Podkowa Smale a jako klasyk chaosu
|
|
- Bogumił Dziedzic
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 1/? Podkowa Smale a jako klasyk chaosu Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska
2 Konstrukcja odwzorowania podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 2/?
3 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 3/? Odwzorowanie podkowa Definicja Niech S = [0, 1] [0, 1]. Najprostsze odwzorowanie podkowa M h : S R 2 określamy geometrycznie w nastȩpuja cy sposób: 1. dokonujemy kontrakcji kwadratu w kierunku poziomym do szerokości λ, gdzie 0 < λ < 1 2 : S [0, λ] [0, 1] 2. otrzymany prostoka t rozcia gamy w kierunku pionowym do wysokości µ, gdzie 2 + ǫ < µ: [0, λ] [0, 1] [0, λ] [0, µ] 3. prostoka t o wymiarach λ µ zginamy i umieszczamy na wyjściowym kwadracie S w taki sposób, aby przecinał on kwadrat S dwukrotnie - otrzymujemy M h (S) 4. powtarzamy proces używaja c M h (S) zamiast S itd.
4 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 4/? Odwzorowanie podkowa Pierwsza iteracja
5 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 4/? Odwzorowanie podkowa Pierwsza iteracja
6 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 4/? Odwzorowanie podkowa Pierwsza iteracja
7 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 4/? Odwzorowanie podkowa Pierwsza iteracja
8 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 4/? Odwzorowanie podkowa Pierwsza iteracja
9 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 4/? Odwzorowanie podkowa Pierwsza iteracja
10 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 5/? Odwzorowanie podkowa Druga iteracja
11 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 5/? Odwzorowanie podkowa Druga iteracja
12 Zbiór niezmienniczy IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 6/?
13 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/? Zbiór niezmienniczy Definicja Zbiorem niezmienniczym odwzorowania f nazywamy zbiór X o własności: x X f(x) X
14 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/? Zbiór niezmienniczy Obraz pierwszej iteracji M h (S):
15 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/? Zbiór niezmienniczy Obraz pierwszej iteracji wstecz M 1 h (S):
16 Zbiór niezmienniczy W S nie ma atraktora M 2 h (V ij) = H ij IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 7/?
17 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 8/? Zbiór niezmienniczy Niech: n = Mh n(s) S n = M n h (S) S Wtedy: 1 = V 0 V 1 2 = V 00 V 01 V 11 V 10 1 = H 0 H 1 2 = H 00 H 01 H 11 H 10 Zbiór niezmienniczy odwzorowania podkowa M h uzyskujemy jako: = +, gdzie + = n (S), = n (S). i=0 i=0
18 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 9/? Zbiór niezmienniczy (H 0 H 1 ) (V 0 V 1 ) (H 00 H 01 H 11 H 10 ) (V 00 V 01 V 11 V 10 ) itd....
19 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 9/? Zbiór niezmienniczy (H 0 H 1 ) (V 0 V 1 ) (H 00 H 01 H 11 H 10 ) (V 00 V 01 V 11 V 10 ) itd....
20 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 9/? Zbiór niezmienniczy (H 0 H 1 ) (V 0 V 1 ) (H 00 H 01 H 11 H 10 ) (V 00 V 01 V 11 V 10 ) itd.... Zbiór niezmienniczy jest iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów Cantora.
21 Dynamika symboliczna IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 10/?
22 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 11/? Dynamika symboliczna Σ = {0, 1} Z - zbiór wszystkich podwójnie nieskończonych cia gów a = (a n ), n Z z metryka : d(α, β) = k Z α k β k 2 k Punkt x możemy określić za pomoca podwójnie nieskończonego cia gu symboli a: a =...a 3 a 2 a 1.a 0 a 1 a 2..., gdzie: a i = 0, dla M i h (x) H 0; 1, dla M i h (x) H 1. (1)
23 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 12/? Shift map Shift map σ : Σ Σ a = (a n ), a = σ(a) = (a n+1 ) tj. i a i = a i+1 Z (1) otrzymujemy: a i = 0, dla M i+1 h (x) = M i h (M h(x)) H 0 ; 1, dla M i+1 h (x) = M i h (M h(x)) H 1. (2)
24 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 13/? Dynamika symboliczna Niech φ : Σ określa zwia zek miȩdzy x, a cia giem symboli a Σ, a = φ(x). Wtedy: σ(a) = φ(m h (x)) M h = φ 1 σ φ Σ σ Σ φ M h φ 1 Dynamikȩ symboliczna odpowiadaja ca odwzorowaniu M h nazywamy przesuniȩciem zupełnym na dwóch symbolach.
25 Własności odwzorowania podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 14/?
26 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe,
27 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n
28 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie
29 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele
30 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny
31 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny zbiory punktów okresowych i nieokresowych sa gȩste w
32 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 15/? Własności M h istnieja dwa punkty stałe, dla każdego n N odwzorowanie M h posiada 2 n orbit okresowych o okresie n istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie orbit okresowych jest przeliczalnie wiele zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny zbiory punktów okresowych i nieokresowych sa gȩste w w M h obserwujemy tzw. "chaos przejściowy"
33 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 16/? Własności M h W szczególności wiȩc odwzorowanie M h jest chaotyczne: Definicja Deterministyczny układ dynamiczny jest chaotyczny, jeśli dla każdego cia gu Bernoulliego możemy znaleźć stan pocza tkowy, startuja c z którego odtworzymy ten cia g wzglȩdem ustalonej partycji przestrzeni fazowej.
34 Rozmaitości stabilne i niestabilne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 17/?
35 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 18/? Zbiory przycia gania i odpychania Definicja X- zwarta gładka rozmaitość, f : X X - dyffeomorfizm klasy C k, p - punkt stały dla f Rozmaitościa stabilna punktu p nazywamy zbiór: W s (p) := {x X : lim n fn (x) p} Rozmaitościa niestabilna punktu p nazywamy zbiór: W u (p) := {x X : lim n f n (x) p}
36 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 19/? Zbiory przycia gania i odpychania Definicja Mówimy, że punkt stały p jest hiperboliczny, jeśli leży na przeciȩciu conajmniej jednej rozmaitości stabilnej i conajmniej jednej rozmaitości niestabilnej.
37 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 20/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Uwagi: rozmaitości stabilne nie moga przecinać siȩ ze soba (niezależnie od tego, czy odpowiadaja temu samemu punktowi stałemu czy też różnym punktom stałym), podobnie rozmaitości niestabilne nie przecinaja siȩ ze soba, rozmaitości stabilne i niestabilne moga siȩ przecinać wzajemnie Definicja Mówimy, że punkt x X jest punktem homoklinicznym, jeśli leży na przeciȩciu rozmaitości stabilnej i niestabilnej odpowiadaja cych temu samemu punktowi stałemu p.
38 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 21/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Definicja Mówimy, że punkt x X jest punktem heteroklinicznym, jeśli leży na przeciȩciu rozmaitości stabilnej i niestabilnej odpowiadaja cych różnym hiperbolicznym punktom stałym p 1 i p 2. Twierdzenie(Poincaré) Jeśli istnieje jeden punkt homokliniczny (heterokliniczny), to istnieje ich nieskończenie wiele.
39 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 22/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Przeciȩcie homokliniczne:
40 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 22/? Przeciȩcie homo- i heterokliniczne Przeciȩcie heterokliniczne:
41 Uniwersalność dynamiki odwzorowania podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 23/?
42 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 24/? Uniwersalna dynamika W 1967 roku Smale udowodnił, że z istnienia przeciȩcia homoklinicznego wynika dynamika typu odwzorowanie podkowa :
43 Inne odwzorowania typu podkowa IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 25/?
44 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 26/? Uogólniona n podkowa µ > n + ǫ "zawijamy" n 1 razy i umieszczamy na kwadracie S tak, aby "podkowa" przecinała S n-krotnie
45 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 27/? Twierdzenie Smale a Twierdzenie(Smale, 1963) Każde odwzorowanie typu odwzorowanie podkowa posiada domkniȩty zbiór niezmienniczy, który zawiera przeliczalnie wiele orbit okresowych o dowolnie długim okresie oraz nieprzeliczalnie wiele orbit nieokresowych, wśród których sa orbity przebiegaja ce dowolnie blisko każdego danego punktu zbioru.
46 Układy hiperboliczne i niehiperboliczne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 28/?
47 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 29/? Hiperboliczność Definicja Odwzorowanie f nazywamy hiperbolicznym, jeśli przecinaja ce siȩ rozmaitości stabilne i niestabilne dowolnych punktów stałych zawsze przecinaja siȩ transwersalnie. Jeśli przecinaja siȩ stycznie, to odwzorowanie jest niehiperboliczne. Odzworowanie podkowa M h jest zatem hiperboliczne.
48 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 30/? Hiperboliczność Rozważania dyskretnego układu dynamicznego: x n+1 = F(x n ) można w pobliżu punktu stałego x sprowadzić do rozważań układu liniowego y n+1 = Ay n, gdzie A = DF(x ). Niech α j bȩda wartościami własnymi A takimi, że α j > 1 oraz u 1, u 2,..., u n(α) odpowiadaja cymi im wektorami własnymi. Wtedy: E u = span(u 1, u 2,..., u n(α) ) - podprzestrzeń niestabilna.
49 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 31/? Hiperboliczność Analogicznie dla β j takich, że β j < 1 E s = span(v 1, v 2,..., v n(β) ) - podprzestrzeń stabilna oraz dla γ j takich, że γ j = 1 E c = span(w 1, w 2,..., w n(β) ) - podprzestrzeń środkowa. Wektory y układu y n+1 = Ay n nazywamy wektorami stycznymi dla odwzorowania F. Przestrzeń, w której leża wektory styczne odwzorowania w punkcie x = x nazywamy przestrzenia styczna i oznaczamy T x.
50 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 32/? Hiperboliczność Definicja Mówimy, że punkt stały x jest hiperboliczny, jeżeli nie istnieje podprzestrzeń środkowa E c. To znaczy, że przestrzeń styczna T x rozkłada siȩ na sumȩ T x = E s E u. Definicja Mówimy, że zbiór niezmienniczy jest hiperboliczny, jeśli w zbiorze istnieje cia gły wzglȩdem x rozkład przestrzeni T x na sumȩ przestrzeni stabilnej i niestabilnej T x = E s x E u x.
51 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 33/? W s (x ) i W u (x ) vs. E s i E u Rozmaitości stabilne i niestabilne W s (x ) i W u (x ) hiperbolicznego układu x n+1 = F(x n ) maja taki sam wymiar jak E s i E u i sa do nich styczne:
52 Układy hiperboliczne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 34/?
53 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 35/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Uogólnione odwzorowanie piekarza definiujemy jako nastȩpuja ce przekształcenie kwadratu S = [0, 1] [0, 1]: x n+1 = y n+1 = gdzie β = 1 α i α a + α b = 1. λ a x n, jeżeli y n < α; (1 λ b ) + λ b x n, jeżeli y n > α. y nα, jeżeli y n < α; y n α β, jeżeli y n > α.
54 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 36/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Pierwsza iteracja:
55 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 37/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Druga iteracja:
56 Rozmaitości stabilne sa liniami poziomymi, a niestabilne - pionowymi. IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 38/? Uogólnione odwzorowanie piekarza Dla uogólnionego odwzorowania piekarza macierz Jacobiego ma postać: DM(x) = λ x(y) 0, 0 λ y (y) gdzie wartości własne: λ x (y) = λ y (y) = λ a, jeżeli y < α; λ b, jeżeli y > α. α 1, jeżeli y < α; β 1, jeżeli y > α.
57 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 39/? Odwzorowanie kota Arnolda Odwzorowanie Arnolda dane jest wzorem: x n+1 y n+1 = x n y n mod 1 (3) Jeśli wartości x i y modulo 1 uważać za zmienne ka towe, to odwzorowanie to oddziałuje na powierzchniȩ dwuwymiarowego torusa (gdzie jeden obieg dookoła jest zaznoczony poprzez zwiȩkszenie wartości odpowiedniej zmiennej ka towej o 1 a nie o 2π).
58 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 40/? Odwzorowanie kota Arnolda Inaczej odwzorowanie Arnolda zwane jest "wyżymaniem kota"
59 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 40/? Odwzorowanie kota Arnolda Inaczej odwzorowanie Arnolda zwane jest "wyżymaniem kota"
60 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 41/? Odwzorowanie kota Arnolda Wartości własne macierzy w odwzorowaniu (??) wynosza : λ 1 = > 1 oraz λ 2 = < 1. Kierunki stabilne i niestabilne sa zatem jednowymiarowe i równoległe do odpowiednich wektorów własnych (1, λ 1 1) i (1, λ 2 1). "Typowe warunki pocza tkowe" daja pocza tek orbicie, która ostatecznie dochodzi dowolnie blisko do dowolnego punktu na torusie oraz odwiedza równe pola z równa czȩstotliwościa - sta d naturalna miara niezmiennicza jest jednostajna.
61 Odwzorowanie kota Arnolda IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 42/?
62 Układy niehiperboliczne IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 43/?
63 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 44/? Odwzorowanie Hénona Odwzorowanie Hénona dane jest wzorem: x n+1 = 1 ax 2 n + y n y n+1 = bx n (standardowy wybór dla parametrów a i b to a = 1.4 i b = 0.3). Istnieja punkty na atraktorze Hénona, w których rozmaitość stabilna W s oraz niestabilna W u sa styczne. W tych punktach styczności nie możemy wyznaczyć przestrzeni E s i E u - atraktor Hénona nie jest hiperboliczny.
64 Odwzorowanie Hénona IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 45/?
65 Odwzorowanie Hénona IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 46/?
66 Własności układów hiperbolicznych IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 47/?
67 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 48/? Strukturalna stabilność Definicja (X, d) - p. metryczna f : X X- homeomorfizm Mówimy, że odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jeśli istnieje otoczenie V w zbiorze Homeo(X) takie, że każdy element V jest topologicznie sprzȩżony z f. Definicja M- zwarta gładka rozmaitość f : M M - dyffeomorfizm klasy C k Mówimy, że odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jeśli istnieje otoczenie V w zbiorze Diff k (M) takie, że każdy element V jest topologicznie sprzȩżony z f.
68 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 49/? Własności układów hiperbolicznych dynamikȩ na zbiorze niezmienniczym możemy badać za pomoca dynamiki symbolicznej (przesuniȩcie zupełne lub niezupełne na podwójnie nieskończonym cia gu symboli),
69 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 49/? Własności układów hiperbolicznych dynamikȩ na zbiorze niezmienniczym możemy badać za pomoca dynamiki symbolicznej (przesuniȩcie zupełne lub niezupełne na podwójnie nieskończonym cia gu symboli), jeżeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, to istnieje miara naturalna,
70 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 49/? Własności układów hiperbolicznych dynamikȩ na zbiorze niezmienniczym możemy badać za pomoca dynamiki symbolicznej (przesuniȩcie zupełne lub niezupełne na podwójnie nieskończonym cia gu symboli), jeżeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, to istnieje miara naturalna, zbiór niezmienniczy i jego dynamika sa strukturalnie stabilne tzn. małe gładkie zaburzenia zachowuja dynamikȩ.
71 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 50/? Ukł. hiperboliczne vs niehiperboliczne Dla hiperbolicznych układów możliwe jest uzyskanie wielu ścisłych wyników. Można je opisywać analitycznie oraz statystycznie.
72 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 50/? Ukł. hiperboliczne vs niehiperboliczne Dla hiperbolicznych układów możliwe jest uzyskanie wielu ścisłych wyników. Można je opisywać analitycznie oraz statystycznie. Niestety rzeczywiste zjawiska chaotyczne obserwowane w układach doświadczalnych sa przeważnie niehiperboliczne.
73 IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 51/? Bibliografia 1. E. Ott, Chaos w układach dynamicznych, WNT, Warszawa S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967) 3. M. Shub, What is... a Horseshoe?, Notices of AMS, vol C. Beck, F. Schlogl Thermodynamics of chaotic systems, Cambridge University Press J.P. Eckmann, D. Ruelle Ergodic theory of chaos and strange attractors, Reviews of Modern Physics, vol. 57, No.3 6. M. Branson, The Smale Horseshoe as a Fractal Structure in Dynamical Systems, Lecture Notes.
Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.
II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 1/1 Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki
Bardziej szczegółowoNiestabilne orbity okresowe a (niektóre) własności układów chaotycznych
Niestabilne orbity okresowe a (niektóre) własności układów chaotycznych Justyna Signerska,Jan Pyrzowski Politechnika Gdańska, Akademia Medyczna w Gdańsku Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje Hel
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoTwierdzenie o rozmaitości stabilnej
Uniwersytet Gdański Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Witold Bołt Kierunek studiów: matematyka Numer albumu: 140530 Twierdzenie o rozmaitości stabilnej Praca magisterska wykonana pod kierunkiem
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoEntropia w układach dynamicznych Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Uniwersytet Jagielloński, Kraków, marzec-kwiecień 2013
Entropia w układach dynamicznych Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Uniwersytet Jagielloński, Kraków, marzec-kwiecień 2013 Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoWstęp do układów statycznych
Uniwersystet Warszawski 1 maja 2010 Wprowadzenie Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz z przekształceniem f : X X zachowującym strukturę. Typowe przykłady: X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoAlgorytm Metropolisa-Hastingsa
Seminarium szkoleniowe, 25 kwietnia 2006 Plan prezentacji 1 Problem Metoda MCMC 2 Niezależny algorytm Metropolisa-Hastingsa Bła dzenie losowe Zbieżność procedury Metropolisa-Hastingsa Problem Metoda MCMC
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoTeoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.
Teoria ergodyczna seminarium monograficzne dla studentów matematyki dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik rok akad. 2013/14 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje
Bardziej szczegółowoJan Pyrzowski i Justyna Signerska. Termodynamika multifraktali
Jan Pyrzowski i Justyna Signerska Termodynamika multifraktali 1 Prawdopodobienstwo w teorii uk ladów dynamicznych Empiryczna definicja prawdopodobieństwa: R - liczba wszystkich roz lacznych zdarzeń, które
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRobocze notatki z metod kombinatorycznych w fizyce
Robocze notatki z metod kombinatorycznych w fizyce Grzegorz Siudem 12 czerwca 2017 1 Zajęcia wprowadzające 21.02 [1h] Wprowadzenie w tematykę wykładu (regulamin, etc.). Rekurencja wież z Hanoi (por. rozdział
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoChaotyczne generatory liczb pseudolosowych
Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych Michał Krzemiński michalkrzeminski@wp.pl Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych -
Bardziej szczegółowoHypatia? 415 PROCESY KAWAŁKAMI DETERMINISTYCZNE I ICH ASYMPTOTYKA RYSZARD RUDNICKI ŚLADAMI KOBIET W MATEMATYCE RZESZÓW, Strona 1 z 36 Wróć
Strona 1 z 36 Wróć PROCESY KAWAŁKAMI Hypatia? 415 DETERMINISTYCZNE I ICH ASYMPTOTYKA RYSZARD RUDNICKI ŚLADAMI KOBIET W MATEMATYCE RZESZÓW, 23.06.2017 Strona 2 z 36 Wróć Plan: Co to sa procesy kawałkami
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTwierdzenie o rozmaitości stabilnej
UNIWERSYTET GDAŃSKI Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Instytut Matematyki Witold Bołt nr albumu: 140530 Twierdzenie o rozmaitości stabilnej Praca magisterska na kierunku: MATEMATYKA Promotor: dr
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoO zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z Układów Dynamicznych. Krzysztof Barański Michał Krych Anna Zdunik
Zbiór zadań z Układów Dynamicznych Krzysztof Barański Michał Krych Anna Zdunik 9 października 2017 2 c Krzysztof Barański, Michał Krych i Anna Zdunik 2015 Spis treści 1 Punkty okresowe, zbiory graniczne,
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoTEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoLiczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.
Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych
Bardziej szczegółowoZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.
ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.
Bardziej szczegółowoSpecjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa
Arkadiusz Neubauer IV rok, Fizyka z Informatyką. Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa 1 Problem fizyczny W poniższej pracy przedstawiono numeryczną metodę obliczania widma Lapunowa
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II wykład piąty
Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoRodzinę odwzorowań {f i : X X} k i=1 nazywamy iterowanym układem funkcyjnym (ang. IFS iterated function system).
Iterowane układy funkcyjne Fraktale i chaos K. Leśniak X przestrzeń metryczna (w szczególności X R lub X C R 2 ). Rodzinę odwzorowań {f i : X X} k i= nazywamy iterowanym układem funkcyjnym (ang. IFS iterated
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoUniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym
Uniwersalność wykresu bifurkacyjnego w uogólnionym odwzorowaniu logistycznym Oskar Amadeusz Prośniak pod opieką prof. dr hab. Karola Życzkowskiego 29 września 2015 Instytut Fizyki UJ 1 Wstęp Celem tej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowo