LICZBY RZECZYWISTE a) 3n, n N ; b) 3n 2, n N. 6. a) 0; b) 590; c) a) 1 ; b) a) 7; b) 27; c) 3; d) 2.

Transkrypt

1 LICZB RZECZWISTE b) NWD( 0, 900) 0, NWW ( 0, 900) 600; c) NWD( 6, 58), NWW ( 6, 58) a) n, n N ; b) n, n N 5 a) 0a b, a {,,, 9 }, b { 0,,, 9 }; b) 0a b ; c) b, b {,,, 9 } 6 a) 0; b) 590; c) 7 9 a) ; b) a) c, c ; b) c 5, c 4; 4 a) 7; b) 7; c) ; d) 5 a) ; b) 8 ; c) 7 6 ; d) , e b a c d a) 4 7 ; b) 5 9 ; c) ( ) ( ) ( 7) Wszystkie a) b a 4 5 ; b) 5 ; c) 7 4 ; d) ( 7 ) 4 4 a) W; b) NW; c) W; d) W; e) W; f) NW 6 a) 5 ; b) ; c) 9 ; d) ; e) ; f) { 0,, } { 7, 6, 5, 4,,,, 0,, } { 6, 5, 4,,,, 0, } { 0, } { } a) (, ; b) (, ), ); c) ( 8, ) ; d) ; e) ; f) 7 ( 5 ) 6 0 a) A B (, 4, A B (,, A \ B (,, B \ A (, 4 ; b) A B, 6), A B (, 5, A \ B,, B \ A ( 5, 6 ); c) A B (, ), A B (, 0, A \ B ( 0, ), B \ A ; d) A B A, A B B, A \ B (, ) 6, 8, B \ A ; e) A B ( 5, \ { 4 }, A B, A \ B A, B \ A B ; f) A B,, A B { }, A \ B, ), B \ A (,

2 a) p 0; b) p 0; c) p 0 a) p x 9; b) p 0; c) p x 9; d) p x ; e) p 0; f) p 7x ; g) p x ; h) p 5x 4 Rys x rys x 5 rys x rys 4 x 5 rys 5 x 5 rys 6 x 5 5 a) b) 0 X 5 X c) d) 6 4 X 8 X 6 Z niedomiarem Przyblizenie z niedomiarem B³¹d B³¹d 7,, , ,,975 7,474, 0 4 9, , 470 4, , , 0 5 Przyblizenie z nadmiarem B³¹d B³¹d 7,, , ,,976 7,474 7, , , 570 4, , 060 6, a) 5, 5 x y 5, 7; b) 7, 6 x y 7, 9; c) x y 0, 8; d) x y 4 8 7, 9 05% 40 a) 00; b) 90 4 a) 0; b) 40; c) a) 59,74; b) 5 000; c)

3 44 a) ; b) ; c) 0; d) ; e) ; f) ; g) ; h) 4 ; i) ; j) ; k) ; l) 45 a) 8; b) 8; c) ; d) 46 a) ; b) ; c) 5; d) x 0 i x ; e) x 7; f) x 47 a) ; b) ; c) 7; d) 5; e) 4; f) 48 a) 0; b) 5; c) 8; d) 5 49 a) x (, ); b) x (, ) (, ); c) x ( 4, ) (, ); d) x (, ) (, ) (, ) (, ) ; e) x (, ); f) x (, 5) ( 5, ) (, 5 ) ( 5, ) log log500 log5 5 log5 0 log5 4 log5 5 log5 4 log5 0 log50 log 5

4 WRA ENIA ALGEBRAICZNE a) a ; b) a ; c) a ; d) a a ; e) ( a b)( a b) ; f) a ; g) a ; h) a ; a b i) a 0; j) a b ; k) a b a b a) a 5a; b) 5a 7b a b 7ab a) 9a b; b) 5a 5a ; c) a b b a ; d) a 7b 4a ; e) a b 4; f) a a b b ; g) a 6 a; h) a 5a a b b 6 4 b) 4a a 9; c) a 0a 5; d) 4a a ; e) a ; f) a 4 g) 4a 5; h) a b) a 6a a 8; c) a 9a 7a 7; d) 8a 4a a 7 6 a) ( a 5) ; b) ( a ) ; c) 9a ; d) ( a ) ; e) ( a ) 8a 6a 54a 7; f) ( a 5)( a 0a 5) a 5; g) 8a 6a 54a 7; h) 8x x 6x ; i) x x x ; j) ( x ) ; k) ( x ) 7x 7x 9x ; 7 l) ( x ) 8x 6x 54x 7 7 a) 4a ; b) 9a 5a 9a 8 a) 496; b) 96; c) 84; d) ; e) a) ( a b) ; b) ( x y ) ( x y ); c) (w zad powinno byæ: iloraz szeœcianu) ( p q) p q 0 a) 4 ; b) 4 ; c) 8 ; d) 7 ; e) a) a, b 6; b) a 0, b ; c) a 6, b 5; d) a 45, b 9 a) 6( x y ) ; b) x ( 5x 7) ; c) 8 4 x ( x x ) ; d) ( x 5)( x ) 6 a) ( x ) ( x ) ( x ); b) ( x ) x x c) ( 5) ( x x 5) ; d) ( x )( 5x ) 6 ; 4 a) ( x )( x ); b) ( x )( x )( x 9) ; c) ( x 5) ( x 5) ; d) ( x 7 ) ( x 7 ); e) ( x )( x x 4) ; f) ( x ) ( x x 9) ; g) ( x 5) ( 4x 0x 5) ; h) ( x 7) ; i) ( x ) ; j) ( 5 x ) 5 a) ( x 5) ( x ); b) ( x ) ( x 4 ); c) 4 x x x x ( ) ( ) ; d) x x

5 6 a) ( x y)( x y ); b) ( x y)( x y ) 7 a) W( ) 0 ; b) W Pierwiastek W ( x): 9 a) ; b) ; c) 4 0 a) W( ) 7 7; b) W( k) 54k 9k 9k 0 0; c) W( k ) k 5k 7 k 0 4 a) W ( x) 6x 4x 6x 0 0; b) W ( x ) x ( 6 ) x ( ) x 7 a) m ; b) m 0; c) m ; d) m 54 a, b 4 a) a, b ; b) a, c 0; c) nie istniej¹ wspó³czynniki a, b aby dane wielomiany by³y równe 5 a) 4x 9x x 8; b) x 4x x 7; c) x 8x 6x 7; d) 6x 8x 8 6 a), 5, 4 ; b), 5, 5; c) 0,, ; d) 7 a), 7, 4; b) 5 4,, ; c),, 4; d) (w zad powinno byæ x 7x x 7 0) 7; e) 8 a) 0; b) 5 49,, 5; f) ; c) ; d) nie istnieje 59 9 a) R \ { 7 }; b) R \ { }; c) R \ 5 ; d) R \ {, 8 }; e) R \ {, 5 } ; f) R \ { 7,, 7 } 0 a) D = R \ { 0 }, 9x; b) D = R \ { }, x ; c) D = R \ { 0, 5 }, 7( x ) 5( x 5) d) D = R \ {, }, f) D = R \ { }, x x 4 ; e) D = R \ { 5, 5, }, x x ( x 5) ( x 5) ; x x 9 ( x ) ( 5 x)( 5x ) a) D = R \ { 0, 5}, ; x 5x 5 ( x ) ( x x 4) b) D = R \ {,,, }, ; ( x ) ( x ) ( x x 4) c) D = R \ { }, x ; d) D = R \, 0 x x ; x 4x e) D = R \ { }, ; f) D = R \ {, }, x 5 ; x x 5x 4 g) D = R \ { 6 }, 5; h) D = R \ {, 4 }, ( x 4) ( x ) ;

6 a) D = R \ { 0 }, 5x x ; b) D = R, 9x ; c) R \ { 0,, }, d) R \ { 0,, }, ( x x x ) x x ; a) 4x 4 ; b) x 4 x x x 0 x 9 4 a) ; b) ; c) 5; d) 5 a) ; b) 0, 0 ; c) (w zad powinno byæ: ) x 8 x 5x 6 ; d 9

7 RÓWNANIA, NIERÓWNOŒCI, UK AD RÓWNAÑ ) ; ) 4; ) ; 4) ; 5) 0; 6) 7; 7) ; 8) ( 0, ); 9), ); 0), ); ), ; ) ; ) ; 4) (,, ); 5) (, ) (, ); 6),, 4 7) R; 8) ) 0, ; ) 0, 4, ; ),, ; 4) ; 5),, ; 6),, ; 7) (pierwiastek podwójny), ; 8) 5 ; 9) 5, 5, ; 0) 7, 4 7, 4 7 a) x 5; b) x 7 4 a) x ; b) x ; c) x ; d) x ; e) x 4 ; f) x 4 5 a) x x 6 0; b) x 6x 5 0; c) x 0; d) ( x ) 0 6 a) R \ { }; b) R \ {, }; c) (, 7, 5 ; d) (, 4, ); e) (, ) 8 a) 40 ; b) ; c) 7 ; d) a), 5; b) 7, ; c) 7, ; d) 5, 0 a) ( 5, ); b) (, ) ( 7, ); c) 4, 8 ; d) (, 7, ); e) ( 4, 6 ); f) (, 5, ) b) x 7 4; c) x ; d) x b) 4; c) 5; d) ; e), ; f) 7 ; g) 7; h), 4 8 a) (4, ); b) (, 4); c) (, 5); d) (8, ); e) (, 4); f) ( 6, 6) 4 b) (, ) (, ); c) 7, 5 5 (, ); d) ( 5, ) (, )

8 FUNKCJE a) Tak; b) nie; c) nie; d) tak; e) nie; f) tak; g) tak; h) nie; i) tak; j) nie; k) tak; l) tak Nale y wykreœliæ zdania: Dziedzin¹ funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych Najmniejsz¹ wartoœci¹ funkcji jest 5 Funkcja jest malej¹ca X Dziedzin¹ funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych Funkcja ma dok³adnie jedno miejsce zerowe X Funkcja jest nierosn¹ca X Zbiorem wartoœci funkcji jest R \ { 0 } Funkcja nie osi¹ga wartoœci najwiêkszej 4 a) D ( 4, 4 ), y (, ), x miejsce zerowe, funkcja rosn¹ca dla x ( 4,, 4 ), funkcja sta³a dla x (, ); b) D (,, y 4,, x miejsce zerowe, funkcja rosn¹ca dla x,, funkcja malej¹ca dla x (, ); c) D, ), y 0, ), x miejsce zerowe, funkcja rosn¹ca dla x, 0) 4, ), funkcja sta³a dla x 0, ; unkcja malej¹ca dla x (, 4 ) ; d) D 6, ) (, ), y, ), x 6 miejsce zerowe, funkcja rosn¹ca dla x 6, 4, funkcja malej¹ca dla x ( 4, ) (, ) 6 y f ( x ) y f ( x ) 4 y f ( x) y f ( x ) y f ( x ) 4 y f ( x) X y f ( x) X y f ( x) 7 a) g ( x) f ( x 4 ); b) g ( x) f ( x) ; c) g ( x) f ( x ) ; d) g ( x) ( x )

9 8 a) {9, 4,,,, 5}; c) x, x 0 b) X 9 a) Wzd³u osi OX o jednostki w lewo b) Wzd³u osi O o 7 jednostek w górê c) Wzd³u osi OX o jednostki w prawo i wzd³u osi O o 5 jednostek w górê d) Wzd³u osi OX o 8 jednostek w lewo i wzd³u osi O o 4 jednostki w dó³ e) Symetria wzglêdem osi OX f) Symetria wzgledem osi O 0 a) f (, 4), f ( ), f (, ), f (, 75), f ( 5) 5, f ( 4, ) 5, f ( 0) 0; b) C y f ( x) X y f ( x) X y f ( x) X X y f ( x)

10 y f ( x) X X y f ( x) y f ( x) y f ( x) X X y f ( x ) y f ( x ) X X a) f ( 0) 4, f ( ), f b) f ( 0), f ( ) c) f ( 0), f ( ) 6, f 5, f ( k) k 4; 5, f, f ( k) k k, f ( k ) k 5k 5; 9, f 7 7, f ( k ) k, f ( k ) k a) {,, 5, 7, 9,,, 5, 7, 9}: b) {,,, 7, 4,, 4, 47, 6, 79}; c) {,,,,,,,,, 9 } 4 a) {8,, 6,, }; b) {6, 9, 4,, 0}; c) {6, 9, 4,, 0}; d) { 6, 9, 4,, 0}

11 5 a) b) c) X X X 6 a) b) c) y x y ( x ) X X X y ( x 4) 7 a) b) y x 6 x X X y x 4 x 5 4

12 8 a) b) f ( x) x x f ( x) ( x ) ( x ) X X 9 a) b) y x y x X X c) d) y x y x X X 0 a) b) X X funkcja sta³a dla x (, funkcja malej¹ca dla x (, funkcja rosn¹ca dla x, ) funkcja rosn¹ca dla x, ) 5

13 a) b) X X x 0 x 0 a) b) X X y (, a) ; b) 5 5 c) ; d), 5 ; 7 e) ; f) ; g) 4; h),, ; i) 5; j) 4 D R, y ( 4, ), x 0 5 X 5 a) R; b), ); c) 0, ) 6 g ( x) log ( x ), D (, ), y R, x 0 6

14 7 a) 7 ; b) 0; c) ; d) 7 ; e) x 7 ; f) x a) Brak miejsc zerowych, O : ( 0, 4 ), funkcja pzyjmuje wartoœci rzeczywiste dla x R ; b) x 0 5, O : ( 0, 5 ), funkcja pzyjmuje wartoœci rzeczywiste dla x (, 5 0 m 7 m 7, y x x 4 6 a) Wartoœæ najmniejsza 6, wartoœæ najwiêksza 0; b) wartoœæ najmniejsza 8, wartoœæ najwiêksza 0; c) wartoœæ najmniejsza 8, wartoœæ najwiêksza 6; d) wartoœæ najwiêksza 0, wartoœæ najmniejsza 6 7 y x 4x 6 8 y x 8x 0 7

15 Ci¹gi liczbowe (5, 7, 9,, ), (, 4, 7, 0, ), (4, 4, 4, 4, 4), (4, 8, 6,, 64),,, 5, 9, 7 5 a, a, a 7 6, a 0 0 b, b 5, b a) a n n, a n n 5, a k 6k ; b) a n n, a n n, a k 5 9k; c) a n n n, a n n 4, a k 9k k ; d) a n n n, a n n n, a k k ; k n n k e) a n 4, a n 4, a k 4 5 a) a ; b) a 4 ; c) aden wyraz nie jest równy zero; d) a ; e) a, a 5 6 a, a 7 a) a a a 7 8 9,, ;,, ;,, b) a a a c) a a a a, a, a, a 4 9 a) a, a, a 5; b) a, a 5, a 9 0 a) 4; b) 40 a) n n n ; b) n ( n ) ( n ) 6 a) a n n ; b) a n n ; c) a n n ( )( n ) ; d) a 4 n 4 n n

16 Ci¹g arytmetyczny a) (,, 5, 7, 9,,, 5); b) (, 4, 6, 8, 0,, 4); c),, 8, 8, 8, 9, 9, 9 ; d),, 5 7,,,, a) x 7, y 9, z ; b) x 4, y 6, z 7 ; c) x, y 4 z, 5 ; d) x, y 4, z 4 a) 6, 49; b) 4, 0; c), 0; d) 6, 5; e), 4 4 a) Tak; b) tak; c) tak; d) nie; e) nie 5 a) a 7 n n ; b) a n ; 4 4 n c) a n 8 n ; d) a n 4 4 n 6 a) 500; b) 44; c) 0; d) a) S 0 5; b) S 0 95; c) S a n n 4 a) a 7, r 4; b) a 8, r 0 5 a) x 7; b) x 99; c) x 7 6 a

17 Ci¹g geometryczny a),, 4, 8, 6,, 64, 8; b),,,,,,, ; c), 5, 5, 5, 65, 5, 565; d),,,,,, ; e),, 4, 8, 6,, 64 a) x 64, y 5; b) x y 6 lub x y 6 ; c) x, y 4 a) (, 4, 8); b),, ; 9 7 c) ( 5, 5, 5 5 ) 4 a) a 6, S 65 6 ; b) n 9, S 9 ( 5 ); c) a, S ; 64 d) n 0, a ( a n ), ( d n ), ( e n ) n 6 a) a n ; b) a n 4 n ; n c) a n 7 Dowód Skorzystaj z w³asnoœci: a a a 8 a) q ; b) x 5 9 a 0, a 40 0 (4, 8, 6) 4 x 5 lub x 5

18 Ci¹g arytmetyczny i geometryczny x 9, y 6, z lub x 9, y 6, z (4,, 0), (8,, 4) (7, 6, 5), (4, 6, ) 4 (,, 5) 5 r 7 lub r 6 6 (57,,57, 57) lub (,, 47)

19 TRGONOMETRIA a) sin 4, cos, 4, 5 5 tg ctg ; b) sin, cos, tg, ctg ; 5 5 c) sin, cos 4, tg, ctg 4 ; d) sin x y, cos, x y tg, ctg z z y z a) h 9 8 ; b) h ; c) h ; d) h 6 a) x ctg 404,, y b) x 9, y 6, 4; c) x 4, 6, y 8, 6; d) x 9, 4, y 4, 7 4 a) ; b) ; c) 8, 7; sin 40 5 a) 6 6 ; b) ; c) 9 ; d) 6 6 a) cos 5 b) sin 6 5 5, tg, ctg 5 ;, cos, ctg ; c) sin 5, cos 4 5, tg 4 7 a) cos ; b) sin ; c) cos ; d) sin 8 a) Nie; b) tak; c) tak; d) tak 9 P cos sin sin L 0 a) L ( ); b) L 8 8 ; c) L 8( ) a) L 46 ( ); b) L 6 ( ); c) L ( ) 4,59 m 4, 4 4 d 5 sin sin 6 a 6, b 7 P 08 7 cm, L ( 7)cm

20 8 Powinno byæ w zadaniu: bok AB ma d³ugoœæ a i jest 4 razy krótszy od boku AC P ABC a4asin sin a P a a a sin sin 60 9 d 6 cm 0 a) MN 6 cm; b) tg MBA a) h 9, cm; b) sin 5 4 a 8, b 54, P 648 cm, L 44 cm a) 6 ; b) 4 ; c) 6 4 m( 5; 0) ( 4; 5 ) 5 m ; 5 6 ; 6 a) a, b, f( x) x ; b) P ( 0, ), P 0 ; a, b 0, c, Wx ( ) xx ( ) ( x ), liczby a, b, c s¹ pierwiastkami wielomianuw( x)

21 PLANIMETRIA a) 0, 60 ; b) 80, 60 ; c) 6, 5 A 60, B 80, C 40 4 a) 00, 0; b) 70, 0; c) 40, 40; d) 60, 0 9 BAC 50, ACB 55, ACD 05, ADC 5 0 a) Tak bbb; b) nie; c) tak kbk; d) nie 4 AE 7, d DS 0, L ABS 48 cm, P ABS 64 cm 6 AB cm, BC 8 cm, P ABCD 96 cm, P A B C D 70 cm 7 a 5, 6, c 0, 6, a) L ABC 5, cm; b) R 5, cm; c) r cm; d) d 5 5 ; e) sin 8 ; f) h a) Z warunków zadania wynika, e D jest œrodkiem boku BC i DE AB E jest œrodkiem odcinka AB AE BE Na podstawie cechy bkb EBD EAD ; b) AB 6 cm, AC cm, BC 0 cm ab 4 c 8 ctg ctg b a b a 4ab 4 a b a b ab 0 P a b, P c, c a b, ctg b a, ctg a b, BD 6, BC 0, CD, SC 6, C SF BDC ~ SFC ( bbb) 6 SF 4, 8 cm F 6 0 a) SF 4, 8 cm; b) P ABC 9 cm S ; AB BC AC c) P ABC A D B 4 R 4R R Z porównania pól trójk¹tów: 9 00 R 6 R cm, P ABC r ( 0 0 ) 6r Z porównania pól trójk¹tów: 9 6r r 5 cm, P P R r ( 6 ) 50 ( 5 ) L 8, 8 cm, P 4, 56 cm h 6, P 9 cm, L ( 5 ) cm 4 0 m 5 5 AB AC 5, BC m L a( ), P a

22 7 r ( ) cm 8 a, L 6 cm 9 h 6( ), P 7( ) cm 0 P 80 P 08 cm cm (Uwaga: W treœci zadania powinno byæ: dwusieczna jego k¹tów) L cm, P 08 cm 4 d cm, d cm 5 P 08 cm 6 W rombie ABCD, AC, AB 0, BD 4 Pole rombu jest równe 84 cm AC BD 84, zaœ pole rombu jest równe P 00sin 400sin Z porównania pól sin 4 5 Odp sin a 0, KLMN jest kwadratem 8 P P r k 8 Bok rombu ma d³ugoœæ 4r, pole jest równe: P 4 r 4 r sin 0 8 r Pole ko³a: P r 40 AB 6 4 CD 4

23 GEOMETRIA NA P ASZCZNIE KARTEZJAÑSKIEJ a) 45 ; b) 50 ; c) 0 a) y x 4 ; b) y x 6 ; c) y x a) y x, x y 0; b) y x 6, x 6 y a) AB 6, S AB ( 6; ); b) AB, S AB ; 5 a) Np y 5 x, y 5x, y 5x ; b) np y x, y x, y x a) y x 6; b) y x 6; c) y x 7 a) y x ; b) y x ; c) y x 7 8 y x 6 9 Jeden punkt 0 a) m 8; b) m A p 7 p Sym AB y 6x 8 5 m 5 5 5, m ; 6 y 6 x 6, y 6 x 6, y x, 8 y x 9 D (, ), AB 5, BD 5 0 y 5x a) ( x ) ( y ) 6; b) ( x ) y a) ( x 7) ( y 4) 7; b) ( x 5) y 85 ( x ) ( y ) 5

24 4 a) ( x ) ( y ) 9 lub ( x ) ( y ) 9; b) ( x 7) ( y 7) 49 lub ( x 7) ( y 7) 49; c) ( x r) ( y r) r, ( ) x ( y ) 5 d r, prosta k jest roz³¹czna z okrêgiem lub ( x 5) ( y 5) 5 6 S (, ), r, d, prosta ma punkty wspólne z okrêgiem 7 a) P 4, b) r ; c) R 4 8 a) ABC jest prostok¹tny; b) P 4; c) ( x ) ( y ) 5 9 k : y x 4, x y 6 0 a) D ( 0, ) k m a 6, l m a 8 a) Prosta AB: y x 4; b) y x 4; c) C (, ) lub C ( 6, ) C (, 0) lub C ( 6, ) 4 ( x ) ( y ) 5

25 STEREOMETRIA GRANIASTOS UP I OSTROS UP a) 60 ; b) 45 a) 60 ; b) 60 6 a) x 57; b) x 9; c) x 7 a) x 4 ; b) x 8 5 ; c) x 6 8 Granistos³upy Liczba œcian 0 Liczba krawêdzi n Liczba wierzcho³ków n n Ostros³upy Liczba œcian n Liczba krawêdzi 0 4 ( n ) Liczba wierzcho³ków n 9 x a : a) cos 6 ; b) x a ; c) x a a) V 60, P 40; b) V 540, P 08 60; c) V 88, P a) V 8, P ; b) V 88 4, P ; c) V 4, P a 8 h 0 a 9 h 7 6 P V, P 7, cos 8 sin 5, sin 5 9 h 6 0 V 07 0 P 4 44, V cos 0, 99 5 V 69

26 6 P 04 7 tg V V 6 6, P a) V 70; V 44, P 7( ) a) P b 6 ; b) V V 5 4 sin, P 6 5 V 400, P ; c) cos 4 6 P 4a 4 a a, cos 6 7 P a b cos, H a tg 8 P b 6 ( 0 55 ), V 5 5 5, cos P a , x 0a 7 4cos 4cos 4 cos 40 V 0 0, x cos sin, cos cos 4 cos a 4 P sin a b, V 4 4 V 6 a 44 P b 8 45 tg sin 4 46 a) P b 9 9; b) tg a) P b ; b) x sin 6

27 49 V 50 P a a b 5 P 6 a 4 BR OBROTOWE a) P 75, V 5 ; b) P 08 7, V 44 ; c) P 8( ), V 04 d) P l l sin cos sin sin, V sin 5 6 P b 6 4 V V 7, P 6 ( ) 6 V 8 7, P 7 6 ; 8 V a 5 9 V s cos sin, P s cos (sin ) 0 V 6, P 7 a) V a, P a ; b) V r tg, P r ( tg ); c) V h 4, P h V V k tg 4 V V, P P 7 V 4 a, P a 9 V R 0, r ( )

28 ELEMENT STATSTKI OPISOWEJ x, M e 5 x 8, M e 4 0 uczniów w klasie, 9 otrzyma³o ocenê bdb 4 x, 85 5 a) x, ; b) M e ; c) P( A) Œrednia wa ona obozu pi³karskiego i tenisowego jest równa i wynosi 5,909 Decyzja nalezy do Bartka 7 b) P( A) a) x 058 z³; b) M e 000 z³; c) P( A) Nie 0 x, 5,, 5, M e a 6, b,, 74 lub a 9, b 7, 5 a) 8 osób; b) x,

29 ELEMENT KOMBINATORKI a) 6; b) (W zadaniu powinno byæ: w dowolnej kolejnoœci) a) 40; b) a) 0; b) x 0, y

30 5 a) 80; b) a) 0; b) 4 6 a) 40; b) 5; c) a) 0; b) 48 9 a) ; b) a) ; b) 58400; c) a) 0000; b) Z liczb¹ 4 jest mo liwoœci , z liczb¹ 8 jest tak e, ogó³em 66 mo liwoœci a) 6; b) 500; c) 60 5! a) C C C 4455; b) C C 450; c) C C C C C C C a) 5; b)

31 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEÑSTWA a) { 0, R }, ; b) {( x, y): x, y { 0, R}}, 4; c) {,,, 4, 5, 6 }, 6; d) {,,, 4 }, 4; e) {,, 5, 7 }, 6; f) {( x, y): x, y {,,, 4, 5, 6 }}, 6; g) {( x, y): x { 0, R}, y {,,, 4, 5, 6 }}, ; f) {( x, y): x {,,, 4, 5, 6}, y { 0, R}}, ; {( x, y, z): x, y, z { 0, R}}, A {( R, O, O), ( O, R, O), ( O, O, R)}, B {( R, R, O), ( R, O, R), ( O, R, R), ( R, R, R)}, C {( R, R, O), ( R, O, R), ( O, R, R), ( R, R, R)} a) P( A) 64 9 ; b) 5 4 a) 8 ; b) a) 8 ; b) ; c) P( A) 5 6, P( A) 6 a) P( A B ) ; b) P( A B ) 4 P( A \ B) 5 5 P( A B) a) 5 9 ; b) 6 ; c) a) 560 ; b) 6, 5!, A! ( 4 )

32 a) ; b) ; c) ; d) a) 7 ; b) 7 ; c) 7 5 a) ; b) ; c) a) ; b) a) ; b) 9 0,756 P( A) 0, 80, 84 0, 0, 4 0, 756