ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta"

Transkrypt

1 ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta Pręt obciążony siłami podłużnymi (działającymi wzdłuż osi pręta) nazywamy prętem rozciąganym, gdyż siła podłużna jest dodatnia (N = + P, P > 0), a więc wtedy, gdy wskutek działania siły podłużnej nastąpi wydłużenie pręta. Natomiast ze ściskaniem mamy do czynienia w przypadku przeciwnym, czyli N = - P, przy której nastąpi skrócenie pręta. W przypadku rozciągania (ściskania) realizowany jest jednokierunkowy (jednoosiowy, płaski) stan naprężenia w każdym punkcie pręta, w związku z czym w takim przypadku występują tylko naprężenia normalne σ. Sposób obciążenia pręta ma istotny wpływ na rozkład naprężeń normalnych σ. Na rysunku (5.1) pokazano trzy przypadki obciążenia pręta siłą ściskającą P. Rys. 5.1

2 W pierwszym przypadku siła P przekazywana jest poprzez idealnie sztywną płytkę o przekroju równym przekrojowi pręta. W drugim przypadku ta sama siła P działa poprzez idealnie sztywną płytkę o przekroju mniejszym od przekroju pręta, natomiast w trzecim siła P (o tej samej wartości) działa poprzez idealnie sztywną kulkę realizując obciążenie punktowe. Rzeczywisty rozkład naprężeń w każdym z prętów pokazano na rysunku 5.1. Naprężenia w bliskiej odległości od miejsca przyłożenia siły znacznie różnią się od siebie. Natomiast w odległości znacznie przekraczającej wymiary poprzeczne pręta, (L > 1,5d), naprężenia mają wartości stałe. Zasadę tę możemy sformułować w następujący sposób: jeżeli na pewien niewielki obszar ciała jednorodnego będącego w równowadze działają kolejno rozmaicie rozmieszczone ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości od obszaru przewyższającej wyraźnie jego rozmiary, powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia. Powyższe twierdzenie nazywamy zasadą de Saint Venanta. Podstawowe wiadomości z rozciągania i ściskania Na prosty pręt o stałym przekroju (rys. 5.2) działa układ sił, lub jedna siła P, która w każdym przekroju wywołuje siłę rozciągającą N = P. Rys. 5.2.

3 W dowolnym, prostopadłym do osi pręta przekroju poprzecznym, pręta obciążonego siłą P (rozciągającą lub ściskającą) panuje wg zasady de Saint Venanta naprężenie równomiernie rozłożone na całym przekroju i zakładamy, że będą to wyłącznie naprężenia normalne σ. Układ sił elementarnych σd musi się równoważyć z siłą P (N), stąd możemy napisać warunek równowagi: σd = P Całkując powyższe wyrażenie otrzymamy: σ = P (5.1) Obliczone wg (12.1) naprężenie powinno spełniać warunek wytrzymałości: σ = P k (5.2) przy czym: k = k r tj. dopuszczalne naprężenie na rozciąganie, (k c dopuszczalne naprężenie na ściskanie). Wzorem (5.1) można się posługiwać w trojaki sposób: - jeżeli jest dana siła P oraz k, to możemy obliczyć przekrój, P k - jeśli dany jest przekrój oraz k, to możemy obliczyć siłę P, jaką można obciążyć rozpatrywany pręt P k - jeżeli dana jest siła P oraz przekrój, to możemy sprawdzić, czy powstałe naprężenia nie przekraczają wartości dopuszczalnej; σ = P k Podany wzór (5.2) nie uwzględnia wpływu ciężaru własnego pręta, który nie w każdym przypadku może być pominięty. Przyjmując oznaczenia wg (rys. 5.3) czyli: L długość pręta, stały przekrój, γ ciężar właściwy, E moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga), znajdujemy:

4 oraz dla z = l σ = G z = γz = γz, (5.3) σ max = γl Rys. 5.3 Według (3.1): ε z = 1 E σ z = 1 E γz, czyli wydłużenie odcinka o długość dz wynosi: λ z = ε z dz = 1 E γzdz, natomiast wydłużenie całkowite: gdzie: λ = γ E G = γl i oznacza ciężar pręta. zdz = γl2 E = Gl E, (5.4) Ze wzoru (5.4) można obliczyć długość pręta, przy której naprężenia wywołane ciężarem własnym pręta osiągają wartość wytrzymałości materiału R r. Wielkość tę nazywamy długością zerwania.

5 l r = R r γ W przypadku gdy pręt jest ponadto obciążony siłą użytkową F u, mamy zgodnie z (4.2) ale: F u + G k r, G = γl, dlatego po przekształceniach otrzymamy: (5.5) = F u k r - γl. (5.6) Określenie zależności między odkształceniami a naprężeniami ciał rzeczywistych (prawo Hooke a) pozwala nam na rozwiązywanie układów określanych w mechanice jako statycznie niewyznaczalne. Brakująca liczba równań równowagi określa stopień statycznej niewyznaczalności. Rozwiązywanie układów statycznie niewyznaczalnych (w przypadku rozciągania, ściskania) polega na napisaniu równań równowagi dla danego układu, natomiast za brakujące równania piszemy warunki zgodności odkształceń (musimy napisać tyle warunków zgodności odkształceń, jaka jest krotność statycznej niewyznaczalności). Naprężenia dopuszczalne k (σ dop ) definiujemy jako: k (σ dop ) = R n (5.7) gdzie: n współczynnik bezpieczeństwa (pewności). Ustalenie wartości n współczynnika bezpieczeństwa jest jednym z ważniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych. Współczynnik ten powinien uwzględniać prawdopodobieństwo zupełnie przypadkowych odstępstw od warunków przyjętych za podstawę odliczeń. Zdarzające się od czasu do czasu katastrofy budowlane, uszkodzenia maszyn itp. wypadki, pociągające za sobą ofiary w ludziach i straty materialne, powodowane są przeważnie tym, że dopuszczone zostały zbyt duże naprężenia, a więc przyjęto zbyt małe wartości współczynnika bezpieczeństwa. Zdarzają się jednak również przypadki odwrotne, kiedy wskutek przyjęcia zbyt dużych wartości współczynnika bezpieczeństwa projektuje się konstrukcje o przesadnych wymiarach. Powoduje to stratę materiałów konstrukcyjnych i zbędne, a często szkodliwe zwiększenie ciężaru projektowanej konstrukcji.

6 Stale polepszająca się jakość materiałów konstrukcyjnych i coraz dokładniejsze metody obliczeń wytrzymałościowych stwarzają podstawę do projektowania z coraz mniejszym współczynnikiem bezpieczeństwa n, a tym samym mniejszym zużyciem materiałów. Na wielkość współczynnika bezpieczeństwa ma wpływ wiele czynników, a mianowicie: - narażenie życia ludzkiego w przypadku zniszczenia konstrukcji, - odpowiedzialność elementu konstrukcyjnego (zniszczenie elementu może spowodować zniszczenie całej konstrukcji), - naprężenia wstępne, - niejednorodność materiału, - wpływy przypadkowych wstrząsów, drgań, obciążeń, - negatywny wpływ stanu powierzchni, - możliwość wystąpienia korozji, - bardziej złożony kształt, - zmniejszona kontrola jakości, Przykład Obliczyć i porównać wartości jednostkowej sztywności rozciągania dwóch prętów przedstawionych na rys Pręty wykonane są z tego samego materiału o module Younga E. Iloraz średnic jest równy α = d D = 0,8. Do jakiej wartości α jednostkowe sztywności rozciągania obu prętów będą jednakowe. Rozwiązanie: Rys. 5.13

7 Jednostkową sztywność rozciągania określa się jako wartość siły potrzebnej do wywołania jednostkowego zwiększenia lub zmniejszenia długości pręta czyli: c = P Δl (1) Ponieważ zgodnie z prawem Hooke a: więc: Δl = P l E, c = E l. Wydłużenie pręta o zmiennej średnicy wynosi: Δl 1 = Pl 2 E 1 4 πd2 + Pl 2 E 1 4 πd2 Δl 1 = P 2l(D 2 + d 2 ) πed 2 D 2. (2) Podstawiając zależność (2) do (1) otrzymamy: c 1 = c 1 = πed 2 D 2 2l(D 2 + d 2 ) πed 2 2l(1 + α 2 ). nalogicznie, dla pręta o przekroju pierścieniowym wydłużenie wynosi: Pl Δl 2 = πe 1 4 (D2 - d 2 ), czyli: Δl 2 = πe(d2 - d 2 ) 4l, Δl 2 = πed2 (1 - α 2 ) 4l. Dla α = 0,8 iloraz jednostkowych sztywności wynosi:

8 c 1 πed 2 4l c = 2 2l(1 + α 2 ) πed 2 (1 - α 2 ) = 2α2 1 - α 4 = 2 0,64 1-0,41 c 1 c 2 = 2,17. Jednostkowe sztywności rozciągania będą miały jednakowe wartości, jeżeli: c 1 c 2 = 2α2 1 - α 4 = 1 Po rozwiązaniu równania: α 4 + 2α 2 1 = 0 dochodzimy do wyniku α = 0,643

9 SKRĘCNIE PRĘTÓW O PRZEKROJCH ŚRODKOWO SYMETRYCZNYCH Jeżeli na pręt działają wzajemnie równoważące się pary sił leżące w różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta, to pręt ulega skręceniu (rys. 6.1). Rys. 6.1 Wymienione pary sił nazywamy momentami skręcającymi i oznaczamy je M Si. Moment skręcający w przekroju α-α pręta równy jest sumie algebraicznej momentów M Si działających na pręt po jednej stronie przekroju (rys. 6.1a), czyli: M Sα = M Si = B M Si (6.1) Ze względu na potrzebę jednoznacznego określenia zwrotu momentu skręcającego wprowadzamy następującą umowę (rys. 6.1b): moment skręcający uważać będziemy za dodatni, jeśli wektor M S ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej do przekroju; w przeciwnym przypadku moment skręcający uważać będziemy za ujemny. Przy działaniu wektora momentu skręcającego M S, jako składowej wektora momentu ogólnego M równoległej do osi pręta, występuje odkształcenie które określamy jako skręcanie. Związku pomiędzy obciążeniem zewnętrznym M S a wywołanymi przez to obciążenie naprężeniami będziemy poszukiwać poprzez obserwację naprężeń, przy czym ograniczymy się tylko do prętów okrągłych. Nanosimy na zewnętrzną powierzchnię walcową pręta (rys. 6.2a) siatkę złożoną z tworzących walca i kół, odpowiadających przekrojom poprzecznym. Przy obciążeniu pręta walcowego momentem M S zauważamy, że narysowane koła doznają obrotu wokół osi pręta, bez widocznych deformacji, a tworzące przyjmują

10 kształt linii śrubowych, przy czym długość pierwotna walca nie ulega zmianie. Brak wydłużeń i przewężeń w skręcanym wale okrągłym, równoznaczny z brakiem odkształceń objętościowych, pozwala przyjąć założenie, że naprężenia σ = 0, a zmiana kształtu jest spowodowana występowaniem jedynie naprężeń stycznych τ i to zarówno w przekrojach poprzecznych, jak i podłużnych. Rys. 6.2a,b,c,d Rozkładu naprężeń w dowolnym przekroju poprzecznym nie można ustalić jedynie na podstawie obserwacji powierzchni skręcanego wału. Musimy przyjąć pewne hipotezy obliczeniowe (które znalazły potwierdzenie w doświadczeniach), a mianowicie:

11 - naprężenia styczne τ zwiększają się proporcjonalnie do odległości od osi wału, poczynając od zera w jego środku do wartości maksymalnych we włóknach skrajnych; - naprężenia te są styczne do odpowiednich okręgów, czyli są prostopadłe do odpowiednich promieni; - siły styczne elementarne τd w przekroju tworzą układ, który redukuje się do wypadkowej pary sił, równoważnej momentowi skręcającemu M S. Przyjmując powyższe założenia i uwzględniając pokazane na rys. (6.2b,c,d) zależności geometryczne, a mianowicie; znajdujemy γdx = rdυ, γ = r dυ dx, (6.2) a zgodnie z rys. (6.2d) w odległości ρ od osi pręta według (3.4): γ ρ = ρ dυ dx (6.3) γ = τ G zatem τ ρ = Gρ dυ dx Ostatnie założenie wyraża zależność (6.4) τ ρ d ρ = M S, (6.5) w której d oznacza element powierzchni przekroju. Podstawiając w równaniu (6.5) zależność (6.4) otrzymamy: M = Uwzględniając, że: Gρ 2 dυ dυ dx d = dx G ρ 2 d ρ 2 d = J o jest biegunowym momentem bezwładności przekroju, a zgodnie z (6.4) Gdυ dx = τ ρ ρ,

12 znajdujemy czyli M S = dυ dx G J o = τ ρ Jo ρ, (6.6) τ ρ = M S J o ρ (6.7) Największe naprężenia wystąpią na obwodzie i wynoszą: τ max = M S J o r (6.8) Oznaczając wskaźnik wytrzymałości na skręcanie J o r = W o (6.9) możemy wzór (6.8) przedstawić następująco: τ max = M S W o (6.10) Z równania (6.6) można znaleźć kąt obrotu przekrojów, przypadający na jednostkę długości między dwoma przekrojami dυ dx = M S G J o (6.11) Zależność na długości l (6.11) można wyrazić wzorem ogólnym: υ = W przypadku, gdy na całej długości l, to otrzymamy: lub po podstawieniu (6.8) l M S G J o dx (6.12) M S = const i G J o = const υ = M Sl G J o (6.13) υ = τ maxl G r Obliczony w mierze łukowej kąt obrotu przekrojów można wyrazić w mierze kątowej υ = 180 π (6.14) M Sl G J o (6.15) Zgodnie ze wzorem (6.8) największe naprężenia τ występują w wałach na ich obwodzie, natomiast w środku spadają do zera. Wynika stąd, że wytrzymałość wału jest wykorzystywana na jego obwodzie. W celu lepszego wykorzystania materiału wprowadza się

13 wały wydrążone, które są znacznie lżejsze od wałów pełnych. Jednocześnie przy zachowaniu jednakowej wytrzymałości na skręcanie wały wydrążone, z uwagi na większą średnicę są sztywniejsze od wałów pełnych. Pomimo zwiększonego kosztu produkcji zysk ekonomiczny stosowania wałów wydrążonych jest oczywisty. Podsumowując, możemy więc stwierdzić, że zarówno w przekrojach poprzecznych, jak i podłużnych pręta skręcanego o przekroju środkowo symetrycznym istnieją jedynie naprężenia styczne τ, natomiast naprężenia normalne σ są równe zero. Podstawowe zależności dla prętów kołowo-symetrycznych pełnych oraz pierścieniowych, podane zostały w tablicy 6.1. Lp. Nazwa, rysunek 1 przekrój kołowy Zależności J o = πr4 2 = πd4 32 0,1 d4 W o = J o = πd3 0,2 d3 d 16 2 Tablica 6.1 przekrój pierścieniowy J o = π 2 (r 2 4 r 1 4 ) = π 32 (D4 d 4 ) 0,1 (D 4 d 4 ) 2 W o = π 16 D 4 - d 4 D 0,2 D4 - d 4 D J o = πd4 32 (1 α4 ) 0,1 D 4 (1 - α 4 ) W o = πd3 16 (1 α4 ) 0,2 D 3 (1 - α 4 )

14 ZGINNIE Podział zginania Zginanie belek ze względu na zmienność momentu zginającego wzdłuż długości belki możemy podzielić na: - Zginanie równomierne. Jest to takie zginanie, w którym moment zginający M g = const, a siły poprzeczne T = 0. - Zginanie nierównomierne. W tym przypadku moment zginający oraz siła poprzeczna zmieniają się wzdłuż długości belki M g const, T const. - Zginanie proste. Z takim przypadkiem mamy do czynienia wtedy, gdy wektor momentu zginającego pokrywa się z jedną z głównych, centralnych osi bezwładności przekroju. - Zginanie ukośne. Występuje wtedy, gdy wektor momentu zginającego nie pokrywa się z żadną z głównych, centralnych osi bezwładności przekroju belki. W związku z powyższym mamy do czynienia z czterema przypadkami zginania, a mianowicie: - zginanie równomierne proste, - zginanie równomierne ukośne, - zginanie nierównomierne proste, - zginanie nierównomierne ukośne. W niniejszym rozdziale zajmiemy się tylko przypadkiem zginania równomiernego prostego. Zginanie równomierne proste by uzyskać wiadomości o rozkładzie naprężeń w przypadku zginania, wykonamy na bokach zginanego pręta (podobnie jak w przypadku skręcania) prostokątną siatkę (rys. 7.1). Obciążamy belkę równoważącymi się parami sił o momentach M w taki sposób, aby kierunki wektorów momentów pokrywały się z kierunkiem jednej z osi symetrii. W każdym przekroju wystąpi wyłącznie moment gnący o stałej wartości M g = M. Odkształcenie zginanego pręta przedstawi się nam wyłącznie jako zakrzywienie linii podłużnych siatki osi pręta. Natomiast linie pionowe pozostaną proste, a kontur przekroju pozostanie nadal płaski. Na tej podstawie możemy przyjąć, że powierzchnie przekrojów zachowują również swoją płaskość. Myślowo dzieląc całą belkę na podłużne elementy (włókna) stwierdzimy, że

15 włókna po stronie wklęsłej belki uległy skróceniu, natomiast po stronie wypukłej uległy wydłużeniu. Rys. 7.1 Z przedstawionego rozumowania wynika, że w belce istnieje warstwa, w której włókna nie zmieniły swej pierwotnej długości, jaką miały przed odkształceniem. Warstwę tę nazywamy warstwą obojętną, a jej ślad w płaszczyźnie przekroju linią lub osią obojętną. Przyjęcie tzw. przekrojów płaskich oraz istnienie warstwy obojętnej pozwala stwierdzić, że odkształcenia zwiększają swoje wartości wprost proporcjonalnie do odległości rozpatrywanej warstwy od osi obojętnej. Założenie, że w rozpatrywanym przypadku występuje wyłącznie moment gnący i to stały na całej długości, prowadzi do wniosku, że w poszczególnych przekrojach poprzecznych wystąpią jedynie naprężenia normalne. Podobnie uzasadnione jest przyjęcie, że w przekrojach podłużnych pręta nie będzie żadnych naprężeń, co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że włókna podłużne nie wywierają na siebie żadnych sił. Teorię zginania równomiernego prostego opieramy na następujących założeniach: - przekrój pręta płaski przed odkształceniem pozostaje płaski i po odkształceniu, - istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania momentu zginającego, - w przekroju poprzecznym pręta występują wyłącznie naprężenia normalne, brak jest natomiast naprężeń w przekrojach podłużnych.

16 W przypadku zginania wygodnie jest wprowadzić umowę dotyczącą układu współrzędnych. Przyjmujemy mianowicie oś x wzdłuż osi pręta, oś y wzdłuż krawędzi przecięcia przekroju z płaszczyzną działania momentu zginającego natomiast oś z, wzdłuż krawędzi przecięcia przekroju z warstwą obojętną. Zwroty poszczególnych osi przyjmuje się następująco: początek osi x obieramy w jednym z końców pręta i nadajemy zwrot w stronę drugiego końca. Zwrot osi y przyjmujemy w stronę wypukłości linii ugięcia, zaś zwrot osi z zgodnie z układem prawoskrętnym (rys. 7.2). W tak przyjętym układzie osi położenie dowolnego punktu belki, np., można określić współrzędną x wspólną dla wszystkich punktów przekroju poprzecznego belki zawierającego punkt oraz współrzędnymi y i z tegoż punktu. Rys. 7.2 Wytnijmy z belki element pręta przed odkształceniem (rys. 7.3a) oraz po odkształceniu (rys. 7.3b) Biorąc pod uwagę włókno odległe o y od warstwy obojętnej, którego długość pierwotna (przed odkształceniem) wynosiła dx = ds, a po odkształceniu wynosi ds(1 + ε) (gdzie ε jest odkształceniem właściwym), znajdujemy zależność a stąd przy czym: ds(1 + ε) ρ + y = ds ρ, ε = y ρ, (7.1)

17 ρ promień krzywizny warstwy obojętnej. Rys. 7.3a,b,c (rys. 7.3c). Z warunku równowagi sił zewnętrznych i sił wewnętrznych naprężeń znajdziemy Σ X = Σ M y = Σ M z = σd = 0 (7.2) (σd)z = 0 (7.3) (σyd)y - M g = 0 (7.4) Korzystając z prawa Hooke a (wzór 3.1) i wstawiając do wzoru (7.1) otrzymamy: σ = E ρ y (7.5) Jest to wzór ustalający prawo rozkładu naprężeń w przekroju, zgodnie z założeniem płaskich przekrojów. Wykorzystując zależność (7.5) i wstawiając ją kolejno do wzorów (7.2), (7.3), (7.4), po uporządkowaniu otrzymamy: E ρ yd = 0 (7.6)

18 E ρ yzd = 0 (7.7) E ρ y 2 d = M g (7.8) Ze względu na stałą i różną od zera wartość czynnika przed znakiem całek z równania (7.6) wynika, że: yd = 0. Oznacza to, że moment statyczny przekroju względem osi z jest równy zeru. Oś ta jest zatem osią obojętną i przechodzi przez środek ciężkości przekroju. Z równania (7.7) wynika natomiast, że osie y i z tworzą układ osi głównych przekroju, gdyż całka: yzd, określająca moment dewiacji, jest równa zeru. Ponadto, jak przyjęto w założeniu, wektor momentu M g pokrywa się z osią z, będącą jedną z głównych osi bezwładności przekroju. Warunek ten odpowiada tzw. zginaniu prostemu. Uwzględniając w równaniu (7.8), że: y 2 d = J z znajdziemy wzór określający krzywiznę 1 ρ osi belki odkształconej. 1 ρ = M g E J z, (7.9) z którego wynika, że krzywizna osi belki odkształconej jest proporcjonalna do momentu zginającego M g, a odwrotnie proporcjonalna do iloczynu EI z, zwanego sztywnością zginania. Chcąc określić wartość naprężeń normalnych zginanej belki w przypadku zginania prostego należy wstawić zależność (7.9) do wzoru (7.5) w wyniku czego otrzymamy: (7.10) σ = M gy J z.

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku

Bardziej szczegółowo

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym 2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Zginanie Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach i ramach, analiza stanu naprężeń i odkształceń, warunek bezpieczeństwa Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości,

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.

Bardziej szczegółowo

CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE

CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE Wykład 6: Wymiarowanie elementów cienkościennych o przekroju w ujęciu teorii Własowa INFORMACJE OGÓLNE Ścianki rozważanych elementów, w zależności od smukłości pod naprężeniami

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny

Bardziej szczegółowo

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego

Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego Cel ćwiczenia STATYCZNA PRÓBA ŚCISKANIA autor: dr inż. Marta Kozuń, dr inż. Ludomir Jankowski 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Skręcanie prętów o przekrojach kołowych Siły przekrojowe, deformacja, naprężenia, warunki bezpieczeństwa i sztywności, sprężyny śrubowe. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Laboratorium wytrzymałości materiałów Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 3 - Czyste zginanie statycznie wyznaczalnej belki Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Czyste zginanie statycznie

Bardziej szczegółowo

5. Indeksy materiałowe

5. Indeksy materiałowe 5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

9. Mimośrodowe działanie siły

9. Mimośrodowe działanie siły 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 9. 9. Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc.

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

wiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe

wiczenie 15 ZGINANIE UKO Wprowadzenie Zginanie płaskie Zginanie uko nie Cel wiczenia Okre lenia podstawowe Ćwiczenie 15 ZGNANE UKOŚNE 15.1. Wprowadzenie Belką nazywamy element nośny konstrukcji, którego: - jeden wymiar (długość belki) jest znacznie większy od wymiarów przekroju poprzecznego - obciążenie prostopadłe

Bardziej szczegółowo

PaleZbrojenie 5.0. Instrukcja użytkowania

PaleZbrojenie 5.0. Instrukcja użytkowania Instrukcja użytkowania ZAWARTOŚĆ INSTRUKCJI UŻYTKOWANIA: 1. WPROWADZENIE 3 2. TERMINOLOGIA 3 3. PRZEZNACZENIE PROGRAMU 3 4. WPROWADZENIE DANYCH ZAKŁADKA DANE 4 5. ZASADY WYMIAROWANIA PRZEKROJU PALA 8 5.1.

Bardziej szczegółowo

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%: Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny

Bardziej szczegółowo

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia

Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia Ćwiczenie M12 Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia M12.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu Younga różnych materiałów poprzez badanie strzałki ugięcia wykonanych

Bardziej szczegółowo

POZ BRUK Sp. z o.o. S.K.A Rokietnica, Sobota, ul. Poznańska 43 INFORMATOR OBLICZENIOWY

POZ BRUK Sp. z o.o. S.K.A Rokietnica, Sobota, ul. Poznańska 43 INFORMATOR OBLICZENIOWY 62-090 Rokietnica, Sobota, ul. Poznańska 43 INFORMATOR OBLICZENIOWY SPIS TREŚCI Wprowadzenie... 1 Podstawa do obliczeń... 1 Założenia obliczeniowe... 1 Algorytm obliczeń... 2 1.Nośność żebra stropu na

Bardziej szczegółowo

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej

Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów Rok akademicki: 2012/2013 Kod: STC-1-105-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Mechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1

Mechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1 Mechanika i wytrzymałość materiałów BILET No 1 1. Prawa ruchu Newtona. 2. Projektowanie prętów skręcanych ze względu na wytrzymałość oraz kąt skręcania. 3. Belka AB o cięŝarze G oparta jak pokazano na

Bardziej szczegółowo

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych, naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia.

Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych, naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Materiały do wykładu na temat Obliczanie sił przekrojowych naprężeń i zmian geometrycznych prętów rozciąganych iściskanych bez wyboczenia. Sprawdzanie warunków wytrzymałości takich prętów. Wydruk elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17

Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 INTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 Temat ćwiczenia: tatyczna próba ściskania materiałów kruchych Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego ściskania materiałów kruchych, na podstawie której można określić

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości 4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

OPŁYW PROFILU. Ciała opływane. profile lotnicze łopatki. Rys. 1. Podział ciał opływanych pod względem aerodynamicznym

OPŁYW PROFILU. Ciała opływane. profile lotnicze łopatki. Rys. 1. Podział ciał opływanych pod względem aerodynamicznym OPŁYW PROFILU Ciała opływane Nieopływowe Opływowe walec kula profile lotnicze łopatki spoilery sprężarek wentylatorów turbin Rys. 1. Podział ciał opływanych pod względem aerodynamicznym Płaski np. z blachy

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

1. Połączenia spawane

1. Połączenia spawane 1. Połączenia spawane Przykład 1a. Sprawdzić nośność spawanego połączenia pachwinowego zakładając osiową pracę spoiny. Rysunek 1. Przykład zakładkowego połączenia pachwinowego Dane: geometria połączenia

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

Część DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 1 DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE

Część DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 1 DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE Część 1. DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1 1 DZIŁNIE OENTU SKRĘCJĄCEGO 1.1. ZLEŻNOŚCI PODSTWOWE 1.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 1. Położenie osi obojętnej przekroju rozciąganego mimośrodowo zależy od: a) punktu przyłożenia

Bardziej szczegółowo

Integralność konstrukcji w eksploatacji

Integralność konstrukcji w eksploatacji 1 Integralność konstrukcji w eksploatacji Wykład 0 PRZYPOMNINI PODSTAWOWYCH POJĘĆ Z WYTRZYMAŁOŚCI MATRIAŁÓW Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład

Bardziej szczegółowo

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych

Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych Przedmiot: Mechanika stosowana Liczba godzin zajęć dydaktycznych: Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych Studia magisterskie: wykład 30

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu

Bardziej szczegółowo

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca

1. Pojazdy i maszyny robocze 2. Metody komputerowe w projektowaniu maszyn 3. Inżynieria produkcji Jednostka prowadząca Kod przedmiotu: PLPILA02-IPMIBM-I-2p7-2012-S Pozycja planu: B7 1. INFORMACJE O PRZEDMIOCIE A. Podstawowe dane 1 Nazwa przedmiotu Wytrzymałość materiałów I 2 Rodzaj przedmiotu Podstawowy/obowiązkowy 3 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Tarcie poślizgowe

Tarcie poślizgowe 3.3.1. Tarcie poślizgowe Przy omawianiu więzów w p. 3.2.1 reakcję wynikającą z oddziaływania ciała na ciało B (rys. 3.4) rozłożyliśmy na składową normalną i składową styczną T, którą nazwaliśmy siłą tarcia.

Bardziej szczegółowo

Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii

Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z

Bardziej szczegółowo

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m

Tra r n a s n fo f rm r a m c a ja a na n p a rę r ż ę eń e pomi m ę i d ę zy y uk u ł k a ł d a am a i m i obr b ó r cony n m y i m Wytrzymałość materiałów Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń 1 Tensor naprężeń Naprężenia w stanie przestrzennym: τ τxz τ yx τ yz τzx τzy zz Układ współrzędnych jest zwykle wybrany

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji.

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Mechanika Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE ĆWICZENIE 4 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE Wprowadzenie Pręt umocowany na końcach pod wpływem obciążeniem ulega wygięciu. własnego ciężaru lub pod Rys. 4.1. W górnej warstwie pręta następuje

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów

Wytrzymałość materiałów Wytrzymałość materiałów Wykład 3 Analiza stanu naprężenia i odkształcenia w przekroju pręta Poznań 1 3.1. Podstawowe założenia Charakterystyka materiału Zakładamy na początek, że mamy do czynienia z ośrodkiem

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1 Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością

Bardziej szczegółowo

Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji

Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji Naprężeniem (p) nazywa się iloraz nieskończenie małej wypadkowej siły spójności

Bardziej szczegółowo

Sprawdzenie stanów granicznych użytkowalności.

Sprawdzenie stanów granicznych użytkowalności. MARCIN BRAŚ SGU Sprawzenie stanów granicznych użytkowalności. Wymiary belki: szerokość przekroju poprzecznego: b w := 35cm wysokość przekroju poprzecznego: h:= 70cm rozpiętość obliczeniowa przęsła: :=

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: Emilia Inczewska 1

Opracowanie: Emilia Inczewska 1 Dla żelbetowej belki wykonanej z betonu klasy C20/25 ( αcc=1,0), o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rysunku poniżej: należy wykonać: 1. Wykres momentów- z pominięciem ciężaru własnego belki- dla

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów I studia zaoczne inŝynierskie I stopnia kierunek studiów Budownictwo, sem. III materiały pomocnicze do ćwiczeń

Wytrzymałość Materiałów I studia zaoczne inŝynierskie I stopnia kierunek studiów Budownictwo, sem. III materiały pomocnicze do ćwiczeń Wytrzymałość Materiałów I studia zaoczne inŝynierskie I stopnia kierunek studiów Budownictwo, sem. III materiały pomocnicze do ćwiczeń opracowanie: dr inŝ. Marek Golubiewski, mgr inŝ. Jolanta Bondarczuk-Siwicka

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn

Bardziej szczegółowo

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ 11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1: śruba rozciągana i skręcana

Zadanie 1: śruba rozciągana i skręcana Zadanie 1: śruba rozciągana i skręcana Cylindryczny zbiornik i jego pokrywę łączy osiem śrub M16 wykonanych ze stali C15 i osadzonych na kołnierzu. Średnica wewnętrzna zbiornika wynosi 200 mm. Zbiornik

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga.

Mechanika i Wytrzymałość Materiałów. Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Mechanika i Wytrzymałość Materiałów Wykład nr 1 Wprowadzenie i podstawowe pojęcia. Rachunek wektorowy. Wypadkowa układu sił. Równowaga. Przedmiot Mechanika (ogólna, techniczna, teoretyczna): Dział fizyki

Bardziej szczegółowo