FILTRACJA KALMANA W TECHNICE NA PRZYKŁADZIE URZĄDZENIA SST

Transkrypt

1 Zeszyty Nauowe WSInf Vol 12, Nr 1, 2013 Mirosław Zając Politechnia Łódza, Instytut mechatronii i Systemów Informatycznych ul. Stefanowsiego 18/22, Łódź mire21.mire21@wp.pl FILRACJA KALMANA W ECHNICE NA PRZYKŁADZIE URZĄDZENIA SS Streszczenie W artyule podjęto próbę opisu filtracji Kalmana zarówno dla zagadnień liniowych ja i nieliniowych. Omówiono linearyzację dla zagadnień nieliniowych, wyorzystano zgromadzone informacje do budowy pratycznej filtra Kalmana. Zbadano możliwość wyorzystania założeń teoretycznych w pratycznej realizacji dotyczącej urządzenia pomiarowego i badania właściwości magnetycznych ferromagnetya przy wyorzystaniu SS. Słowa luczowe: filtracja, Kalman, element nieliniowy, linearyzacja 1 Wprowadzenie W rozwiązaniach technicznych często zachodzi potrzeba zastosowania filtracji sygnału by dostosować go do olejnego członu wyonawczego lub wyorzystać sygnał o oreślonych parametrach do sterowania blou bądź urządzenia. Jeżeli jaiś sygnał ma być stosowany do sterowania innym urządzeniem bądź modułem to tai sygnał nie może być dowolny ale musi spełniać oreślone zadania postawione bądź założone w fazie projetowania, musi spełniać oreślone normy dotyczące np.: poziomu sygnału, stosunu sygnału do szumu itp. Aby zapewnić prawidłowe sterowanie i użycie sygnału do sterowania. Jeżeli sygnał nie odbiega zbytnio od założeń projetowych to jest łatwy do wyorzystania we wspomniany wcześniej sposób, sprawa się ompliuje gdy np.: tylo częściowo spełnia waruni. Nie zawsze wtedy jest możliwość użycia innego sygnału do sterowania bądź wyłączenia na moment urządzenia by poczeać aż sygnał sam się ustabilizuje. Nie zawsze też charater środowisa bądź sam projet filtra pozwala na zastosowanie go w onretnej dziedzinie czy problemie. Często i sam filtr musi być dostosowany do charateru funcji jaą ma pełnić. Znów jeżeli waruni pracy filtra nie zmieniają się w sposób ciągły i losowy to taie zmiany da się przewidzieć i zaprojetować odpowiedni filtr. Gorzej gdy zmiany mają 5

2 6 Filtracja Kalmana... charater losowy lub częściowo losowy, wtedy zwyły filtr nie da sobie rady w ta zmiennych warunach pracy, onieczny jest tai, tóry będzie niejao sam dostosowywał się do zmiennych warunów zewnętrznych i nadal pełnił funcje mu powierzone. Inną sprawą jest charater zmian wielości sterowanej czy to jest wielość zmieniająca się liniowo czy nieliniowo. Wszystie powyższe waruni i problemy zostały uwzględnione w filtracji Kalmana. Podstawowy filtr Kalmana jest przeznaczony dla problemów o charaterze zmian liniowej wielości filtrowanej, dlatego gdy trzeba użyć filtru w procesie tóry z natury ma charater nieliniowy onieczne jest wyorzystanie linearyzacji czyli przystosowania filtru do innego charateru zjawis bądź wartości wejściowych na tórych ma pracować (linearyzację opisano w dalszej części pracy). Jeżeli chodzi o zastosowanie filtracji Kalmana w dowolnym procesie to głównym waruniem oniecznym jest możliwość opisania odpowiednimi równaniami procesu. Nietóre procesy mogą być dość mocno wymagające jeśli chodzi o sposób ich matematycznego opisu. Odpowiednie narzędzia matematyczne pozwalają dość szczegółowo opisać stan bądź zmienność danego procesu. worząc opis matematyczny jednocześnie tworzymy model opisujący dane zjawiso bądź urządzenie. Logicznym wniosiem jest, że jeżeli nie wiemy ja opisać coś co się zmienia to nie będziemy w stanie rozróżnić sygnału od szumu lub przewidzieć olejnego stanu danego zjawisa, pozycji pracy urządzenia, co za tym idzie nie napiszemy odpowiedniego algorytmu filtrującego ani nie zbudujemy fizycznie filtru. u dochodzimy do ważnej informacji filtr Kalmana to ta naprawdę specjalnie napisany algorytm tóry umożliwia wybranie oreślonego sygnału z grupy sygnałów lub oddzielenie go z załóceń i przeprowadzenie na tym sygnale dalszych operacji matematycznych celem np. : wysterowania innego urządzenia. Aparat matematyczny tóry wyorzystuje się do wydzielenia sygnału, jego odpowiedniego wzmocnienia jeśli zajdzie potrzeba to głównie algebra bo działania opierają się na rachunu macierzowym i wetorach oraz szeroo pojęta wiedza ze statystyi. Całość ma służyć temu by przewidzieć olejny ruch bądź zmianę wartości pomiarowej w trochę odmienny sposób niż lasyczne filtry, w lasycznych filtrach raczej nie przewiduje się co się wydarzy i nie dostosowuje się filtru do nadchodzących zmian. Dla tzw. filtru lasycznego zapisano ściśle oreślone wartości graniczne sygnału dla tórego filtr pracuje to znaczy interpretuje względem tych wartości sygnał wejściowy i walifiuje go jao pożądany bądź nie pożądany, gdy zawalifiuje jao nie pożądany sygnał jest tłumiony lub wycinany. Wartości graniczne w taim filtrze rzado się zmieniają, a pracujący uład jest najczęściej dość mocno zoptymalizowany względem sygnału poddawanego filtracji i względem tych wartości granicznych wyznaczających stan pracy uładu. Filtr pracuje dobrze do chwili gdy sygnał podawany na uład zmieni odrobinę swój charater wyraczając poza te z góry ustalone

3 M. Zając granice. Wtedy optymalizacja działa na nieorzyść filtru bo albo uład odmawia pracy albo produuje ta chaotyczne wynii że nie nadają się one do dalszej współpracy z innymi uładami. Filtr Kalmana minimalizuje tę niedogodność, nie oznacza że wszysto jedno co podamy na wejście uładu, ale możliwość błędnej pracy i wsazań jest znacznie zminimalizowana względem podobnego uładu filtra lasycznego. Jest to możliwe dlatego, że uład z filtrem Kalmana ma opisany model procesu i sam pomiar, a nie tylo waruni graniczne pomiaru. Zatem sposób podejścia do problemu filtracji jest znacząco różny od filtru o onstrucji lasycznej. ai sposób filtracji daje przewagę filtrowi Kalmana, odpowiednio zaprogramowany może w oreślonych granicach dostosowywać się do zmiennych warunów zewnętrznych, co ważne bez utraty znacznej funcjonalności, a odpowiednio rozbudowany filtr może nawet orygować swą pracę względem innych sygnałów mierzonych i wciąż dawać poprawny wyni pomiaru mimo zmian sygnału mierzonego (filtrowanego).uzysanie taiej pracy w uładzie filtra lasycznego jest znacznie utrudnione o ile w ogóle możliwe, przyład: wzmocnienie w zwyłych filtrach jest z reguły stałe i jasno oreślone przez onretną charaterystyę natomiast filtr Kalmana posiada zmienne wzmocnienie. Potrafi dostosowywać wartość współczynnia wzmocnienia sygnału według założonego algorytmu, w zależności od potrzeby to wzmocnienie jest dostosowywane w zależności od warunów pracy odpowiednio by zagwarantować poprawny pomiar. Sam algorytm logicznie przypomina trochę to decyzyjny człowiea. Analizując działanie filtru zwyłego jeśli mu podać na wejściu sygnał to filtr podejmie pracę i obetnie wszysto co nie pasuje do z góry założonej w fazie projetowania charaterystyi pasma przenoszenia. Filtr zajmuje się jedynie dostosowanie sygnału do wzorca zbliżonego do wymogów opisanych rzywą przenoszenia filtru nie interesuje go co na wyjściu otrzymuje, po prostu działa. Podsumowując dla tego typu filtru będzie wszysto jedno czy na wyjściu będzie podawany sygnał o poprawnych parametrach (w założeniu będzie zawsze poprawny bo uład dostosowany był do oreślonych sztywnych warunów), czy też nie. W Filtrze Kalmana jest zupełnie inaczej. Sygnał pomiarowy ma wpływ na wewnętrzne podułady filtru, a w efecie filtr ten dostosowuje się w oreślonych granicach do sygnału i jego charaterystyi, dzięi temu ma możliwość lepszego dopasowania się do zmiennych warunów sygnałowych, ta by wyonać ja najlepiej założoną filtrację lub założony pomiar. Mało tego sam algorytm i strutura filtru pozwalają by filtr mierzył sygnał bądź sygnały pomocnicze brane pod uwagę w fazie projetowania filtru, w ten sposób nie tylo bada sygnał, ale też niejao rozumie co zrobić by dostosować się do zmian sygnału wejściowego. e dodatowe sygnały pozwalają na dodatowe wewnętrzne dostosowanie się uładu by na wyjściu uzysać sygnał w założonej tolerancji. Żeby zobrazować działanie algorytmu Kalmana 7

4 8 Filtracja Kalmana... można porównać sytuację dostosowywania parametrów filtru podczas filtracji do sytuacji iedy człowie mierzy długość danego elementu, za ażdym razem gdy doonuje się pomiar człowie ma lub dostosuje pomiar do swoich potrzeb zgodnie z wymaganą doładnością oczywiście o ile ma odpowiedniej doładności przyrządy pomiarowe by ten pomiar doonać. Podobnie człowie jeśli ma wyni pomiaru uzysać w metrach to używa do pomiaru przymiaru wysalowanego w metrach mimo, że jednocześnie może mieć dostęp, a nawet używać urządzenia mierzącego długość w wielu jednostach i z różną doładnością w tym samym czasie. Decyzję co wybrać podejmuje człowie zgodnie ze swoim logicznym algorytmem poszuiwania rozwiązania optymalnego mimo, że my nie zawsze możemy być tego świadomi sam mózg doonuje często optymalizacji za nas decydując ja wyonać dany ruch lub czynność. Filtr Kalmana działa analogicznie jeśli ma do dyspozycji ila sygnałów oraz opis w jai sposób je powiązać może dostosować swą pracę w tai sposób że ma ona wpływ na wyni ońcowy np.: z ilu sygnałów o różnej doładności można uzysać więszą doładność jeśli wie się ja sygnały ze sobą oddziałują. a się dzieje np.: w przypadu sterowania wysoością samolotu sterowanego automatycznie jeśli wymagana jest precyzja i napisano odpowiedni algorytm autopilot uwzględni wszystie sygnały mogące poprawić doładność wsazań, a zatem i jaość sterowania się poprawi. Filtr może przewidzieć wyni na podstawie wcześniejszych pomiarów oraz zoptymalizować swą pracę, dostosowując wzmocnienie do onretnej sytuacji. ai tryb pratycznie gwarantuje lepsze wynii niż lasyczne rozwiązania. Patrząc na dziedzinę automatyi gdyż głównie tam stosuje się filtr Kalmana jao element sterowania można stwierdzić, że filtr Kalmana jest optymalnym estymatorem stanu gdyż w pewnych warunach może on spełniać pewne założone ryterium np. minimalizacji błędu średniowadratowego estymowanych parametrów (błąd średniowadratowy - mówi, o ile estymator różni się od wielości, tórą ma estymować). W tym wypadu filtr podczas pracy bierze pod uwagę wszystie dostępne pomiary oczywiście te, tóre były uwzględnione podczas fazy projetowania filtra i bez względu na ich precyzję, doładność doonuje najlepszej estymacji stanu czyli oszacowuje najdoładniej ja się da. Cały szereg obliczeń wyonywany jest wewnątrz filtru sucesywnie, filtr nie przechowuje wszystich pomiarów z przeszłości, ma jedynie wgląd w ograniczoną ich liczbę. Liczbę tych pomiarów ustala się w fazie projetowania. Na tej oreślonej porcji danych doonuje obliczeń i bazując na podstawie wyniu z poprzedniego rou wyznacza wartość nową. Zaletą filtru jest to, że nie ma potrzeby przeliczania wszystich danych za ażdym razem od nowa, część danych wstecz wraz z nowymi do tórych ma dostęp algorytm w zupełności wystarcza do przewidzenia olejnego stanu urządzenia bądź procesu i w razie potrzeby zatualizowania wzmocnienia filtru. Cieawą i po-

5 M. Zając ręczną cechą filtru jest to, że ażdy problem lub pomiar można sprowadzić do postaci czarnej srzyni, mając dane wejścia i wyjścia systemu można uzysać dane niedostępne ( niemierzalne) na podstawie dostępnych mierzalnych danych pochodzących np.: z sensorów. W tym wypadu warto wspomnieć o tzw. obserwowalności uładu, tóra jest istotna dla zastosowania filtru. Jest to rytyczny warune stosowalności filtru Kalmana gdyż jeśli uład jest nie obserwowalny to nie da się zastosować do niego równań filtru Kalmana (więcej na ten temat w podstawach matematycznych). 2 Matematyczne podstawy filtracji Wyjaśnijmy pojecie obserwowalności. Obserwowalność decyduje o możliwości przeprowadzenia obserwacji (mierząc wielości na wyjściach uładu). Jeżeli stan lub uład nie jest obserwowalny to regulator (lub filtr) nigdy nie będzie w stanie oreślić zachowania taiego stanu lub uładu co spowoduje, że stabilizacja bądź filtrowanie taiego sygnału przy pomocy filtru Kalmana będzie nie możliwe. Jednaże, podobnie ja w przypadu warunów stabilizacji (dla sterowalności) - jeśli stan nie jest obserwowalny to jedna może być wyrywalny. Dla uładu dysretnego opisanego równaniami [1]: x = Ax + Bu i+1 i i (1) yi = Cxi + Dui, i Z+ ={0,1,2,...} (2) gdzie x i R n i jest wetorem stanu, czyli opisuje np. punty pomiarowe stanowiące o olejnych stanach uładu, u i R m i y i R p są odpowiednio wetorem wymuszenia (wejścia) oraz odpowiedzi (wyjścia), A R nxn, B R nxm, C R pxn, D R pxm. Prawdziwe są poniższe definicje dotyczące obserwowalności uładu. Stan początowy x 0 należy do R n uładu nazywamy obserwowalnym w q roach, jeżeli na podstawie danego ciągu wymuszeń {u 0,u 1,... u q } i danego ciągu odpowiedzi {y 0,y 1,y q } można wyznaczyć jednoznacznie stan x 0 tego uładu [1]. Kolejna definicja również dotycząca obserwowalności uładu. Uład opisany równaniami (1, 2) nazywamy obserwowalnym jeśli istnieje liczba naturalna q taa, że na podstawie danego ciągu wymuszeń {u 0,u 1,...u q } i danego ciągu odpowiedzi {y 0,y 1,...y q } można wyznaczyć jednoznacznie ażdy stan początowy x 0 należy do R n tego uładu [1]. 9

6 Filtracja Kalmana... 3 Filtracja Kalmana liniowa W filtracji Kalmana ważne są dwa równania podstawowe : pierwsze nazywane jest równaniem stanu, drugie równaniem procesu pomiaru lub modelu pomiaru. Równanie stanu opisuje dynamię procesu, a równanie obserwacji uwzględnia występowanie szumu najczęściej o rozładzie Gaussowsim, tóry występuje podczas doonywania pomiarów. Równania dla liniowego filtru Kalmana mają postać [11]: x + 1 = F + 1, x + ω (3) y ν = Hx + (4) gdzie (3) to równanie procesu, (4) to równanie obserwacyjne z względu na zmienną y, =1,2,3...dysretny pseudo czas, x, y zmienne losowe n oraz p wymiarowe odpowiednio, F +1,, H - macierze o wymiarach n x n oraz p x n, p n, o wyrazach rzeczywistych, ω, ν - n oraz p - wymiarowe niezależne zmienne losowe o rozładzie gaussowsim i charaterystyach [11]: E( ω ) 0, E( ν ) = 0 (5) E E = l ( ω ωl ) = Qδ l (6) ( ν ν l ) = Rδ l (7) dla l=1,2,...,δ l =1 jeżeli = l, δ l = 0 jeżeli l, ω, ν l są niesorelowane. W przedstawionym modelu czyli ta naprawdę równaniach (3, 4) zadanie filtracji dysretnego procesu stochastycznego x polega na wyznaczeniu estymatora xˆ dla x minimalizującego błąd średniowadratowy estymacji o zapisie : x )(ˆ x x (8) E ( xˆ ) Przy czym x 0 jest zmienną losową o rozładzie normalnym, o wartości oczeiwanej: E ( x = x i macierzy owariancji : 0 ) 0 ˆ )( ˆ E ( x x x x = (9) ) 0 10 o ile dany jest zbiór obserwacji procesu y:y()={y 1, y 2, y }.

7 M. Zając Algorytm filtracji w filtrze realizowany jest przez omplet równań, zaproponowanych przez R.E. Kalmana (od jego nazwisa pochodzi nazwa filtru) [10]. Zbiór tych równań nazywany jest filtrem Kalmana. Równania opisują olejno: estymator wetora stanu a priori [11]: ( x ) x ˆ, 1 ˆ = F 1 (10) macierz owariancji błędów estymacji a priori [11]: macierz wzmocnienia Kalmana: Wzór (12) można zapisać jao: P = F, 1P 1F, 1 + Q 1 (11) [ H P H + R ] 1 K = P H (12) K P H = (12 ) HP H + R estymator wetora stanu a posteriori, po uwzględnieniu obserwacji y [11]: xˆ ˆ [ y h ( xˆ )] = x + K (13) macierz owariancji błędów estymacji a posteriori [11] P ) = ( I KH P (14) Dla zainicjowania obliczeń przyjmuje się wartość początową dla [11]: x ˆ = 0 = E( X0) x0 (15) to jest wartość estymatora zmiennej losowej x 0 równą jej wartości oczeiwanej oraz błąd jej estymacji równy jej wariancji P 0 = 0 (16) Drugą istotną informacja jest to, że działanie filtru Kalmana można podzielić na dwie fazy: predycję oraz uatualnianie. Faza predycji służy wyznaczaniu atualnego wetora stanu na podstawie wcześniejszego stanu. W fazie uatualniania uatualniane są dane obserwacyjne i poprawiany jest wyznaczany wetor stanu (filtr atualizuje wagi macierzy wzmocnienia). W podstawowej wersji filtr Kalmana nadaje się do rozwiązywania problemów o charaterystyce 11

8 Filtracja Kalmana... liniowej czyli np.: przyrost prędości lotu samolotu poruszającego sie ruchem jednostajnym, filtr jedna można też stosować do problemów mających nieliniową charaterystyę wtedy używa się tzw. rozszerzonego filtru Kalmana (EKF). 4 Linearyzacja uładów nieliniowych Nieliniowe problemy można linearyzować to znaczy nadawać im pseudo liniowy charater. o znaczy zapewnić liniowość na potrzeby obliczeń lub sterowania, a nie zmieniać onstrucję urządzeń bądź charater zjawisa obserwowanego. Do linearyzacji można wyorzystać trzy metody, uzysuje się wtedy tzw. zawansowany filtr Kalmana lub inaczej EKF (opisany dalej w pracy).rzeba też wyraźnie zaznaczyć, że ażda linearyzacja uładu nieliniowego jest jedynie jego przybliżeniem ta doładnym ja się da, ale jest to tylo przybliżenie. aie liniowe przybliżenie powinno zatem możliwie dobrze odzwierciedlać charater uładu lub zjawisa (właściwości statyczne i dynamiczne uładu). Jao, że jest to jeden z ważniejszych elementów zastosowania filtracji Kalmana i niejao pozwala on na poszerzenie zastosowań tego typu filtru zostaną tu omówione trzy rodzaje uzysiwania liniowości uładów nieliniowych. Linearyzację można uzysać trzema sposobami: metoda rozwinięcia w szereg metoda linearyzacji optymalnej metoda nieliniowego sprzeżenia zwrotnego Z racji, że sama linearyzacja nie jest tematem artyułu, ale jest istotna dla działania filtru z wymienionych sposobów linearyzacji zostanie opisany jeden poniżej. Metoda rozwinięcia w szereg Metoda ta polega na rozwinięciu prawych stron równań stanu opisujących uład nieliniowy w szereg aylora i pominięciu członów nieliniowych tego rozwinięcia. Przyład: Jeśli mamy uład opisany równaniami [1]: (17) gdzie x R n, u R m, y R p wymuszenia, odpowiedzi, a [1] (18) są odpowiednio wetorami: stanu, 12

9 M. Zając (19) są nieliniowymi funcjami wetorowymi różniczowalnymi ciągle względem wetorów x, u. Załóżmy, że (x u, u u, y u ) są przyjętym puntem pracy uładu czyli zapisujemy [1]: lub puntem równowagi (f(x u, u u )=0). Dodatowo [1] (20) (21) Są odpowiednio małymi odchyleniami wetorów stanu, wymuszenia i odpowiedzi od ich wartości ustalonych. Jeżeli weźmiemy pod uwagę, że [1] (22) oraz rozwijając w szereg aylora prawe strony równań (17, 18) w blisim otoczeniu puntu (x u, u u ) otrzymamy [1] (23) (24) Wyrazy we wzorach: A(t), B(t), C(t), D(t) są to macierze zależne od czasu t i zapisujemy je jao [1]: (25) (26) 13

10 Filtracja Kalmana... (27) (28) R f (x, u, t) oraz R g (x, u, t) są nieliniowymi członami rozwinięć spełniającymi waruni [1]: (29) W przypadu gdy mamy do opisu uład nieliniowy stacjonarny oraz f i g jawnie zależą od czasu t, to macierze: A(t), B(t), C(t), D(t) są stałe niezależnie od czasu czyli A(t)=A, B(t)=B, C(t)=C, D(t)=D. Po obliczeniach i podstawieniu otrzymujemy uład liniowy [1]: (30) Widać, że pominięte zostały człony nieliniowe oraz równania te można zapisać w postaci [1]: (31) otrzymaliśmy zapis liniowego przybliżenia uładu nieliniowego. Warto zauważyć że tai uproszczony zapis można przyjąć za poprawny w przypadu gdy przyjmiemy, że x, u, y oznaczają małe odchylenia wetorów od ich wartości ustalonych. Patrząc na ten zapis można sojarzyć podobieństwo do równania prostej w postaci: y=ax+b. Graficznie linearyzację można przedstawić poniższym rysuniem. 14

11 M. Zając Rys. 1. Przedstawia działanie filtru EKF do linearyzacji nieliniowego stanu uładu z wyorzystaniem rozładu Gaussa próbe (owariancja i średnia z taiego rozładu wyorzystywane są do linearyzacji przebiegu funcji). 5 Rozszerzony filtr Kalmana Równania dla rozszerzonego filtru Kalmana pozwalają na analizę nieliniowego dysretnego uładu dynamicznego [11]: x ω + 1 = f + 1 ( x ) + (32) y = h ) + ν ( x (33) gdzie: f +1 :R n R n, h : R n R p - funcje o argumentach i wartościach wetorowych, nieliniowe, nielosowe, mające ciągłe pierwsze pochodne. Proces filtracji polega w tym modelu (równania 33, 34) na wyznaczeniu olejno wielości: estymatora wetora stanu 'a priori': x f ( xˆ ) (34) ˆ = 1 przybliżenia macierzy owariancji błędów estymacji 'a priori' [11]: macierzy wzmocnienia Kalmana [11]: P = F, 1P 1F, 1 + Q 1 (35) 15

12 [ H + ] 1 P H R Filtracja Kalmana... K = P H (36) estymator wetora stanu a posteriori, po obserwacji y : xˆ ˆ [ y h ( xˆ )] = x + K (37) przybliżenie macierzy owariancji błędów estymacji 'a posteriori' [11]: oraz dla h={h 1,...,h p } P ( I K H ) P = (38) ( x) i i= 1,..., n f 1, = x = j x j= 1,..., n F xˆ + (39) H i h = x ( x) j i= 1,..., p j= 1,..., n x = xˆ (40) są macierzami linearyzacji równań (33, 34) z pominięciem reszty wzoru aylora (szerzej linearyzację opisano we wcześniejszej części artyułu). 6 Zastosowanie pratyczne Filtr Kalmana znalazł zastosowanie w wielu dziedzinach naui i przemysłu np. w: eletronice,zarządzaniu energią w paietach bateryjnych [6, 7], robotyce [2], automatyce [8], przetwarzaniu sygnałów medycznych (ECG) [3], inżynierii dźwięu, obrazu przestrzennego [2],inżynierii budownictwa do atywnego tłumienia drgań [5], popularnie oreślanego VR (Virtual Reality) [2], systemach ontroli toru poruszania się[2, 8], GPS [4], samolotach, autopilotach [9] itp.. Ja widać dziedzin gdzie zastosowano filtrację Kalmana jest całiem sporo, nie wymieniono tu wszystich. Do wymienionych zastosowań można dołożyć olejne opisane poniżej. Wyorzystując wiedzę teoretyczną udało się stworzyć pratyczny przyład poazujący działanie algorytmu Kalmana zaimplementowanego do filtracji napięcia sinusoidalnego pochodzącego z doświadczalnego uładu służącego badaniu własności magnetycznych ferromagnetyów. W uładzie tym problemem były załócenia, tóre uniemożliwiały pratyczny pomiar. Dzięi wyorzystaniu algorytmu Kalmana udało się zmniejszyć wpływ załóceń na wyni badania, a co za tym idzie użyteczność samego algorytmu została potwierdzona pratycznie. 16

13 M. Zając Poniżej przedstawiono algorytm Kalmana zaimplementowany w odzie Matlaba. % W dane wejściowe: W=dane(1:1000,2); D = size(w,2);%wymiar W L = size(w,1);%długość W % wyjście uładu: S =[]; % H jest pratycznie to samo co macierz D: H = eye(d); = eye(d); % inicjalizacja p = H*W(1,:)'; P = eye(d)*10; % wartości początowe Q = eye(d); R = eye(d)*120; % pętla : for i=2:l, % ro estymacji: p_est = *p; P_est = *P*'+Q; % orecja: K = P_est*H'*inv(H*P_est*H'+R); p = p_est + K*( W(i,:)' - H*p_est ); P = (eye(d) - K*H)*P_est; S = [S p]; S = S'; subplot(2,1,1); plot(w(2:length(w),:)); subplot(2,1,2); %wyświetlenie wyniu plot(s); Rysuni 2 i 3 prezentują olejno dane pochodzące z urządzenia pomiarowego. Na Rysunu 2 poazano nie filtrowane przebiegi na tórych widać charaterystyczne postrzępienia pętli histerezy magnetycznej. Na olejnym rysunu zastosowano filtrację Kalmana i uzysano wyni poazany na Rysunu 3. Widać, że znacznie poprawiła się czytelność prezentowanych wyniów co spowodowane jest to tym że udało się odfiltrować załócenia powstające podczas pomiarów. 17

14 Filtracja Kalmana... Rys. 2. Pętla histerezy materiału magnetycznego zmierzona w uładzie SS, bez filtracji. Rys. 3. Pętla histerezy materiału magnetycznego zmierzona w uładzie SS, utworzona z wyorzystaniem filtracji Kalmana. 18

15 M. Zając 7 Wniosi W prezentowanym artyule udało się zaimplementować algorytm filtracji sygnału oraz sam pomysł filtracji zaprezentowany w 1960 rou przez R. Kalmana, do olejnego zastosowania pratycznego. Oazuje się, że przedstawione iedyś założenia teoretyczne pozwalają na ta ogromną liczbę zastosowań, że do dziś powstają nowe rozwiązania oparte na tych założeniach. Założenia niestety choć proste z natury, niestety wymagają dość poaźnej wiedzy matematycznej podczas ich implementacji, ale za to uzysany efet wynagradza trud włożony w stworzenie modelu matematycznego opisującego zjawiso lub uład poddawany filtracji. Uzysane wynii są często lepsze niż możliwe do uzysania innymi sposobami filtracji. Zaprezentowane rozwiązanie może się oazać pomocne dla innych poszuujących niestandardowych sposobów filtracji sygnału gdyż zawiera nie tylo gotowe rozwiązanie dopasowane do onretnego zagadnienia, ale też zawiera dość dużą część teorii niezbędną do implementacji. 8 Literatura [1] Kaczore., Podstawy teorii sterowania, [2] Salih Y., Mali Aamir S., 3D Object racing Using hree Kalman Filters, Computers & Informatics (ISCI), (2011) IEEE Symposium, pp: [3] Vullings R., de Vries B., Bergmans Jan W. M., An Adaptive Kalman Filter for ECG Signal Enhancement, IEEE ransactions On Biomedical Engineering, Vol. 58, No. 4, (2011), pp: [4] Wei Z., Dongli F., Jinzhong Y., Adaptive Kalman Filtering Method to the Data Processing of GPS Deformation Monitoring, Information echnology and Applications (IFIA), 2010, International Forum (Vol. 1), pp: [5] Przychodzi M., Lewandowsi R., Neuronowy filtr Kalmana w atywnej reducji drgań onstrucji budowlanych, Zeszyty Nauowe Politechnii Rzeszowsiej nr 258, (2008) [6] Vasebi A., Partovibahsh M., Mohammad aghi Bathaee S., A novel combined battery model for state-of-charge estimation in lead-acid batteries based on extended Kalman filter for hybrid electric vehicle applications, Journal of Power Sources 174 (2007), pp: [7] Plett G. L., Extended Kalman filtering for battery management systems of LiPB-based HEV battery pacs Part 1. Bacground, Journal of Power Sources 134 (2004), pp:

16 Filtracja Kalmana... [8] Reid Robert E., Kemal ugcu A., Mears Barry C., he use of wave filter design in Kalman filter state estimation of the automatic steering problem of a taner in a seaway, IEEE ransactions on Automatic Control, Vol. AC-29, No. 7, (1984), pp: [9] Kallstrom C. G., Astrom K. J., horell N. E., Erisson J.,. Sten L, Adaptive Autopilots for aners, Automatica, (1979) Vol. 15, pp: [10] Kalman R. E., A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, ransactions of the ASME Journal of Basic Engineering, 82 (Series D), pp: [11] Grewal Mohinder S., Andrews Angus P., Kalman Filtering: heoryand Practice Using Matlab, John Wiley & Sons, Inc. (2001). KALMAN FILERING ECHNIQUE ON HE SS EXAMPLE OF A DEVICE Summary It is an attempt to describe the Kalman filter both for linear and non-linear. he linearization for nonlinear phenomenon was descussed, and information were used to build practical Kalman filter. Keywords: Kalman filtration, a non-linear objects, linearization 20