ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta"

Transkrypt

1 ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta Pręt obciążony siłami podłużnymi (działającymi wzdłuż osi pręta) nazywamy prętem rozciąganym, gdyż siła podłużna jest dodatnia (N = + P, P > 0), a więc wtedy, gdy wskutek działania siły podłużnej nastąpi wydłużenie pręta. Natomiast ze ściskaniem mamy do czynienia w przypadku przeciwnym, czyli N = - P, przy której nastąpi skrócenie pręta. W przypadku rozciągania (ściskania) realizowany jest jednokierunkowy (jednoosiowy, płaski) stan naprężenia w każdym punkcie pręta, w związku z czym w takim przypadku występują tylko naprężenia normalne σ. Sposób obciążenia pręta ma istotny wpływ na rozkład naprężeń normalnych σ. Na rysunku (5.1) pokazano trzy przypadki obciążenia pręta siłą ściskającą P. Rys. 5.1

2 W pierwszym przypadku siła P przekazywana jest poprzez idealnie sztywną płytkę o przekroju równym przekrojowi pręta. W drugim przypadku ta sama siła P działa poprzez idealnie sztywną płytkę o przekroju mniejszym od przekroju pręta, natomiast w trzecim siła P (o tej samej wartości) działa poprzez idealnie sztywną kulkę realizując obciążenie punktowe. Rzeczywisty rozkład naprężeń w każdym z prętów pokazano na rysunku 5.1. Naprężenia w bliskiej odległości od miejsca przyłożenia siły znacznie różnią się od siebie. Natomiast w odległości znacznie przekraczającej wymiary poprzeczne pręta, (L > 1,5d), naprężenia mają wartości stałe. Zasadę tę możemy sformułować w następujący sposób: jeżeli na pewien niewielki obszar ciała jednorodnego będącego w równowadze działają kolejno rozmaicie rozmieszczone ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości od obszaru przewyższającej wyraźnie jego rozmiary, powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia. Powyższe twierdzenie nazywamy zasadą de Saint Venanta. Podstawowe wiadomości z rozciągania i ściskania Na prosty pręt o stałym przekroju (rys. 5.2) działa układ sił, lub jedna siła P, która w każdym przekroju wywołuje siłę rozciągającą N = P. Rys. 5.2.

3 W dowolnym, prostopadłym do osi pręta przekroju poprzecznym, pręta obciążonego siłą P (rozciągającą lub ściskającą) panuje wg zasady de Saint Venanta naprężenie równomiernie rozłożone na całym przekroju i zakładamy, że będą to wyłącznie naprężenia normalne σ. Układ sił elementarnych σd musi się równoważyć z siłą P (N), stąd możemy napisać warunek równowagi: σd = P Całkując powyższe wyrażenie otrzymamy: σ = P (5.1) Obliczone wg (12.1) naprężenie powinno spełniać warunek wytrzymałości: σ = P k (5.2) przy czym: k = k r tj. dopuszczalne naprężenie na rozciąganie, (k c dopuszczalne naprężenie na ściskanie). Wzorem (5.1) można się posługiwać w trojaki sposób: - jeżeli jest dana siła P oraz k, to możemy obliczyć przekrój, P k - jeśli dany jest przekrój oraz k, to możemy obliczyć siłę P, jaką można obciążyć rozpatrywany pręt P k - jeżeli dana jest siła P oraz przekrój, to możemy sprawdzić, czy powstałe naprężenia nie przekraczają wartości dopuszczalnej; σ = P k Podany wzór (5.2) nie uwzględnia wpływu ciężaru własnego pręta, który nie w każdym przypadku może być pominięty. Przyjmując oznaczenia wg (rys. 5.3) czyli: L długość pręta, stały przekrój, γ ciężar właściwy, E moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga), znajdujemy:

4 oraz dla z = l σ = G z = γz = γz, (5.3) σ max = γl Rys. 5.3 Według (3.1): ε z = 1 E σ z = 1 E γz, czyli wydłużenie odcinka o długość dz wynosi: λ z = ε z dz = 1 E γzdz, natomiast wydłużenie całkowite: gdzie: λ = γ E G = γl i oznacza ciężar pręta. zdz = γl2 E = Gl E, (5.4) Ze wzoru (5.4) można obliczyć długość pręta, przy której naprężenia wywołane ciężarem własnym pręta osiągają wartość wytrzymałości materiału R r. Wielkość tę nazywamy długością zerwania.

5 l r = R r γ W przypadku gdy pręt jest ponadto obciążony siłą użytkową F u, mamy zgodnie z (4.2) ale: F u + G k r, G = γl, dlatego po przekształceniach otrzymamy: (5.5) = F u k r - γl. (5.6) Określenie zależności między odkształceniami a naprężeniami ciał rzeczywistych (prawo Hooke a) pozwala nam na rozwiązywanie układów określanych w mechanice jako statycznie niewyznaczalne. Brakująca liczba równań równowagi określa stopień statycznej niewyznaczalności. Rozwiązywanie układów statycznie niewyznaczalnych (w przypadku rozciągania, ściskania) polega na napisaniu równań równowagi dla danego układu, natomiast za brakujące równania piszemy warunki zgodności odkształceń (musimy napisać tyle warunków zgodności odkształceń, jaka jest krotność statycznej niewyznaczalności). Naprężenia dopuszczalne k (σ dop ) definiujemy jako: k (σ dop ) = R n (5.7) gdzie: n współczynnik bezpieczeństwa (pewności). Ustalenie wartości n współczynnika bezpieczeństwa jest jednym z ważniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych. Współczynnik ten powinien uwzględniać prawdopodobieństwo zupełnie przypadkowych odstępstw od warunków przyjętych za podstawę odliczeń. Zdarzające się od czasu do czasu katastrofy budowlane, uszkodzenia maszyn itp. wypadki, pociągające za sobą ofiary w ludziach i straty materialne, powodowane są przeważnie tym, że dopuszczone zostały zbyt duże naprężenia, a więc przyjęto zbyt małe wartości współczynnika bezpieczeństwa. Zdarzają się jednak również przypadki odwrotne, kiedy wskutek przyjęcia zbyt dużych wartości współczynnika bezpieczeństwa projektuje się konstrukcje o przesadnych wymiarach. Powoduje to stratę materiałów konstrukcyjnych i zbędne, a często szkodliwe zwiększenie ciężaru projektowanej konstrukcji.

6 Stale polepszająca się jakość materiałów konstrukcyjnych i coraz dokładniejsze metody obliczeń wytrzymałościowych stwarzają podstawę do projektowania z coraz mniejszym współczynnikiem bezpieczeństwa n, a tym samym mniejszym zużyciem materiałów. Na wielkość współczynnika bezpieczeństwa ma wpływ wiele czynników, a mianowicie: - narażenie życia ludzkiego w przypadku zniszczenia konstrukcji, - odpowiedzialność elementu konstrukcyjnego (zniszczenie elementu może spowodować zniszczenie całej konstrukcji), - naprężenia wstępne, - niejednorodność materiału, - wpływy przypadkowych wstrząsów, drgań, obciążeń, - negatywny wpływ stanu powierzchni, - możliwość wystąpienia korozji, - bardziej złożony kształt, - zmniejszona kontrola jakości, Przykład Obliczyć i porównać wartości jednostkowej sztywności rozciągania dwóch prętów przedstawionych na rys Pręty wykonane są z tego samego materiału o module Younga E. Iloraz średnic jest równy α = d D = 0,8. Do jakiej wartości α jednostkowe sztywności rozciągania obu prętów będą jednakowe. Rozwiązanie: Rys. 5.13

7 Jednostkową sztywność rozciągania określa się jako wartość siły potrzebnej do wywołania jednostkowego zwiększenia lub zmniejszenia długości pręta czyli: c = P Δl (1) Ponieważ zgodnie z prawem Hooke a: więc: Δl = P l E, c = E l. Wydłużenie pręta o zmiennej średnicy wynosi: Δl 1 = Pl 2 E 1 4 πd2 + Pl 2 E 1 4 πd2 Δl 1 = P 2l(D 2 + d 2 ) πed 2 D 2. (2) Podstawiając zależność (2) do (1) otrzymamy: c 1 = c 1 = πed 2 D 2 2l(D 2 + d 2 ) πed 2 2l(1 + α 2 ). nalogicznie, dla pręta o przekroju pierścieniowym wydłużenie wynosi: Pl Δl 2 = πe 1 4 (D2 - d 2 ), czyli: Δl 2 = πe(d2 - d 2 ) 4l, Δl 2 = πed2 (1 - α 2 ) 4l. Dla α = 0,8 iloraz jednostkowych sztywności wynosi:

8 c 1 πed 2 4l c = 2 2l(1 + α 2 ) πed 2 (1 - α 2 ) = 2α2 1 - α 4 = 2 0,64 1-0,41 c 1 c 2 = 2,17. Jednostkowe sztywności rozciągania będą miały jednakowe wartości, jeżeli: c 1 c 2 = 2α2 1 - α 4 = 1 Po rozwiązaniu równania: α 4 + 2α 2 1 = 0 dochodzimy do wyniku α = 0,643

9 SKRĘCNIE PRĘTÓW O PRZEKROJCH ŚRODKOWO SYMETRYCZNYCH Jeżeli na pręt działają wzajemnie równoważące się pary sił leżące w różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta, to pręt ulega skręceniu (rys. 6.1). Rys. 6.1 Wymienione pary sił nazywamy momentami skręcającymi i oznaczamy je M Si. Moment skręcający w przekroju α-α pręta równy jest sumie algebraicznej momentów M Si działających na pręt po jednej stronie przekroju (rys. 6.1a), czyli: M Sα = M Si = B M Si (6.1) Ze względu na potrzebę jednoznacznego określenia zwrotu momentu skręcającego wprowadzamy następującą umowę (rys. 6.1b): moment skręcający uważać będziemy za dodatni, jeśli wektor M S ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej do przekroju; w przeciwnym przypadku moment skręcający uważać będziemy za ujemny. Przy działaniu wektora momentu skręcającego M S, jako składowej wektora momentu ogólnego M równoległej do osi pręta, występuje odkształcenie które określamy jako skręcanie. Związku pomiędzy obciążeniem zewnętrznym M S a wywołanymi przez to obciążenie naprężeniami będziemy poszukiwać poprzez obserwację naprężeń, przy czym ograniczymy się tylko do prętów okrągłych. Nanosimy na zewnętrzną powierzchnię walcową pręta (rys. 6.2a) siatkę złożoną z tworzących walca i kół, odpowiadających przekrojom poprzecznym. Przy obciążeniu pręta walcowego momentem M S zauważamy, że narysowane koła doznają obrotu wokół osi pręta, bez widocznych deformacji, a tworzące przyjmują

10 kształt linii śrubowych, przy czym długość pierwotna walca nie ulega zmianie. Brak wydłużeń i przewężeń w skręcanym wale okrągłym, równoznaczny z brakiem odkształceń objętościowych, pozwala przyjąć założenie, że naprężenia σ = 0, a zmiana kształtu jest spowodowana występowaniem jedynie naprężeń stycznych τ i to zarówno w przekrojach poprzecznych, jak i podłużnych. Rys. 6.2a,b,c,d Rozkładu naprężeń w dowolnym przekroju poprzecznym nie można ustalić jedynie na podstawie obserwacji powierzchni skręcanego wału. Musimy przyjąć pewne hipotezy obliczeniowe (które znalazły potwierdzenie w doświadczeniach), a mianowicie:

11 - naprężenia styczne τ zwiększają się proporcjonalnie do odległości od osi wału, poczynając od zera w jego środku do wartości maksymalnych we włóknach skrajnych; - naprężenia te są styczne do odpowiednich okręgów, czyli są prostopadłe do odpowiednich promieni; - siły styczne elementarne τd w przekroju tworzą układ, który redukuje się do wypadkowej pary sił, równoważnej momentowi skręcającemu M S. Przyjmując powyższe założenia i uwzględniając pokazane na rys. (6.2b,c,d) zależności geometryczne, a mianowicie; znajdujemy γdx = rdυ, γ = r dυ dx, (6.2) a zgodnie z rys. (6.2d) w odległości ρ od osi pręta według (3.4): γ ρ = ρ dυ dx (6.3) γ = τ G zatem τ ρ = Gρ dυ dx Ostatnie założenie wyraża zależność (6.4) τ ρ d ρ = M S, (6.5) w której d oznacza element powierzchni przekroju. Podstawiając w równaniu (6.5) zależność (6.4) otrzymamy: M = Uwzględniając, że: Gρ 2 dυ dυ dx d = dx G ρ 2 d ρ 2 d = J o jest biegunowym momentem bezwładności przekroju, a zgodnie z (6.4) Gdυ dx = τ ρ ρ,

12 znajdujemy czyli M S = dυ dx G J o = τ ρ Jo ρ, (6.6) τ ρ = M S J o ρ (6.7) Największe naprężenia wystąpią na obwodzie i wynoszą: τ max = M S J o r (6.8) Oznaczając wskaźnik wytrzymałości na skręcanie J o r = W o (6.9) możemy wzór (6.8) przedstawić następująco: τ max = M S W o (6.10) Z równania (6.6) można znaleźć kąt obrotu przekrojów, przypadający na jednostkę długości między dwoma przekrojami dυ dx = M S G J o (6.11) Zależność na długości l (6.11) można wyrazić wzorem ogólnym: υ = W przypadku, gdy na całej długości l, to otrzymamy: lub po podstawieniu (6.8) l M S G J o dx (6.12) M S = const i G J o = const υ = M Sl G J o (6.13) υ = τ maxl G r Obliczony w mierze łukowej kąt obrotu przekrojów można wyrazić w mierze kątowej υ = 180 π (6.14) M Sl G J o (6.15) Zgodnie ze wzorem (6.8) największe naprężenia τ występują w wałach na ich obwodzie, natomiast w środku spadają do zera. Wynika stąd, że wytrzymałość wału jest wykorzystywana na jego obwodzie. W celu lepszego wykorzystania materiału wprowadza się

13 wały wydrążone, które są znacznie lżejsze od wałów pełnych. Jednocześnie przy zachowaniu jednakowej wytrzymałości na skręcanie wały wydrążone, z uwagi na większą średnicę są sztywniejsze od wałów pełnych. Pomimo zwiększonego kosztu produkcji zysk ekonomiczny stosowania wałów wydrążonych jest oczywisty. Podsumowując, możemy więc stwierdzić, że zarówno w przekrojach poprzecznych, jak i podłużnych pręta skręcanego o przekroju środkowo symetrycznym istnieją jedynie naprężenia styczne τ, natomiast naprężenia normalne σ są równe zero. Podstawowe zależności dla prętów kołowo-symetrycznych pełnych oraz pierścieniowych, podane zostały w tablicy 6.1. Lp. Nazwa, rysunek 1 przekrój kołowy Zależności J o = πr4 2 = πd4 32 0,1 d4 W o = J o = πd3 0,2 d3 d 16 2 Tablica 6.1 przekrój pierścieniowy J o = π 2 (r 2 4 r 1 4 ) = π 32 (D4 d 4 ) 0,1 (D 4 d 4 ) 2 W o = π 16 D 4 - d 4 D 0,2 D4 - d 4 D J o = πd4 32 (1 α4 ) 0,1 D 4 (1 - α 4 ) W o = πd3 16 (1 α4 ) 0,2 D 3 (1 - α 4 )

14 ZGINNIE Podział zginania Zginanie belek ze względu na zmienność momentu zginającego wzdłuż długości belki możemy podzielić na: - Zginanie równomierne. Jest to takie zginanie, w którym moment zginający M g = const, a siły poprzeczne T = 0. - Zginanie nierównomierne. W tym przypadku moment zginający oraz siła poprzeczna zmieniają się wzdłuż długości belki M g const, T const. - Zginanie proste. Z takim przypadkiem mamy do czynienia wtedy, gdy wektor momentu zginającego pokrywa się z jedną z głównych, centralnych osi bezwładności przekroju. - Zginanie ukośne. Występuje wtedy, gdy wektor momentu zginającego nie pokrywa się z żadną z głównych, centralnych osi bezwładności przekroju belki. W związku z powyższym mamy do czynienia z czterema przypadkami zginania, a mianowicie: - zginanie równomierne proste, - zginanie równomierne ukośne, - zginanie nierównomierne proste, - zginanie nierównomierne ukośne. W niniejszym rozdziale zajmiemy się tylko przypadkiem zginania równomiernego prostego. Zginanie równomierne proste by uzyskać wiadomości o rozkładzie naprężeń w przypadku zginania, wykonamy na bokach zginanego pręta (podobnie jak w przypadku skręcania) prostokątną siatkę (rys. 7.1). Obciążamy belkę równoważącymi się parami sił o momentach M w taki sposób, aby kierunki wektorów momentów pokrywały się z kierunkiem jednej z osi symetrii. W każdym przekroju wystąpi wyłącznie moment gnący o stałej wartości M g = M. Odkształcenie zginanego pręta przedstawi się nam wyłącznie jako zakrzywienie linii podłużnych siatki osi pręta. Natomiast linie pionowe pozostaną proste, a kontur przekroju pozostanie nadal płaski. Na tej podstawie możemy przyjąć, że powierzchnie przekrojów zachowują również swoją płaskość. Myślowo dzieląc całą belkę na podłużne elementy (włókna) stwierdzimy, że

15 włókna po stronie wklęsłej belki uległy skróceniu, natomiast po stronie wypukłej uległy wydłużeniu. Rys. 7.1 Z przedstawionego rozumowania wynika, że w belce istnieje warstwa, w której włókna nie zmieniły swej pierwotnej długości, jaką miały przed odkształceniem. Warstwę tę nazywamy warstwą obojętną, a jej ślad w płaszczyźnie przekroju linią lub osią obojętną. Przyjęcie tzw. przekrojów płaskich oraz istnienie warstwy obojętnej pozwala stwierdzić, że odkształcenia zwiększają swoje wartości wprost proporcjonalnie do odległości rozpatrywanej warstwy od osi obojętnej. Założenie, że w rozpatrywanym przypadku występuje wyłącznie moment gnący i to stały na całej długości, prowadzi do wniosku, że w poszczególnych przekrojach poprzecznych wystąpią jedynie naprężenia normalne. Podobnie uzasadnione jest przyjęcie, że w przekrojach podłużnych pręta nie będzie żadnych naprężeń, co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że włókna podłużne nie wywierają na siebie żadnych sił. Teorię zginania równomiernego prostego opieramy na następujących założeniach: - przekrój pręta płaski przed odkształceniem pozostaje płaski i po odkształceniu, - istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania momentu zginającego, - w przekroju poprzecznym pręta występują wyłącznie naprężenia normalne, brak jest natomiast naprężeń w przekrojach podłużnych.

16 W przypadku zginania wygodnie jest wprowadzić umowę dotyczącą układu współrzędnych. Przyjmujemy mianowicie oś x wzdłuż osi pręta, oś y wzdłuż krawędzi przecięcia przekroju z płaszczyzną działania momentu zginającego natomiast oś z, wzdłuż krawędzi przecięcia przekroju z warstwą obojętną. Zwroty poszczególnych osi przyjmuje się następująco: początek osi x obieramy w jednym z końców pręta i nadajemy zwrot w stronę drugiego końca. Zwrot osi y przyjmujemy w stronę wypukłości linii ugięcia, zaś zwrot osi z zgodnie z układem prawoskrętnym (rys. 7.2). W tak przyjętym układzie osi położenie dowolnego punktu belki, np., można określić współrzędną x wspólną dla wszystkich punktów przekroju poprzecznego belki zawierającego punkt oraz współrzędnymi y i z tegoż punktu. Rys. 7.2 Wytnijmy z belki element pręta przed odkształceniem (rys. 7.3a) oraz po odkształceniu (rys. 7.3b) Biorąc pod uwagę włókno odległe o y od warstwy obojętnej, którego długość pierwotna (przed odkształceniem) wynosiła dx = ds, a po odkształceniu wynosi ds(1 + ε) (gdzie ε jest odkształceniem właściwym), znajdujemy zależność a stąd przy czym: ds(1 + ε) ρ + y = ds ρ, ε = y ρ, (7.1)

17 ρ promień krzywizny warstwy obojętnej. Rys. 7.3a,b,c (rys. 7.3c). Z warunku równowagi sił zewnętrznych i sił wewnętrznych naprężeń znajdziemy Σ X = Σ M y = Σ M z = σd = 0 (7.2) (σd)z = 0 (7.3) (σyd)y - M g = 0 (7.4) Korzystając z prawa Hooke a (wzór 3.1) i wstawiając do wzoru (7.1) otrzymamy: σ = E ρ y (7.5) Jest to wzór ustalający prawo rozkładu naprężeń w przekroju, zgodnie z założeniem płaskich przekrojów. Wykorzystując zależność (7.5) i wstawiając ją kolejno do wzorów (7.2), (7.3), (7.4), po uporządkowaniu otrzymamy: E ρ yd = 0 (7.6)

18 E ρ yzd = 0 (7.7) E ρ y 2 d = M g (7.8) Ze względu na stałą i różną od zera wartość czynnika przed znakiem całek z równania (7.6) wynika, że: yd = 0. Oznacza to, że moment statyczny przekroju względem osi z jest równy zeru. Oś ta jest zatem osią obojętną i przechodzi przez środek ciężkości przekroju. Z równania (7.7) wynika natomiast, że osie y i z tworzą układ osi głównych przekroju, gdyż całka: yzd, określająca moment dewiacji, jest równa zeru. Ponadto, jak przyjęto w założeniu, wektor momentu M g pokrywa się z osią z, będącą jedną z głównych osi bezwładności przekroju. Warunek ten odpowiada tzw. zginaniu prostemu. Uwzględniając w równaniu (7.8), że: y 2 d = J z znajdziemy wzór określający krzywiznę 1 ρ osi belki odkształconej. 1 ρ = M g E J z, (7.9) z którego wynika, że krzywizna osi belki odkształconej jest proporcjonalna do momentu zginającego M g, a odwrotnie proporcjonalna do iloczynu EI z, zwanego sztywnością zginania. Chcąc określić wartość naprężeń normalnych zginanej belki w przypadku zginania prostego należy wstawić zależność (7.9) do wzoru (7.5) w wyniku czego otrzymamy: (7.10) σ = M gy J z.

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny

Bardziej szczegółowo

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Laboratorium wytrzymałości materiałów Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 3 - Czyste zginanie statycznie wyznaczalnej belki Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Czyste zginanie statycznie

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%: Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny

Bardziej szczegółowo

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 INTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 Temat ćwiczenia: tatyczna próba ściskania materiałów kruchych Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego ściskania materiałów kruchych, na podstawie której można określić

Bardziej szczegółowo

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

1. Połączenia spawane

1. Połączenia spawane 1. Połączenia spawane Przykład 1a. Sprawdzić nośność spawanego połączenia pachwinowego zakładając osiową pracę spoiny. Rysunek 1. Przykład zakładkowego połączenia pachwinowego Dane: geometria połączenia

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji.

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Mechanika Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze,

Bardziej szczegółowo

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład

Bardziej szczegółowo

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga.

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Mechanika i Wytrzymałość Materiałów Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Przedmiot Mechanika (ogólna, techniczna, teoretyczna): Dział fizyki

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych

Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych Przedmiot: Mechanika stosowana Liczba godzin zajęć dydaktycznych: Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych Studia magisterskie: wykład 30

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Laboratorium wytrzymałości materiałów Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 19 - Ścinanie techniczne połączenia klejonego Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Ścinanie techniczne połączenia

Bardziej szczegółowo

Sprawdzenie stanów granicznych użytkowalności.

Sprawdzenie stanów granicznych użytkowalności. MARCIN BRAŚ SGU Sprawzenie stanów granicznych użytkowalności. Wymiary belki: szerokość przekroju poprzecznego: b w := 35cm wysokość przekroju poprzecznego: h:= 70cm rozpiętość obliczeniowa przęsła: :=

Bardziej szczegółowo

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ 11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu. 4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem

Bardziej szczegółowo

Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Naprężeniem (p) nazywa się iloraz nieskończenie małej wypadkowej siły spójności

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1: śruba rozciągana i skręcana

Zadanie 1: śruba rozciągana i skręcana Zadanie 1: śruba rozciągana i skręcana Cylindryczny zbiornik i jego pokrywę łączy osiem śrub M16 wykonanych ze stali C15 i osadzonych na kołnierzu. Średnica wewnętrzna zbiornika wynosi 200 mm. Zbiornik

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE

KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WBiIŚ KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAJĘCIA 5 KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE Mgr inż. Julita Krassowska 1 CHARAKTERYSTYKI MATERIAŁOWE drewno lite sosnowe klasy C35: - f m,k =

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995

Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995 Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Przykłady obliczeń belek i słupów złożonych z zastosowaniem łączników mechanicznych wg PN-EN-1995 Jerzy Bobiński Gdańsk, wersja 0.32 (2014)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki 1. Układ sił na przedstawionym rysunku a) jest w równowadze b) jest w równowadze jeśli jest to układ dowolny c) nie jest w równowadze d) na podstawie tego rysunku

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G PRZEZ POMIAR KĄTA SKRĘCENIA

WYZNACZANIE MODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G PRZEZ POMIAR KĄTA SKRĘCENIA LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Ćwiczenie 7 WYZNACZANIE ODUŁU SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ G PRZEZ POIAR KĄTA SKRĘCENIA 7.1. Wprowadzenie - pręt o przekroju kołowym W pręcie o przekroju kołowym, poddanym

Bardziej szczegółowo

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU

PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU PROGRAM ZESP1 (12.91) Autor programu: Zbigniew Marek Michniowski Program do analizy wytrzymałościowej belek stalowych współpracujących z płytą żelbetową. PRZEZNACZENIE I OPIS PROGRAMU Program służy do

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego

Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka odkształceń sprężystych, pojęcie naprężenia. Prawo Hooke a, moduł Kirchhoffa i jego wpływ na

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 10. 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego =0 (10.1) Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej 1. Wielkości dynamiczne w ruchu postępowym. a. Masa ciała jest: - wielkością skalarną, której wielkość jest niezmienna

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ

PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr

Bardziej szczegółowo

Stropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie

Stropy TERIVA - Projektowanie i wykonywanie Stropy TERIVA obciążone równomiernie sprawdza się przez porównanie obciążeń działających na strop z podanymi w tablicy 4. Jeżeli na strop działa inny układ obciążeń lub jeżeli strop pracuje w innym układzie

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku.. rzykład 10.. Łuk obciążony ciężarem przęsła. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, którego oś ma kształt części półokręgu. Łuk obciążony jest ciężarem własnym. Zakładamy, że prawe przęsło łuku jest nieporównanie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYCZNE

LABORATORIUM FIZYCZNE LABORATORIUM FIZYCZNE Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej ĆWICZENIE 5 Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną. Ćwiczenie 5 ĆWICZENIE 5 Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną 1.

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH

OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH koło podziałowe linia przyporu P R P N P O koło podziałowe Najsilniejsze zginanie zęba następuje wówczas, gdy siła P N jest przyłożona u wierzchołka zęba. Siłę P N można rozłożyć

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) Automatyka i Robotyka Sem. 3 Dr inŝ. Anna DĄBROWSKA-TKACZYK (4,, 8, 5) X; (8, 3,, 9) XI; (6, 3, 0), XII; (3, 0, 7, 4) I 3 XI (wtorek) zamiast 5 XI (czwartek) Dzień

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał

J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał Prawo Archimedesa Na każdy element pola ds działa elementarny napór Napór całkowity P ρg S nzds Główny wektor momentu siły naporu M ρg r nzds S dp Αρχίµηδης ο Σΰρακοσιος

Bardziej szczegółowo

7.0. Fundament pod słupami od stropu nad piwnicą. Rzut fundamentu. Wymiary:

7.0. Fundament pod słupami od stropu nad piwnicą. Rzut fundamentu. Wymiary: 7.0. Fundament pod słupami od stropu nad piwnicą. Rzut fundamentu Wymiary: B=1,2m L=4,42m H=0,4m Stan graniczny I Stan graniczny II Obciążenie fundamentu odporem gruntu OBCIĄŻENIA: 221,02 221,02 221,02

Bardziej szczegółowo

9.0. Wspornik podtrzymujący schody górne płytowe

9.0. Wspornik podtrzymujący schody górne płytowe 9.0. Wspornik podtrzymujący schody górne płytowe OBCIĄŻENIA: 55,00 55,00 OBCIĄŻENIA: ([kn],[knm],[kn/m]) Pręt: Rodzaj: Kąt: P(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]: Grupa: A "" Zmienne γf=,0 Liniowe 0,0 55,00 55,00

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Zginanie proste belek

Zginanie proste belek Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę

Bardziej szczegółowo

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej

Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q

Bardziej szczegółowo

Teoria sprężystości F Z - F Z

Teoria sprężystości F Z - F Z Teoria sprężystości Ciało sprężyste bryła, która pod wpływem działających sił zewnętrznych ulega deformacji zmienia swój kształt i/lub objętość i wraca do pierwotnej postaci po ustaniu działania tych sił.

Bardziej szczegółowo

Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. PN-B-03264

Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. PN-B-03264 Pręt nr 1 - Element żelbetowy wg. PN-B-03264 Informacje o elemencie Nazwa/Opis: element nr 5 (belka) - Brak opisu elementu. Węzły: 13 (x6.000m, y24.000m); 12 (x18.000m, y24.000m) Profil: Pr 350x900 (Beton

Bardziej szczegółowo

Statyka płynów - zadania

Statyka płynów - zadania Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO 4.1. Bryła sztywna W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to

Bardziej szczegółowo

Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali

Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali 2.1. Wstęp Próba statyczna ściskania jest podstawowym sposobem badania materiałów kruchych takich jak żeliwo czy beton, które mają znacznie lepsze

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo