Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie"

Transkrypt

1 Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław,

2 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Rodzaje informacji: rozłączne, komplementarne, substytucyjne. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

3 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Rodzaje informacji: rozłączne, komplementarne, substytucyjne. Problem: czujnik 1 z x _ 1 =a x z 2 czujnik 2 x _ =b x _ =??? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

4 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Fuzja sygnałów Przetworzenie sygnałów pochodzących z różnych czujników w taki sposób, że wynikowa informacja jest lepsza od informacji możliwych do uzyskania z każdego z czujników oddzielnie. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

5 Dlaczego potrzebna jest fuzja sygnałów? Fuzja sygnałów Przetworzenie sygnałów pochodzących z różnych czujników w taki sposób, że wynikowa informacja jest lepsza od informacji możliwych do uzyskania z każdego z czujników oddzielnie. Rozróżnia się fuzje bezpośrednią, nazywaną także fuzją sensorów, w której przetwarzane są wyłącznie dane z czujników oraz pośrednią (fuzja informacji), w której wykorzystywane są także informacje z innych źródeł (np. wiedza a priori, informacje od użytkownika). J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

6 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

7 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), p(a B) prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B, N (µ, Σ) wielowymiarowy rozkład normalny ze średnią µ i macierzą kowariancji Σ (parametrami: momenty) N (µ, Σ) p(x ) = { 1 (2π) n det Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

8 Notacja x stan rzeczywisty układu (R n ), x estymata stanu, z obserwacja (R m ), p(a B) prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B, N (µ, Σ) wielowymiarowy rozkład normalny ze średnią µ i macierzą kowariancji Σ (parametrami: momenty) N (µ, Σ) p(x ) = { 1 (2π) n det Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) Twierdzenie Bayesa p(x Z) = p(z X )p(x ) p(z) = ηp(z X )p(x ), gdzie η jest współczynnikiem normalizującym. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

9 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

10 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) sumie (Y = X 1 + X 2 ) p(x 1 ) = N (µ 1, Σ 1 ), p(x 2 ) = N (µ 2, Σ 2 ), p(y ) = N (µ 1 + µ 2, Σ 1 + Σ 2 ) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

11 Notacja (2) Zmiany momentów dystrybucji gaussowskich przy przekształceniach liniowym (Y = AX + B) p(x ) = N (µ, Σ) p(y ) = N (Aµ + B, AΣA T ) sumie (Y = X 1 + X 2 ) p(x 1 ) = N (µ 1, Σ 1 ), p(x 2 ) = N (µ 2, Σ 2 ), iloczyn p(y ) = N (µ 1 + µ 2, Σ 1 + Σ 2 ) p(x 1 )p(x 2 ) = N (µ 1, Σ 1 )N (µ 2, Σ 2 ) N (µ Y, Σ Y ), Σ Y = ( ) Σ Σ µ Y = Σ Y Σ 1 1 µ 1 + Σ Y Σ 1 2 µ 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

12 Niezależne pomiary czujnik 1 z 1 x x _ z 2 czujnik 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

13 Niezależne pomiary p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) czujnik 1 z 1 x x _ z 2 czujnik 2 J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

14 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

15 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

16 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? 2 Jak wygląda rozkład gęstości pomiaru łącznego, jaka jest jego dokładność? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

17 Niezależne pomiary przykład Załóżmy, że mamy dwa czujniki A i B, dające niezależne pomiary. Czujnik A ma dokładność ±0.8, czunik B: ±0.5. Rozkłady prawdopodobieństwa są jednorodne w podanym zakresie dokładności. Przy pomiarze czujniki zwróciły A:2.0, a B: Jak wyglądają rozkłady prawdopodobieństwa pomiarów z obu czujników? 2 Jak wygląda rozkład gęstości pomiaru łącznego, jaka jest jego dokładność? 3 (*) Jak dokładność zależy od różnicy między odczytami z sensorów A i B? J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

18 Niezależne pomiary c.d. p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

19 Niezależne pomiary c.d. p(x z 1 z 2 ) = p(x z 1 )p(x z 2 ) = ηp(z 1 x)p(z 2 x) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

20 Procesy Markowa Proces ma własność Markowa, jeśli warunkowe rozkłady przyszłych stanów procesu zależą tylko od stanu bieżącego, a nie od stanów przeszłych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

21 Procesy Markowa Proces ma własność Markowa, jeśli warunkowe rozkłady przyszłych stanów procesu zależą tylko od stanu bieżącego, a nie od stanów przeszłych Własność ta w robotyce mobilnej często nie jest spełniona np. z powodu następujących czynników: model nie uwzględnia dynamiki otoczenia (np. poruszający się ludzie i ich wpływ na pomiary czujników), niedokładności modeli probabilistycznych p(z t x t ), p(x t x t 1, u t ), błędy przybliżonych reprezentacji (np. rozkładu prawdopodobieństwa). Niektóre z nich mogą być uwzględnione w modelu, jednak kosztem jego znacznej komplikacji. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

22 Filtry gaussowskie Wszystkie wykorzystują ideę wielowymiarowej dystrybucji Gaussa, z parametryzacją za pomocą momentów, lub kanoniczną. Zakładają zatem unimodalność, z czego wynika: + dobrze sprawdzają się w zadaniach ze zmienną losową w pobliżu stanu rzeczywistego - działają gorzej lub wcale w zadaniach z wieloma równoprawnymi hipotezami J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

23 Filtr Kalmana (KF) (Swerling 1958, Kalman1960) Stosowany dla układów liniowych, ciągłych. W chwili t szacujemy rozkład prawdopodobieństwa X przez N (µ t, Σ t ). Zakładamy, że spełnione są założenia Markowa oraz: 1 prawdopodobieństwo dla funkcji przejścia jest f.liniową x t = A t x t 1 + B t u t + ɛ t, ɛ t N (0, R t ), 2 prawdopodobieństwo pomiarów f. liniowa 3 prawdopodobieństwo początkowe z t = C t x t + δ t, δ t N (0, Q t ), p(x 0 ) = N (µ 0, Σ 0 ). Wtedy także prawdopodobieństwo a posteriori jest gaussowskie. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

24 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

25 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

26 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

27 Filtr Kalmana algorytm µ t = A t µ t 1 + B t u t Σ t = A t Σ t 1 A T t + R t K t = Σ t C T t (C t Σt C T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t C t µ t ) Σ t = (I K t C t ) Σ t Obliczenia przewidywanego rozkładu nowego stanu po zastosowaniu u t. Wyznaczenie tzw. wzmocnienia Kalmana. Wyznaczenie wypadkowego rozkładu nowego stanu. (jeśli wzmocnienie Kalmana wynosi 0 nowy rozkład wyliczany jest wyłącznie na podstawie wiedzy a priori, jeśli zaś K t = Ct 1 wyłącznie na podstawie pomiarów) J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

28 KF przykład Rozpoczynamy od rozkładu w poprzedniej iteracji x t 1. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

29 KF przykład Wyznaczamy przewidywany rozkład x t po przemieszczeniu. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

30 KF przykład Jednocześnie dokonujemy pomiaru z t. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

31 KF przykład Wyliczamy rozkład bieżący z t. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

32 Rozszerzony filtr Kalmana (EKF) EKF Stosowany dla układów nieliniowych postaci x t = g(u t, x t 1 ) + ɛ t z t = h(x t ) + δ t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

33 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

34 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

35 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

36 EKF algorytm µ t = g(u t, µ t 1 ) Σ t = G t Σ t 1 Gt T + R t K t = Σ t H T t (H t Σt H T t + Q t ) 1 µ t = µ t + K t (z t h t ( µ t )) Σ t = (I K t H t ) Σ t Obliczane jakobiany: G t = g (u t, µ t 1 ), g (u t, x t 1 ) = g(u t, t 1 ) x t 1 H t = h (µ t ) h (x t ) = h(x t) x t J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

37 Podsumowanie EKF Złożoność obliczeniowa jednej iteracji algorytmu O(k n 2 ). Założenie o unimodalności (jednak w wielu praktycznych przypadkach, mimo niespełnienia tego założenia, okazuje się skuteczny). Jakość estymacji zależy od nieliniowości funkcji w pobliżu punktu przybliżenia oraz od niepewności początkowej. J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

38 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

39 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

40 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

41 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

42 Modyfikacje MHEKF (multi-hypothesis), ADF (assumed density) dopasowanie momentów a posteriori, UKF (unscented) analiza stochastyczna z użyciem tzw. punktów σ, IF/EIF ((extended) information filter) dualny do f. Kalmana, wykorzystujący reprezentację kanoniczną rozkładu, czyli macierz informacji Ω = Σ 1 oraz wektor informacji ξ = Σ 1 µ. (E)IF (E)KF + reprezentacja globalnej niepewności + mniejsza złożoność + lepsza stabilność numeryczna obliczeniowa + w środowiskach wielorobotowych J. Jakubiak (KCIR) Fuzja sygnałów Wrocław, / 17

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Filtr Kalmana - zastosowania w prostych układach sensorycznych.

Filtr Kalmana - zastosowania w prostych układach sensorycznych. Filtr Kalmana - zastosowania w prostych układach sensorycznych. Jan Kędzierski Koło Naukowe Robotyków KoNaR. www.konar.pwr.wroc.pl 9 października 2007 Spis treści 1 Wstęp 2 2 Własności KF 2 3 Statystyka

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania. Studia: I stopnia (inżynierskie)

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania. Studia: I stopnia (inżynierskie) Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia I stopnia (inżynierskie) Temat: Skalowanie czujników prędkości kątowej i orientacji przestrzennej 1. Analiza właściwości czujników i układów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d.

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Oprócz zmiennych i wektorów strukturami danych w R są: macierze; ramki (ang. data frames); listy; klasy S3 1 Macierze Macierze

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH

PODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH Wykład 3 Liniowe metody klasyfikacji. Wprowadzenie do klasyfikacji pod nadzorem. Fisherowska dyskryminacja liniowa. Wprowadzenie do klasyfikacji pod nadzorem. Klasyfikacja pod nadzorem Klasyfikacja jest

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Generacja liczb pseudolosowych

Generacja liczb pseudolosowych Generacja liczb pseudolosowych Zapis liczb w komputerze Generatory liczb pseudolosowych Liniowe kongruentne Liniowe mutiplikatywne kongruentne Jakość generatorów Test widmowy Generowanie liczb losowych

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania E - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Wydajność systemów a organizacja pamięci, czyli dlaczego jednak nie jest aż tak źle. Krzysztof Banaś, Obliczenia wysokiej wydajności.

Wydajność systemów a organizacja pamięci, czyli dlaczego jednak nie jest aż tak źle. Krzysztof Banaś, Obliczenia wysokiej wydajności. Wydajność systemów a organizacja pamięci, czyli dlaczego jednak nie jest aż tak źle Krzysztof Banaś, Obliczenia wysokiej wydajności. 1 Organizacja pamięci Organizacja pamięci współczesnych systemów komputerowych

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012 Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Karta Instytut Pedagogiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 011/01 Kierunek studiów: Matematyka Profil: Ogólnoakademicki Forma

Bardziej szczegółowo

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się.

Generatory takie mają niestety okres, po którym sekwencja liczb powtarza się. 1 Wstęp Będziemyrozważaćgeneratorytypux n+1 =f(x n,x n 1,...,x n k )(modm). Zakładamy,żeargumentamifunkcjifsąliczbycałkowitezezbioru0,1,...,M 1. Dla ustalenia uwagi mogą to być generatory liniowe typu:

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych.. Układy równań o macierzach trójkątnych.. Metoda eliminacji Gaussa.3. Metoda Gaussa-Jordana.4.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI Robot do pokrycia powierzchni terenu Zadania robota Zadanie całkowitego pokrycia powierzchni na podstawie danych sensorycznych Zadanie unikania przeszkód

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I

Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I Rozkład zgodny

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka

Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka Poznań, 16.05.2012r. Raport z promocji projektu Nowa generacja energooszczędnych

Bardziej szczegółowo

projekt przetwornika inteligentnego do pomiaru wysokości i prędkości pionowej BSP podczas fazy lądowania;

projekt przetwornika inteligentnego do pomiaru wysokości i prędkości pionowej BSP podczas fazy lądowania; PRZYGOTOWAŁ: KIEROWNIK PRACY: MICHAŁ ŁABOWSKI dr inż. ZDZISŁAW ROCHALA projekt przetwornika inteligentnego do pomiaru wysokości i prędkości pionowej BSP podczas fazy lądowania; dokładny pomiar wysokości

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II

Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II Rozkład wymagający

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3

Matlab, zajęcia 3. Jeszcze jeden przykład metoda eliminacji Gaussa dla macierzy 3 na 3 Matlab, zajęcia 3. Pętle c.d. Przypomnijmy sobie jak działa pętla for Możemy podać normalnie w Matlabie t=cputime; for i=1:20 v(i)=i; e=cputime-t UWAGA: Taka operacja jest bardzo czasochłonna i nieoptymalna

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Energetyka Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Uzyskanie podstawowej wiedzy

Bardziej szczegółowo

OFERTA OGÓLNOUCZELNIANA NA ROK AKADEMICKI

OFERTA OGÓLNOUCZELNIANA NA ROK AKADEMICKI KATALOG KURSÓW OFERTA OGÓLNOUCZELNIANA NA ROK AKADEMICKI 2012/2013 Politechnika Wrocławska Katalog kursów Oferta Ogólnouczelniana 2012/2013 Politechnika Wrocławska Dział Nauczania Wybrzeże Wyspiańskiego

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

WZORCOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW MATEMATYKA STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI

WZORCOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW MATEMATYKA STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI Dziennik Ustaw Nr 253 14793 Poz. 1521 WZORCOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW MATEMATYKA STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI Umiejscowienie kierunku wobszarze Załącznik nr3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

ZAAWANSOWANE METODY ANALIZ STATYSTYCZNYCH red. Ewa Frątczak

ZAAWANSOWANE METODY ANALIZ STATYSTYCZNYCH red. Ewa Frątczak Tytuł: Autor: ZAAWANSOWANE METODY ANALIZ STATYSTYCZNYCH red. Ewa Frątczak Wstęp Zaawansowane metody analiz statystycznych przenoszą analizy statystyczne na kolejny wyższy poziom. Określenie tego wyższego

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STTYSTYK MTMTYCZN 1. Wykład wstępny 2. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. opulacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 2 8.

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Matematyka. w formie niestacjonarnej Matematyka dyskretna: wykład 20, ćwiczenia audytoryjne - 20 Analiza matematyczna i algebra liniowa:

Matematyka. w formie niestacjonarnej Matematyka dyskretna: wykład 20, ćwiczenia audytoryjne - 20 Analiza matematyczna i algebra liniowa: Matematyka Matematyka dyskretna (MAD) Analiza matematyczna i algebra liniowa z geometrią analityczną (AAL) Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka (RRR) Kod modułu: MAT Rodzaj modułu: podstawowy, obowiązkowy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

OGÓLNA KONCEPCJA METODY UGIĘĆ

OGÓLNA KONCEPCJA METODY UGIĘĆ 1 OGÓLNA KONCEPCJA METODY UGIĘĆ modyfikacja metody ugięć zastosowanej w Katalogu Typowych Konstrukcji Nawierzchni Podatnych i Półsztywnych z 1983 roku, założenie - trwałość nawierzchni jest zależna od

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

KATALOG KURSÓW PRZEDMIOTÓW KSZTACŁENIA OGÓLNEGO

KATALOG KURSÓW PRZEDMIOTÓW KSZTACŁENIA OGÓLNEGO KATALOG KURSÓW PRZEDMIOTÓW KSZTACŁENIA OGÓLNEGO NA ROK AKADEMICKI 2015/2016 Politechnika Wrocławska Katalog kursów przedmiotów kształcenia ogólnego Oferta Ogólnouczelniana 2015/2016 Politechnika Wrocławska

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

Parametry systemów klucza publicznego

Parametry systemów klucza publicznego Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH Wydział Mechaniczny Technologiczny PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Wykorzystanie pakietu MARC/MENTAT do modelowania naprężeń cieplnych Spis treści Pole temperatury Przykład

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

1. Płyta: Płyta Pł1.1

1. Płyta: Płyta Pł1.1 Plik: Płyta Pł1.1.rtd Projekt: Płyta Pł1.1 1. Płyta: Płyta Pł1.1 1.1. Zbrojenie: Typ : Przedszk Kierunek zbrojenia głównego : 0 Klasa zbrojenia głównego : A-III (34GS); wytrzymałość charakterystyczna =

Bardziej szczegółowo

Techniki wizualizacji. Ćwiczenie 4. Podstawowe algorytmy przetwarzania obrazów

Techniki wizualizacji. Ćwiczenie 4. Podstawowe algorytmy przetwarzania obrazów Doc. dr inż. Jacek Jarnicki Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechniki Wrocławskiej jacek.jarnicki@pwr.wroc.pl Techniki wizualizacji Ćwiczenie 4 Podstawowe algorytmy przetwarzania obrazów

Bardziej szczegółowo

Podstawy elektroniki i metrologii

Podstawy elektroniki i metrologii Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Optoelektroniki Podstawy elektroniki i metrologii Studia I stopnia kier. Informatyka semestr 2 Ilustracje do

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektroenergetyki Zakład Elektrowni i Gospodarki Elektroenergetycznej

POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektroenergetyki Zakład Elektrowni i Gospodarki Elektroenergetycznej POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektroenergetyki Zakład Elektrowni i Gospodarki Elektroenergetycznej INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA Kalibracja kanału pomiarowego 1. Wstęp W systemach sterowania

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

S PECJALNO S C I NTELIGENTNE S YSTEMY D ECYZYJNE

S PECJALNO S C I NTELIGENTNE S YSTEMY D ECYZYJNE KATEDRA SYSTEMÓW DECYZYJNYCH POLITECHNIKA GDA N SKA S PECJALNO S C I NTELIGENTNE S YSTEMY D ECYZYJNE prof. dr hab. inz. Zdzisław Kowalczuk Katedra Systemów Decyzyjnych Wydział Elektroniki Telekomunikacji

Bardziej szczegółowo

Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu,

Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, wprowadzenie Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, w przepisie tym podaje się opis czynności, które trzeba wykonać, oraz dane, dla których algorytm będzie określony.

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych

Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny mgr Karolina Pasternak-Winiarska mgr Kamil Gala Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki Taryfikacja w ubezpieczeniach

Bardziej szczegółowo