Mikroekonomia II. Narz ¾edzia matematyczne. f 0 (x) = 0. f (x) = 5. f 0 (x) = ax a 1 = ax a 1. f (x) = p x = x 1 2. d (bf(x)) dx.

Transkrypt

1 Mikroekonomia II Narz edzia matematczne Pochodne. Funkcja sta a f () = b f 0 () = 0 f () = 5 f 0 () = 0 2. Funkcja wk adnicza f () = a f 0 () = a a = a a f () = p = 2 f 0 () = 2 2 = 2 2. Funkcja logartmiczna f () = log () f 0 () = 4. Sta a raz funkcja bf() d (bf()) = bf 0 () f() = 6 f 0 () = 6 = Suma funkcji f() + g() d (f() + g()) = f 0 () + g 0 () f() = ln 2 4 f 0 () = f 0 () = Iloczn funkcji f() g() d (f() g()) = f 0 ()g() + f()g 0 () f() = (2 2 + log )(6 2 ) f 0 () = (2 2 + )(6 2 ) + (2 2 + log )(6 2 ) = (2 + )(6 2 ) + (2 2 + log )( )

2 2 Rsowanie wkresów Znajomość kszta tu wkresów nast epujacch funkcji mo ze okazać si e pomocna. f () = b + a Slope = a =a+b b 2. f () = b log =b log 2

3 . f () = b a dla b > 0; a 2 (0; ) =b a, b>0, 0a 4. f () = b a dla b > 0; a 0 Zauwa z, ze pow zsza funkcje mo zna te z zapisać jako f () = b, gdzie c = a > 0 c = b a, b>0, a0 Pochodne funkcji wielu zmiennch Funkcje tpu f (; ). Wówczas mo zna policzć pochodne czastkowe wzgledem zarówno zmiennej jak i. Pochodne licz si e bardzo podobnie jak w przpadku funkcji jednej zmienn. Podczas liczenia pochodnej czastkowej po zmiennej traktuje sie zmienna jako sta a. Podobnie podczas liczenia pochodnej czastkowej po zmiennej, zmienna traktuje sie jako sta a. Pochodna czastkow a po lub f (; ) lub f (; ). Pochodna czastkow a po lub f 2 (; ) lub f (; ).

4 . Rozwa zm funkcje tpu f(; ) = a log + b log. Pochodne czastkowe maja nastepujac a postać f (; ) = a + 0 = (; = 0 + b = b f (; ) = 5 log + 4 log f (; ) = = 5 f (; ) = = 4 2. Funkcja tpu Cobba-Douglasa f (; ) = A f (; ) = A = A f (; ) = A = A f (; ) = f (; ) = = = 5 0 f (; ) = = = 5 4 Metoda mno zników Lagrange a Metoda ta jest wkorzstwana do rozwiazania problemów tpu mau(; ) (;) p.w. p + p = m Zauwa z, ze p ; p ; m sa dane. Ab rozwiazać ten problem stosujem metod e mno zników Lagrange a. Stosujem wówczas nast epujac algortm Krok Konstruujem funkcj e Lagrange a. Robim to w nast epujac sposób najpierw kopiujem funkcj e celu (w naszm przpadku u(; )), nast epnie piszem " " i otwieram nawias kwadratow. W nawiasie wpisujem lewa stron e równania, które otrzmujem po przniesieniu wszstkich elementów ograniczenia na lewa strone, tak ab po prawej stronie pojawi o sie 0 (w naszm przpadku p + p m = 0). Nastepnie zamkam nawias kwadratow. Zatem funkcja Lagrange a wglada tak L = u (; ) [p + p m] Krok 2 Liczm warunki pierwszego rz edu. Ab znaleźć warunki pierwszego rz edu korzstam z poni zszch równań L = 0 L = 0 L = 0 co po przeliczeniu daje u (; ) p = 0 u (; ) p = 0 p + p m = 0 4

5 Zauwa zm, ze otrzmaliśm trz równania z trzema niewiadommi ; ;. Krok Eliminujem. Z pow zszch równań otrzmujem u (; ) = p u (; ) = p p + p = m Dzielac dwa pierwsze równania stronami otrzmujem ( u(;) u = p (;) p p + p = m Czli otrzmujem dwa równania z dwiema niewiadommi. Z ogólna postacia funkcji dalej nic sie nie da policzć, w przk adzie poni zej pokazane sa wszstkie wliczenia dla funkcji u zteczności Cobba-Douglasa. Przk ad Rozwa zm nast epujac problem Funkcja Lagrange a Warunki pierwszego rz edu Przekszta cajac ma 4 4 (;) p.w. p + p = m L = 4 4 [p + p m] L = p = 0 L = p = 0 p + p = m = p = p p + p = m Dzielac dwa pierwsze równania stronami otrzmujem Upraszczajac i podstawiajac do ograniczenia bud zetowego = p p p + p = m p = p p + p = m p + p = m = m 2p I podstawiajac do równania p = p otrzmujem = p = p m = m p p 2p 2p Rozwiazanie problemu ( = m 2p = m 2p 5