Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie"

Transkrypt

1 Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław,

2 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Rodzaje informacji: rozłączne, komplementarne, substytucyjne. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

3 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Rodzaje informacji: rozłączne, komplementarne, substytucyjne. Problem: czujnik 1 z x _ 1 =a x z 2 czujnik 2 x _ =b x _ =??? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

4 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Fuzja sygnałów Przetworzenie sygnałów pochodzących z różnych czujników w taki sposób, że wynikowa informacja jest lepsza od informacji możliwych do uzyskania z każdego z czujników oddzielnie. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

5 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Fuzja sygnałów Przetworzenie sygnałów pochodzących z różnych czujników w taki sposób, że wynikowa informacja jest lepsza od informacji możliwych do uzyskania z każdego z czujników oddzielnie. Rozróżnia się fuzje bezpośrednią, nazywaną także fuzją sensorów, w której przetwarzane są wyłącznie dane z czujników oraz pośrednią (fuzja informacji), w której wykorzystywane są także informacje z innych źródeł (np. wiedza a priori, informacje od użytkownika). J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

6 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

7 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), p(a B) prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B, N (µ, Σ) wielowymiarowy rozkład normalny ze średnią µ i macierzą kowariancji Σ (parametrami: momenty) N (µ, Σ) p(x ) = { 1 (2π) n det Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

8 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), p(a B) prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B, N (µ, Σ) wielowymiarowy rozkład normalny ze średnią µ i macierzą kowariancji Σ (parametrami: momenty) N (µ, Σ) p(x ) = { 1 (2π) n det Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) Twierdzenie Bayesa p(x Z) = p(z X )p(x ) p(z) = ηp(z X )p(x ), gdzie η jest współczynnikiem normalizującym. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

9 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

10 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) sumie (Y = X 1 + X 2 ) p(x 1 ) = N (µ 1, Σ 1 ), p(x 2 ) = N (µ 2, Σ 2 ), p(y ) = N (µ 1 + µ 2, Σ 1 + Σ 2 ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

11 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) sumie (Y = X 1 + X 2 ) p(x 1 ) = N (µ 1, Σ 1 ), p(x 2 ) = N (µ 2, Σ 2 ), iloczyn p(y ) = N (µ 1 + µ 2, Σ 1 + Σ 2 ) p(x 1 )p(x 2 ) = N (µ 1, Σ 1 )N (µ 2, Σ 2 ) N (µ Y, Σ Y ), Σ Y = ( ) Σ Σ µ Y = Σ Y Σ 1 1 µ 1 + Σ Y Σ 1 2 µ 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

12 Niezależne pomiary czujnik 1 z 1 x x _ z 2 czujnik 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

13 Niezależne pomiary p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) czujnik 1 z 1 x x _ z 2 czujnik 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

14 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

15 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

16 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? 2 Jak wygląda rozkład gęstości pomiaru łącznego, jaka jest jego dokładność? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

17 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? 2 Jak wygląda rozkład gęstości pomiaru łącznego, jaka jest jego dokładność? 3 (*) Jak dokładność zależy od różnicy między odczytami z sensorów A i B? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

18 Niezależne pomiary c.d. p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

19 Niezależne pomiary c.d. p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

20 Procesy Markowa Proces ma własność Markowa, jeśli warunkowe rozkłady przyszłych stanów procesu zależą tylko od stanu bieżącego, a nie od stanów przeszłych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

21 Procesy Markowa Proces ma własność Markowa, jeśli warunkowe rozkłady przyszłych stanów procesu zależą tylko od stanu bieżącego, a nie od stanów przeszłych Własność ta w robotyce mobilnej często nie jest spełniona np. z powodu następujących czynników: model nie uwzględnia dynamiki otoczenia (np. poruszający się ludzie i ich wpływ na pomiary czujników), niedokładności modeli probabilistycznych p(z t x t ), p(x t x t 1, u t ), błędy przybliżonych reprezentacji (np. rozkładu prawdopodobieństwa). Niektóre z nich mogą być uwzględnione w modelu, jednak kosztem jego znacznej komplikacji. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

22 Filtry gaussowskie Wszystkie wykorzystują ideę wielowymiarowej dystrybucji Gaussa, z parametryzacją za pomocą momentów, lub kanoniczną. Zakładają zatem unimodalność, z czego wynika: + dobrze sprawdzają się w zadaniach ze zmienną losową w pobliżu stanu rzeczywistego - działają gorzej lub wcale w zadaniach z wieloma równoprawnymi hipotezami J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

23 Filtr Kalmana (KF) (Swerling 1958, Kalman1960) Stosowany dla układów liniowych, ciągłych. W chwili t szacujemy rozkład prawdopodobieństwa X przez N (µ t, Σ t ). Zakładamy, że spełnione są założenia Markowa oraz: 1 prawdopodobieństwo dla funkcji przejścia jest f.liniową x t = A t x t 1 + B t u t + ɛ t, ɛ t N (0, R t ), 2 prawdopodobieństwo pomiarów f. liniowa 3 prawdopodobieństwo początkowe z t = C t x t + δ t, δ t N (0, Q t ), p(x 0 ) = N (µ 0, Σ 0 ). Wtedy także prawdopodobieństwo a posteriori jest gaussowskie. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

24 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

25 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

26 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

27 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

28 KF przykład Rozpoczynamy od rozkładu w poprzedniej iteracji x t 1. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

29 KF przykład Wyznaczamy przewidywany rozkład x t po przemieszczeniu. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

30 KF przykład Jednocześnie dokonujemy pomiaru z t. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

31 KF przykład Wyliczamy rozkład bieżący z t. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

32 Rozszerzony filtr Kalmana (EKF) EKF Stosowany dla układów nieliniowych postaci x t = g(u t, x t 1 ) + ɛ t z t = h(x t ) + δ t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

33 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

34 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

35 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

36 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

37 Podsumowanie EKF Złożoność obliczeniowa jednej iteracji algorytmu O(k n 2 ). Założenie o unimodalności (jednak w wielu praktycznych przypadkach, mimo niespełnienia tego założenia, okazuje się skuteczny). Jakość estymacji zależy od nieliniowości funkcji w pobliżu punktu przybliżenia oraz od niepewności początkowej. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

38 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

39 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

40 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

41 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

42 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

Algorytmy estymacji stanu (filtry)

Algorytmy estymacji stanu (filtry) Algorytmy estymacji stanu (filtry) Na podstawie: AIMA ch15, Udacity (S. Thrun) Wojciech Jaśkowski Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska 21 kwietnia 2014 Problem lokalizacji Obserwowalność? Determinizm?

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

Roboty Manipulacyjne i Mobilne Budowanie mapy, lokalizacja, SLAM

Roboty Manipulacyjne i Mobilne Budowanie mapy, lokalizacja, SLAM Roboty Manipulacyjne i Mobilne Budowanie mapy, lokalizacja, SLAM Janusz Jakubiak Zakład Podstaw Cybernetyki i Robotyki Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska 4.05.2012 Budowanie

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

Eksploracja Danych. wykład 4. Sebastian Zając. 10 maja 2017 WMP.SNŚ UKSW. Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja / 18

Eksploracja Danych. wykład 4. Sebastian Zając. 10 maja 2017 WMP.SNŚ UKSW. Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja / 18 Eksploracja Danych wykład 4 Sebastian Zając WMP.SNŚ UKSW 10 maja 2017 Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja 2017 1 / 18 Klasyfikacja danych Klasyfikacja Najczęściej stosowana (najstarsza)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III

Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną niezależność zmiennych niezależnych (tu naiwność) Bardziej opisowe

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n

Bardziej szczegółowo

SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa

SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa Wrocław University of Technology SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa Adam Gonczarek Studenckie Koło Naukowe Estymator adam.gonczarek@pwr.wroc.pl 22.11.2013 Rozkład normalny Rozkład normalny (ang. normal

Bardziej szczegółowo

Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV

Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV Naiwny klasyfikator Bayesa Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja metodą Bayesa

Klasyfikacja metodą Bayesa Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

1 Klasyfikator bayesowski

1 Klasyfikator bayesowski Klasyfikator bayesowski Załóżmy, że dane są prawdopodobieństwa przynależności do klasp( ),P( 2 ),...,P( L ) przykładów z pewnego zadania klasyfikacji, jak również gęstości rozkładów prawdopodobieństw wystąpienia

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy metaheurystyczne Wykład 11. Piotr Syga

Algorytmy metaheurystyczne Wykład 11. Piotr Syga Algorytmy metaheurystyczne Wykład 11 Piotr Syga 22.05.2017 Drzewa decyzyjne Idea Cel Na podstawie przesłanek (typowo zbiory rozmyte) oraz zbioru wartości w danych testowych, w oparciu o wybrane miary,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wejściowych Paweł Fotowicz * Przedstawiono ścisłą metodę obliczania niepewności rozszerzonej, polegającą na wyznaczeniu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi.

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi. Spis treści 1 Wstęp: generatywne algorytmy uczące 2 Gaussowska analiza dyskryminacyjna 2.1 Gaussowska analiza dyskryminacyjna a regresja logistyczna 3 Naiwny Klasyfikator Bayesa 3.1 Wygładzanie Laplace'a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarogodności

Metoda największej wiarogodności Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x

+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania wybranych technik regresyjnych do modelowania współzależności zjawisk Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki

Bardziej szczegółowo

2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów

2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów 2.9.1. Manipulator planarny 3DOF Notacja DH Rys. 28 Tablica 1 Parametry DH Nr ogniwa

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Różne rozkłady prawdopodobieństwa

Różne rozkłady prawdopodobieństwa Różne rozłady prawdopodobieństwa. Rozład dwupuntowy D(p). Zmienna losowa ξ ma rozład D(p), jeżeli P p {ξ = 0} = p oraz P p {ξ = } = p. Eξ = p D ξ = p( p). Rozład dwumianowy Bin(n, p). Zmienna losowa ξ

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki. Automatyka i Robotyka Systemy Sterowania i Wspomagania Decyzji

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki. Automatyka i Robotyka Systemy Sterowania i Wspomagania Decyzji Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania (MiDwSS) Podstawowe sposoby opisu niepewności, wybrane zagadnienia zastosowania estymacji rekursywnej dla potrzeb monitorowania i diagnostyki w systemach

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Regresja logistyczna. Spis treści. Hipoteza. powrót

Wstęp. Regresja logistyczna. Spis treści. Hipoteza. powrót powrót Spis treści 1 Wstęp 2 Regresja logistyczna 2.1 Hipoteza 2.2 Estymacja parametrów 2.2.1 Funkcja wiarygodności 3 Uogólnione modele liniowe 3.1 Rodzina wykładnicza 3.1.1 Rozkład Bernouliego 3.1.2 Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zmienność wiatru w okresie wieloletnim

Zmienność wiatru w okresie wieloletnim Warsztaty: Prognozowanie produktywności farm wiatrowych PSEW, Warszawa 5.02.2015 Zmienność wiatru w okresie wieloletnim Dr Marcin Zientara DCAD / Stermedia Sp. z o.o. Zmienność wiatru w różnych skalach

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. { 1, jeżeli ˆr(x) > 0, pozatym. Regresja liniowa Regresja logistyczne Jądrowe estymatory gęstości. Metody regresyjne

Wprowadzenie. { 1, jeżeli ˆr(x) > 0, pozatym. Regresja liniowa Regresja logistyczne Jądrowe estymatory gęstości. Metody regresyjne Wprowadzenie Prostym podejściem do klasyfikacji jest estymacja funkcji regresji r(x) =E(Y X =x)zpominięciemestymacjigęstościf k. Zacznijmyodprzypadkudwóchgrup,tj.gdy Y = {1,0}. Wówczasr(x) =P(Y =1 X =x)ipouzyskaniuestymatora

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA II. Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe

ZAJĘCIA II. Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe ZAJĘCIA II Zmienne losowe, sygnały stochastyczne, zakłócenia pomiarowe Po co statystyka w identyfikacji? Zmienne losowe i ich parametry Korelacja zmiennych losowych Rozkłady wielowymiarowe i sygnały stochastyczne

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 i 3 Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline.

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline. Wstęp do sieci neuronowych, wykład 3 Warstwy, jednostka Adaline. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 211-1-18 1 Pomysł Przykłady Zastosowanie 2

Bardziej szczegółowo

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII. Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych. dr inż. Piotr Burnos

LABORATORIUM METROLOGII. Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych. dr inż. Piotr Burnos AKADEMIA GÓRICZO - HTICZA IM. STAISŁAWA STASZICA w KRAKOWIE WYDZIAŁ ELEKTROTECHIKI, ATOMATYKI, IFORMATYKI i ELEKTROIKI KATEDRA METROLOGII LABORATORIM METROLOGII Analiza błędów i niepewności wyników pomiarowych

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI

WPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA MEL WPROWADZENIE DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI NS 586 Dr inż. Franciszek Dul 15. WNIOSKOWANIE PROBABILISTYCZNE EWOLUCYJNE Wnioskowanie probabilistyczne

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Rozdział Metoda największej wiarygodności Ogólnie w procesie estymacji na podstawie prób x i (każde x i może być wektorem) wyznaczamy parametr λ (w ogólnym przypadku również wektor) opisujący domniemany

Bardziej szczegółowo

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Dr Benedykt R. Jany I Pracownia Fizyczna Ochrona Środowiska grupa F1 Rodzaje Pomiarów Pomiar bezpośredni - bezpośrednio

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH

LABORATORIUM PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH WOJSKOWA AKADEMIA TECHICZA im. Jarosława Dąbrowskiego w Warszawie Wydział Elektroniki LABORATORIUM PROCESÓW STOCHASTYCZYCH Grupa Podgrupa Data wykonania ćwiczenia Ćwiczenie prowadził. Skład podgrupy 1....

Bardziej szczegółowo

Statystyczne modele grafów

Statystyczne modele grafów 3 kwietnia 2007 r. SKN Matematyki Stosowanej Plan referatu 1 Wprowadzenie i preliminaria 2 3 4 Plan referatu Wprowadzenie i preliminaria Grafy i separowalność Niezależność warunkowa Niezależność a separowalność

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do uczenia maszynowego. Jakub Tomczak

Wprowadzenie do uczenia maszynowego. Jakub Tomczak Wprowadzenie do uczenia maszynowego Jakub Tomczak 2014 ii Rozdział 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Wprowadzenie. Zmienne losowe ˆ Podczas kursu interesować nas będzie wnioskowanie o rozpatrywanym zjawisku. Poprzez

Bardziej szczegółowo

Na podstawie: AIMA, ch13. Wojciech Jaśkowski. 15 marca 2013

Na podstawie: AIMA, ch13. Wojciech Jaśkowski. 15 marca 2013 Na podstawie: AIMA, ch13 Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska 15 marca 2013 Źródła niepewności Świat częściowo obserwowalny Świat niedeterministyczny Także: Lenistwo i ignorancja (niewiedza) Cel:

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo