Niestabilne orbity okresowe a (niektóre) własności układów chaotycznych

Transkrypt

1 Niestabilne orbity okresowe a (niektóre) własności układów chaotycznych Justyna Signerska,Jan Pyrzowski Politechnika Gdańska, Akademia Medyczna w Gdańsku

2 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje

3 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje Odtwarzanie miary naturalnej przy pomocy niestabilnych orbit okresowych

4 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje Odtwarzanie miary naturalnej przy pomocy niestabilnych orbit okresowych Escape rates

5 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje Odtwarzanie miary naturalnej przy pomocy niestabilnych orbit okresowych Escape rates Inne własności układów dynamicznych a niestabilne orbity okresowe

6 Definicje Hel 2008 p.2/3

7 Hel 2008 p.3/3 Układ dynamiczny X -p. metryczna, T -zbiór indeksów, F : T X X Definicja (F, X, T) nazywamy układem Uwaga Układy ciagłe sa zadawane dynamicznym, gdy F(t, ) = F t, przez autonomiczne równania spełnia warunki: różniczkowe zwyczajne (rzędu pierwszego): (1) F 0 (x) = x, (2) t,s T F t+s (x) = F t (F s (x)). Dla układów ciagłych T = R, dla dyskretnych T = Z, T = N. ẋ = f(x), x(0) = x 0.

8 Hel 2008 p.4/3 Miara naturalna (X, F, µ) - przestrzeń probabilistyczna Definicja Mówimy, że odwzorowanie mierzalne F : X X zachowuje miarȩ, jeśli µ(f 1 (A)) = µ(a) dla każdego A F Definicja Miara generowana przez typowe trajektorie w przestrzeni fazowej nazywana jest miara naturalna i jest ona niezmiennicza względem dynamiki układu F.

9 Hel 2008 p.5/3 Ergodyczność Definicja Odwzorowanie F : X X zachowuja ce miarȩ jest ergodyczne, jeśli spełniony jest warunek: F 1 (A) = A (A F) µ(a) = 0 lub µ(a) = 1. µ nazywamy wówczas miara ergodyczna dla F. Twierdzenie [Birkhoff] Jeśli F jest ergodyczne, µ-miara niezmiennicza oraz f L 1 (µ), to: 1 N N 1 i=0 f(f i (x)) X fdµ dla N (1)

10 Hel 2008 p.6/3 Rozmaitości stabilne i niestabilne Definicja X- zwarta gładka rozmaitość, f : X X - dyffeomorfizm klasy C k, p - punkt stały dla f Rozmaitościa stabilna punktu p nazywamy zbiór: W s (p) := {x X : lim n fn (x) p} Rozmaitościa niestabilna punktu p nazywamy zbiór: W u (p) := {x X : lim n f n (x) p}

11 Hel 2008 p.7/3 Hiperboliczność Definicja w przypadku układów dynamicznych dyskretnych x n+1 = f(x n ), mówimy, że punkt stały p jest hiperboliczny, jeśli wszystkie wartości własne macierzy Jakobiego Df(p) sa co do modułu różne od 1 w przypadku układów dynamicznych ciagłych ẋ = f(x), mówimy, że rozwiazanie stacjonarne x jest hiperboliczne, gdy żadna z wartości własnych macierzy Jakobiego Df( x) nie jest czysto urojona

12 Hel 2008 p.8/3 Hiperboliczność Definicja Odwzorowanie f nazywamy hiperbolicznym, jeśli przecinaja ce siȩ rozmaitości stabilne i niestabilne dowolnych punktów stałych zawsze przecinaja siȩ transwersalnie. Jeśli przecinaja siȩ stycznie, to odwzorowanie jest niehiperboliczne.

13 Hel 2008 p.9/3 Atraktory i repelery Definicja Zbiór zwarty i niezmienniczy A nazywamy atraktorem potoku/odwzorowania F t, jeżeli istnieje otoczenie (basen przyciagania) U A taki, że: t 0 F t (U) U oraz t 0 F t (U) = A. Repeler jest to nieprzyciagaj acy zbiór niezmienniczy; dynamika na nim ma również właściwości chaotyczne.

14 Hel 2008 p.10/3 Chaos Definicja Odwzorowanie f nazywamy tranzytywnym wtedy i tylko wtedy, gdy: =U,V X U,V otw. k>0 f k (U) V Definicja [Devaney, 1989] Odwzorowanie f : X X nazywamy chaotycznym, jeżeli: 1. f jest tranzytywne, 2. zbiór punktów periodycznych f jest gęsty, 3. f posiada wrażliwość na warunki poczatkowe.

15 Miara naturalna Hel 2008 p.11/3

16 Hel 2008 p.12/3 Wyznaczanie miary naturalnej A - atraktor o basenie przyciagania S {C i }-pokrycie atraktora A ρ(x 0, T, ǫ i )-ilość czasu, jaka trajektoria długości T wybranego losowo punktu x 0 S spędza w komórce C i rozmiaru ǫ i Wtedy miara naturalna atraktora zawarta w C i dana jest wzorem: µ i = lim T ρ(x 0, T, ǫ i ) T (2)

17 Hel 2008 p.13/3 M. naturalna a orbity okresowe Uwaga Hiperboliczne atraktory chaotyczne posiadaja nieskończenie wiele niestabilnych orbit okresowych, które tworza zbiór gęsty, ale o zerowej mierze Lebesque a. Stad miary niezmiennicze produkowane przez niestabilne orbity okresowe sa atypowe. Ponieważ jednak typowa trajektoria odwiedza ustalone otoczenie każdej z orbit okresowych z odpowiednia częstotliwościa, orbity te poniekad rozpinaja miarę naturalna.

18 Hel 2008 p.14/3 Wyznaczanie miary naturalnej M : X X - odwzorowanie d-wymiarowe x i,p - i-ty punkt periodyczny o okresie p (niekoniecznie minimalnym) Miara naturalna atraktora zawarta w C i : µ i = lim p µ i(p), (3) gdzie µ i (p) = L 1 (x i,p ) x i,p C i 1 (4) oraz L 1 (x i,p ) jest iloczynem rozszerzajacych wartości własnych macierzy Jakobiego DM p (x i,p ).

19 Hel 2008 p.15/3 Wyznaczanie miary naturalnej Wzór (4) dla układów hiperbolicznych może być wyprowadzony w nastepujacy sposób: Pokrywamy odpowiednio atraktor zbiorami C i

20 Hel 2008 p.16/3 Wyznaczanie miary naturalnej x 0 C i - warunek poczatkowy x p - punkt powrotu do C i trajektorii startujacej z x 0 po p iteracjach (ergodyczność)

21 Hel 2008 p.17/3 Wyznaczanie miary naturalnej M p (ab) = a b M p (c d ) = cd M p (efgh) = e f g h. x i,p - niestabilny punkt stały dla M p

22 Hel 2008 p.18/3 Wyznaczanie miary naturalnej Załóżmy, że odcinek c d ma długość ǫ. Wtedy odcinek cd ma długość ǫ/l 1 (x i,p ). Stad ǫ/l 1 (x i,p ) ǫ = 1 L 1 (x i,p ) jest częścia trajektorii (zwiazanych z x i,p ), które powróca do C i po p iteracjach (ponieważ miara naturalna jest jednostajna w kierunku niestabilnym). Biorac pod uwagę wszystkie niestabilne punkty stałe dla M p w C i oraz przechodzac do granicy p otrzymujemy µ i = lim p 1 L 1 (x i,p ). x i,p C i

23 Hel 2008 p.19/3 Uwagi W wyprowadzeniu wzoru (4) założono, że istnieje dobra partycja {C i } przestrzeni fazowej, tj. taka, dla której nie zachodza przypadki Dla układów hiperbolicznych taki podział przestrzeni fazowej istnieje (tzw. Markov partition). Dla niehiperbolicznych nie możemy go skonstruować, ponieważ istnieje nieskończenie wiele styczności między rozmaitościami stabilnymi i niestabilnymi.

24 Hel 2008 p.20/3 Uwagi ρ(x 0, T, ǫ i ) µ i = lim T T 1 µ i (p) = L 1 (x i,p ) x i,p C i (5) (6) Niech µ p = N [µ i (p) µ i ] 2 /N. i=1 Dla układów hiperbolicznych obserwujemy: µ p exp αp, α - tzw. entropia topologiczna (7)

25 Stałe ucieczki (Escape rates) Hel 2008 p.21/3

26 Orbity periodyczne Hel 2008 p.22/3

27 Hel 2008 p.23/3 Odwzorowania 1D Rozważmy jednowymiarowy repeler: f(x c ) > x max

28 Hel 2008 p.24/3 Odwzorowania 1D Obserwujemy przy pierwszej iteracji ucieka odcinek wokół x c w drugiej iteracji uciekaja jego dwa przeciwobrazy itd., itd.... W n-tym kroku punkty, które ocalały możemy podzielic na 2 n rozłacznych odcinków: i - ty odcinek zakodowany jest ciagiem i = ǫ 1 ǫ 2...ǫ n, gdzie ǫ k = 0, jeśli f k (x) < x c ; 1, jeśli f k (x) > x c.

29 Hel 2008 p.25/3 Odwzorowania 1D l i - szerokość i-tego odcinka Miara zbioru punktów poczatkowych x, które przetrwaja n iteracji wynosi Γ n = (n) i l i. (8) Odzworowanie jest gładkie i ma ograniczona pochodna Λ = df/dx: 1 < Λ min df/dx Λ max Stad każdy odcinek w (8) jest ograniczony: Λ n max l i Λ n min

30 Hel 2008 p.26/3 Odwzorowania 1D W konsekwencji ( ) n 2 Γ n Λ max Γ n jest rzędu wykładniczego: Γ n = e nγ n e nγ ( 2 ) n Λ min Definicja γ = 1/T - stała ucieczki - (ang. escape rate) T - asymptotyczny czas życia (asymptotic lifetime) losowo wybranego punktu poczatkowego x

31 Odwzorowania 1D Każdy odcinek i zawiera punkt periodyczny x i. Jeśli odcinki te sa dostatecznie małe, to ich ekspansja na odcinek [0, 1] w ciagu n-iteracji może być przybliżona przy pomocy stabilności punktu x i : l i = a i Λ i, gdzie Λ i = d dx fn (x i ) = n 1 k=0 f (f k (x i )) (9) Hel 2008 p.27/3

32 Hel 2008 p.28/3 Odwzorowania 1D a i = l i Λ i Uwaga Jeśli układ jest hiperboliczny, to dla dostatecznie dużych n a 1 O(1) moga być zaniedbane z powodu wykładniczego przyrostu Λ i. Stad Γ n = (n) i 1 Λ i.

33 Hel 2008 p.29/3 Odwzorowania 1D Zdefiniujmy Ω(z) = z n Γ n = n=1 n=1 (n) z n i Λ i 1 = z/ Λ 0 + z/ Λ 1 + z 2 / Λ z 2 / Λ 01 + z 2 / Λ 10 + z 2 / Λ z 3 / Λ z 3 / Λ (10) Dla dostatecznie małych z suma ta jest zbieżna. Ponieważ Γ n e nγ, to escape rate γ jest wyznaczony poprzez najmniejsze z = e γ, dla którego szereg Ω(z) jest rozbieżny: Ω(z) (ze γ ) n. (11) n=1

34 Hel 2008 p.30/3 Odwzorowania 1D Definicja Cykle pierwsze (ang. prime cycles) sa to takie orbity periodyczne (x 1 x 2 x n ), które nie moga być przedstawione w krótszej postaci - orbita taka jest zakodowana przy pomocy niepowtarzajacego się ciagu symboli. Uwaga Istnieje dokładnie jeden cykl pierwszy dla każdej cyklicznej permutacji, np. p = 0011 = 0110 = 1100 = 1001 jest cyklem pierwszym, ale nie jest nim p = 0101 = 01. Stad Ω(z) = p n p (z n p Λ 1 p ) r = p r=1 n p z n p Λ 1 p 1 z n p Λ 1 p, (12) gdzie sumujemy po wszystkich cyklach pierwszych p długości n p, a r jest liczba powtórzeń danego cyklu.

35 Hel 2008 p.31/3 Dynamiczna funkcja ζ Zauważmy, że Ω(z) = z d dz p ln(1 zn p Λ p ) Stad Ω(z) jest pochodna logarytmiczna funkcji 1 ζ(z) = p (1 zn p Λ p ) (13) Jest to tzw. dynamiczna funkcja ζ. Uwaga Funkcja ζ-riemanna: ζ(z) = n 1 1 n z = p l. pierwsza 1 1 p z

36 Układy wielowymiarowe V -ograniczone otoczenie d-wymiarowego repelera Stała ucieczki z V dana jest wzorem: (n) i e nγ n = 1 det(1 J (n) (x i )) = = V V δ(y fn (x))dxdy V dx = V (n) i δ(x f n (x))dx = 1 d a=1 (1 (14) Λa i ), gdzie J (n) (x i ) = n 1 j=0 J(f (j) (x i )), J kl = x l f k (x) oraz Λ 1 i, Λ2 i,..., Λd i sa wartościami własnymi J(n). Hel 2008 p.32/3

37 Hel 2008 p.33/3 Układy wielowymiarowe Zakładajac, że Λ a i 1: gdzie Λ i = rozsz a Λ a i e nγ n = (n) i 1 Λ i, (15) jest iloczynem rozszerzajacych wartości własnych. Stad funkcja ζ (13) uogólnia się również dla układów wielowymiarowych.

38 Inne własności układów dynamicznych a niestabilne orbity okresowe Hel 2008 p.34/3

39 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna

40 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates

41 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1))

42 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β)

43 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β) spektrum osobliwości f(α)

44 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β) spektrum osobliwości f(α) znajdowanie partycji Markowa

45 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β) spektrum osobliwości f(α) znajdowanie partycji Markowa i przypuszczalnie jeszcze więcej...

46 Hel 2008 p.36/3 Bibliografia 1. Lai YC, Nagai Y, Grebogi C. Characterization of the Natural Measure by Unstable Periodic Orbits in Chaotic Attractors. Phys Rev Lett 79(4): (1997) 2. Artuso R, Aurell E, Cvitanovic P. Recycling of strange sets I: Cycle expansions. Nonlinearity 3: (1990) 3. Grebogi C, Ott E, Yorke JA. Unstable periodic orbits and the dimensions of multifractal chaotic attractors. Phys Rev A 37(5):1711:1724 (1988) 4. Beck C, Schlogl F. Thermodynamics of chaotic systems: an introduction. Cambridge University Press (1993)