku uwag Pzede wszystkim zauwaŝyliśmy wagę poblemu własnego w mechanice kwantowej Watości własne odpowiedniego opeatoa (jak się niŝej okaŝe hemitowskiego) są dopuszczalnymi watościami wielkości fizycznej, za któą ten opeato jest odpowiedzialny Watości te mogą być miezone, co daje moŝliwość ekspeymentalnego potwiedzenia popawności teoii ZauwaŜmy teŝ specyficzny odzaj zaleŝności od czasu, jaka występuje w wyliczonych pzez nas funkcjach falowych Upływ czasu powoduje tylko liniowy 5 Schiff L I: "Mechanika kwantowa", PWN, Waszawa 977

34 34 Równanie Schödingea h pzyost fazy funkcji falowej Ψ( x, t ) (popzez zawaty w niej czynnik e ) Skutkiem tego, pzestzenny ozkład pawdopodobieństwa znalezienia cząstki jest stały w czasie (patz następne zadanie) Stany takie nazywamy stanami stacjonanymi ale nie są to jedyne stany będące ozwiązaniami ównania Schödingea zaleŝnego od czasu Aby to zobaczyć, ozwiąŝmy następujące ZADANIE Niech funkcje falowe i Et i E t Ψ i E t Ψ ( x, t) = ( x) h ψ e, ( x, t) = ( ) x e ψ h, będą ozwiązaniami pełnego ównania Schödingea (tzn tego z pochodną czasową po pawej stonie) Pokazać, Ŝe jeŝeli stan cząstki opisany jest któymkolwiek z tych ozwiązań, to pzestzenny ozkład pawdopodobieństwa znalezienia cząstki jest stały w czasie h Ψ x, t = ckψ k x e Pokazać, Ŝe dowolna supepozycja ( ) ( ) ównieŝ jest ozwiązaniem ównania Schödingea Czy pzestzenny ozkład pawdopodobieństwa pozostaje stały w czasie w takim pzypadku? (Tzw stany niestacjonane) Do oscylatoa hamonicznego, a takŝe do wcześniejszych pzykładów, jeszcze wócimy Pzede wszystkim okaŝe się, Ŝe funkcje falowe, związane z óŝnymi watościami własnymi, pozostają względem siebie w badzo szczególnych elacjach, a opeatoy odpowiadające wielkościom fizycznym mają wspólne, nietywialne własności Aby to wszystko zobaczyć, musimy jednak zapoznać się z badziej fundamentalnym podejściem do mechaniki kwantowej, a jeszcze wcześniej, opanować tzw notację Diaca, będącą wygodnym sposobem zapisu wektoów i ich współzędnych, opeatoów i ich współzędnych oaz wszelkich pzekształceń związanych ze zmianą bazy w pzestzeniach wektoowych Mechanika kwantowa jak się okaŝe jest nasycona takimi elementami i wybó ekonomicznego sposobu zapisywania badzo ułatwia achunki Na jakiś czas odłoŝymy więc fizykę na bok k i E t k