(U.17) Zastosowania stacjonarnego rachunku zaburzeń

Transkrypt

1 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 66 Rozdział 38 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 38. Stuktua subtelna w atomie wodoopodobnym 38.. Hamiltonian i jego dyskusja Popzednio badaliśmy atom wodoopodobny, któy opisywaliśmy hamiltonianem H 0 = p m β Z q, gdzie β = πε 0 Otzymaliśmy wówczas poziomy enegetyczne badaliśmy tylko widmo dysketne oaz funkcje falowe. Nie wzięliśmy pod uwagę całego szeegu popawek wynikających pzede wszystkim z: faktu, że elekton jest cząstką o spinie s = ; konieczności uwzględnienia popawek elatywistycznych. Aby "popawić" popzednie "gube" pzybliżenie weźmiemy teaz hamiltonian złożony z następujących składników H = mc + H 0 + H + H SO, 38. gdzie mc jest enegią spoczynkową elektonu, H 0 to hamiltonian atomowy 38. p 4 H = 8m 3, popawka elatywistyczna do enegii kinetycznej, 38.3 c d V H SO = L m c d S, oddziaływanie spin obita W ostatniej fomule V = β/ jest po postu potencjałem coulombowskim. Popawka związana z oddziaływaniem spin obita jest ównież natuy elatywistycznej, lecz nosi odębną nazwę. Hamiltonian H dany w 38. jest pzybliżeniem ównania Diaca w piewszym zędzie względem v /c dla atomu wodoopodobnego, w układzie odniesienia w któym jądo spoczywa, zaś elekton pousza się dookoła. Sens fizyczny H i H SO Pochodzenie składników mc i H możemy zozumieć, jeśli weźmiemy elatywistyczne wyażenie dla enegii E = p c + m c 4 = mc + p m c, 38.5 S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 66

2 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 67 któe ozwiniemy w szeeg z dokładnością do wyazów dugiego zędu E mc + p m c p 8 m c = mc + p m p 4 8m 3 c Składnik kwadatowy w p jest oczywiście opeatoem enegii kinetycznej "siedzącym" w hamiltonianie atomowym H 0. Enegia spoczynkowa elektonu jest stałym pzyczynkiem do watości własnych enegii. Jeżeli więc pzesuniemy skalę enegetyczną wybiezemy zeo na skali enegii tam, gdzie było mc, to enegię spoczynkową możemy pominąć. Składnik popocjonalny do p 4 to oczywiście człon H. Pozostaje więc omówić H SO oddziaływanie spin obita. Poniższe wyjaśnienie należy potaktować jakościowo i intuicyjnie, nie jest ono ścisłe, bo bazuje na naszych pzyzwyczajeniach wynikających z fizyki klasycznej. W układzie spoczynkowym elektonu pole elektomagnetyczne jąda ma niezeowy pzyczynek magnetyczny tansfomacja Loentza pola coulombowskiego. Spin moment magnetyczny elektonu spzęga się z polem magnetycznym. A zatem elekton "widzi" pole magnetyczne B = c E v, 38.7 któe wynika z tansfomacji Loentza z układu, w któym spoczywa jądo, do układu spoczynkowego elektonu. Ze spinem elektonu związany jest moment magnetyczny M s = µ B S = q m S. = q m S 38.8 Enegia oddziaływania momentu magnetycznego 38.8 z polem 38.7 wynosi więc W SO = B M s = q E v mc S Lecz pole elektyczne pzypominamy, że V to enegia potencjalna d V E = gad V =, 38.0 q q d co podstawiamy do wzou 38.9 i dostajemy [ ] d V W SO = mc v d S d V = m c p d S = m c d V L d S. 38. Poównując ten wynik z H SO w 38.4 widzimy, że bakuje tu czynnika /. Czynnik ten pojawia się pzy badziej subtelnym ozważeniu tansfomacji Loentza elekton nie pousza się uchem postoliniowym. Sens fizyczny oddziaływania spin obita nie ulega jednak zmianie jeśli owe subtelności uwzględnimy. Dlatego też wyażenie H SO = m c d V d L S. 38. pzyjmujemy jako hamiltonian oddziaływania spin obita. Zauważmy jeszcze, że wypowadzona fomuła dopuszcza dowolny potencjał sfeycznie symetyczny. W pzypadku atomu wodoopodobnego dv d = d d β = β, 38.3 więc dla atomu wodoopodobnego hamiltonian oddziaływania spin obita ma postać β H SO = L m c 3 S S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 67

3 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 68 Oszacowanie zędów wielkości Rozważmy zędy wielkości enegii związanych z wpowadzonymi popawkami do hamiltonianu. Oszacujemy najpiew popawkę elatywistyczną do enegii kinetycznej. Zbadamy ją w elacji do enegii własnych hamiltonianu H 0, któe oszacujemy za pomocą enegii kinetycznej. Otzymujemy H H 0 p 4 8m 3 c m p = p 4m c E kin, 38.5 E spocz bowiem wiemy, że enegie elektonu w atomie wodoopodobnym są zędu α mc, gdzie α /37 stała stuktuy subtelnej. A więc popawka elatywistyczna do enegii kinetycznej jest zeczywiście mała dla niezbyt ciężkich atomów. Podobnie badamy enegie związane z oddziaływaniem spin obita. Ponieważ zaówno L jak i S są zędu, więc hamiltonian 38.4 oszacujemy w następujący sposób H SO β m c Hamiltonian atomowy H 0 możemy szacować zaówno za pomocą enegii kinetycznej jak i potencjalnej są one tego samego zędu. Wobec tego, kozystając z 38.6 napiszemy H SO H 0 m c, bowiem E pot = β Dobym oszacowaniem pomienia jest pomień Boha a B = /mβ. Więc dalej H SO H 0 m β m c 4 = β c Iloaz w nawiasie, dla atomu wodou Z = odtwaza stałą stuktuy subtelnej α. Więc w końcu H SO H α Stwiedzamy więc, że popawka ze względu na oddziaływanie spin obita jest tego samego zędu co popawka elatywistyczna do enegii kinetycznej. Obie popawki powadzą do pzyczynków enegetycznych znacznie mniejszych niż enegie własne hamiltonianu atomowego H 0. Wnioskujemy więc, że stosowanie stacjonanego achunku zabuzeń jest uzasadnione. Punkt wyjścia do achunku zabuzeń Będziemy stosować metody stacjonanego achunku zabuzeń do hamiltonianu H = H 0 + H + H SO, 38.0 gdzie olę hamiltonianu swobodnego niezabuzonego pełni hamiltonian atomowy 38., zabuzeniami zaś są: popawka elatywistyczna do enegii kinetycznej H dana w 38.3; oddziaływania spin obita z hamiltonianem H SO zdefiniowanym w S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 68

4 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 69 Zwacamy uwagę, że teaz musimy uwzględnić fakt, że elekton posiada spin. Nie zmienia to jednak watości własnych hamiltonianu H 0 enegii niezabuzonych E n = E IB, n =,, 3, n Są one pzy uwzględnieniu spinu zdegeneowane g n = n -kotnie. Funkcje falowe funkcje własne hamiltonianu niezabuzonego atomowego ψ nlm = R nl Y ml θ, ϕ znane z dyskusji atomu wodoopodobnego muszą zostać uzupełnione o spin. A więc jako niezabuzone stany własne H 0 pzyjmiemy teaz ψ nlm spin Ψ nlmms = ψ nlm χ ms = R nl Y lm χ ms, 38. gdzie χ ms oznacza spino dwuskładnikowy. A więc niezabuzone funkcje falowe, któymi będziemy się posługiwać zależą od czteech liczb kwantowych: głównej n, azymutalnej l l = 0,,..., n, magnetycznej m, m = l,..., l i spinowej m s = ± Popawka do enegii kinetycznej Najpiew ozważymy popawkę do enegii kinetycznej, związaną z hamiltonianem H. Szukamy popawek do enegii E n 0 = E I /n, któa jest n -kotnie zdegeneowana ze względu na liczby kwantowe l, m oaz m s. Musimy więc zbadać maciez zabuzenia W kin = Ψ nlmms p 4 8m 3 c Ψ nl m m, 38.3 s któa w ogólnym pzypadku ma wymia n n. Ponieważ ozważamy n-ty stan enegetyczny, więc główna liczba kwantowa n jest ta sama po obu stonach elementu maciezowego. Pzede wszystkim zauważmy, że zabuzenie H nie zależy od zmiennych spinowych, więc maciez zabuzenia musi być diagonalna w spinowej liczbie m s : W kin = δ msm ψ s nlm p 4 8m 3 c ψ nl m, 38.4 Aby kontynuować obliczenia musimy jakoś wyazić opeato p 4. W hamiltonianie atomowym niezabuzonym występuje p, zatem p 4 = 4m H 0 V, 38.5 co możemy wykozystać w maciezy zabuzenia, któą teaz zapiszemy jako W kin = δ m sm s mc ψ nlm H 0 V H 0 V ψ nl m Obliczając element maciezowy musimy badzo uważać, bowiem H 0 zawiea opeato pędu, któy wcale nie musi komutować z potencjałem. Podstawiamy potencjał coulombowski i kozystając z S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 69

5 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 70 elacji zupełności stanów ψ nlm oaz z faktu, że są to stany własne H 0, dostajemy ψ nlm H 0 + β H0 + β ψnl m = = ψ nlm H 0 + β ψnlm ψ NLM H 0 + β ψnl m NLM = { ψ nlm E n 0 ψ NLM + ψ nlm β } ψ NLM NLM = { NLM { ψ NLM E 0 N ψ nl m + ψ NLM β } ψ nl m E 0 n E 0 N ψ nlm ψ NLM ψ NLM ψ nl m + E 0 n ψ nlm ψ NLM ψ NLM β ψ nl m + E 0 N ψ NLM ψ nl m ψ nlm β ψ NLM + ψ nlm β ψ NLM ψ NLM β ψ nl m } 38.7 Poządkując uzyskane wyażenie otzymujemy dalej ψ nlm H 0 + β ψnl m = { δ nn E n 0 E 0 N δ ll δ mm δ Ll δ Mm + E n 0 δ ll δ mm ψ NLM β ψ nl m NLM + E 0 N δ Ll δ Mm ψ nlm β } ψ NLM + ψ nlm β ψ nl m, 38.8 gdzie w ostatnim składniku ponownie skozystaliśmy z elacji zupełności. Obliczając sumy dostajemy ψ nlm H 0 + β ψnl m = E n 0 δll δ mm + E n 0 ψ nlm β ψ nl m + ψ nlm β ψ nl m Pozostałe elementy maciezowe są śednimi z potęg odległości elektonu od jąda, liczonymi w bazie funkcji własnych atomu wodoopodobnego. Śednie takie obliczaliśmy upzednio, pamiętamy że są one diagonalne w liczbach kwantowych l i m, a zatem ψ nlm H 0 + β ψnl m [ E 0 ] = δ ll δ mm n + β E 0 n nl + β nl Wstawiamy obliczony element maciezowy do wyażenia 38.6 dla maciezy zabuzenia, któa pzyjmuje postać W kin = δ m sm δ s ll δ [ mm E 0 ] mc n + β E 0 n nl + β nl Widzimy, że uzyskana maciez zabuzenia jest diagonalna względem wszystkich tzech liczb kwantowych: spinowej m s, obitalnej l i magnetycznej m, więc jej watości własne to po postu elementy diagonalne. Jednocześnie elementy tej maciezy zależą od głównej liczby n oaz od l. Wnioskujemy więc, że zabuzenie związane z elatywistyczną popawką do enegii kinetycznej S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 70

6 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 7 powinno pzynajmniej częściowo usunąć degeneację. Popawki piewszego zędu do n -kotnie zdegeneowanej enegii E n 0 są watościami własnymi maciezy zabuzenia jej elementami diagonalnymi wynoszącymi E nl kin = mc [ E 0 n + β E 0 n nl + β ] nl Wato w tym miejscu pzypomnieć oznaczenia wpowadzone pzy dyskusji atomu wodoopodobnego, a mianowicie E 0 n = mc α Z n gdzie α jest stałą stuktuy subtelnej α = q 4πε 0 c = Z α = β c = β = Zα c Co więcej, watości oczekiwane nl nl zostały obliczone w 5.7 i 5.8. Wynoszą one nl = Z a 0 n, nl gdzie a 0 oznacza pomień Boha dany wzoami = Z a 0 n 3 l +, a 0 = m 4πε 0 q = mα c = αmc Na podstawie tych oznaczeń wyażamy popawki 38.3: E nl kin = mc [ Z 4 4n 4 mc α 4 Z3 β n 4 a 0 mc α + Rozważmy czynnik Zβ/a 0. Z i otzymujemy Z β ] a 0 n3 l Zβ = Z α c αmc a 0 = Z α mc, dzięki któemu poządkujemy dalej wyażenie E mc Z 4 α 4 3 nl kin = n 3 4n l + = E n 0 Z α 3 n 4n l Widzimy, że popawka elatywistyczna do enegii kinetycznej jest zeczywiście α azy mniejsza niż enegia niezabuzona o ile Z nie jest zbyt duże. Potwiedza to nasze wcześniejsze oszacowanie Niestety oszacowanie to "psuje" się dla dużych Z, co o tyle nie powinno dziwić, że jak wiemy, nieelatywistyczna teoia atomu wodoopodobnego ównież "psuje" się dla ciężkich atomów. Widzimy także, że otzymana popawka zależy od obitalnej liczby kwantowej l, a więc degeneacja zostanie częściowo usunięta. Degeneacja ze względu na m oaz m s pozostaje nie zmieniona. S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 7

7 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 7 Popawki do enegii stanów atomu wodou W zasadzie powinniśmy wstzymać się z dyskusją dopóki nie obliczymy popawek wynikających z oddziaływania spin-obita. Mimo to, dyskusja popawek E nl kin jest pouczająca i dlatego ją tu pzepowadzimy. Otzymane ezultaty zilustujemy na pzykładzie atomu wodou Z =. n -kotnie zdegeneowane niezabuzone poziomy odpowiadają enegiom po E 0 n = mc α n Relatywistyczne popawki do enegii kinetycznej dane są wzoem wynikającym z 38.39, to jest E nl kin = mc α 4 n 3 l n Rozważymy zastosowanie tej fomuły do obliczenia popawek dla stanu podstawowego i piewszego wzbudzonego. Dla stanu podstawowego s, w któym n =, l = m = 0 oaz m s = ±, o enegii E0 = mc α któy jest -kotnie zdegeneowany, popawka wynosi E 0 kin = mc α = 5 8 mc α Degeneacja stanu podstawowego g =, obecna ze względu na dwa stany spinowe nie została usunięta. Popawka jest ujemna, więc enegia tego stanu ulega pzesunięciu w dół. W piewszym Rys. 38.: Popawki elatywistyczne do enegii atomu wodou dla stanu podstawowego s i dla stanu n = stanów s oaz p. Jest to schemat, na któym skala enegii nie jest zachowana. stanie wzbudzonym mamy n = i enegię E 0 = mc α /8. Stan ten jest 8-kotnie zdegeneowany. W tym pzypadku degeneacja zostanie częściowo usunięta, bowiem dopuszczalne jest teaz l = 0,. I tak dla stanu s, w któym l = m = 0 mamy popawkę do enegii E 0 kin = 6 mc α = 3 8 mc α S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 7

8 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 73 Stan s pozostaje -kotnie zdegeneowany z względu na spin. Natomiast dla stanu p, w któym l =, m = 0, ±, odpowiednia popawka wynosi E kin = 6 mc α = mc α Stan p jest nadal 6-kotnie zdegeneowany, ze względu na tzy watości magnetycznej liczby kwantowej i dwie spinowej. Uzyskane popawki do enegii stanu n = są óżne, bo zależą od obitalnej liczby kwantowej. Ośmiokotna degeneacja stanu niezabuzonego jest częściowo usunięta. Stan s n =, l = m = 0, m s = ±, jest badziej pzesunięty w dół. Stan p także będzie pzesunięty w dół skali enegetycznej, ale mniej. Sytuację tę schematycznie pzedstawia ysunek Oddziaływanie spin-obita Dyskusja wstępna Zanim pzejdziemy do obliczania w amach achunku zabuzeń popawek związanych z oddziaływaniem spin-obita, zauważmy, że do tej poy posługiwaliśmy się bazą Ψ nlmms, θ, ϕ =, θ, ϕ n, l, m, s =, m s, to jest bazą niespzężoną, bazą stanów własnych opeatoów: hamiltonianu H 0 ; obitalnego momentu pędu L ; zutu obitalnego momentu pędu L 3 na oś z; spinu S ; zutu spinu S 3 na oś z. Opeatoy te twozą ZZOK choć S niewiele wnosi, bo s = jest ustalone. Baza posłużyła jako baza niezabuzona, w któej obliczaliśmy maciez zabuzenia i popawki do enegii kinetycznej. Niestety jednak baza ta nie jest doba do obliczeń popawek wynikających z oddziaływania spin-obita. Wynika to stąd, że oddziaływanie spin-obita jest popocjonalne do opeatoa H SO L S = L S + L S + L 3 S 3, któy nie komutuje z opeatoami L k i S k, w związku z czym stany n, l, m, s =, m s nie są stanami własnymi L S. Można na ten poblem spojzeć także inaczej. Mianowicie iloczyn skalany L S można zapisać w postaci L S = L +S + L S + + L 3 S 3, gdzie L ± = L ± il oaz S ± = S ± is. Wobec tego obliczanie maciezy zabuzenia w stanach będzie badzo skomplikowane, bo opeatoy L ± i S ± będą mieć elementy maciezowe pomiędzy stanami o óżnych watościach m i m s. Znacznie wygodniej jest posługiwać się bazą, w któej opeato L S jest diagonalny. Fakty te omówiliśmy dyskutując potzebę dodawania opeatoów momentu pędu. Pokazaliśmy, że składowe całkowitego momentu pędu J = L + S, komutują z H SO, to jest [ ] HSO, J k = A zatem opeato J jest kandydatem do konstukcji ZZOK, któy pozwoli zbudować bazę, w któej H SO będzie diagonalne wektoy bazy będą stanami własnymi H SO. Dzięki temu możemy spodziewać się, że odpowiednia maciez zabuzenia też będzie diagonalna. S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 73

9 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 74 ZZOK dla atomu z oddziaływaniem spin-obita Rozważymy atom wodoopodobny z oddziaływaniem spin-obita. Na azie oganiczymy się do dyskusji sytuacji opisywanej hamiltonianem p H = H 0 + H SO = m β β + m c 3 L S W naszych ozważaniach H SO stanowi zabuzenie, zaś H 0 jest członem niezabuzonym. Szukamy popawek do enegii E n 0 enegii własnych hamiltonianu H 0. Sam opeato H 0, któego watości własne są wielokotnie zdegeneowane, nie wystacza do jednoznacznego okeślenia bazy. Dlatego też weźmiemy pod uwagę opeatoy: H 0 hamiltonian niezabuzony; 38.5a L obitalny moment pędu; 38.5b S J spin elektonu; 38.5c całkowity moment pędu; 38.5d J 3 zut całkowitego momentu pędu na oś z. 38.5e Aby spawdzić, czy opeatoy te zeczywiście twozą ZZOK, tzeba zbadać czy komutują paami. Ułatwimy sobie dyskusję komutatoów zbieając znane nam już skądinąd fakty. Dyskutując uch w potencjale centalnym, pzekonaliśmy się, że [ H0, L ] = 0, 38.5a [ ] H0, L k = b Spin jest niezależny od zmiennych pzestzennych, co w konsekwencji daje [ H0, S ] = [ ] H 0, S k = 0, 38.53a [ ] Sk, L k = b Z ogólnej teoii wiemy, że opeatoy momentu pędu spełniają [ L ], L k = 0, 38.54a [ S ], S k = 0, 38.54b [ J ], J k = 0, 38.54c Elementaną konsekwencją niezależności 38.53b spinu i obitalnego momentu pędu są elacje komutacyjne [ L, L S ] = 0, 38.55a [ S, L S ] = 0, 38.55b Ponieważ L i S komutują, więc J = L + S + L S Pzechodzimy do spawdzenia, czy opeatoy 38.5 twozą ZZOK. Musimy więc zbadać następujące elacje komutacyjne. [ H 0, L ] [ H 0, S ] 3 [ H 0, J ] 4 [ ] H 0, J 3 5 [ L, S ] 6 [ L, J ] 7 [ L ], J 3 8 [ S, J ] 9 [ S ] 38.57, J 3 0 [ J ], J 3 Relacje,, 5 i 0 są tywialne i oczywiście dają zea po. 38.5a, 38.53a, 38.53b oaz 38.54c. Omówimy skótowo pozostałe. S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 74

10 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 75 Relacja 3 z daje [ H 0, J ] = [ H 0, L + S + L S ] = 0. Piewszy i dugi składnik znikają po. 38.5a i 38.53a. Tzeci znika na mocy 38.5b i niezależności spinu od zmiennych pzestzennych. Komutato 4 ma postać [ ] H 0, L 3 + S 3 = 0, bowiem mamy 38.5b i 38.53a. Komutato 6: [ L, L + S + L S ] = 0, co wynika z 38.53b i Analogicznie komutato 7: [ L ], L 3 + S 3 = 0, na mocy 38.54a i 38.53b. Zeowanie się komutatoów 8 i 9 wynika jak dwa popzednie z 38.53b i 38.54b. A więc zeczywiście wszystkie komutatoy znikają i opeatoy 38.5 twozą ZZOK. Wektoy bazy spzężonej n, l, s =, j, m j twozą bazę stanów niezabuzonych i są stanami własnymi omawianych opeatoów, spełniają więc zagadnienia własne: H 0 n, l, s =, j, m j = E n 0, j, m j 38.59a L n, l, s =, j, m j = ll + n, l, s =, j, m j 38.59b S n, l, s =, j, m j = 3 4 n, l, s =, j, m j 38.59c J n, l, s =, j, m j = jj + n, l, s =, j, m j 38.59d J 3 n, l, s =, j, m j = m j n, l, s =, j, m j 38.59e W bazie stanów będziemy teaz badać maciez zabuzenia spowodowanego oddziaływaniem spin-obita. Szukać będziemy popawek do enegii E n 0, któe są oczywiście zdegeneowane. Pokażemy, że stopień degeneacji g n = n jest taki sam, jak w pzypadku bazy niespzężonej. Istotnie, dla danej głównej liczby kwantowej n, liczba l może mieć n óżnych watości l = 0,,,..., n. Liczba j pzyjmuje dwie możliwe watości: j = l ±. Dla każdego j, liczba kwantowa m j ma j + óżnych watości. A więc dla j = l + mamy l + stanów o óżnych m j, zaś dla j = l jest l stanów. Ponieważ l = 0,,,..., n, więc g n = n l=0 [l + + l ] = n l=0 [4l + ] = 4 nn + n = n Dyskutowaliśmy tu hamiltonian H okeślony w 38.50, któy nie zawieał H elatywistycznej popawki do enegii kinetycznej. Zwóćmy jednak uwagę,że niezabuzony hamiltonian H 0 zawiea opeato p, któy komutuje z pozostałymi opeatoami 38.5 twozącymi ZZOK. Wobec tego H popocjonalny do p 4 też komutuje z opeatoami A zatem popawki do enegii kinetycznej możemy ównie dobze liczyć w bazie spzężonej 38.58, jak i w bazie niespzężonej. Co więcej, maciez W kin, obliczona w bazie niespzężonej 38.3, dla ustalonych liczb kwantowych l i s jest diagonalna i popocjonalna do maciezy jednostkowej. Wobec tego pzejście do innej bazy bazy spzężonej 38.58, nie zmieni tej maciezy. Obliczenia popawek E nl kin pozostają bez zmian, wzó pozostaje w mocy w obu bazach. Maciez zabuzenia. Reguła Landego Pzystępujemy do analizy zabuzenia oddziaływania spin-obita. Zgodnie z pzepowadzoną dyskusją, budujemy maciez zabuzenia w bazie spzężonej Hamiltonian zabuzenia S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 75

11 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń "obkładamy" stanami bazy o jednakowych głównych liczbach kwantowych, bo chcemy obliczyć popawki do stanu o enegii E n 0. Maciez ta ma więc postać W SO = n, l, s =, j, m j ξ L S n, l, s =, j, m j, 38.6 gdzie, zgodnie z funkcja ξ zmiennej adialnej, jest zdefiniowana wzoem ξ = β m c Ponieważ adialne funkcje falowe zależą tylko od n i l, głównej i obitalnej liczb kwantowych, więc maciez zabuzenia faktoyzuje się W SO = nl ξ nl n, l, s =, j, m j L S n, l, s =, j, m j, i możemy obliczać oba czynniki oddzielnie. Z wynika, że L S = [ J L S ], co wstawiamy do dugiego czynnika maciezy zabuzenia, otzymując w ten sposób n, l, s =, j, m j L S n, l, s =, j, m j = = n, l, s =, j, m j J [ L S ] n, l, s =, j, m j = [ jj + ll + 3 ] 4 n, l, s =, j, m j n, l, s =, j, m j = [ ] δ ll δ jj δ mj m j jj + ll + 3 4, gdzie wykozystaliśmy zagadnienia własne i otonomalność wektoów bazy spzężonej. Wobec tego maciez zabuzenia ma postać W SO = nl ξ [ nl δ ll δ jj δ mj m j jj + ll + 3 ] Maciez ta jest diagonalna we wszystkich indeksach liczbach kwantowych. Widzimy więc jak pożyteczne okazało się pzejście do bazy spzężonej. Obecność delty Koneckea δ ll spawia, że element maciezowy funkcji ξ też jest diagonalny. Dlatego też możemy już wypisać popawki E n so do enegii niezabuzonych E n 0. Wynoszą one E nlj so = [ ξ nl jj + ll + 3 ] Popawki do enegii n-tego poziomu enegetycznego zależą od liczb kwantowych l i j, spodziewamy się częściowego usunięcia degeneacji, co omówimy nieco dalej. Czynnik w nawiasie kwadatowym to jeden z tzw. czynników Landego, a otzymana popawka to tzw. eguła Landego. Pzed dyskusją pewnych pzypadków szczególnych i kwestii degeneacji, musimy obliczyć watość oczekiwaną funkcji ξ. Obliczenia ξ Wpost z definicji 38.6 mamy ξ nl = β m c 3 nl = β m c 3 nl Watość oczekiwaną odwotności sześcianu pomienia znamy patz 5.3, wynosi ona 3 nl = Z3 a 3 0 n 3 l l + / l S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 76

12 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 77 Wobec tego otzymujemy ξ nl = Z 3 β m c a 3 0 n 3 l l + / l Pzekształcamy piewszy czynnik. Kozystamy z oznaczeń i i otzymujemy Z 3 β m c a 3 0 = Z4 α ma 0 = Z4 α 4 mc Podstawiając do dostajemy ξ nl = Z4 α 4 mc n 3 l l + / l Obliczoną watość oczekiwaną podstawiamy do wzou Popawka piewszego zędu do enegii wywołana oddziaływaniem spin-obita wynosi więc E nlj so = Z4 α 4 mc 4n 3 Z α = E n 0 n jj + ll l l + l + jj + ll l l + l Poównując ten wynik z n-tą enegią niezabuzoną E n 0 = Z α mc /n widzimy, że oszacowanie 38.9 było popawne. Stwiedzamy, że liczba atomowa Z nie powinna być zbyt duża o czym już mówiliśmy. Pzekształcenia wyniku W badanej sytuacji mamy ustalone s =, zatem j = l ±. Bez tudu obliczamy ostatni czynnik we wzoze 38.7 jj + ll ll + l + = l + l + dla j = l +, ll + dla j = l Wzoy te można zapisać jeszcze inaczej, jeśli zauważymy, że l + l + j + = l + dla j = l +, ll + dla j = l Zestawiając dwa powyższe wzoy możemy pzyównać ich lewe stony, co pozwala zapisać popawki 38.7 jedną fomułą E E nlj so = 0 n Z α n l + j +, słuszną dla obu dozwolonych watości liczby kwantowej j. Zwóćmy uwagę na podobieństwo tego wyniku i popawki do enegii kinetycznej. S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 77

13 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 78 Pzykładowe popawki do enegii Dla stanów ns mamy tylko l = 0, więc jedyną możliwością jest j =. W tym wypadku fomuła daje popawki E E n0j=/ so = 0 n Z α n = Z 4 α 4 n 3 mc Popawka jest dodatnia, enegia "pzesuwa" się w góę. Degeneacja nie zostaje usunięta. Dla stanów np mamy l =, a więc możliwe są dwie watości całkowitego momentu pędu j. Mamy zatem j = oaz j = 3. Na mocy dla l = i j = E E n,l=,j=/ so = 0 n Z α n 3 = Z4 α 4 6 n 3 mc Natomiast dla stanu l = i j = 3 dostajemy E E n,l=,j=3/ so = 0 n Z α n 3 Obie popawki są óżne, więc degeneacja zostanie częściowo usunięta Stuktua subtelna Dyskusja ogólna = Z4 α 4 n 3 mc Badaliśmy popawki do enegii stanów atomu wodoopodobnego, w hamiltonianie któego uwzględniliśmy spin oaz dwa pzyczynki natuy elatywistycznej: popawkę do enegii kinetycznej i oddziaływanie spin-obita. Oszacowaliśmy te popawki stwiedzając, że są one mniejsze o czynnik zędu α α stała stuktuy subtelnej niż enegie niezabuzone. Obliczenia w piewszym zędzie achunku zabuzeń pozwoliły nam uzyskać jawne wyażenia dla popawek i wykazać, że nasze wstępne oszacowania były popawne. Zbiezemy teaz nasze wyniki, obliczając popawki do enegii stanów niezabuzonych wynikające z łącznej obecności obu składników w hamiltonianie. I tak, dla enegii kinetycznej dostaliśmy E mc nl kin = Z 4 α 4 n 3 3 4n l + = E n 0 Z α n 3 4n l Natomiast oddziaływanie spin-obita jest źódłem popawki E mc Z 4 α 4 nlj so = n 3 l + j + = E n 0 Z α n l + j Zsumowanie tych popawek jest tywialne, a zatem E nj = mc Z 4 α 4 3 n 3 4n j + = n E 0 Z α n 3 4n j Zwóćmy uwagę, że sumayczna popawka wynikająca z elatywistycznych popawek w hamiltonianie zależy od dwóch liczb kwantowej: głównej n, i od całkowitego momentu pędu j. Degeneacja jest więc częściowo zniesiona. Stan układu baza spzężona dany jest wektoem n, l, s =, j, m j. Degeneacja ze względu na zut całkowitego momentu pędu, czyli ze względu na m j jest nadal j + -kotna. Natomiast ze względu na obitalny moment pędu l = j ± degeneacja jest dwukotna. W związku z tym wpowadza się notację dla podpowłok, pisząc n l j 38.8 S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 78

14 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 79 gdzie n główna liczba kwantowa. l jest obitalną liczbę kwantową, pzy czym zwyczajowo oznacza się ją liteami: S l = 0, P l =, D l =, itd Indeks j w zapisie notacji 38.8 oczywiście oznacza całkowity moment pędu j = l ±. Zastosowanie tej notacji omówimy na pzykładzie atomu wodou. Stany n = atomu wodou W atomie wodou Z =. W stanie podstawowym, główna liczba kwantowa n =, co spawia, że jedyną możliwą obitalną liczbą jest l = 0. Wobec tego całkowity moment pędu j =. W atomie wodou, stan podstawowy oznaczamy n =, = stan S / Ponieważ liczba m j pzyjmuje dwie watość m j = ±, więc jest to stan -kotnie zdegeneowany. Jego enegia niezabuzona to po E 0 n= = α mc. Z fomuły 38.8 otzymujemy dla stanu S / popawkę do enegii wynoszącą E n=,j= = α 4 mc 3 4 = 8 α4 mc = 4 E 0 n= α Degeneacja nie zostaje usunięta. Popawka jest ujemna, więc poziom n = zostaje pzesunięty w dół. Poównując ten wynik z popawką 38.4 stwiedzamy, że oddziaływanie spin-obita zmniejsza pzesunięcie enegii. Stany n = atomu wodou Dla dugiego stanu piewszego wzbudzonego mamy oczywiście n =. Enegia niezabuzona wynosi E 0 n= = 8 mc α. Stan n = jest g n= = = 8-kotnie zdegeneowany. Możliwe jest l = 0,, oaz j = l ±, pzy odpowiednich m j. Dla poządku dyskusji wypiszmy liczby kwantowe dla ośmiu stanów odpowiadających n =. A więc mamy { mj l = 0, j =, = + }, stany S m j = / } { mj l =, j =, = +, stany P m j = / m j = + 3 l =, j = 3, m j = +, stany P m j = 3/ m j = 3 Fomuła 38.8 dająca popawki do enegii zależy od liczb kwantowych n i j. W tym pzypadku liczba j ma dwie możliwe watości, zatem otzymamy dwie popawki. W ozważanym pzypadku otzymujemy dla j = czyli dla stanów S / i P / popawkę E n=,j=/ = α4 mc = 5 8 α4 mc = 5 6 E 0 n α, S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 79

15 U.7 Zastosowania stacjonanego achunku zabuzeń 80 Rys. 38.: Stuktua subtelna dla stanu n = piewszego stanu wzbudzonego w atomie wodou, spowodowana popawką elatywistyczną do enegii kinetycznej i oddziaływaniem spin-obita. Jest to tylko schemat, na któym skala enegii nie jest zachowana. dla dugiej możliwości, tj. dla j = 3 stan P 3/ mamy natomiast E n=,j=3/ = α4 mc = 8 α4 mc = 6 E n 0 α Otzymane ezultaty najlepiej jest zilustować na schemacie ys Tak uzyskana stuktua poziomów nosi nazwę "stuktuy subtelnej". Stany chaakteyzujące się óżnymi liczbami j mają óżne enegie. Ośmiokotna degeneacja stanu n = jest częściowo usunięta. Popawione enegie stanów S / i P / nadal są takie same, a więc stany te "pokywają się" dając stan o 4-kotnej degeneacji. Stan P 3/ ma inną enegię i pozostaje 4-kotnie zdegeneowany. A więc degeneacja ze względu na liczbę kwantową m j pozostaje nie jest usunięta. Jest to degeneacja zasadnicza, wynikająca z niezmienniczości pełnego hamiltonianu pzy obotach. Wato podkeślić, że uzyskane tu wyniki są zgodne z piewszymi pzybliżeniami ozwiązań ścisłego, elatywistycznego ównania Diaca. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kyszewski MECHANIKA KWANTOWA 80