Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień

Transkrypt

1 Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne ważne z punktu widzenia zastosowań; Pojęcie entropii, wyprowadzenie równowagowej fizyki statystycznej; Zastosowania układy nieoddziaływujących cząstek klasycznych i kwantowych; oddziaływania i najprostszy rachunek perturbacyjny; Teoria odpowiedzi, twierdzenie fluktuacyjno-dyssypacyjne Podstawy teorii procesów stochastycznych Zastosowania: opis kinetyki chemicznej, motory molekularne.

2 Elementy teorii prawdopodobieństwa A przestrzeń zdarzeń : 1, 2, 3, 4, 5, 6 : przestrzeń możliwych rzutów kostką p i, x j : przestrzeń wszystkich położeń i pędów N klasycznych cząstek punktowych 6N wymiarowa A, B : przedział na osi rzeczywistej 1, 1 : przestrzeń rzutu spinu w problemie z jednym spinem etc.

3 Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa A: zdarzenie A ; A podzbiór zdarzeń A A: zdarzenie A ; A podzbiór zdarzeń 1 A PA : PA 0 PA pr. zajściazdarzeniaa 2 P 1 3 Jeśli A B P A B PA PB praktyczna 'definicja ' : PA lim N na N

4 z2 A : 0 PA 1 z2,3 A A A A zdarzenia dopełniające PA A PA PA 1 z3 dlaszereguzdarzeń wykluczającychsię A i A j P A 1 A 2 A 3... PA 1 PA

5 Prawdopodobieństwo warunkowe B A PB A PB A PA Reguła Bayes a PB A df N N BA BA N A N N PBA N A PA P B A PB A PA PAB PB

6 Niezależność statystyczna P B A PB A PA PB PA

7 Własności miary B A 1 A 6 A 5 A 4 A 2 A 3 A i A i A j i, j P A i PA i i B B B A i B A i PB PB A i i

8 Twierdzenie Bayes a B A 1 A 6 A 5 A 4 A 2 A 3 A i A i A j i, j Na mocy wcześniejszego wyprowadzenia... PB PB A i PB A i PA i i i

9 Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia x X x x zapisujemy jako Px X x x X x x x x ostatni zapis można stosować jeśli nie prowadzi do nieporozumień x funkcja rozkładu gęstości x 0 Pa X b a b x x

10 Dystrybuanta rozkładu df( x) ( x) dx P[ x X x ] F( x ) F( x ) w szczególności : PX x x x' x' oraz x'x'

11 w szczególności : PX x x x' x' oraz x'x' 1 UWAGA: podany przepis zawiera w sobie przypadek dyskretny; np. jeśli x 1, x 2,..., x n i jeśli z każdym zdarzeniem elementarnym związane jest prawdopodobieństwo n p i : p i 0, p i 1, wtedy n i1 x p i x x i i

12 PRZYPADEK ROZKŁADÓW DYSKRETNYCH Pb X a a bx' x' f. Heavisida n i p i b x i x i a Przepis uogólnia się natychmiast na przypadek wielowymiarowy

13 Zamiana zmiennych w rozkładach 1 dim Z = f(x) Związek między zmiennymi wtedy i przypadkowymi X i Z (tr. współrzędnych z =f(x)) 1 Z z X x z fx x f'x i z Xx i z, gdzie x i z : dozwolone rozwiązania równania z fx dla x. W przypadku transformacji współrzędnych z zx możemy także użyć tożsamości 1 X x x Z z z X xz dx dz z Z z X xz dx dz zgodnie z poprzednim wzorem

14 PRZYKŁADY: Z z X x z fx x 1 f'x i z Xx i z, gdzie x i z : dozwolone rozwiązania równania z fx dla x. i a niech Z ln X, X x 1, x 0, 1 wtedy Z z X x z fx x 0 1 z lnx x x z również z dz dx 1 x Zz dx dz x z

15 Momenty rozkładu x n df x n x x jeśli istnieją x : pozycja 'środka masy' rozkładu <x>

16 b x 2 : " moment bezwładności " rozkładu względem x 0 x 2 x 2 : wariancja jest miarą rozmycia rozkładu wokół średniej x ; c x 3 : mierzy asymetrię rozkładu względem

17 Funkcja charakterystyczna/funkcja generująca momenty Transformata Fourier a (bądź Laplace a jeśli np. zmienna przypadkowa x określona na dodatniej półosi OX ) funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa: fk df e ik x df e ikx x x (s) s x x p x s x n0 ik n x n n Ma sens tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny; momenty wyższe niż pierwszy mogą nie istnieć a mimo to f(k) będzie istnieć (s) s x x p s x x

18 Własności funkcji charakterystycznej fk df e ik x df e ikx x x n0 ik n x n n f0 1 normalizacja fk 1 własności f cji podcałkowej fk f k W praktyce wielokrotnie znamy f(k) analitycznie, natomiast nie znamy rozkładu x 1 2 e ikx fk k x n lim k0 i n dn fk dk n

19 Przykłady (a) Rozkład Lévy ego Jest to rozkład dla którego funkcja charakterystyczna ma postać: fk exp c k ; 0 2, c 0 analitycznie postać X x znana jest jedynie dla kilku wartości ' jeśli 2, wtedy fk expck 2 x 1 4c exp x2 4c jest rozkładem Gaussa o 2 2c

20 '' jeśli 2, wtedy wszystkie momenty rozkładu poza pierwszym 0 są nieskończone. Np. dla 1 otrzymujemy tzw. rozkład Cauchy'ego znany także jako rozkład Breita Wignera X x 1 c c 2 x 2 (0,1) g( x) d f dx ( ) x f 1 ; arc tg x ; d dx x 2

21 Rozkład sumy zmiennych losowych Często pojawiające się zagadnienie w fizyce statystycznej: średnia energia kinetyczna v 1 2 v vn 2 : średnia prędkość H 1 H 2... H N : średnia energia nieoddziaływujących cząstek Pod średnią mamy sumę niezależnych zmiennych losowych. Można zapytać o ich rozkład prawdopodobieństwa

22 (c) Dalsze wykorzystanie f(k): badanie rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych (ćwiczenia) Niech Y N X 1 X 2... X N X i ma rozkład x i identyczna funkcja x i ; szukamy rozkładu dla Y N : YN y YN y... y x 1... x N x 1...x N x 1... x N wtedy f YN k e iky YN y y f X k N, gdzie f X k e ikx x x pokazać

23 (d) przykład: rozkład dwumienny: (modelem może być rzut monetą lub błądzenie przypadkowe) przeprowadzamy sekwencję N statystycznie niezależnych doświadczeń, których wynikiem z założenia są dwie wartości : 0 lub 1 p0 q p1 p p q 1 w sekwencji N prób : 0 wypada n 0 razy 1 wypada n 1 razy n 0 n 1 N N P N n 1 n wtedy 0 n 1 qn 0 p n N 23 n1 0 P N n 1 p q N 1

24 Na sekwencję prób można też popatrzeć z innego punktu widzenia. Wyobraźmy sobie, że zmienna stochastyczna X i opisuje wynik i tej próby i może mieć dwie realizacje : x 0 x 1 z prawd. q z prawd. p wtedy gęstość prawdopodobieństwa x q x p x 1 i funkcja charakterystyczna i tej próby dana jest przez fk e ikx x x e ikx q x p x 1 x q p e ik x 1, x 2,..., x n i jeśli z każdym zdarzeniem elementarnym związane jest prawdopodobieństwo n p i : p i 0, p i 1, wtedy i1 x p i x x i n i1

25 fk q p e ik Rozważmy obecnie zmienną losową będącą sumą N niezależnych prób : Y N X 1 X 2... X N wtedy YN y... y x 1... x N x 1...x N x 1... x N f YN k e iky YN y y fk N q p e ik N

26 UWAGA: CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Druga część ostatniego zadania jest szczególnym przypadkiem tzw. Centralnego Twierdzenia Granicznego, które można sformułować następująco: niech X i statystycznie niezależne zmienne losowe orozkładzie x, który ma skończone momenty wtedy zmienna losowa Y N 1 N X 1... X N x ma rozkład N YN y x N exp y x N, gdzie 2 x x 2 x

27 Y N 1 N X 1... X N x ma rozkład YN y N x N exp y x N, gdzie 2 x x 2 x 2 Rozkład Gaussa w granicy dużych N Dyspersja rozkładu zachowuje się jak x 2 N 1 N

28 Rozkłady stabilne (klasa rozkładów nieskończenie podzielnych) Definicja Niech X 1,..., X N będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznych rozkładach X x. Niech Y N X 1... X N będzie zmienną losową reprezentującą sumę zmiennych losowych. Rozkład X x nazwiemy stabilnym jeśli N rozkład YN y jest opisywany tą samą funkcyjną zależnościa co X tzn. różnica jest jedynie wwartości parametrówanie wkształcie funkcji

29 Rozkłady stabilne Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jest stabilna, jeśli jest niezmiennicza ze względu na konwolucję, tj. istnieja takie stałe a>0 i b, że zachodzi: ( al b) ( al b) 1 dl ( a( zl b) ( al b) 1 1 ( azb) Dla dowolnych rzeczywistych a 1 >0, b 1 oraz a 2 >0, b

30 Przykład: rozkład Gaussa ax bx Y y x 1 x 2 aby

31 Pomocne podejście z użyciem funkcji charakterystyznych: pozwala rozwiązać zagadnienie rozkładów stabilnych całkiem ogólnie Xi x i X i Jeśli Y N X 1... X N N f Y N k f X k N f Y N k e iky YN y y fk N W.K.W. na to aby mieć r. stabilny: Y f k fk, a'n fk, a N N

32 Przykłady: f Y N k fk, a'n fk, a N (a) Rozkład Gaussa 1 YN y 2 2 Y 2 exp y a 2 2 Y f Y N k iak 2 Y 2 k2 fk 2 N iak Y 2 k2 i a N k 2 Y 2N k2 1 a 2 N x X x exp 2 2 Y N 2 2 Y N

33 Przykłady: f Y N k fk, a'n fk, a N (a) Rozkład L evy ego fy N k expck ; 0 2, c0 tylko1szy moment jest skończony fk N exp c k exp c N k

34 Przykłady symetrycznych rozkładów Lévy ego, ciężkie ogony

35 Różne typy błądzenia przypadkowego ze stabilnym rozkładem długości skoku 1-dim trajektoria błądzenie w 2-dim

36 PRZYKŁADY: 1 Z z X x z fx x f'x i z Xx i z, gdzie x i z : dozwolone rozwiązania równania z fx dla x. i b Z 1, Z 2 2 lnx 1 cos 2X 1, sin 2X 2 X 1, X 2 : rozłożone jednorodnie na przedziale 0, 1 Z z 1, z x 1, x 2 z 1, z 2 z z X x 1, x 2 1 w tym przypadku Z z 1, z 2 ma rozkład Gaussa na przedziale,,