Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych
|
|
|
- Zdzisław Madej
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych Michał Krzemiński Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 1/17
2 Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 2/17
3 Outline Ciagi liczb losowych i pseudolosowych Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 3/17
4 Outline Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagi liczb losowych i pseudolosowych Generatory ciagów liczb losowych Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 3/17
5 Outline Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagi liczb losowych i pseudolosowych Generatory ciagów liczb losowych Test następnego bitu, czyli ocena jakości generatora Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 3/17
6 Outline Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagi liczb losowych i pseudolosowych Generatory ciagów liczb losowych Test następnego bitu, czyli ocena jakości generatora Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 3/17
7 Outline Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagi liczb losowych i pseudolosowych Generatory ciagów liczb losowych Test następnego bitu, czyli ocena jakości generatora Rozwiazywalne i konstruowalne Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 3/17
8 Outline Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagi liczb losowych i pseudolosowych Generatory ciagów liczb losowych Test następnego bitu, czyli ocena jakości generatora Rozwiazywalne i konstruowalne Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 3/17
9 Losowe i pseudolosowe ciągi liczbowe Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagiem losowym (albo losowym ciagiem znaków) nazwiemy taki ciag, którego nie możemy zapisać w postaci pewnej formuły czy algorytmu, krótszego od samego ciagu. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 4/17
10 Losowe i pseudolosowe ciągi liczbowe Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagiem losowym (albo losowym ciagiem znaków) nazwiemy taki ciag, którego nie możemy zapisać w postaci pewnej formuły czy algorytmu, krótszego od samego ciagu. Ciagiem pseudolosowych nazwiemy takie ciagi, które powstały według pewnej formuły, stosunkowo krótkiej, jednak nasza niewiedza czy niemoc obliczeniowa nie pozwala nam na jej identyfikacje. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 4/17
11 Losowe i pseudolosowe ciągi liczbowe Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Ciagiem losowym (albo losowym ciagiem znaków) nazwiemy taki ciag, którego nie możemy zapisać w postaci pewnej formuły czy algorytmu, krótszego od samego ciagu. Ciagiem pseudolosowych nazwiemy takie ciagi, które powstały według pewnej formuły, stosunkowo krótkiej, jednak nasza niewiedza czy niemoc obliczeniowa nie pozwala nam na jej identyfikacje. Dla ustalenia uwagi bedziemy mówić o ciagach liczbowych, a poźniej ciagach bitów tzn. 0 i 1. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 4/17
12 Losowe i pseudolosowe ciągi liczbowe Tablice liczb losowych. Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 5/17
13 Losowe i pseudolosowe ciągi liczbowe Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Tablice liczb losowych. Generatory ci agów liczb losowych: generatory fizyczne (liczb losowych): mechaniczne i oparte na procesach fizycznych generatory matematyczne (liczb pseudolosowych) Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 5/17
14 Ocena jakości generatora - test następnego bitu Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Dany jest generator, wytwarzajacy ciag n bitów (b 1, b 2,..., b n ), Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 6/17
15 Ocena jakości generatora - test następnego bitu Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Dany jest generator, wytwarzajacy ciag n bitów (b 1, b 2,..., b n ), dana jest statystyka B( ), która na podstawie znajomości m pierwszych bitów, pozwala przewidzieć bit b m+1. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 6/17
16 Ocena jakości generatora - test następnego bitu Outline Losowe i pseudolosowe ciagi liczbowe Ocena jakości generatora - test następnego bitu Dany jest generator, wytwarzajacy ciag n bitów (b 1, b 2,..., b n ), dana jest statystyka B( ), która na podstawie znajomości m pierwszych bitów, pozwala przewidzieć bit b m+1. Powiemy, że generator bitów spełnia test następnego bitu, gdy dla dostatecznie dużych n oraz dla wszystkich wielomianów w(n) i dla wszystkich liczb całkowitych m [1, n] zachodzi nierówność: P( B(b 1, b 2,..., b m ) = b m+1 ) 1 2 < 1 w(n). Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 6/17
17 Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 7/17
18 Chaotyczny układ Układem m (dyskretnym albo i nie) będziemy nazywać parę (F,S), gdzie S będzie oznaczać przestrzeń stanów, a F: S S, będzie odwzorowaniem mierzalnym bedacym generatorem półgrupy iteracji. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 8/17
19 Chaotyczny układ Układem m (dyskretnym albo i nie) będziemy nazywać parę (F,S), gdzie S będzie oznaczać przestrzeń stanów, a F: S S, będzie odwzorowaniem mierzalnym bedacym generatorem półgrupy iteracji. Trajektoria startujac a ze stanu poczatkowego s 0 nazwiemy ciag {s n } n=0 S uzyskany poprzez kolejne iteracje: s n+1 = F(s n ), gdzie n = 0, 1,.... Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 8/17
20 Chaotyczny układ Układem m (dyskretnym albo i nie) będziemy nazywać parę (F,S), gdzie S będzie oznaczać przestrzeń stanów, a F: S S, będzie odwzorowaniem mierzalnym bedacym generatorem półgrupy iteracji. Trajektoria startujac a ze stanu poczatkowego s 0 nazwiemy ciag {s n } n=0 S uzyskany poprzez kolejne iteracje: Chaos s n+1 = F(s n ), gdzie n = 0, 1,.... Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 8/17
21 Chaotyczny układ Układem m (dyskretnym albo i nie) będziemy nazywać parę (F,S), gdzie S będzie oznaczać przestrzeń stanów, a F: S S, będzie odwzorowaniem mierzalnym bedacym generatorem półgrupy iteracji. Trajektoria startujac a ze stanu poczatkowego s 0 nazwiemy ciag {s n } n=0 S uzyskany poprzez kolejne iteracje: Chaos s n+1 = F(s n ), gdzie n = 0, 1,.... Def. Wykładnikiem Lapunowa nazywamy liczbę: 1 λ s,v = lim n n DFn (s)(v), gdzie jest norma w przestrzeni stycznej w punkcie s S, DF n (s)(v) jest pochodna Frecheta n-tej iteracji F w punkcie s w kierunku v. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 8/17
22 Chaotyczny układ Def. Powiemy, że układ jest chaotyczny w pewnym obszarze, gdy dla µ prawie wszystkich punktów tego obszaru ma on co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 9/17
23 Chaotyczny układ Def. Powiemy, że układ jest chaotyczny w pewnym obszarze, gdy dla µ prawie wszystkich punktów tego obszaru ma on co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa. miara niezmiennicza µ skończona na σ(s), A σ(s) µ(a) = µ(f 1 (A)), dla której istnieje dodatnia ograniczona mierzalna funkcja f : S R taka, że A σ(s) µ(a) = A f(s)ds. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 9/17
24 Chaotyczny układ Def. Powiemy, że układ jest chaotyczny w pewnym obszarze, gdy dla µ prawie wszystkich punktów tego obszaru ma on co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa. miara niezmiennicza µ skończona na σ(s), A σ(s) µ(a) = µ(f 1 (A)), dla której istnieje dodatnia ograniczona mierzalna funkcja f : S R taka, że A σ(s) µ(a) = A f(s)ds. Def. Powiemy, że układ jest mieszajacy, gdy A,B σ(s) lim n µ(f n (A) B) = µ(a)µ(b). Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 9/17
25 Chaotyczny układ Jeżeli dodatkowo założymy, że nasza miara stacjonarna jest probabilistyczna, wtedy otrzymamy: lim n µ(f n (A) B) µ(b) = µ(a) µ(s) Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 10/17
26 Chaotyczny układ Jeżeli dodatkowo założymy, że nasza miara stacjonarna jest probabilistyczna, wtedy otrzymamy: lim n µ(f n (A) B) µ(b) = µ(a) µ(s) Niech S = S 0 S 1, gdzie S 0 S 1 =, µ(s 0 ) = µ(s 1 ) = 1 2. Niech Ŝ będzie zbiorem dopuszczalnych warunków poczatkowych, niech ŝ 0 Ŝ. { 0, gdy F s n = n (ŝ 0 ) S 0 1, gdy F n, dla n = 0, 1, 2,... (ŝ 0 ) S 1 Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 10/17
27 Chaotyczny układ Jeżeli dodatkowo założymy, że nasza miara stacjonarna jest probabilistyczna, wtedy otrzymamy: lim n µ(f n (A) B) µ(b) = µ(a) µ(s) Niech S = S 0 S 1, gdzie S 0 S 1 =, µ(s 0 ) = µ(s 1 ) = 1 2. Niech Ŝ będzie zbiorem dopuszczalnych warunków poczatkowych, niech ŝ 0 Ŝ. { 0, gdy F s n = n (ŝ 0 ) S 0 1, gdy F n, dla n = 0, 1, 2,... (ŝ 0 ) S 1 Stad otrzymamy nieskończony ciag bitów O(ŝ) = {ŝ 0, ŝ 1, ŝ 2,...} = {ŝ i } i=0. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 10/17
28 Kilka twierdzeń Tw. s S µ(o 1 ({ŝ i } i=0 )) = 0 Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 11/17
29 Kilka twierdzeń Tw. s S µ(o 1 ({ŝ i } i=0 )) = 0 Tw. lim N 1 N N 1 n=0 1 S0 (F n (s)) = S 1 S0 dµ = µ(s 0 ). Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 11/17
30 Kilka twierdzeń Tw. s S µ(o 1 ({ŝ i } i=0 )) = 0 Tw. lim N 1 N N 1 n=0 1 S0 (F n (s)) = S 1 S0 dµ = µ(s 0 ). Tw. Jeżeli układ, jest mieszajacy, to istnieje takie k N, że dla każdego ŝ Ŝ bity ŝ i oraz ŝ i+k sa dla k niezależne dla i = 1, 2,.... Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 11/17
31 Rozwiązywalne Rozwiazywalnymi układami mi nazywamy takie, których rozwiazanie może być przedstawione w postaci jawnej. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 12/17
32 Rozwiązywalne Rozwiazywalnymi układami mi nazywamy takie, których rozwiazanie może być przedstawione w postaci jawnej. Rozważmy równanie x n = p(θtz n ), gdzie p( ) jest funkcja okresowa, T jest jej okresem, z N, a θ definiuje warunek poczatkowy. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 12/17
33 Rozwiązywalne Rozwiazywalnymi układami mi nazywamy takie, których rozwiazanie może być przedstawione w postaci jawnej. Rozważmy równanie x n = p(θtz n ), gdzie p( ) jest funkcja okresowa, T jest jej okresem, z N, a θ definiuje warunek poczatkowy. Przykład 1 Weźmy rozwiazywalny układ, którego odwzorowanie generujace ma postać: X n+1 = sin 2 (z arcsin X n ) Rozwiazanie tego równania jest postaci X n = sin 2 (πθz n ) Wykładnik Lapunowa ma wartość λ = ln z, więc układ jest chaotyczny dla z > 1. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 12/17
34 Rozwiązywalne Przykład 2 ( ) x n = sin 2 (πθz n ) Niech θ = θ 0 + q m k, z = p q k, m Z. > 1 takie, że NWD{p, q} = 1, Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 13/17
35 Rozwiązywalne Przykład 2 Niech θ = θ 0 + q m k, z = p q k, m Z. ( ) x n = sin 2 (πθz n ) > 1 takie, że NWD{p, q} = 1, Weźmy ciag x 0, x 1,..., x m dany formuła ( ). Kolejna liczba x m+1 może przyjmować q możliwych wartości. Zjawisko to nazywamy "multi-value correspondence". Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 13/17
36 Rozwiązywalne Przykład 2 Niech θ = θ 0 + q m k, z = p q k, m Z. ( ) x n = sin 2 (πθz n ) > 1 takie, że NWD{p, q} = 1, Weźmy ciag x 0, x 1,..., x m dany formuła ( ). Kolejna liczba x m+1 może przyjmować q możliwych wartości. Zjawisko to nazywamy "multi-value correspondence". Zatem otrzymujemy nieprzewidywalny ci ag dla krótkich serii. Deterministyczna losowość. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 13/17
37 Rozwiązywalne Przykład 2 Niech θ = θ 0 + q m k, z = p q k, m Z. ( ) x n = sin 2 (πθz n ) > 1 takie, że NWD{p, q} = 1, Weźmy ciag x 0, x 1,..., x m dany formuła ( ). Kolejna liczba x m+1 może przyjmować q możliwych wartości. Zjawisko to nazywamy "multi-value correspondence". Zatem otrzymujemy nieprzewidywalny ci ag dla krótkich serii. Deterministyczna losowość. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 13/17
38 KoAsDeLoUkDy Przykład 3 Rozważmy dwa przedziałami liniowe odwzorowania: { mod(at, 1) mod( at, 2) = 0 h(a, t) = mod(at, 1), g(a, t) = mod(at, 1) + 1 mod( at, 2) = 1 Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 14/17
39 KoAsDeLoUkDy Przykład 3 Rozważmy dwa przedziałami liniowe odwzorowania: { mod(at, 1) mod( at, 2) = 0 h(a, t) = mod(at, 1), g(a, t) = mod(at, 1) + 1 mod( at, 2) = 1 Dla a = p q > 2 rozważmy dwie nieodwracalne, nieliniowe transformacje: ( )x n+1 = h(a, x n ), y n = h(b, x n ) ( )x n+1 = g(a, x n ), y n = g(b, x n ) Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 14/17
40 KoAsDeLoUkDy Przykład 3 Rozważmy dwa przedziałami liniowe odwzorowania: { mod(at, 1) mod( at, 2) = 0 h(a, t) = mod(at, 1), g(a, t) = mod(at, 1) + 1 mod( at, 2) = 1 Dla a = p q > 2 rozważmy dwie nieodwracalne, nieliniowe transformacje: ( )x n+1 = h(a, x n ), y n = h(b, x n ) ( )x n+1 = g(a, x n ), y n = g(b, x n ) Tw. Jeżeli b = q N, to y n oraz y n+m dla m = 1, 2,..., N maj a perfect multi-value correspondence z p m : q m. Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 14/17
41 KoAsDeLoUkDy Figure 1: zależność w jednym kroku kolejnych wyrazów ci agu {y n } Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 15/17
42 Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 16/17
43 [1] K. Wang, W. Pei, H. Xia, Y. Cheung Pseudo-random number generators based on asymptotic deterministic randomness [2] Z. Kotulski Budowanie szyfrów blokowych [3] Kai Wang, Wenjiang Pei, Liuhua Zou, Yiu-ming Cheung and Zhenya He The asymptotic deterministic randomness, Physics Letters A, Volume 368, Issues 1-2, 13 August 2007, Pages [4] Z. Kotulski, J. Szczepański Discrete chaotic cryptography (DCC)., Ann. Physic 6 (1997), Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych - Michał Krzemiński IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMów - p. 17/17
Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Kryptoanaliza algorytmu chaotycznego szyfrowania obrazu
Kryptoanaliza algorytmu chaotycznego szyfrowania obrazu Karol Jastrzębski Praca magisterska Opiekun: dr hab. inż. Zbigniew Kotulski Plan prezentacji Teoria chaosu: Wprowadzenie, cechy układów chaotycznych,
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Ciagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Szyfry blokowe z wykorzystaniem chaosu dyskretnego. Michał Łazicki 1
Szyfry blokowe z wykorzystaniem chaosu dyskretnego Michał Łazicki 1 Agenda Szyfry blokowe opis oraz wymagania konstrukcyjne Teoria chaosu podstawowe pojęcia Zastosowania dyskretnych układów dynamicznych
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Analiza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych
Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator
Wykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Zwiększanie losowości
Zwiększanie losowości Maciej Stankiewicz Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki UG Krajowe Centrum Informatyki Kwantowej XIII Matematyczne Warsztaty KaeNeMów Hel, 20-22 maja 2016 Maciej Stankiewicz Zwiększanie
Iteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Teoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.
Teoria ergodyczna seminarium monograficzne dla studentów matematyki dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik rok akad. 2013/14 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Entropia w układach dynamicznych Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Uniwersytet Jagielloński, Kraków, marzec-kwiecień 2013
Entropia w układach dynamicznych Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Uniwersytet Jagielloński, Kraków, marzec-kwiecień 2013 Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5
Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym
Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
RÓWNANIE LOGISTYCZNE A BŁĄDZENIE LOSOWE NA PROSTEJ I PRAWO ARCUSA SINUSA
Henryk Zawadzki RÓWNANIE LOGISTYCZNE A BŁĄDZENIE LOSOWE NA PROSTEJ I PRAWO ARCUSA SINUSA Wstęp Obserwując typowe trajektorie generowane przez chaotyczne systemy dynamiczne, nawet te teoretycznie najprostsze
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sp. ze stałymi kosztami za transakcje
Analiza portfelowa w czasie ciagłym dla ogólnych cen zakupu i sprzedaży ze stałymi kosztami za transakcje Instytut Matematyczny PAN Problem bez stałych kosztów za transakcje (Ω, F, (F t ), P) przestrzeń
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie
Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Twierdzenie Stolza i metryki Javier de Lucas. a n = (2n + 1) 1 4 n 5 4
Twierdzenie Stolza i metryki Javier de Lucas Zadanie Zbadać zbieżność ci agu i znaleźć granicȩ: a n 4 + 3 4 + + (2n + ) 4 n 5 4 Rozwi azanie: Żeby obliczyć tak a granicȩ korzystamy z twierdzenia Stolza,
Aproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
WSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
![3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która](/thumbs/98/137435342.jpg "3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która")
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Elementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO
SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Układy stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Technologie Informacyjne
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK - KATEDRA AUTOMATYKI Technologie Informacyjne www.pk.edu.pl/~zk/ti_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład: Generacja liczb losowych Problem generacji
Generowanie liczb o zadanym rozkładzie. ln(1 F (y) λ
Wprowadzenie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie wejście X U(0, 1) wyjście Y z zadanego rozkładu F (y) = 1 e λy y = ln(1 F (y) λ = ln(1 0,1563 0, 5 0,34 Wprowadzenie
Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie
Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia 206-2-09 Plan zajęć usuwanie z B-drzew join i split na 2-3-4 drzewach drzepce adresowanie otwarte w haszowaniu z analizą 2 B-drzewa definicja każdy węzeł ma następujące
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Transformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Excel - podstawa teoretyczna do ćwiczeń. 26 lutego 2013
26 lutego 2013 Ćwiczenia 1-2 Częste błędy i problemy: 1 jeżeli użyjemy niewłaściwego znaku dziesiętnego Excel potraktuje liczbę jak tekst - aby uniknać takich sytuacji używaj klawiatury numerycznej, 2
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,