PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA WRACIBORZU PODSTAWY JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA WRACIBORZU PODSTAWY JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH"

Transkrypt

1 PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA WRACIBORZU INSTYTUT TECHNIKI I MATEMATYKI KIERUNEK: MATEMATYKA SPECJALNOŚĆ: NAUCZYCIELSKA ZE SPECJALIZACJĄ MATEMATYKA W INFORMATYCE PAWEŁ MICHALSKI PODSTAWY JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Praca licencjacka napisana pod kierunkiem dra hab. Tomasza Szarka, prof. PWSZ Racibórz 2007

2

3 Spis treści Wstęp 5 Rozdział 1. Pojęcia wstępne 7 1. Podstawowe pojęcia analizy 7 Rozdział 2. Układy dynamiczne 9 1. Pojęcia wstępne 9 2. Analiza graficzna Hiperboliczność 11 Rozdział 3. Rodzina odwzorowań kwadratowych Dynamikadlaa (1,3) Dynamikadlaa [3,4] WykładnikLyapunovadlaF 4 22 Rozdział 4. Wykładnik Lyapunova dla odwzorowań różniczkowalnych Przypadek ogólny Przypadek punktu okresowego 26 Bibliografia 27

4

5 Wstęp Badania nad nieliniową dynamiką stały się niezwykle popularne w przeciągu ostatnich pięćdziesięciu lat. Rozkwit ten można tłumaczyć użytecznością uzyskanych rezultatów nie tylko w matematyce, ale przede wszystkim w naukach przyrodniczych takich jak biologia, fizyka, chemia czy nawet ekonomia. Pozwoliły lepiej zrozumieć anomalie występujące w modelach rozwoju populacji czy w próbach długoterminowej prognozy pogody. Aby lepiej poznać układy dynamiczne zaczęto dogłębnie studiować geometrię i topologię, ponieważ problemy napotykane w czasie badań nad układem dynamicznym (np. pewne układy równań różniczkowych) często nie były możliwe do rozwiązania za pomocą znanych metod analizy. Zapoczątkowane zostały takie działy matematyki jak topologia algebraiczna i topologia różniczkowa, w których szybki postęp dał matematykom zupełnie nowe, bardziej geometryczne, spojrzenie na zagadnienia dynamiki nieliniowej. Pomimo tego, że do rozwoju teorii układów dynamicznych przyczyniły się tak zaawansowane dziedziny matematyki, wiele ciekawych wyników da się przenieść na grunt bardziej elementarny. Na przykład na prostą rzeczywistą. Można wprowadzić podstawowe pojęcia dynamiki nieliniowej bez odwoływania się do przestrzeni wielowymiarowych czy zaawansowanych pojęć topologii. Takie właśnie podejście, poparte przykładem odwzorowania logistycznego, jest tematem niniejszej pracy.

6

7 ROZDZIAŁ 1 Pojęcia wstępne Przyjmujemy następujące oznaczenia: 1. Podstawowe pojęcia analizy I,J,A-podzbioryprostej D f -dziedzinafunkcjif f (x)-pierwszapochodnafunkcjifwpunkciex f (n) (x)-n-tapochodnafunkcjifwpunkciex Określenia.Niechf: R Rbędziefunkcją. Mówimy,żefunkcjajestklasyC n naprzedzialeijeślif (n) (x)istniejeijestciągładla każdegox I. FunkcjajestnazywanagładkąjeślijestklasyC 1. FunkcjajestklasyC jeśliwszystkiejejpochodneistniejąisąciągłe. Definicja1.1.Mówimy,żefunkcjaf:D f Rjestróżnowartościowajeśli x1,x 2 D f (x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )). Przykład 1.2. Przykładami takich funkcji na prostej rzeczywistej są funkcje ciągłe ściślerosnącelubściślemalejące,np.f(x)=x 3, f(x)=e x. Definicja 1.3. Funkcją odwrotną do funkcji różnowartościowej f nazywamy funkcję f 1 taką,żef 1 (y)=x f(x)=y. Przykład1.4.Rozważmyfunkcjęf: R [0, )danąwzoremf(x)=e x.jest onaróżnowartościowaimatymsamymfunkcjęodwrotnąf 1 : R + Rdanąwzorem f 1 (x)=lnx. Definicja1.5.Mówimy,żefunkcjaf:I Jjest na jeśli y J x I y=f(x). ] Przykład1.6.Funkcjaf: R [ 1 2 π,1 2 π danawzoremf(x)=arctgxniejest na gdyżnieistniejex 0 R taki,żearctg(x 0 )= 1 2 πaniarctg(x 0)= 1 2 π. Definicja1.7.Niechf:I J.Mówimy,żefunkcjafjesthomeomorfizmemjeśli jestróżnowartościowa, na,ciągłaorazf 1 jesttakżeciągła.mówimy,żedwaprzedziały są homeomorficzne jeśli istnieje homeomorfizm przeprowadzający jeden z nich na drugi.

8 8 Pojęcia wstępne Definicja1.8.Niechf:I J.Mówimy,żefjestdyfeomorfizmemklasyC n,jeżeli jesthomeomorfizmemklasyc n takim,żef 1 jesttakżeklasyc n. Jednym z najważniejszych pojęć, których będziemy używać jest złożenie funkcji. Definicja1.9.Załóżmy,żemamyfunkcjef:I Jorazg:J A.Złożeniem funkcji f ignazywamyfunkcjęg f:i A.Określamy(g f)(x)=g(f(x)).nkrotnezłożeniefunkcjif zesobąoznaczamyf n (x)=f f... f(x). Przyjmujemy } {{ } nrazy f 0 (x)=x.ponadtojeżeliistniejefunkcjaf 1 odwrotnadoftozapisujemyf n (x)= f 1... f 1 (x). Bardzo ważną własność pochodnej funkcji złożonej przedstawia poniższy lemat. Lemat1.10.Jeślif,gsąfunkcjamigładkimito (f g) (x)=f (g(x)) g (x). Wszczególności,jeślih(x)=f n (x)to n h (x)= f (f n i (x)). i=1 Definicja Niech S R. S nazywamy zbiorem otwartym jeśli x S ε>0 (x ε,x+ε) S. Definicja Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, że x U. Twierdzenie1.13.(owartościśredniej).Niechf:[a,b] RbędzieklasyC 1.Wówczas c [a,b] f(b) f(a)=f (c)(b a). Twierdzenie 1.14.(własność Darboux). Niech f:[a, b] R będzie ciągła. Załóżmy, żef(a)=a 0 orazf(b)=b 0.Wtedy: z [a0,b 0 ] c [a,b] f(c)=z.

9 ROZDZIAŁ 2 Układy dynamiczne W tym miejscu warto odpowiedzieć sobie na pytanie co właściwie rozumiemy przez pojęcie układu dynamicznego. Wyróżniamy dwa rodzaje układów dynamicznych- ciągłe oraz dyskretne. W tej pracy skoncentrujemy się wyłącznie na opisie dyskretnych układów dynamicznych. Załóżmy, że mamy pewne odwzorowanie f: R R. Dyskretny układ dynamiczny to najprościej mówiąc zbiór punktów powstałych w wyniku złożeń odwzorowaniafzsamymsobą.przykładowo,jeślimamyf(x)=sinh(x)toukładdynamiczny wyznaczony przez tą funkcję to zbiór punktów postaci {x,sinh(x),sinh(sinh(x)),...,sinh(sinh(...(sinh(x))...))}. } {{ } nrazy n-krotne złożenie odwzorowania z samym sobą nazywamy jego n-tą iteracją. Głównym przemiotem badań w dziedzinie układów dynamicznych jest więc poszukiwanie odpowiedzi na pytanie o zachowanie się wspomnianych punktów przy rosnącej liczbie iteracji. Przedstawimy teraz pojęcia niezbędne dla dalszych rozważań. 1. Pojęcia wstępne Definicja 2.1. Punktem stałym odwzorowania f nazywamy taki punkt x, że f(x)=x.zbiórpunktówstałychoznaczamyfix(f). Lemat2.2.Niechf:I Ibędziefunkcjąciągłą.Wówczasfmaconajmniejjeden punktstaływi. Dowód.Weźmyg(x)=f(x) x.widać,żeg(x)jestciągłanai.przypuśćmy,że f(a)>aif(b)<b(wprzeciwnymwypadkualubbbyłbypunktemstałym).wynika stąd,żeg(a)>0orazg(b)<0.ztwierdzenia1.14wynika,żeistniejecpomiędzyaib, dlaktóregog(c)=0.wnioskujemywięc,żef(c)=cconależałodowieść. Definicja 2.3. Niech f: I J będzie odwzorowaniem.orbitą górną punktu x nazywamyzbiórpunktówpostaci{f n (x),n N}ioznaczamyO + f (x).jeślifjesthomeomorfizmemmożemyzdefiniowaćrównieżorbitędolnąx.jesttozbiórpostaci{f n (x),n N 0 } oznaczanyo f (x).ostateczniedochodzimydopojęciaorbitypełnejxjakozbiorupostaci {f n (x),n Z}. Orbity mogą tworzyć bardzo skomplikowane zbiory punktów nawet dla prostych odwzorowań nieliniowych. Istnieją mimo to również wyjątkowo proste orbity, które odgrywają kluczową rolę w badaniach nad całym systemem.

10 10 Układy dynamiczne Definicja2.4.Punktxnazywamypunktemokresowymookresienjeślif n (x)=x. Najmniejsząliczbęnaturalnąntaką,żef n (x)=xnazywamyokresempodstawowym punktux.zbiórpunktówokresowychookresienoznaczamyper n (f).zbiórwszystkich iteracji punktu okresowego nazywamy orbitą okresową. Przykład2.5.Wprzypadkuf(x)=x 3 mamyfix(f)={ 1,0,1}orazdlakażdego n Z,Per n (f)=fix(f),tzn.f niemażadnychpunktówokresowychróżnychod punktówstałych.natomiastdlaf(x)=x { 2 1mamy 1+ 5 Fix(f)=, 1 } 5 orazper 2 (f)\fix(f)={ 1,0}. 2 2 Definicja 2.6. Punkt x nazywamy punktem krytycznym odwzorowania f jeżeli f (x)=0.punktkrytycznyjestniezdegenerowanygdyf (x) 0.Wprzeciwnymwypadku nazywamy go zdegenerowanym. Przykład2.7.Weźmyf(x)=x 2.Funkcjafmaniezdegenerowanypunktkrytycznywx=0,natomiastf(x)=x n mazdegenerowanypunktkrytycznywx=0dla wszystkichn Analiza graficzna Celem badania układu dynamicznego jest zrozumienie zachowania się wszystkich jego orbit, znalezienie tych okresowych itd. Niestety jest to zadanie bardzo trudne lub wręcz niemożliwe do wykonania przy pomocy zwyczajnych metod analizy. Przykładowo załóżmy, że mamy odwzorowanie kwadratowe. Znalezienie w sposób analityczny wszystkichjegopunktówokresowychookresienwymagałobyrozwiązaniarównaniaf n (x)=x, którejestrównaniemwielomianowymstopnia2 n.metodynumerycznerównieżniezdają tu egzaminu gdyż zaokrąglenia powstałe w wyniku skończonej precyzji obliczeń komputerowych prowadzą do nagromadzania się małych błędów, które ostatecznie sprawiają, że wiele punktów okresowych staje się niewidocznymi. Matematycy nie pozostali jednak bezbronni. Wprowadzono metody geometryczne, za pomocą których możemy dokładnie rozpoznać zachowanie kolejnych punktów systemu. Metoda ta nazywana jest portretem fazowym. Jest to rysunek na prostej rzeczywistej obrazujący wszystkie orbity systemu. Dla przykładu: portret fazowy pokazujący, że każda niezerowaorbitaf(x)= xmaokres2możewyglądaćtakjaknarysunku1. Rysunek1.Portretfazowydlaf(x)= x.

11 3 Hiperboliczność 11 Rysunek2.Portretfazowydlaf(x)=x 3. Zkoleidlaprzekształceniadanegowzoremf(x)=x 3 takjaknarysunku2. Najczęściej stosowaną metodą znajdowania portretów fazowych danego systemu dynamicznego jest tzw. analiza graficzna. Polega ona na wykorzystaniu wykresu odwzorowania celem badania kolejnych jego iteracji. Procedura wygląda następująco. Rysujemy wykres naszego odwzorowania f oraz na tym samym układzie współrzędnych zaznaczamyzbiór ={(y,y): y R}.Wybieramypunktx irysujemyodniego pionowąlinięażdomomentujejprzecięciasięzwykresemf.dotarliśmywięcodpunktu (x,x)do(x,f(x)).odtegomiejscarysujemyliniępoziomąażdochwilijejprzecięcia sięz.jesteśmyterazwpunkcie(f(x),f(x)).terazwyraźniewidzimydokądzaprowadzą nas dalsze kroki tej konstrukcji. Znajdować się będziemy bowiem w punktach ( f(x),f 2 (x) ) (, f 2 (x),f 2 (x) ) itd.,czyliwkolejnychpunktachiteracjiodwzorowaniaf. Poniższy rysunek obrazuje tą procedurę dla przykładowej funkcji. Rysunek3.Analizagraficznadlaf(x)=2x x Hiperboliczność Najczęściej spotykanymi odwzorowaniami w systemach dynamicznych są te posiadające tzw. hiperboliczne punkty okresowe. Przedstawiają one najprostsze do analizowania typy zachowań okresowych. Definicja 2.8. Niech p będzie punktem okresowym o okresie podstawowym n. Punkt tennazywamyhiperbolicznymgdy (f n ) (p) 1.

12 12 Układy dynamiczne Przykład2.9.Rozważmydyfeomorfizmf(x)= 1 2 (x3 +x).mamyfix(f)={ 1,0,1}. Zauważmy,żef (0)= 1 2 if (±1)=2.Wynikastąd,żekażdyzpunktówstałychfjest hiperboliczny. Wykres oraz portret fazowy funkcji f przedstawiamy na rysunku 4. Rysunek4.Wykresiportretfazowydlaf(x)= 1 2 (x3 +x). Przykład2.10.Tymrazemweźmyf(x)= 1 2 (x3 +x).widzimy,żex=0jest hiperbolicznympunktemstałym,ponieważf (0)= 1 2.Punktyx=±1natomiastleżą naorbicieookresie2.korzystajączlematu1.13obliczamy(f 2 ) (±1)=f (1) f ( 1)=4. Stąd wynika, że punkty x = ±1 również są hiperboliczne. Na rysunku 5 przedstawiamy wykres i portret fazowy. Zauważmy,żewobupowyższychprzykładachmamy f (0) <1orazwidzimy,że punkty blisko zera zbiegają do zera. Jest to typowa sytuacja, którą przedstawimy ściślej w poniższym lemacie. Lemat2.11.Niechpbędziehiperbolicznympunktemstałymtakim,że f (p) <1. Wówczas istnieje otoczenie U punktu p takie, że x U lim n fn (x)=p.

13 3 Hiperboliczność 13 Rysunek5.Wykresiportretfazowydlaf(x)= 1 2 (x3 +x). Dowód.Ponieważf jestklasyc 1 istniejeε>0taki,że f (x) <A<1dla x [p ε,p+ε].ztwierdzenia1.13otrzymujemy f(x) p = f(x) f(p) A x p < x p ε. Stądf(x)zawierasięw[p ε,p+ε]ijestbliżejpunktupniżpunktx.postępując indukcyjnie f n (x) p A n x p, więcf n (x) pgdyn. Lemat ten pozostaje prawdziwy również dla hiperbolicznych punktów okresowych o okresien.jegozałożenienależałobyoczywiściezmienićna (f n ) (p) <1. Definicja Niech p będzie hiperbolicznym punktem okresowym o okresie n takim,że (f n ) (p) <1.Punktpbędziemynazywaliprzyciągającympunktemokresowym lub krócej, atraktorem. Zachowanie się odwzorowania w otoczeniu punktów okresowych, w których wartość bezwzględna pochodnej jest większa od 1 jest zupełnie inne od tego obserowanego przy atraktorach. Zobrazujemy to następującym lematem. Lemat Niech p będzie hiperbolicznym punktem okresowym o własności f (p) >1.WówczasistniejeotoczenieUpunktuptakie,że ( ) (p x U) k>0 f k (x)/ U.

14 14 Układy dynamiczne Dowód.PonieważfjestklasyC 1,więcistniejeɛ>0takie,że f (x) >A>1dla x U=[p ɛ,p+ɛ].mamy f(x) p = f(x) f(p) >A x p >ɛ. Przypuśćmy,żeistniejex Utaki,że k N f k (x) U.Wówczas f k (x) f k (p) f (ξ) f k 1 (x) f k 1 (p) A f k 1 (x) f k 1 (p), gdzieξleżypomiędzyporazf k 1 (x).postępującindukcyjnieotrzymujemy k N f k (x) f k (p) A k x p. Jednakgdyk toa k skądwynika,że f k (x) p costoiwsprzeczności zzałożeniem,że k N f k (x) U. Definicja2.14.Punktstałyp,dlaktórego f (p) >1nazywamypunktemodpychającym lub krócej, repulsorem.

15 ROZDZIAŁ 3 Rodzina odwzorowań kwadratowych Zajmiemy się teraz zaprezentowaniem wprowadzonych pojęć na przykładzie rodziny odwzorowań kwadratowych zwanej też rodziną odwzorowań logistycznych. Mimo prostoty zapisu odsłaniają one bardzo wiele ciekawych własności oraz fenomenów występujących w teorii układów dynamicznych. RozważaćbędziemyodwzorowaniapostaciF a (x)=ax(1 x)gdziea,x R. 1. Dynamikadlaa (1,3) Obserwacja 3.1. Zauważmy, że (1)0,x a Fix(F a )gdziex a = a 1 a,a 0. (2)a>1 0<x a <1. Dowód. (1)Pokażemy,żeF a (x a )=x a. ( )( a 1 F a (x a )=a 1 a 1 ) =(a 1) a a+1 = a a a = a 1 =x a. a Zatemx a Fix(F a ).Dlaargumentu0sprawajestoczywista. (2)Załóżmy,żea>1.Wówczasa 1<askąd,dzielącnierównośćstronamiprzez a,dostajemynatychmiast a 1 <1.Wiemyrównież,żea 1>0więci a 1 a > 0. Ostatecznie 0< a 1 a a <1 0<x a <1. Następujący lemat wyjaśni dlaczego cała interesująca nas dynamika rodziny odwzorowańkwadratowychmamiejscewprzedzialejednostkowymi={x R: 0 x 1}. Lemat3.2.Niecha>1orazn.Wówczas (1)x<0 F n a (x). (2)x>1 F n a(x).

16 Dowód. 16 Rodzina odwzorowań kwadratowych (1)Jeślix<0toax(1 x)<x,czylif a (x)<x.stądf n a jestmalejącymciągiem punktów. Ciąg ten nie może być zbieżny do p, ponieważ wtedy mielibyśmy F n+1 a (x) F a (p)<ppodczasgdyf n a (x) p.wynikastąd,żefn a. (2)Jeślix>1toF a (x)<0,więcrównieżf n a(x). Powyższe rozważania stają się jeszcze bardziej oczywiste gdy spojrzymy na rysunek 1. Rysunek1.AnalizagraficznaF a (x)dlaa>1. Twierdzenie3.3.Niech1<a<3. (1)F a maprzyciągającypunktstaływx a = a 1 a x=0. (2)Jeśli0<x<1to Dowód. lim n Fn a (x)=x a. oraz odpychający punkt stały w (1)Zauważmy,żeF a(0)=aorazf a(x a )=2 a.wynikastąd,żex a jestatraktorem dla1<a<3natomiast0repulsoremdlaa>1. (2) Dowód punktu drugiego podzielimy na dwie części, mianowicie na przypadki gdy1<a 2,oraz2<a<3.

17 1Dynamikadlaa (1,3) 17 ( ] 0, 1 2. Wówczas oczywista jest nierów- a)niech1<a 2.Załóżmy,żex ność(patrz rysunek 2) F a (x) x a x x a. ( ) StądFa n(x) x 1 agdyn.jeślizkoleix 2,1 oraz poprzedni argument implikuje tof a (x) ( ) 0, 1 2 F n a (x)=fn 1 a (F a (x)) x a, gdyn. ( ) b)niechteraz2<a<3.zauważmy,żex a 1 2,1.Oznaczmyprzezˆx a ( ) jedyny punkt w przedziale 0, 1 2,takiżeF a (ˆx a )=x a.łatwowidać,że [ Faprzekształcaprzedział[ˆx 2 a,x a ]na 1 2 a],x,azatem x [ˆxa,x a]f n a (x) x a, gdyn.załóżmyteraz,żex<ˆx a.istniejewówczask>0takie, żef k a(x) [ˆx a,x a ],awięcrównieżf k+n a (x) x a.poprzezanalogiczne rozumowaniestwierdzamy,żeprzedział(x a,1)zostanieprzeprowadzony na(0,x a ),awięciiteracjef a dlakolejnychpunktówztegożdojdądo x a.zauważmyteraz,że(0,1)=(0,ˆx a ) [ˆx a,x a ] (x a,1)skądwynika,że każdypunktnależącydo(0,1)zostanieprzeprowadzonynax a cokończy dowód. Rysunek2.AnalizagraficznaF a (x)dla1<a 2(polewej)i 2<a<3(poprawej).

18 18 Rodzina odwzorowań kwadratowych 2. Dynamikadlaa [3,4] Przedstawiliśmy dynamikę rodziny odwzorowań kwadratowych dla wartości parametru z zakresu(1, 3). Obecnie zajmiemy się prezentacją zachowania tego układu dynamicznego dla wartości parametru z zakresu[3, 4]. Pamiętamy,żedlaa (1,3) Przyjrzyjmy się przypadkowi n = 2, tzn. n N Fix(F n a )={0,x a}. F 2 a(x)=a 2 (1 x)x(1 a(1 x)x). Oczekiwalibyśmy,żejedynymirozwiązaniamirównaniaFa(x)=xbędziezbiór{0,x 2 a }. Zauważmy jednak, że równanie jest także spełnione przez a u 1 = 2 2a 3 a 1 a i u 2 = 2 2a 3+a+1. 2a 2a Były one pomijane we wcześniejszych rozważaniach, ponieważ dla każdego a z przedziału (1,3)wyrażeniea 2 2a 3przyjmujewartościujemne.Dlatychjednakniejestokreślony pierwiastek kwadratowy, więc rozwiązania nie istniały. Zatem gdy a przekracza wartość 3mamydwanowepunktystałedlaF 2 a,czylifix(f2 a )={0,x a,u 1,u 2 }izarazemdwa nowepunktyokresoweookresie2dlaf a tzn.per 2 (F a )={0,x a,u 1,u 2 }.RezultatdlaF 2 a pokazany jest na rysunku 3. Rysunek3.F 2 a(x)dlaa>3. Jakie mogą więc być konsekwencje przyjęcia parametru z przedziału[3, 4]? Weźmy najpierw jakąś jego wartość z przedziału(1, 3), przykładowo niech a = Wówczas zgodnie z twierdzeniem 3.3 mamy x (0,1) lim n Fn 2.45 (x)=x 2.45=

19 2Dynamikadlaa [3,4] 19 Przyjmijmy teraz a = Gdybyśmy chcieli zastosować twierdzenie 3.3 oczekiwalibyśmy następującego wyniku: x (0,1) lim n Fn 3.27(x)=x 3.27 = Spójrzmyjednaknawartościznajdującesięwtabelach4.2i4.3.Znajdująsięwnich wartościpowstałewwynikupiętnastuiteracjipunktupoczątkowegox 0 =0.4.Kolumna ntonumeriteracji,akolumnafa n(x 0)toodpowiadającawartościiteracji.Zauważamy, żewtabeli4.2iteracjezbliżająsię,jakprzewidywaliśmy,dopunktux 2.45,jednakliczby w tabeli 4.3 w żaden sposób nie spełniają naszych oczekiwań. Aby lepiej zobrazować powstałą sytuację posłużymy się tzw. szeregiem czasowym. Definicja3.4.Szeregiemczasowym przekształceniaf dlaustalonegopunktux 0 nazywamyciągpunktówpostaci(n,f n (x 0 )) n N gdzientonumeriteracji,af n (x 0 )odpowiadającaiteracjawartościpoczątkowejx 0. Szereg czasowy można rozumieć jako graficzną reprezentację zbioru orbity górnej O + f (x 0).Dlazwiększeniaprzejrzystościpunktyszereguczasowegopołączymyodcinkami. Na rysunku 4 są szeregi czasowe odpowiadające tabelom 4.2 i 4.3. Widzimy wyraźnie, że na pierwszym z nich iteracje dążą do punktu stałego podczas gdy na drugim oscylują pomiędzy dwiema wartościami. Zatem granica o której mowa w twierdzeniu 3.3 nie istnieje, pokazaliśmy więc na przykładzie istotność założenia o braniu a z przedziału(1, 3). n F n 2.45 (0.4) Tabela4.2i4.3. n F n 3.27 (0.4) Niewątpliwie jedną z najważniejszych cech jaką prezentuje odwzorowanie logistyczne z parametrem a z przedziału[3, 4] jest wrażliwość na warunki początkowe. Oznacza to,

20 20 Rodzina odwzorowań kwadratowych żekażde,najmniejszenawetodchylenieprzyjętegox 0 odpierwotnejwartościzostaniew pewnej chwili gwałtownie powiększone pod wpływem kolejnych iteracji. Rysunek4.SzeregczasowypiętnastuiteracjiF a (0.4)dlaa=2.45 (polewej)ia=3.27(poprawej). Istnieją szczególne klasy odwzorowań wrażliwych na warunki początkowe. Edward Lorenz nazwał chaotycznymi te odwzorowania, w których błąd powstały w wyniku niewielkich zmian w wartościach początkowych wzrastał do tego samego rzędu wielkości co oryginalne wartości. Do pokazania tej własności posłużymy się znów szeregiem czasowym.niechx 0 =0.8, a=4, n=50.wprowadzimyniewielkieodchylenieε=10 6. Rezultat zawarty jest na rysunku 5. Początkowo różnica pomiędzy oryginalną orbitą, a tą z wprowadzonym odchyleniem jest znikoma, jednak już po przekroczeniu piętnastej iteracji błąd gwałtownie wzrasta. Jest to, więc odwzorowanie chaotyczne. Fakt,żeróżnicapomiędzywyjściowąorbitąO + F 4 (0.8),aorbitąO + F 4 (0.8+ε)jestw początkowych iteracjach niewielka możemy wykorzystać do obliczenia średniego tempa wzrostunieskończeniemałychbłędówwpunkciex 0. Rozważmywtymceluodwzorowanieg(x)=cx,gdziec>1jeststałąrzeczywistą. Możemyzłatwościązapisaćjegopostaćponiteracjachdlaustalonegopunktux 0.Będzie tog n (x 0 )=c n x 0.NiechbłądpoczątkowywynosiE 0 =ε.wtedyg n (x 0 +E 0 )=c n (x 0 + E 0 ).ObliczmyE n,czyliwartośćbłęduponiteracjach: E n =g n (x 0 +ε) g n (x 0 )=c n (x 0 +ε) c n x 0 =c n ε. Zauważmy,żezkażdąiteracjąbłądrośnieoczynnikc,tzn. (1) E n =cn. E 0 OczywiścietakprostazależnośćniewystępujedlacałegozbioruO + F a (x 0 ),gdyżjakwidzimy na rysunku 5 wartości błędu zmieniają się w bardzo nieregularny sposób w przeciwieństwie do odwzorowania g. Widzieliśmy jednak, że do pewnego momentu błąd był

21 2Dynamikadlaa [3,4] 21 Rysunek5.Szeregczasowy50iteracjiF 4 (0.8)(ugórypolewej), F 4 (0.8+ε)(ugórypoprawej)oraz F 4 (0.8+ε) F 4 (0.8) (udołu). niewielki i musiał rosnąć w przybliżeniu jednostajnie. Równanie(1) ma więc zastosowaniewprzypadkuf a podwarunkiem,żezanprzyjmiemynumeriteracji,wktórejwartość błędue n przekroczyłaporazpierwszypewnąustalonąwartość,np.0.15.wyliczmywięc z równania(1) współczynnik wzrostu błędu c. (2) E n E =cn ln E n 0 E =nlnc lnc=1 0 n ln E n E. 0 ( ) 1 Zatemc=exp n ln E n. E 0 Przykład3.5.Niechx 0 =0.202orazE 0 = SprawdźmykiedywartośćE n przekroczy pierwszy raz 0.15.

22 22 Rodzina odwzorowań kwadratowych n F4 n(0.202) n F4 n(0.202+e 0) Domomentun=16błądpozostajemniejszyod0.15jednakdlan=17mamyjuż F 17 4 (0.202+E 0 ) F 17 4 (0.202)= >0.15. Obliczmy, więc współczynnik wzrostu błędu na iterację: ( ) ( ) 1 c=exp 17 ln E 17 1 E c=exp 0 17 ln Możemy zatem wnioskować, że odpowiednio małe błędy będą się w przybliżeniu podwajać z każdą iteracją punktu WykładnikLyapunovadlaF 4 Wyjaśnimy teraz pojęcie wykładnika Lyapunova, które jest ściśle związane z powyższymi rozważaniami. Wykładnik ten jest liczbą opisującą średni wzrost nieskończenie małychbłędówwpunkciex 0.Oznaczamygoλ(x 0 ).Oczywistejest,żeabywyznaczyćw miarę dokładne tempo wzrostu błędów należy wziąć pod uwagę znacznie więcej iteracji niż w poprzednim przykładzie. Dobrym sposobem nie jest również branie coraz mniejszychbłędówpoczątkowychnp celemwydłużeniaczasu,wktórymbłądprzekroczy pewną ustaloną wartość ze względu na ograniczoną dokładność komputerowych obliczeń numerycznych. Rozwiązanieproblemujestnastępujące.NiechE 0 będziedowolniemałymbłędem początkowym. Zapiszmy wzrost całkowitego błędu w równoważnej postaci: E n n = E k. E 0 k=1 E k 1 Pamiętajmy, że w myśl równania(2) jesteśmy zainteresowani logarytmem średniej geometrycznej powyższego iloczynu: ( 1 n n ln ) E k E = 1 n ln E k k=1 k 1 n E. k=1 k 1 Rozważmy wyrażenie E k+1 E opisującejakmałybłąde kwk-tejiteracjizmienisięw k k + 1-szej iteracji. Obserwacja3.6.JeśliE k =εjestmałymbłędemtowspółczynnikwzrostubłędu na iterację E k+1 niezależywsposóbistotnyodek E k.

23 3WykładnikLyapunovadlaF 4 23 Dowód.NiechE k =ε,tzn.ˆx k =x k +εgdziex k oznaczak-tąiteracjęf 4.Wówczas mamy E k+1 =F 4 (ˆx k ) F 4 (x k )=ˆx k+1 x k+1 = =4(x k +ε)(1 x k ε) 4x k (1 x k )=4ε(1 2x k ) 4ε 2. MożemypodzielićterazobustronnieprzezE k otrzymując E k+1 =4(1 2x k ) 4ε. E k Wartość 4ε jest stosunkowo mała, więc nasz współczynnik zależny jest głównie od wartości4(1 2x k ). JeżeliterazprzyjmiemyÊk+1=F 4 (x k +ε) F 4 (x k )todladowolniemałegobłędu początkowego ε dostajemy oszacowanie E k+1 E Êk+1. k ε Ostatecznie, na mocy obserwacji 3.6 dostajemy 1 n ln E n n 1 Ê k ln n ε. E n Wyprowadziliśmy, więc praktyczną metodę obliczania wartości wykładnika Lyapunova. Dziękiniejmożemybeztrudusprawdzić,żenp.dlaε=0.001, n=100000, a=4 zachodzi λ(0.202) Można także wykazać, że dla losowo wybranej wartości początkowejzprzedziału[0,1]idlaa=4przyrosnącejliczbieiteracjiwgranicyotrzymamy λ(x 0 )=ln2= k=1

24

25 ROZDZIAŁ 4 Wykładnik Lyapunova dla odwzorowań różniczkowalnych Załóżmy,żefunkcjaf:D f RjestciągłaiD f R. Definicja4.1.Pochodnąfunkcjifwpunkciex 0 D f nazywamygranicę f (x 0 )= lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Zauważmy,żepodstawiającwpowyższejdefinicjih=x x 0 x=x 0 +hotrzymujemy jej równoważną postać. Definicja4.2.Pochodnąfunkcjifwpunkciex 0 D f nazywamygranicę f f(x 0 +h) f(x 0 ) (x 0 )=lim. h 0 h Definicja4.3.Funkcjęfnazywamyróżniczkowalnąwpunkciex 0 gdyistniejeijest skończona granica lim,tzn. f(x 0 +h) f(x 0 ) h 0 h f(x 0 +h) f(x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) lim = lim =f (x 0 ). h 0 + h h 0 h 1. Przypadek ogólny Załóżmy,żeprzeprowadziliśmyiteracjęróżniczkowalnegoodwzorowaniaf,czylix n+1 = f(x n )dlan=1,2,...wiemyjużzpoprzedniegorozdziału,żemożemyzapisaćwzrost błędu po n krokach w postaci iloczynu E n E = n E k 0 E k=1 k 1 i następnie rozważyć jego zlogarytmowaną średnią geometryczną otrzymując 1 n ln E n n E =1 ln E k 0 n E. k=1 k 1 Oczywiściebłądwk-tejiteracjiwynosiE k =f(x k 1 +E k 1 ) f(x k 1 )skądmamy (3) E k E k 1 = f(x k 1+E k 1 ) f(x k 1 ) E k 1.

26 26 Wykładnik Lyapunova dla odwzorowań różniczkowalnych Pamiętamy, że dla zmaksymalizowania dokładności obliczeń wykładnika Lyapunova przyjmowaliśmydowolniemałybłądpoczątkowye 0.Jeżelizatemprzyjmiemyw(3),że E 0 0tonamocydefinicji4.2otrzymamy: f(x k 1 +E k 1 ) f(x k 1 ) lim =f (x k 1 ), E 0 0 E k 1 czyli 1 n lim ln E k n E 0 0n E =1 ln f (x k 1 ). k=1 k 1 n k=1 Zwiększając teraz do nieskończoności liczbę iteracji n otrzymujemy ogólny wzór na obliczanie wartości wykładnika Lyapunova dla odwzorowania różniczkowalnego: 1 n (4) λ(x 0 )= lim ln f (x k 1 ). n n k=1 Przykład4.4.PonieważodwzorowanielogistyczneF a rozważanewrozdziale4jest różniczkowalne możemy wyznaczyć dla niego ogólną postać wykładnika Lyapunova: 1 n 1 n λ(x 0 )= lim ln a 2ax k 1 =lna+lim ln 1 2x k 1. n n n n k=1 k=1 2. Przypadek punktu okresowego Załóżmy,żeorbitapunktux 0 jestorbitąokresowąookresiedługościm>0,tzn. x m =f m (x 0 )=x 0.Wówczaszamiastzmierzaniaziteracjamidonieskończonościwystarczy wziąć ich ilość odpowiadającą długości okresu gdyż ze względu na powtarzanie się wartości iteracji średnia arytmetyczna logarytmów współczynników wzrostu błędu w jednym okresie jest taka sama jak w dwóch, trzech i wszystkich pozostałych. Zatem w myśl wzoru(4) otrzymujemy: Przykład λ(x 0 )= lim n n n ln f (x k 1 ) = 1 m ln f (x k 1 ). m k=1 k=1 (1)Jeżelix 0 jestpunktemstałym,tzn.m=1dostajemy λ(x 0 )=ln f (x 0 ). (2)Jeżelix 0 maokresdługości2,tzn.m=2to λ(x 0 )= 1 2 (ln f (x 0 ) +ln f (x 1 ) )=λ(x 1 ).

27 Bibliografia [1] Robert L. Devaney An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison Wesley 1989r. [2] Robert L. Devaney Chaos, Fractals and Dynamics, Addison Wesley, Menlo Park 1990r. [3] A. Lasota, M. Mackey Chaos, Fractals and Noise, Springer, 1994r. [4] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice chaosu. Fraktale. Część I, PWN 2002 [5] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice chaosu. Fraktale. Część II, PWN 2002 [6]IanStewartCzyBóggrawkości?,PWN2001

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe 13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa

Pochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia - równania nieliniowe

Zagadnienia - równania nieliniowe Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 3 notatki

Zajęcia nr. 3 notatki Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Podręcznik. Przykład 1: Wyborcy

Podręcznik. Przykład 1: Wyborcy MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska

TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe

14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe 14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi

Bardziej szczegółowo

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1 Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Iteracyjne rozwiązywanie równań

Iteracyjne rozwiązywanie równań Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/14 Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MATeMAtyka zakres rozszerzony MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo